统计学教案习题10直线相关与回归

第十章 直线相关与回归一、教学大纲要求（一） 掌握内容⒈ 直线相关与回归的基本概念。

⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。

⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。

（二）熟悉内容⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。

⒉ 直线回归方程的应用。

⒊ 秩相关与秩回归的意义。

（三）了解内容 曲线直线化。

二、学内容精要(一) 直线回归 1. 基本概念直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。

直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。

直线回归方程bX a Y+=ˆ中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。

表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比ab含义回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。

表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。

回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。

表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。

系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化计算公式X b Y a -=XX XY l l X X Y Y X X b =---=∑∑2)())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验（1）方差分析；（2）t 检验。

3. 直线回归方程的应用（1）描述两变量的依存关系；（2）用回归方程进行预测； （3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。

(二) 直线相关 1. 基本概念直线相关（linear correlation ）又称简单相关（simple correlation ），用于双变量正态分布资料。

有正相关、负相关和零相关等关系。

直线相关的性质可由散点图直观的说明。

相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation ），以符号r 表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。

它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

2.计算公式YYXX XY l l l Y Y X X Y Y X X r =----=∑∑22)()())((相关系数r 没有单位，其值为－1≤r ≤1。

其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。

r 值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r 值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r 的绝对值等于1为完全相关。

3. 样本相关系数r 的假设检验 （1）r 界值表法； （2）t 检验法。

（三）直线回归与相关的区别与联系 1. 区别（1） 资料要求：直线回归要求因变量Y 服从正态分布，X 是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X 、Y 服从双变量正态分布。

这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。

（2） 应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。

（3） 意义：b 表示X 每增（减）一个单位时，Y 平均改变b 个单位；r 说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。

（4） 计算：b= l xy / l xx ；r = l xy /yy xx l l 。

（5） 取值范围：—∞＜b ＜+∞ ；－1≤r ≤1 。

（6） 单位：b 有单位；r 没有单位。

2. 联系（1） 方向一致：对一组数据若能同时计算b 和r ,它们的符号一致。

（2） 假设检验等价：对同一样本，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。

（3） 用回归解释相关：决定系数总回SS SS l l l r yyxx xy==22，回归平方和越接近总平方和，则r 2越接近1，说明引入相关的效果越好。

（四）秩相关秩相关，又称等级相关（rank correlation ），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料： ⒈ 不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析； ⒉ 总体分布型未知； ⒊ 用等级表示的原始数据。

三、典型试题分析1．回归系数的假设检验（ ）A ．只能用r 的检验代替B ．只能用t 检验C ．只能用F 检验D ．三者均可答案：D [评析] 本题考点：回归系数假设检验方法的理解。

回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t 检验。

对同一样本，r 和b 的假设检验等价，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。

故回归系数的假设检验用三者均可。

2．已知r 1=r 2，那么（ ）A ．b 1=b 2B ．t b 1=t b 2C ．t r 1=t r 2D ．两样本决定系数相等答案： D [评析] 本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。

因为相关系数r 和回归系数b 的计算公式不同，不能推导出b 1=b 2 ；r 和b 的假设检验等价，即t r 1= t b 1，t r 2=t b 2，而不是t b 1=t b 2，t r 1=t r 2 ；样本决定系数为r 2，已知r 1=r 2，则两样本决定系数相等，即r 12=r 22。

3．|r |>r 0.05( n-2)时，可认为两变量X 与Y 间（ ）A ．有一定关系 B. 有正相关关系 C ．一定有直线关系 D. 有直线关系答案： D [评析] 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。

因为直线相关系数r 是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。

由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。

r 的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。

|r |>r 0.05( n-2)时，P <0.05，拒绝H 0，接受H 1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X 与Y 间有直线关系。

4．相关系数检验的无效假设H 0是（ ）A ．ρ=0 B. ρ≠0 C ．ρ>0 D. ρ<0答案： A [评析] 本题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。

因为r 是样本相关系数，它是总体相关系数ρ的估计值。

要判两变量间是否有相关关系，就要检验r 是否来自总体相关系数ρ为零的总体。

因为即使从ρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r 值也常不等于零。

5．同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（ ）。

A ．r >0，b <0 B. r >0，b >0C ．r <0，b >0 D. r 与b 的符号毫无关系答案： B [评析] 本题考点：直线相关与回归的区别与联系的理解。

因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b 和r ,它们的符号一致。

因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r >0，b >0。

四、习 题（一） 单项选择题 1．下列( )式可出现负值。

A ．∑（X —X ）2B ．∑Y 2—（∑Y ）2/nC ．∑(Y —Y ) 2D ．∑（X —X ）（Y —Y ） 2．Y =14+4X 是1~7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg ，则此方程( )。

A ．截距改变B ．回归系数改变C ．两者都改变D ．两者都不改变3．已知r =1，则一定有( )。

A ．b =1B ．a =1C ．S Y. X =0D ．S Y. X = S Y4．用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点( )。

A ．距直线的纵向距离相等 B ．距直线的纵向距离的平方和最小 C ．与直线的垂直距离相等 D ．与直线的垂直距离的平方和最小5．直线回归分析中，X 的影响被扣除后，Y 方面的变异可用指标( )表示。

A ．,x y S = B. r S =C. ,y xS = D. b S S =6．直线回归系数假设检验，其自由度为( )。

A ．nB ．n －1C ．n －2D ．2n －1 7．应变量Y 的离均差平方和划分，可出现( )。

A ．SS 剩=SS 回B ．SS 总=SS 剩C ．SS 总=SS 回D ．以上均可8． 下列计算SS 剩的公式不正确的是( )。

A ．YY XY l l b -B ． YY XX l bl -C. 2YY XY XX l l l - D ．2(1)YY r l - 9． 直线相关系数可用( )计算。

A ．YY XX XY l l lB ．YY XX YX l l bC ．XY YX b bD ． 以上均可10． 当r =0时，bX a Y+=ˆ回归方程中有( )。

A ．a 必大于零 B. a 必等于X C ．a 必等于零 D. a 必等于Y（二） 名词解释1. 直线回归2. 回归系数3. 剩余平方和4. 回归平方和5. 直线相关6. 零相关7. 相关系数8. 决定系数9. 曲线直线化 10.秩相关 （三） 是非题1． 剩余平方和SS 剩1=SS 剩2，则r 1必然等于r 2。

2． 直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。

3． 两变量关系越密切r 值越大。

（四）简答题1． 用什么方法考察回归直线图示是否正确？ 2． 剩余标准差的意义和用途？3． 某资料n =100，X 与Y 的相关系数为r =0.1，可否认为X 与Y 有较密切的相关关系？ 4． r 与r s 的应用条件有何不同？5． 应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？ 6． 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？ 7． 直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？ （五）计算题1．10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。

⑴计算相关系数并对ρ=0进行假设检验；⑵计算总体ρ的95%可信区间。

表10-2 10名20岁男青年身高与前臂长身 高（cm ）170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 前臂长（cm ）45 42 44 41 47 50 47 46 49 432． 某单位研究代乳粉营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。

⑴此资料有无可疑的异常点？⑵求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

⑶试估计进食量为900g 时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。

⑷求进食量为900g 时，个体Y 值的95%容许区间，并解释其意义。