北师大版九年级上册数学：黄金分割

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2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第4课时黄金分割

那么 BP 的长度是(
A )
A. (12－4 )cm
B. (9－4 )cm
C. (4 －4)cm
D. (4 ＋4)cm
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 【情境题·体育赛事2023济南期中】 2023年第19届杭州亚
运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融
合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如

−
−

x＝
x .∴ ＝ − ＝
＝
.

−

∴ BE 与 BC 的比是黄金比.
∴剩余的四边形 BCFE 也是一个黄金矩形.
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
.
⁠
5
6
7
8
3星题
发展素养
8. [教材P96想一想变式]当一个矩形的宽长之比为( －
1)∶2时，称这个矩形是黄金矩形，如图，四边形 ABCD
是黄金矩形且

−
＝
，将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方
பைடு நூலகம்

形 ADFE 后，剩余的四边形 BCFE 是否是黄金矩形？请说
明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
D. 3－或－1
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 【新考向·传统文化2023达州】如图，乐器上的一根弦 AB
＝80 cm，两个端点 A ， B 固定在乐器板面上，支撑点 C

北师大版九年级上册4.4.4黄金分割课件

?
的塔身，变得丰富多
彩，非常协调、美观
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
如果 AC AB
BC AC
,
那么称线段AB被点C黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比称为黄金比.
分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为 x个单位，
则CB为 1x个单位，
AC BC AB AC
２、方法(1)判断黄金分割点的方法 (2)作线段黄金分割点的方法
３、延伸:黄金分割在现实生活中的价值与意义。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
尝试பைடு நூலகம்
底BC与腰AB的长度,计算: B C 0.;618
AB
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: C D 0..(6精1确8 到0.001)
BC
A
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
与腰之比约为0.618;
E
D ☆点D是线段AC的黄金分割点. ☆再作∠C的平分线,交BD于E,
《黄金分割》
请你欣赏
活动一：建立黄金分割的概念．
（1）下面的几张图片，哪张构图最美？
活动一：建立黄金分割的概念．
（2）芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
（３）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
下列矩形中,哪些比较匀称?
①
③
618,这样的矩形称之为黄金矩形.
B
C △CDE也是黄金三角形,……
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
找一找
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?

4.4.4+探索三角形相似的条件——黄金分割+课件++2024-—2025学年北师大版数学九年级上册

C点是AB的黄金分割点吗？
（小组讨论）
巩固训练
1．据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)
的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约
（
）
(精确到1℃)
C
A.21℃
B.22℃
C.23℃
D.24℃
课堂小结
1.什么是黄金分割
2.如何去确定黄金分割点或黄金比
3.要用数学美去装点和美化生活
测试评价
2.黄金比的理解及黄金点的画法和验
证（难点）
感悟导入
黄金分割与正五角星
正五角星形有庄严雄健之美与黄金分割什
么关系呢？
自主探究
自学课本95-96页
时间：（3分钟）
任务：了解黄金分割定义、黄金分割点、黄金比
一个五角星如图4-18所示。
（1）从图中找出相等的角，相等的线段
K
C
L
A
B
H
D
F
（2）从图中找出两对相似比不同的相似三角形
在人体下半身与身高的比例上，越接近0.6，越
给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞
演员也达不到如此的完美。某女士身高1.65米，
下半身0.9米，她应该选择多高的高跟鞋看起来
更美呢？
• 生活中的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别
是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?

.
A
E
B

∵
=
，且四边形AEFD为正方形
∴BC=AE

��
∴
=

∴点E是AB的黄金分割点

北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件

AB的黄金分割点(AP>PB),
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：

(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E

(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短长

长全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.

探索三角形相似的条件4.4.4+黄金分割+同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。

如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。

题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。

如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。

黄金分割-北师大版九年级数学上册教案

黄金分割-北师大版九年级数学上册教案一、知识目标1.了解黄金分割的概念和性质；2.能够在数字、几何图形以及艺术设计中应用黄金分割；3.能够通过实际问题的解决，深刻认识黄金分割的美妙。

二、教学重点1.了解黄金分割的概念和性质；2.能够在数字、几何图形以及艺术设计中应用黄金分割。

三、教学难点1.能够通过实际问题的解决，深刻认识黄金分割的美妙；四、教学过程1. 导入通过一些有关黄金分割的图片和设计，同时带入一些问题。

（比如：黄金长方形是怎么形成的？黄金分割是怎么得到的？）2. 概念介绍1.基本定义：设a、b、c三数，满足a:b=b:c，则称b为a、b、c的黄金分割点。

2.基本性质：αβ之比等于βγ之比，且β是αγ之和的一半。

3.金段与黄金比：经过计算，可得黄金比为：(1+√5)/2≈1.6180339887，其倒数为0.6180339887。

3. 实际应用1.数字应用：数列、运算和等比数列题目；2.几何图形应用：黄金长方形、黄金矩形、辛普森（Simpson）线等；3.艺术设计应用：古代建筑、美术设计等。

4. 总结对上述内容进行总结，并布置下节课预习内容。

五、板书设计黄金分割概念问题实际应用1.基本定义a:b:b:c 数列、等比数列2.基本性质a:β=α:γβ=(α+γ)/2几何图形、艺术设计3.黄金比值(1+√5)/2≈1.6181/黄金比≈0.618六、课后作业1.黄金分割的性质都有哪些？2.应用到数字或几何图形中，黄金分割有哪些特点？3.寻找一些艺术作品，了解它们的设计是否采用了黄金分割的原理？七、教学反思此次教学，本着“启发学生自主思考”的原则，采用了丰富多彩的资源和多种教学方法，如图片展示、问题激发、信息整合、课堂讨论等，争取牢固学生的基本概念和思路，调动其积极性，培养其独立分析和解决问题的能力。

通过讲解和实际应用，可以让学生更好地知道黄金分割的概念和性质，并在日常生活和美术品中发现其中的应用。

北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件

1．(3 分)已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则可得到比例式__AA__CB_＝__AB_C_C___，此时 AC 与 AB 的数量关系为_A__C_＝____52_－__1_A_B__(或__AA__CB_＝____52_－__1_) __(保留根号)．
2．(3 分)若 P 点是线段 MN 的黄金分割点(MP＞NP)，则
第4课时黄金分割
一般地，点 C 把线段 ABABCC，那么称线段 AB 被点 C_黄__金__分__割__，点 C 叫做线段 AB 的 __黄__金__分__割__点__ ， AC 与 AB 的比叫做 __黄__金__比____．
知识点1 黄金分割及其相关概念
下列比例式成立的是( C )
A. PPNM＝MPNN C.MMNP＝MPNP
B.MPMN＝MPNN D.PPMN ＝MPMN
3．(3 分)已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列
结论中不正确的是( D )
A.ABPP＝AAPB
B．AP≈0.618AB
C．AP＝
5－1 2 AB
D．BP＝12( 5－1)AB
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(3分)如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝________．
135°
第7题图
第8题图
8．(3分)如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC
＞AC，若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为 AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 __S_1＝__S_2__．

北师大版九年级上册数学：黄金分割

（如图），如果 AC BC AB AC
CB A
长短全长
那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金比。这个比例也可以写成 AC2=AB .BC
一条线段有几个黄金分割点？ 2个
探索美你能求出黄金比吗？
设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB 的长度为(1-x)个单位．可列方程：
小亮认为， AC BC ．你同意他的看法吗？说说你的理由． AB AC
探索美
哪张构图更美？
探索美
A
C
B
这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段AB上，有一个点C把线段AB分成两条线段AC和BC，当点C的位置比
较美时，AC 与 BC 的值是相等的。
AB AC
探索美
黄金分割的概念
一般的，点C把线段AB分成两条线段AC和BC
如果矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫黄金矩形
探索美---实际应用
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越
接近0.618越给人以美感，王小姐想以最佳的形象出现在一次宴会上，经过测量，她身高1.60米，肚脐到脚底的距离为0.96米，请你为王小姐选择一双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到0.1厘米）.
她是公元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，
她的上半身和下半身的比值接近 0.618.
感悟美
黄金分割在摄影上的应用
摄影中4条线的4个交点是人们视觉最敏感的地方。
感悟美
黄金分割在建筑中的应用
课堂小结 A
C
B
长短
证明线段ＡＢ上的点Ｃ是线段ＡＢ的黄金全长

北师大版九年级上册数学：黄金分割

BC AB , BABCD的宽与长的比是黄金比吗?
D
FC
练倍速课时学
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB , BC AE, AE AB ,点E是AB的黄金分割点;
BE BC
BE AE
2. BC AB ,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比称为黄金比.
练倍
速 • 如何求一条线段的黄金比呢？
课时
• 一条线段有几个黄金分割点？
学
心动不如行动自己找出
• 如图4-6,已知线段AB按照如下方法作图:
黄金分割点
D
使1.经过BD点B1作ABBD. ⊥AB,
2.连接AD,2在AD上截
4探索三角形相似的条件
（黄金分割）
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割与生活
练倍
速
课
时
学
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割与生活
练倍速课时学
• 世界名画<蒙娜丽莎>之所以有名,也得益于黄金分割,无论是画面整体还是局部.
• 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
查阅 & 欣赏 ☞黄金分割与生活
练倍速课时学
• 视力表中的E同样具有黄金分割的美,儿童乐园的标志,赏心悦目的摄影作品,都凝聚着设计师对黄金分割的运用, 中央电视台的主持人均处在屏幕的黄金分割点位置.
什么是黄金分割
如图4-5,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如
果 AC:AB=BC:AC 那么称线段AB被点C黄金分割

北师大版九年级(上)数学第四章图形的相似讲义---黄金分割

第四章图形的相似1.黄金分割：(1).定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值).(2).作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形【例1】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高l 的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【例2的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【例3】如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长为AB ，宽为PB 的矩形的面积，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定S 1和S 2的大小x【例4】如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【例5】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【例6】宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以点N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ；第四步：过点E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．BC AB 215【例7】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图①，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠A＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并连接BD(保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．(3)设BCAC＝k，试求k的值．【例8】如图①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC 于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边的黄金分割点．。

4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割（教案）2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。

4.4.4 黄金分割(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)

＝
，那么称

C
AB
线段AB被点C黄金分割，点____叫做线段____的黄金分割点，_______与
AC
AB
_______的比叫做黄金比．
探索&交流
较长线段
一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比＝
，所
原线段
以一条线段有_____个黄金分割点．
2
点1
A
点2
B
例题欣赏
例题&解析
☞
例1.计算黄金比.
图2
C
探索&交流
由
BE BC

BC AB
，可得
BC BE

AB AE
即
AE BE

AB AE
A
E
B
F
C
因此点E是AB的黄金分割点.
AE
BC
AB（即 AB
）是黄金比，
D
也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
例题欣赏
例题&解析
☞
例3.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即
，并且

例题欣赏
☞
例题&解析
例2.如何找到一条线段的黄金分割点？
已知线段AB，按照如下方法画图：

(1)过B作BD⊥AB使BD＝ AB；

(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；
E
A
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C即为线段AB的黄金分割点． C
提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？
D
B
探索&交流

北师大版九年级上册数学：黄金分割

2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第4课时黄金分割

北师大版九年级上册4.4.4黄金分割课件

4.4.4+探索三角形相似的条件——黄金分割+课件++2024-—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件

探索三角形相似的条件4.4.4+黄金分割+同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册

黄金分割-北师大版九年级数学上册教案

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北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件

北师大版九年级上册数学：黄金分割

北师大版九年级上册数学：黄金分割

北师大版九年级(上)数学第四章图形的相似讲义---黄金分割

4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册

4.4.4 黄金分割(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)