统计学教案习题10直线相关与回归

第十章 直线相关与回归

一、教学大纲要求

（一） 掌握内容

⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容

⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。

二、

学内容精要

(一) 直线回归 1. 基本概念

直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。

直线回归方程bX a Y

+=ˆ中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比

a

b

含义

回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。

回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方

b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方

b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小

系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化

计算公式

X b Y a -=

XX XY l l X X Y Y X X b =---=

∑∑2

)())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验（1）方差分析；（2）t 检验。

3. 直线回归方程的应用（1）描述两变量的依存关系；（2）用回归方程进行预测； （3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。 (二) 直线相关 1. 基本概念

直线相关（linear correlation ）又称简单相关（simple correlation ），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。

相关系数又称积差相关系数（coefficient of product-moment correlation ），以符号r 表示样

本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。

2.

计算公式

YY

XX XY l l l Y Y X X Y Y X X r =

----=

∑∑2

2

)

()()

)((

相关系数r 没有单位，其值为－1≤r ≤1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈

不密切。r 值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r 值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r 的绝对值等于1为完全相关。

3. 样本相关系数r 的假设检验 （1）r 界值表法； （2）t 检验法。

（三）直线回归与相关的区别与联系 1. 区别

（1） 资料要求：直线回归要求因变量Y 服从正态分布，X 是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X 、Y 服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。

（2） 应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。 （3） 意义：b 表示X 每增（减）一个单位时，Y 平均改变b 个单位；r 说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。

（4） 计算：b= l xy / l xx ；r = l xy /yy xx l l 。 （5） 取值范围：—∞＜b ＜+∞ ；－1≤r ≤1 。 （6） 单位：b 有单位；r 没有单位。 2. 联系

（1） 方向一致：对一组数据若能同时计算b 和r ,它们的符号一致。

（2） 假设检验等价：对同一样本，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。 （3） 用回归解释相关：决定系数总回SS SS l l l r yy

xx xy

==2

2

，回归平方和越接近总平方和，

则r 2越接近1，说明引入相关的效果越好。 （四）秩相关

秩相关，又称等级相关（rank correlation ），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料： ⒈ 不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析； ⒉ 总体分布型未知； ⒊ 用等级表示的原始数据。

三、典型试题分析

1．回归系数的假设检验（ ）

A ．只能用r 的检验代替

B ．只能用t 检验

C ．只能用F 检验

D ．三者均可

答案：D [评析] 本题考点：回归系数假设检验方法的理解。

回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t 检验。对同一样本，r 和b 的假设检验等价，r 和b 的假设检验得到的t 值相等，即t b =t r 。故回归系数的假设检验用三者均可。

2．已知r 1=r 2，那么（ ）

A ．b 1=b 2

B ．t b 1=t b 2

C ．t r 1=t r 2

D ．两样本决定系数相等

答案： D [评析] 本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。

因为相关系数r 和回归系数b 的计算公式不同，不能推导出b 1=b 2 ；r 和b 的假设检验等价，即t r 1= t b 1，t r 2=t b 2，而不是t b 1=t b 2，t r 1=t r 2 ；样本决定系数为r 2，已知r 1=r 2，则两样本决定系数相等，即r 12

=r 22

。

3．|r |>r 0.05( n-2)时，可认为两变量X 与Y 间（ ）

A ．有一定关系 B. 有正相关关系 C ．一定有直线关系 D. 有直线关系

答案： D [评析] 本题考点：直线相关系数假设检验的理解。

因为直线相关系数r 是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。由于抽样误差的影响，必须进行显