相似三角形的判定(一)

相似三角形的判定

[教学目标]

知识与技能目标：

（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．

（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．

过程与方法目标：

（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．

情感与态度目标：

（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．

[教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索

[教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明

[教学方法]探究法

[教学媒体]多媒体课件直尺、三角板

[教学过程]

一、课前准备

1、全等三角形的基础知识

2、三角形中位线定理及其证明方法

3、平行四边形的判定和性质

4、相似多边形的定义

5、比例的性质

二、复习引入

（一）复习1、相似图形指的是什么？

2、什么叫做相似三角形？

（二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.

图1

记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．

[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在

对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．

对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有

∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’,

''B A AB ＝''C B BC ＝'

'A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1

与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗?

三、探索交流

（一）［探究］1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB

∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？

（1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ．

∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ．

（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？

Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理

∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点，

∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线． 图

2

（三角形中位线定理的逆定理） ∴DE ＝2

1BC ．（三角形中位线定理）

∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝21． ∴△ADE ∽△ABC ．

Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识

过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，如图3．

则△ADE ≌△ABC ,（ASA ）

且四边形DFCE 为平行四边形.

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3

∴DE ＝BF ＝FC.

∴AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝2

1． ∴△ADE ∽△ABC ．

2、当D 1、D 2为AB 的三等分点，如图4．过点D 1、D 2分别作 BC 的平行线，交AC

于点E 1、E 2，那么△AD 1E 1、△AD 2E 2与△ABC 相似吗？

由（1）知△AD 1E 1∽△AD 2E 2，下面只要证明△AD 1E 1与△ABC 相似，关键是证对应

边的比相等．

过点D 1、D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 1、F 2，设D 1F 1与

D 2F 2相交于G 点．

则△AD 1E 1≌△D 1D 2G ≌D 2BF 2,（ASA ）

且四边形D 1F 1CE 1、D 2F 2CE 2、D 1GE 2E 1、D 2F 2F 1G 为平行四边形.

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

图4

∴D 1E 1＝BF 2＝F 2F 1＝F 1C ， ∴AE 1＝E 1E 2＝E 2C ，

∴ AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝3

1． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．

[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D 2分别作AC 的平行线，交BC 于点F 2，如图5．

则四边形D 2F 2CE 2为平行四边形，

且△AD 1E 1≌D 2BF 2,（ASA ） ∴D 2E 2＝F 2C ，D 1E 1＝BF 2．

由（1）知，D 1E 1＝21D 2E 2，AE 1

＝

21AE 2，

图５

∴D 1E 1＝31BC ，AE 1＝31AC ． ∴AB AD 1＝AC AE 1＝BC E D 11＝3

1． ∴△AD 1E 1∽△ABC ． ∴△AD 1E 1∽△AD 2E 2∽△ABC ．

（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D 为AB 上任一点时，如图6，过

D 点作D

E ∥BC 交AC 于点E ，都有△ADE 与△ABC ．

图6

（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截

得的三角形与原三角形相似．

这个定理可以证明，这里从略．．

六、布置作业

课本第79页练习

思考题：

如图8、过△ABC 的边AB 上任意一点D ，作DE ∥BC 交AC 于点E ， 那么 DB AD ＝EC

AE ．

图8