上海中考专题训练25题专题训练及答案
历年上海市中考物理真题专项(基础选择题)好题汇编(附答案)
历年上海市中考物理真题专项（基础选择题）好题汇编 一．选择题（共40小题）1．在太阳系中。
月球属于（ ）A．恒星 B．行星 C．卫星 D．彗星2．新“七不规范”中。
“言语不喧哗”提醒大家要控制声音的（ ）A．响度 B．音调 C．音色 D．频率3．四冲程内燃机工作时，将内能转化成机械能的冲程是（ ）A．吸气冲程 B．压缩冲程 C．做功冲程 D．排气冲程4．两个质量不同的金属块，放出相同热量，降低相同温度，则A．质量大的金属块的比热容一定大 B．质量大的金属块的比热容一定小 C．质量大的金属块的比热容可能大 D．两个金属块的比热容有可能相同 5．下列粒子中，带负电的是（ ）A．电子 B．中子 C．质子 D．核子6．我们能分辨女高音、女中音，这主要是根据声音有不同的（ ）A．响度 B．音调 C．音色 D．振幅7．汽车发动机常用水做冷却剂，主要是因为水的（ ）A．比热容较大 B．比热容较小 C．密度较大 D．密度较小8．将重为G的物体挂于测力计下，使它们以大小为v1的速度向上做匀速直线运动，后以大小为v2的速度向下做匀速直线运动，且v1＞v2．已知前后两次测力计的示数分别为F1、F2，若不计空气阻力，则（ ）A．F1可能大于G B．F2可能小于G C．F1一定大于F2 D．F1一定等于F2 9．摄氏度规定，在标准大气压下冰水混合物的温度为（ ）A．0℃ B．10℃ C．40℃ D．100℃10．能分辨出琴声和笛声的主要依据是（ ）A．响度 B．音调 C．音色 D．振幅11．首先发现电流磁效应的物理学家是（ ）A．牛顿 B．欧姆 C．安培 D．奥斯特12．下列粒子中，带正电的是（ ）A．电子 B．质子 C．中子 D．原子13．如图所示的简单机械中，属于费力杠杆的是（ ）A．起子 B．镊子C．钢丝钳 D．订书机14．在太阳系中，太阳是（ ）A．彗星 B．卫星 C．行星 D．恒星15．能区分不同歌手声音的主要依据是（ ）A．响度 B．音调 C．音色 D．振幅16．上海一年中最高气温约为（ ）A．20℃ B．30℃ C．40℃ D．50℃17．苹果从树上落下的过程中，其惯性（ ）A．变大 B．不变 C．先变大后不变 D．先变大后变小18．关于比热容，下列说法中错误的是（ ）A．比热容可用来鉴别物质B．水的比热容较大，可用作汽车发动机的冷却剂C．沙的比热容较小，所以沙漠地区昼夜温差较大D．一桶水的比热容比一杯水的比热容大19．在原子中带负电的是（ ）A．质子 B．电子 C．中子 D．原子核20．如图所示的E，F，P，Q四点中，磁场最强的是（ ）A．E点 B．F点 C．P点 D．Q点21．如图所示，一位同学用水平力F推停在水平地面上的汽车，但没有推动。
初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)
专题训练125．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用)参考答案：（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=12EP=12（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴AD AQ AB AC=即113ax=+，∴31 ax=+∵在RT△ADQ中2222328111x x DQ AD AQx x+-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB=∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF=，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0专题训练21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．参考答案：解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴，解得。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。
上海初三考试题及答案
上海初三考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是上海的简称？A. 苏B. 沪C. 粤D. 京答案：B2. 上海是中国的哪个直辖市？A. 北京B. 天津C. 上海D. 重庆答案：C3. 上海的标志性建筑是什么？A. 东方明珠塔B. 广州塔C. 长城D. 故宫答案：A4. 下列哪个不是上海的著名景点？A. 外滩B. 豫园C. 世博园D. 故宫答案：D5. 上海话属于哪种方言？A. 吴语B. 粤语C. 闽南语D. 客家话答案：A6. 上海市的市花是什么？A. 杜鹃B. 桂花C. 牡丹D. 白玉兰答案：D7. 上海的气候类型是什么？A. 热带雨林气候B. 温带季风气候C. 地中海气候D. 沙漠气候答案：B8. 下列哪个不是上海的传统小吃？A. 小笼包B. 生煎包C. 煎饼果子D. 蟹壳黄答案：C9. 上海的地铁系统是何时开始运营的？A. 1993年B. 2000年C. 2008年D. 2010年答案：A10. 上海是中国的哪个经济中心？A. 南方经济中心B. 北方经济中心C. 东部经济中心D. 西部经济中心答案：C二、填空题（每空1分，共10分）11. 上海是中国的_______大经济中心之一。
答案：四12. 上海的简称“沪”来源于古代的_______。
答案：沪渎13. 上海的外滩是上海的_______区。
答案：黄浦14. 上海话属于汉语的_______方言区。
答案：吴语15. 上海的市花白玉兰象征着_______。
答案：高洁、坚强三、简答题（每题5分，共10分）16. 请简述上海的地理位置。
答案：上海位于中国东部沿海，长江入海口的南岸，是中国的直辖市之一，也是中国的经济、金融、贸易和航运中心。
17. 请列举上海的三个著名历史事件。
答案：（1）上海开埠，1843年上海成为对外贸易口岸。
（2）上海的五四运动，1919年的反帝爱国运动。
（3）上海解放，1949年5月27日上海解放。
四、论述题（每题15分，共15分）18. 论述上海在中国近现代史上的地位和作用。
上海版中考五选四专项训练(有答案)
中考五选四专项训练一、考察特点:1. 词汇方面注重对于词汇和搭配的考察。
2. 语法方面考察词性之间关系和句子结构分析能力。
3. 逻辑方面考察上下文联系二、解题步骤：Step 1:详读选项，词分类详细的理解这10个单词，熟悉的单词标明词性和词义，不熟悉的单词或者不认识的单词只需标明词性。
这样就缩小了选择的范围，降低了试题的难度。
注意：1. 动词分为谓语动词和非谓语动词。
过去分词有两种可能性(形容词和动词的过去分词), 因此要根据动词的形式结合文章进行相应的时态或者语态的判断。
2. 不认识的词要看后缀。
构词法中, 前缀区分意思, 后缀区分词性。
3. 做出相应的标记。
在英文中有的单词不只有一个词性，比如大家常见的play/visit/study既有名词词性也有动词词性。
Step 2:略读全文，定中心首先略读整篇文章，确定文章的中心或主要说明的问题。
要抓住文章首句，迅速找到文章的主题词或主题。
和完型填空一样，一般文章第一句不设空格，以便让考生知道本文的相关主题词或主题。
在此，建议大家使用略读的方法，以快速掌握文章大意。
Step 3:瞻前顾后，灵活选词性分类之后，回到原文中，根据划分句子结构，确定所要填的词性，然后从分类好的单词中选择出词性、意思、语法都符合要求的最佳选项。
同时采用排除法。
Step 4: 复核检查，定结果迅速的确定答案，确定答案之后迅速的复查。
检查上下文是否通顺、上下文的逻辑结构是否正确、文章的意思是否出现偏差等等，复查无误后即可确定为最后答案。
三、解题技巧：词性判断技巧：(1)对主语的判断：做主语词性主要为：名词，代词，动名词。
eg:T eacher are helpful to students. (名词)eg:They always try their best to help their students.（代词）eg:Learning a foreign language is very useful. (动名词)此外，形容词前加the也可作主语。
上海中考中考复习试题及答案
二模考练习3 (徐汇区2011年二模卷) 20150315初三 班 学号 姓名 1．下列运算正确的是（ ）A ．224a aa +=； B a =（a 为实数）； C ．a a a =÷23； D ．()532a a =．2．汶川地震时温总理曾说：“多么小的问题，乘13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小．”预计到2011年年末，我国人口总量约达1 400 000 000人，若每人每天浪费0.5升水，全国每天就浪费水（ ） A ．7×108升；B ．7×109升；C ．6.5×108升；D ． 6.5×109升．3．一次函数32y x =-+的图像一定不经过（ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限． 4．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了10米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 的长为（ ）A ．a cos 10米；B ． a sin 10米；C ．10cot5． 一次体育课上,15名男生跳高成绩如下表，他们跳高成绩的中位数和众数分别是()A ．3, 5；B ．1.65, 1.65；C ．1.70, 1.65；D ．1.65, 1.70．6. 如图，将边长为3的等边ABC ∆沿着BA →平移，则'BC 的长为（ ） AB ．C ．D ．7．在直角坐标平面内，点(2,1)A -关于y 轴的对称点'A 的坐标是 ． 8．函数y =x 的取值范围是． 9．分解因式：228a -=__ __．10．方程2422+=+x x x 的解是 ．11．若方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． 12．抛物线22y x =-向左平移2个单位,向上平移1个单位后的抛物线的解析式是 ．13．布袋中有除颜色以外完全相同的8个球，3个黄球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球 是白球的概率 ． 14. 一次函数b kx y +=的图像如图所示，当y >0时，x 的取值范围是 ． 15．如图，把一块直角．．三角板放在直尺的一边上，如果∠2＝65°，那么∠1＝ ． 16．Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若4ABC ABD S S ∆∆=, 则ABBC= ． 17．如图，在直角坐标平面内，ABO △中，90ABO ∠=,30A ∠=，1=OB ，如果ABO △绕原点O 按顺时针方向旋转到OA B ''的位置，那么点B '的坐标是 ．18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点．．上（小正方形的顶点）．P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与△ABC 相似, 写出所有．．符合条件的三角形 ．C'A'C B第6题xA第18题19.127219⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan 60︒20．先化简再求值：22693216284a a a aa a a +++÷---+，其中45a =.21．作为国际化的大都市，上海有许多优秀的旅游景点.某旅行社对4月份本社接待的2000名外地游客来沪旅游的首选景点作了一次调查,调查结果如下图表.4月份来沪游客旅游首选景点的频数分布表（1）填上频数和频率分布表中空缺的数据,（2）由于五一黄金周、6行社6月将接待外地来沪的游客的人数是 ．(3) 该旅行社预计10月黄金周接待外地来沪的游客将达5200人,请你估计首选景点是外滩的人数约是 ．22．如图，正方形ABCD 中， M 是边BC 上一点，且BM =41BC .(1)若,→→=a AB ,→→=b AD 试 用 ,→a →b 表 示 →DM ；(2)若AB=4，求sin ∠AMD 的值.A BDCM23．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与OB ，求证：四边形OCBD是菱形．直线AB相交于点G．（1）证明：直线FC与⊙O相切；（2）若BG24．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写．．．出．点Q点的坐标．AB 25.在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ．(1)如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3)联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解
可得： y 2x2 2 （0＜x＜2）； 2x 1
（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝ 1 x2 ，EH＝ 1 ( y x)2 ，
∴ EG AE ，∴EG＝ AE EH ，
GH CH
AE CH
∵∠BEG＝∠DHE，
若△BEG 与△DHE 相似，则有两种情况，
8．（2020 秋•普陀区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝3，点 E 是边 BC 上一个动 点（不与点 B、C 重合），AE 的垂线 AF 交 CD 的延长线于点 F．点 G 在线段 EF 上，满足 FG：GE＝1：2．设 BE＝x． （1）求证： AD DF ；
AB BE （2）当点 G 在△ADF 的内部时，用 x 的代数式表示∠ADG 的余切； （3）当∠FGD＝∠AFE 时，求线段 BE 的长．
在 Rt△EAD 与 Rt△DCF 中，
∠ADE=∠CDF
∠EAD=∠FCD=90
°
，
∴△EAD∽△FCD，∴ DE = AD = 1 ， DF CD 2
∴tan∠EFD＝ DE = 1 ， DF 2
（2）由（1）可知 FC＝2EA＝2x，
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴△FCH∽△FBE，∴ FC = CH ， FB BE
专题 2021 年上海各区分类汇编-25 题
专题一 动点函数下的相似三角形
【历年真题】
1．（2020 秋•闵行区期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，点 E 在边 AB 上（点 E 与端点 A、B 不重合），联结 DE，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，联结 EF， 与对角线 AC、边 CD 分别交于点 G、H．设 AE＝x，DH＝y． （1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD 的正切值； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结 BG，当△BGE 与△DEH 相似时，求 x 的值．
上海中考数学22、24专题
教育是一项良心工程1龙文教育个性化辅导授课案教师： 学生: 时间 2016年 月 日 时段中考模拟22、24题专题复习练习：1.如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-）， 且与x 轴交于点A 、点B ，若tan ∠ACO =23． （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点 （不与点B 重合），∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标．2．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y =ax +bx 的图像经过点(5,0)A -和点B ，其中点B 在第一象限，且OA =OB ，cot ∠BAO=2． （1）求点B 的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）过点B 作直线BC 平行于x 轴，直线BC 与二次函数图像的另一个交点为C ，联结AC ，如果点P 在x 轴上，且△ABC 和△P AB 相似，求点P 的坐标．x（第1题）MACBOyPQyxO 11-1 -1AB教育是一项良心工程23．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （-3,0）和点B （0,6）． （1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ，直线BC 与x 轴相交于点D ，求∠ABD 的正弦值； （3）在第（2）小题的条件下，联结OC ，试探究直线AB 与OC 的位置关系，并说明理由．4．（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在x 轴上（A 点在B 点左侧），点C 在y 轴正半轴上，若A （-1,0），OB =3OA ，且tan ∠CAO =2.（1）求点B 、C 的坐标；（2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（3）P 是（2）中所求抛物线的顶点，设Q 是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Q 点的坐标.第4题图yxOA教育是一项良心工程35．如图，已知抛物线214y x bx c =++经过点B （-4，0）与点C （8，0），且交y 轴于点A . （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移m 个单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点为P ，联结BP ，直线BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求m 的值．6. （本题满分12分，每小题各6分）如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．7．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图12，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C ， 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足OC =4OA ． 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；O C ABy 第5题图xyAxB OC DBAC图7Oxy（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直线AQ的解析式．8、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（本题满分4+3+2+3=12分）9、（本题满分12分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=++与x轴交于,A B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为(3,0)，y x bx c与y轴交于点(0,3)C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）联结AC，BC，求ACB∠的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当PBD∆与CAB∆相似时，求点P的坐标．4教育是一项良心工程教育是一项良心工程510. 如图11，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3． （1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当ABM α=∠时，求P 点坐标．（第9题图）BAxO CyB MA x y O 图10教育是一项良心工程61、如图，线段AB ，CD 分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量1y （升）、2y （升）关于行驶时间x （小时）的函数图像。
决胜2021年上海中考数学压轴题全揭秘精解专题25 上海中考预测卷(2)
绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。
2.试卷满分150分，考试时间100分钟。
3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.方程230x -+=根的情况（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根； C. 无实数根D. 有两个相等的实数根2．若m n >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n> D ．22m n >3.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限D. 第三、四象限4．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是( )A ．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是25.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，√3为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．若2a b=+，则代数式222a ab b-+的值为．8.化简：113a a-=______．9．若一个数的平方等于5，则这个数等于．10.0=的解是_____________.11．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图(A．小于5天；.5B天；.6C天；.7D天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______．16．如图，在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，BD是ABC∠的平分线，如果AC x=，那么CD =（用x表示）．17．如图，在ABC∆中，30B∠=︒，2AC=，3cos5C=．则AB边的长为．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．三．解答题（共7小题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：1327﹣(12)﹣2+|3．20.（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21.(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ． （1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．22．（本题满分10分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数1.7≈ 1.4)≈23.已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F. （1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.24.如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示） （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.25.已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO 时，求x 的值．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。
2022年上海市中考数学试题(含答案解析)
2022年上海市初中学业水平考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟。
2．答题时，考生务必按要求在答题纸上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．8的相反数是A. 8-B. 8C. 18D.18-2．下列运算正确的是A. a²+a³=a6B. （ab）2 =ab2C. （a+b）²=a²+b²D. （a+b）（a-b）=a² -b23．已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为A. （2，3）B. （-2，3）C. （3，0）D. （-3，0）4．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5．下列说法正确的是A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题6．有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为A. 6B. 9C. 12D. 15二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3a－2a＝__________．8．已知f（x）=3x，则f（1）=_____．9．解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____． 10．已知x -23x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____． 11．甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．12．公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．13．为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数 据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人， 2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名 学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 _____．14．已知直线y =kx +b 过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．15．如图所示，在口ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，,,BO a BC b ==则DC =_____．16．如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC =11，BC =21，OC =13，则这个花坛面积为_____．（结果保留π） 17．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC上，AD DE AB BC=，则AEAC =_____． 18．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大 时，这个圆的半径为_____．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：11221|()123--+-20．（本题满分10分）解关于x 的不等式组34423x x xx >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）一个一次函数的截距为1，且经过点A （2，3）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）点A ，B 在某个反比例函数上，点B 横坐标为6，将点B 向上平移2个单位得到点C ，求cos ∠ABC 的值．22．（本题满分10分，每小题满分各5分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度．（用含a ，b ，ａ的代数式表 示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木 杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE ²=AQ ·AB 求证： （1）∠CAE =∠BAF ； （2）CF ·FQ =AF ·BQ24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分4分） 已知：212y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，． （1）求函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围； ②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠=时，求P 点坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题①满分4分，第（1）小题②满分4分，第（2）小题满分6分）平行四边形ABCD ，若P 为BC 中点，AP 交BD 于点E ，连接CE ． （1）若AE CE =，①证明ABCD 为菱形；②若5AB =，3AE =，求BD 的长．（2）以A 为圆心，AE 为半径，B 为圆心，BE 为半径作圆，两圆另一交点记为点F ，且2CE AE =．若F 在直线CE 上，求ABBC的值．2022年上海初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A2．D3．B4．D5．A6．C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．a 8．39．21x y =⎧⎨=-⎩10．m <3 11．1312．20% 13．88 14．2y x =-+（答案不唯一） 15．2a b -+16．400π17．12或1418．22三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解：11221|()123--+--=1 20．解：34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，解①得：x >-2， 解②得：x <-1， ∴-2<x <-1．21．（1）解：设这个一次函数的解析式y =kx +1，把A （2，3）代入，得3=2k +1， 解得：k =1，∴这个一次函数的解析式为y =x +1；（2）解：如图，设反比例函数解析式为y =m x， 把A （2，3）代入，得3=2m ， 解得：m =6，∴反比例函数解析式为y =6x， 当x =6时，则y =66=1，∴B （6，1），∴AB =22(62)(13)25-+-=， ∵将点B 向上平移2个单位得到点C ， ∴C （6，3），BC =2， ∵A （2，3），C （6，3）， ∴AC ∥x 轴，∵B （6，1），C （6，3）， ∴BC ⊥x 轴， ∴AC ⊥BC ， ∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形， ∴cos ∠ABC =25525BC AB ==． 22．（1）解：如图由题意得BD =a ，CD =b ，∠ACE =α ∠B =∠D =∠CEB =90° ∠四边形CDBE 为矩形， 则BE =CD =b ，BD =CE =a ， 在Rt ∆ACE 中，tan α=AECE， 得AE =CE =CE ×tan α=a tan α 而AB =AE +BE ，故AB = a tan α+b答：灯杆AB 的高度为a tan α+b 米 （2）解：由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC =ED =2，CH =1，DF =3，CD =1.8 由于AB ∥ED ， ∠∆ABF ~∆EDF ，此时ED ABDF BF = 即2=3 1.83ABBC ++∠， ∠AB ∠GC ∠∆ABH ~∆GCH ， 此时AB GCBH CH=， 211AB BC =+ ∠ 联立∠∠得24.8321AB BC AB BC ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 解得： 3.80.9AB BC =⎧⎨=⎩答：灯杆AB 的高度为3.8米23．（1）证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵CF =BE ， ∴CE =BF ，在△ACE 和△ABF 中，AC ABC B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABF （SAS ）， ∴∠CAE =∠BAF ；（2）证明：∵△ACE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，∠CAE =∠BAF ， ∵AE ²=AQ ·AB ，AC ＝AB ，∴AE AB AQ AE =，即AE ACAQ AF =， ∴△ACE ∽△AFQ ， ∴∠AEC =∠AQF ， ∴∠AEF =∠BQF ， ∵AE ＝AF ， ∴∠AEF =∠AFE ， ∴∠BQF =∠AFE ， ∵∠B =∠C ， ∴△CAF ∽△BFQ ， ∴CF AFBQ FQ=，即CF ·FQ =AF ·BQ ． 24．（1）解：把()21A --，，()03B -，代入212y x bx c =++，得 1223b c c -=-+⎧⎨-=⎩，解得：03b c =⎧⎨=-⎩， ∠函数解析式为：2132y x =-； （2）解：∠∠2132y x =-， ∠ 顶点坐标为(0，-3)，即点B 是原抛物线的顶点， ∠ 平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）． ∠ 抛物线向右平移了m 个单位， ∠ 1332OPB S m =⨯=△， ∠ m =2，∠ 平移抛物线对称轴为直线x =2，开口向上， ∠ 在x k =的右侧，两抛物线都上升， 又∠ 原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∠ k ≥2，∠ 把P （m ，n ）代入2132y x =-，得n =2132m -， ∠ P （m ，2132m -） 根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3， ∠ Q (0，m 2-3)， ∠ B （0，-3）， ∠ BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+，PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+，∠ BP =PQ ，如图，过点P 作PC ∠y 轴于C ，则PC =|m |，∠ BP =PQ ，PC ∠BQ ，∠ BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∠ tan∠BPC = tan 60°=2123||mBC PC m ==，解得：m =±23，∠ n =2132m -=3，故P 的坐标为（23，3）或（-23，3）25．（1）①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ， ∴OA =OC ， ∵AE =CE ，OE =OE ， ∴△AOE ≌△COE (SSS)， ∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°， ∴∠COE =90°， ∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ， ∴四边形ABCD 是菱形； （1）②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线， ∵P 为BC 中点， ∴AP 是△ABC 的中线， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴BE =2OE ， 设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2, 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2, ∴9-x 2=25-9x 2，解得：x ,∴OB =3x ， ∵平行四边形ABCD ，∴BD =2OB ； （2）解：如图，∵⊙A 与⊙B 相交于E 、F ， ∴AB ⊥EF ，由（1）②知点E 是△ABC 的重心， 又F 在直线CE 上， ∴CG 是△ABC 的中线， ∴AG =BG =12AB ，GE =12CE ，∵CE AE ，∴GE =2AE ，CG =CE +GE =2AE ， 在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG2=AE2-GE E=AE2-(22AE)2=12AE2,∴AG=22AE,∴AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，∴BC=5AE，∴21055AB AEBC AE．2022年初中学业水平考试数学试卷第11页（共11页）。
上海中考数学一模各区18、24、25整理试题及答案
18.已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB ＝1５，CD=13,AD =8,∠B 是锐角，∠B 的正弦值为45，那么BC 的长为__＿_＿_＿____2４.如图,抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-), 且与x 轴交于点Ａ、点B ,若t ａn ∠ＡCO =23. （1)求此抛物线的解析式;(２）若抛物线的顶点为M ,点Ｐ是线段OB 上一动点 （不与点B 重合),∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ,当△MPQ 为等腰三角形时,求点P 的坐标．２５．（本题满分14分,其中第(1）小题5分,第(２)小题7分，第(3)小题2分) 如图，在正方形A ＢCD 中，ＡB =2，点P 是边B Ｃ上的任 意一点，Ｅ是ＢC 延长线上一点,联结AP 作ＰF ⊥AP 交∠DC Ｅ的平分线ＣF 上一点F ，联结AF 交直线C Ｄ于点Ｇ． (1) 求证：AP=PF ;(2) 设点P 到点Ｂ的距离为ｘ,线段D Ｇ的长为y ， 试求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (3) 当点Ｐ是线段BC 延长线上一动点,那么（２)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变,试直接写出函数关系式．（第24题）ABCDFGP(第25题)E１8.在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=９0°，3cos5B=,把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D,那么B DCD'=.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y=ax+bx的图像经过点(5,0)A-和点B，其中点B在第一象限,且OA=ＯB，cot∠ＢAO=2．（１）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式;(3）过点B作直线BC平行于ｘ轴,直线ＢC与二次函数图像的另一个交点为Ｃ,联结AＣ，如果点P在x轴上，且△ABC和△ＰAB相似，求点P的坐标．第18题图２５.(本题满分14分,其中第（1)小题８分，第(2）小题6分)如图,Rt△ＡＢC中,∠ACB=90°,ＡC＝4,BＣ=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点Ａ、B不重合)，以点P为圆心,P A为半径的⊙P与射线AＣ的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点Ｅ.（１)如图１，若点Ｅ在线段BC的延长线上,设AP=x，CE=y,①求y关于ｘ的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长;（2)设线段BE的中点为Q，射线ＰＱ与⊙P相交于点I,若CI=AＰ,求ＡP的长．C B20１4闵行等六区联考18.如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合,我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心,所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△A ＢC 中,AB =6，B Ｃ=7,A Ｃ=5，△A １Ｂ1Ｃ是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形,那么以点Ｃ为转似中心的另一个转似三角形△A 2Ｂ2Ｃ(点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边Ａ2B 2的长为 ▲ ．２4．(本题满分１2分,其中第（1)小题3分,第(２）小题5分，第（３)小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A (-３,0）和点Ｂ（０,６)．(１)求此二次函数的解析式；(２)将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ,直线BC 与ｘ轴相交于点D ，求∠AB Ｄ的正弦值;(３）在第（2)小题的条件下,联结OC ，试探究直线ＡＢ与OC 的位置关系,并说明理由.２5．（本题满分1４分，其中第（１）小题４分,第(2）小题6分,第（3)小题4分)如图,已知在Rt △ＡＢC 中，∠A ＣB =９0°,ＡＢ=１0，34tan =A ,点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE ⊥CD ，交射线C Ｂ于点Ｅ，设ＡD =ｘ.(1）当点D 是边AB 的中点时,求线段DE 的长; （２）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值; (3)如果y =DBDE ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A (B 1)B C A 1（第18题图） ACBDE （第25题图）201４长宁18.如图，△AB Ｃ是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =２AD ，∠B ＡD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AE Ｆ的面积是 .２4.（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在ｘ轴上(A 点在B 点左侧)，点C 在y 轴正半轴上,若A （-1,０）,ＯB =３O Ａ，且tan ∠CAO =2． （1)求点B 、C 的坐标；(2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式;（3)P 是（2）中所求抛物线的顶点,设Ｑ是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Ｑ点的坐标.第18题图FEDCBA２５.（本题满分1４分)在△ＡB Ｃ中,∠B ＡC =9０°，AB<AC ，M 是ＢC 边的中点，M Ｎ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Ｑ从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥ＭP ,设运动时间为ｘ秒(x ＞0）． (1）求证：△ＢMP ∽△NMQ ；（２）若∠B =60°,A Ｂ=34,设△A ＰQ 的面积为y ,求ｙ与ｘ的函数关系式； （3）判断B Ｐ、ＰQ 、ＣＱ之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQP MCBA第25题 图②NMCB A２014虹口18.如图,Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，ＡB =5， AC=3,在边A Ｂ上取一点D ,作DE ⊥AB 交B Ｃ于点Ｅ．现将△ＢDE 沿D Ｅ折叠，使点Ｂ落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1;BD 的中点F 的对应点记为F 1.若△EFB ∽△Ａ Ｆ1E ，则Ｂ1D ＝ ▲ ．24.（本题满分12分,第(１）小题满分6分,第（２）小题满分6分）如图,已知抛物线214y x bx c =++经过点B (－４,0)与点C (8,0)，且交y 轴于点A . (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（２)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移ｍ个单位，得到新抛物线.若新抛物线的顶点为P ,联结BP ，直线B Ｐ将△AB Ｃ分割成面积相等的两个三角形，求m 的值.ABF 1第18题图CD EFB 1第24题图２5.（本题满分14分,第（1)小题5分，第（2）小题5分，第(3）小题4分)已知：正方形ABC Ｄ的边长为4,点E 为BC 边的中点，点Ｐ为AB 边上一动点,沿PE 翻折△BPE 得到△ＦPE ,直线PF 交ＣＤ边于点Q ,交直线AD 于点G ，联结EQ .(1）如图,当BP ＝1．5时，求C Ｑ的长;(２)如图,当点G 在射线A Ｄ上时，设ＢP=x ,DG ＝ｙ,求y 关于x 的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;（3)延长EF 交直线ＡD 于点H ,若△CQ Ｅ∽△FHG ,求BP 的长.A BCD G 第25题图P E FQ备用图２01４徐汇 １8. 如图，矩形A ＢCD 中,A Ｂ=８,BC =９,点P 在BC 边上,CP =３,点Q 为线段A Ｐ上的动点，射线ＢQ 与矩形A ＢCD 的一边交于点R ，且ＡP=BR ，则QRBQ= .24． （本题满分1２分,每小题各６分）如图，直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ,经过Ａ、C 两点的抛物线y ＝ax2＋b ｘ＋ｃ与x 轴的负半轴上另一交点为B ,且t ａｎ∠CBO=3．（1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点Ｐ、A 、B 为顶点的三角形与△AB Ｃ相似，求P 点坐标．第18题P２５. (本题满分14分,其中第(1)小题3分，第（2)小题6分,第(3)小题５分）如图，△AB Ｃ中,AB ＝5，ＢC =11，ｃo ｓB =35，点P 是BC 边上的一个动点,联结A Ｐ， 取AP 的中点M ,将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段ＰN ，联结ＡN 、ＮC .设ＢP=x (1)当点N 恰好落在BC 边上时,求N Ｃ的长；（2）若点N 在△ＡBC 内部(不含边界)，设ＢP=x , C Ｎ=y ，求y 关于x 的函数关系式,并求出函数的定义域;（3）若△PNC 是等腰三角形,求ＢP 的长.2014闸北18．如图6,已知等腰△ＡBC ，ＡD 是底边BC 上的高, AD ：DC ＝１:3，将△A ＤＣ绕着点Ｄ旋转，得△D ＥF ， 点A 、C 分别与点Ｅ、F 对应,且E Ｆ与直线ＡB 重合， 设AC 与DF 相交于点O ,则:AOF DOC S S ∆∆＝ .B C图6DCBA24.（本题满分１2分，第（１）小题满分6分,6分)已知：如图１2,抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点Ｃ， 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足O Ｃ=4OA . 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标； （２）联接CM ,点Q 是射线CM 上的一个动点,当 △ＱMB 与△COM 相似时,求直线ＡQ 的解析式.２5．(本题满分1４分,第(1)小题满分6分,第（2)小题满分４分,第（3)小题满分4分) 已知:如图13，在等腰直角△ＡＢC 中， AC = BC ,斜边AB 的长为4,过点Ｃ作射线CP /／AB ,D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B 、C 重合)，且∠DAE =45°,ＡC 与ＤＥ交于点O ．(1)求证:△A ＤＥ∽△ACB ;（2)设CD =x ，tan ∠ＢＡE = y ,求ｙ关于x 的函数 解析式,并写出它的定义域;（3)如果△C ＯＤ与△ＢEA 相似，求ＣD 的值．2014宝山BAC图12Oxy图13PD OEC BABAC E DF １8、如图，在平面直角坐标系中，R ｔ△OAB 的顶点A 的坐标为(9,0）．t ａn ∠BOA=33,点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边ＯB 上的一个动 点，则PA+PC 的最小值为_＿____＿__..25、如图,已知抛物线y=﹣x 2＋ｂx+４与x 轴相交于A 、B 两点，与ｙ轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B(8,０)．（１）求抛物线的解析式及其对称轴方程;（2）连接ＡC 、BC,试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;(3)M 为抛物线上ＢＣ之间的一点,N 为 线段B Ｃ上的一点，若MN ∥ｙ轴,求M Ｎ的最大值；(4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由．(本题满分4+3+2＋3＝12分)２6、如图△A ＢＣ中，∠C=90°,∠A=3０°，BC=5ｃm ；△ＤEF 中,∠Ｄ=9０°，∠E=45°,DE ＝3c ｍ.现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△D ＥＦ沿AB 方向移动(如图）．在移动过程中,D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合, 一直移动至点F 与点B 重合为止)．(1）在△DE Ｆ沿ＡＢ方向移动的过程中,有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化, 现设A Ｄ=x ，ＢE=ｙ，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域． (2) 请你进一步研究如下问题：问题①:当△DE Ｆ移动至什么位置，即AD 的长为多少时,E 、B 的连线与A Ｃ平行?问题②：在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置，使得∠E ＢD=22.5°?如果存在，求出ＡD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即ＡD 的长为多少时,以线段ＡＤ、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题满分6+８=１4分)2０14崇明18．如图,在AOB ∆中，已知90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =,将AOB ∆绕顶点O 逆时针旋转到A OB ''∆处，此时线段A B ''与B Ｏ的交点E 为ＢO 的中点,那么线段B E '的长度为 ．24、（本题满分1２分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点(点Ａ在点B 的左侧），点B 的坐标为(3,0),与y 轴交于点(0,3)C ,顶点为D ．(1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2）联结ＡC ，BC ,求ACB ∠的正切值;(3）点Ｐ是抛物线的对称轴上一点,当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 的坐标．ﻬ25、（本题满分１4分，其中第（1)、(2)小题各５分，第(３)小题4分）如图,在ABC ∆中,8AB =,10BC =,3cos 4C =,D ,点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C E与B Ｄ相交于点Ｇ． （１)求证：AB BGCE CF=； （２）设BE x =,CF y =,求y 与x (3)当AEF ∆是以ＡE 为腰的等腰三角形时,求BE ﻬ20１４黄浦1８.如图7,在Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，AC =的点，且∠E ＤC=∠A ,将△AB Ｃ沿ＤE 对折,若点24．(本题满分12分，第(1）、（2)、（3）小题满分各4分)如图1１，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与ｙ轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上,且横坐标为3． （1)求点M 、Ａ、B 坐标；(2)联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值;（第18题图）AA ′B O B ′ED A图7(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，当ABM α=∠时，求Ｐ点坐标．25．(本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2)、（3)小题满分各５分) 如图１2，在△AB Ｃ中,∠A ＣB =90°,ＡC ＝８，sin 45B =，D 为边AC 中点,P 为边A Ｂ上一点 (点P 不与点A 、B 重合) ,直线PD 交B Ｃ延长线于点E ,设线段BP 长为x ,线段CE 长为y ． （１)求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；(2）过点Ｄ作ＢC 平行线交AB 于点Ｆ，在D Ｆ延长线上取一点ﻩＱ，使得ＱＦ=D Ｆ, 联结PQ 、Q Ｅ,ＱE 交边A Ｃ于点G , ①当△E ＤQ 与△ＥGD 相似时，求x 的值；②求证:PD DEPQQE=.图11 B图122０14嘉定18. 如图4，在矩形ABCD 中，已知12AB =,8AD =，如果将矩形 沿直线l 翻折后,点A 落在边CD 的中点E 处,直线l 与分别边AB 、AD 交于点M 、N ,那么MN 的长为 ▲ .24．(本题满分１2分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy (如图９)中，已知Ａ（1-，3)、Ｂ(2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上. (1)求b 与n 的值；(2）联结OA 、OB 、AB ,求△AOB 的面积;（3)若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上,且︒=∠45POB ，求点P 的坐标. ﻩ25．（本题满分1４分，其中第(1）小题4分,第(2）小题５分,第（3)小题5分）已知:⊙O 的半径长为5,点A 、B 、C 在⊙O 上,6==BC AB ，点E 在射线BO 上． (1)如图１0,联结AE 、CE ,求证:CE AE =；（2)如图11,以点C 为圆心,CO 为半径画弧交半径OB 于D ，求BD 的长； （3）当511=OE 时，求线段AE 的长.图4图10图11备用图图92０14奉贤18.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。
上海中考专题232425训练及答案
1．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图5，一次函数m x y +-=43的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，二次函数6412++-=bx x y 的图像经过A 、B 两点．（1）请求出一次函数与二次函数的解析式；（2）若点C 在这个二次函数的图像上，且点C 的横坐 标为5， 求tan ∠CAB 的值．2．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：正方形ABCD 中，点F 为边CD 的中点，3=AD ，联结AF 并延长，与BC 的延长线交于G 点．（1）联结BF （如图6），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；（2）E 是边CB 上一动点，联结EF ，M 为AD 上任意一点，且EF MF ⊥，联结ME （如图7）．若MEF ∆与ADF ∆相似，求EB 的长．（图5）A B D C FG （图6）A NFGC MD P（图九）3．（本题满分14分，第（1）、（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）如图8，已知抛物线234y x bx c =-++与坐标轴交于C B A 、、三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =（01t <<）．（1）请求出c b 、值；（2）请直接用含t 的式子写出点P Q 、的坐标；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．4．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分4分）如图九，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE AB <），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN AB ⊥，垂足为N ，MN 交BD 于点P ．设正方形ABCD 的边长为1．（1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设B E x =，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长．— 3 —（图8） （备用图1） （备用图2）5．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图十，C 在射线BM 上，在平行四边形ABCD 中，10==BD AC ，43tan =∠CAD ，对角线AC 与BD 相交于O 点．在射线BM 上截取一点E ，使CE OC =，联结OE ，与边CD 相交于点F ． （1）求CF 的长；（2）在没有“CE OC =”的条件下，联结DE 、AE ，AE 与对角线BD 相交于P 点，若ADE ∆为等腰三角形，请求出DP 的长．6．（本题满分14分，第（1）、（2）小题满分各5分，第（3）小题满分4分）已知∠MON = 60°，射线OT 是∠MON 的平分线，点P 是射线OT 上的一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ．（1）如图十一，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于A ，求证：P A = PB ； （2）在（1）的条件下，若点C 是AB 与OP 的交点，且满足PC =23PB ，求：△POB 与△PBC 的面积之比；（3）当OB = 2时，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线P A 交射线ON 于点D ，且满足ABO PBD ∠=∠．请求出OP 的长．MO NTPA BC OMNTOMNT（备用图一）（备用图二）（图十一）（备用图）A B CDOM1．解：（1）由题意可得点B 的坐标为（0，6）…………………………………………（1分） ∴m =6……………………………………………………………………………………（2分） ∴一次函数的解析式：643+-=x y …………………………………………………（3分） 由题意可得点A 的坐标为（8，0）……………………………………………………（4分） ∴6884102++⨯-=b∴45=b …………………………………………………………………………………（5分） ∴二次函数的解析式为645412++-=x x y ……………………………………… （6分）（2）∵点C 在这个二次函数的图像上，且点C 的横坐标为5， ∴665455412=+⨯+⨯-=y ∴点C 的坐标为（5，6）……………………………………………………………（7分） 作CH ⊥AB ，垂足为点H …………………………………………………………… （8分） ∵点B 与点C 的纵坐标相等 ∴BC ∥x 轴∴∠CBH =∠BAO ………………………………………………………………………（9分） 又∵∠CHB =∠BOA =90° ∴△CHB ∽△BOA ，ABBOBC CH =∵OB =6，OA =8 ∴AB =10 ∴1065=CH ……………………………………………………………………………（10分） ∴CH =3，BH =4，AH =6………………………………………………………………（11分）∴2163tan ==∠CAB …………………………………………………………………（12分） 2．解：（1）ADF BCF CFG ∆≅∆≅∆…………………………………………………（2分）CFG ∆∽BFC ∆∽ADF ∆∽ABG ∆…………………………………… （4分） 任选其中一对证明……………………………………………………………（5分）（2）若ADF ∆与MEF ∆相似 ∵90ADF EFM ∠=∠=︒ （Ⅰ）MEF DAF ∠=∠ 延长MF ，与BG 交于N 点 ∵F 为CD 中点 ∴CF DF =∵90D DCN ∠=∠=︒，CFN DFM ∠=∠∴CFN MDF ∆≅∆，FN MF =……………………………………………………（6分） ∵︒=∠=∠90NFE MFE ，FB FB =∴NFE MFE ∆≅∆，DAF FEN MEF ∠=∠=∠ 又∵AD ∥BG ∴G DAF ∠=∠∴MEF FEG G ∠=∠=∠∴FG EF =……………………………………………………………………………（7分） ∴E 与B 重合，即0=EB ……………………………………………………………（8分） （Ⅱ）DAF EMF ∠=∠∵G DAF ∠=∠ ∴G EMF ∠=∠ ∴M 与A 点重合易证DAF ∆∽CFE ∆…………………………………………………………………（9分） ∴ADCFDF CE = 代入解得43=CE ……………………………………………………………………（10分） ∴49433=-=BE ……………………………………………………………………（11分）综上所述，当490或=BE 时，MEF ∆与ADF ∆相似．…………………………（12分）3．解：（1）94b =，3c =………………………………………………………………（4分）（2）(40)Q t ，，(443)P t t -，…………………………………………………………（8分）（3）存在t 的值，有以下三种情况： （Ⅰ）PQ PB =，PH OB ⊥，则GH HB = 4444t t t --= 13t =……………………………………………………………………………（9分） （Ⅱ）PB QB = 得445t t -= 49t =……………………………………………………………………………（10分） （Ⅲ）PQ QB =解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =则522BP BD t ==…………………………………………………………（11分） 又BDQ BOC △∽△，BD BQBO BC= 544245tt-=3257t =…………………………………………………………………………（13分）解法二：在Rt PHQ △中，222QH PH PQ += 222(84)(3)(44)t t t -+=- 257320t t -= 1232057t t ==……………………………………………………………（12分） 又01t <<，t 2=0舍去…………………………………………………（13分）综上所述，当13t =或49或3257时，PQB △为等腰三角形………………………（14分）4．证明：（1）∵正方形ABCD∴︒=∠=∠90CBA C ，︒=∠45ABD 同理︒=∠45BEG ∵CD //BE∴︒=∠=∠45BEG CMG ………………………………………………………………（2分） ∵AB MN ⊥，垂足为N ∴︒=∠90MNB∴四边形BCMN 是矩形………………………………………………………………（3分） ∴NB CM =又∵︒=∠=∠90PNB C ，︒=∠=∠45NBP CMG∴△CMG ≌△NBP ……………………………………………………………………（5分） （2）∵ 正方形BEFG ∴x BE BG == ∴x CG -=1从而 x CM -=1………………………………………………………………………（6分）C O∴22121)1)(1(21)(21x x x BN MN BG y -=-+=∙+=（10<<x ）…………（8分） （3）由已知易得 MN //BC ，MG //BP∴四边形BGMP 是平行四边形………………………………………………………（9分） 要使四边形BGMP 是菱形则BG =MG ，∴)1(2x x -=………………………………………………………（10分） 解得22-=x ………………………………………………………………………（11分） ∴22-=BE 时四边形BGMP 是菱形……………………………………………（12分） 5．解：（1）∵ABCD 为平行四边形且AC=BD∴ABCD 为矩形…………………………………………………………………………（1分） ∴∠ACD =90°在RT △CAD 中，tan ∠CAD=43=ADCD 设CD =3k ，AD =4k ∴（3k ）²+（4k ）²=10² 解得k =2∴CD =3k =6 ……………………………………………………………………………（2分） （Ⅰ）当E 点在BC 的延长线上时，过O 作OG ⊥BC 于G …………………………………………………………………（3分）∴21==BD BO CD OG ∴OG =3 同理可得：11==OD BO GC BG ，即BG =GC =4 又∵521===AC CE OC∴EG CE OG CF = ∴4553+=CF 解得35=CF ……………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）当E 点在边BC 上时，易证F 在CD 的延长线上，与题意不符，舍去……（6分） （注：若有考生求出该情况下CF 的长，但没有舍去此解，扣．1．分．） （2）若ADE ∆为等腰三角形，（Ⅰ）8==ED AD （交于BC 的延长线上） 由勾股定理可得：726-8DC -DE 2222===CE ………………………（7分）∵AD ∥BE∴a PD BP AD BE −→−+=+==令4748728 ∴BP +PD =BD =10=a a a 474++解得57)78(10-=a∴5774032057)78(404-=-==a PD …………………………………………（8分） （Ⅱ）8==ED AD （交于边BC ） 同理可得：a AD BE PD BP −→−-=-==令4748728 ∴a a a BD PD BP 47410+-===+解得57)78(10+=a∴5774032057)78(404+=+==a PD …………………………………………（9分） （Ⅲ）ED AE = 易证：DEC AEB ∆≅∆∴421===BC EC BE ∴同理可得：31=BD BP ，则3110=BP ∴310=BP ，PD =320………………………………………………………………（10分）（Ⅳ）8==AD AE∴726822=-=BE ∴同理可得：a PDBP AD BE −→−==令47 9)74(101074-==+a a a∴97401604-==a PD …………………………………………………………（11分）∴综上所述，若ADE ∆为等腰三角形，3205774032057740320或或+-=PD 或9740160-…………………………………………………………………………（12分）（注：若考生只详细写出一种情况，其余几种均用了同理，只要答案正确，也给满分．．．．） 6．解：（1）证明：作PF ⊥OM 于F ，作PG ⊥ON 于G ………………………………（1分）∵OP 平分∠MON∴PF =PG ………………………………………………………………………………（2分） ∵∠MON = 60°∴∠FPG = 360°– 60°– 90°– 90°= 120°………………………………………………（3分） 又∵∠APB =120° ∴∠APF = ∠BPG∴△P AF ≌△PBG ………………………………………………………………………（4分） ∴P A = PB ………………………………………………………………………………（5分） （2）由（1）得：P A = PB ，∠APB =120°∴∠P AB = ∠PBA = 30°………………………………………………………………（6分） ∵∠MON = 60°，OP 平分∠MON∴∠TON = 30°…………………………………………………………………………（7分） ∴∠POB = ∠PBC ………………………………………………………………………（8分） 又∠BPO = ∠OPB∴△POB ∽△PBC ………………………………………………………………………（9分） ∴34)23()(22===∆∆PB PB PC PB S S PBC POB ∴△POB 与△PBC 的面积之比为4∶3………………………………………………（10分） （3）① 当点A 在射线OM 上时（如图乙1），易求得：∠BPD = ∠BOA = 60°∵ABO PBD ∠=∠，而∠PBA = 30°，∴∠OBA = ∠PBD = 75°作BE ⊥OT 于E ∵∠NOT = 30°，OB = 2 ∴BE =1，OE =3，∠OBE = 60°∴∠EBP = ∠EPB = 45° ∴PE = BE =1∴OP = OE + PE =3+ 1……………………………………………………………（12分） ② 当点A 在射线OM 的反向延长线上时（如图乙2） 此时∠AOB = ∠DPB = 120°∵ABO PBD ∠=∠，而∠PBA = 30°，∴∠OBA = ∠PBD = 15° 作BE ⊥OT 于E∵∠NOT = 30°，OB = 2，∴BE =1，OE = 3，∠OBE = 60°∴∠EBP = ∠EPB = 45° ∴PE = BE =1∴OP =3－1…………………………………………………………………………（14分） ∴综上所述，当2=OB 时，1313-+=或OP （注：若考生直接写出结果．．．．．．，只给一半的分数．．．．．．．）OMNT图乙1APDBEO MNT图乙2PAB ED。
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合(解答25题压轴题)-(解析版)
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．【分析】（1）根据＝tan B＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG ＝2﹣m，利用EF∥BC，可得＝，建立方程求解即可；（2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，进而得出：AG ＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA证明△PQD≌△PEG，即可求得答案；②分两种情况：Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，∴＝tan B＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值为；（2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD，∴＝，即＝，∴DQ＝m﹣1，∴BQ＝BD+DQ＝m，∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF，∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE，Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝，综上，线段CD的长为或．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD 的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案；（2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC ＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即 2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∴S△DAF＝AF•AC＝12，∴，∴S△CDE＝．综上所述，△CDE的面积是或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BAD＝∠BCF，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBF，根据相似三角形的判定定理证明△ABE∽△CBF；（2）作FH⊥BC于点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到∠AEF＝∠CFE，得到AE＝AF ＝x，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可；（3）分∠BAE＝∠FDE、∠BAE＝∠DFE两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥直线MN，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BCF+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF；（2）解：作FH⊥BC，垂足为点H．∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB＝∠CFB，∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFB+∠CFE＝180°，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE＝AF＝x，∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC＝90°，∴AF＝FH＝x．∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴＝，即＝，解得：y＝（4＜x＜8）；（3）解：设AE＝x，∵△ABE∽△CBF，∴如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似时，以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似．∵∠AEB＝∠DEF，∴∠BAE＝∠FDE或∠BAE＝∠DFE，当∠BAE＝∠FDE时，DF∥AB，∴∠ABE＝∠DFE，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠DFE，∴BD＝DF，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC＝90°，∴∠DFC＝∠ABD＝90°，∵∠BAD＝∠BCF，∴△ABD≌△CDF（AAS），∴CF＝AD＝8，即＝8，解得：x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4（舍去），∴AE＝﹣4+4；当∠BAE＝∠DFE，＝时，∵∠ABF＝∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE＝∠BDE，因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立，综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为﹣4+4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF ＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O作OD ⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证∠ADE＝∠AEP，且∠A＝∠A，可证结论成立；（2）由OD∥BC，得，可知AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，得AE2＝AD•AP，有（x+）2＝，变形即可得出答案；（3）当点P在线段AB上时，由△PBF∽△PED，得，由△ADE∽△AEP，得，则，代入解方程即可；当点P在AB的延长线上时，首先通过导角得出∠CEF＝∠CFE，得EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，由相似得，则EG＝，CG＝，再利用EG∥BP，得，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，∵OD⊥AB，EP⊥ED，∴∠ADO＝∠PED，∴∠ADO+∠ODE＝∠PED+∠OED，∴∠ADE＝∠AEP，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP；（2）解：∵OD⊥AP，BC⊥AB，∴OD∥BC，∴，∴AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，∴∴AE2＝AD•AP，∴（x+）2＝，∴y＝；（3）解：①当点P在线段AB上时，如图1，BP＝4﹣y＝4﹣，∵△PBF∽△PED，∴，∴△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，∴x＝，∴AP＝2，②当点P在AB的延长线上时，如图2，∵∠CFE＝∠PFB＝∠PDE，∠CEF+∠DEO＝∠PDE+∠EDO，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，∴，∴EG＝，CG＝，∴EG∥BP，∴，∴PB＝2，∴AP＝2+4＝6，综上所述，AP＝2或6．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想是正确解题的关键．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠BGF＝∠ACD，且∠BDG＝∠ADC＝90°，则△BDG∽△ADC，可证明结论；（2）①通过导角可利用ASA证△ADB≌△ADC，得BD＝CD＝BC＝5，再通过tan∠BGD＝m，可得GD＝，则GF＝2GD＝，代入三角形的面积公式即可；②分两种情形，当BG∥AC或BE∥CG，分别通过导角发现数量关系，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BFD＝∠ACD，∵BD⊥FG，DF＝DG，∴BD垂直平分GF，∴BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠BGF＝∠ACD，又∵∠BDG＝∠ADC＝90°，∴△BDG∽△ADC，∴，∴BD•AC＝AD•BG；（2）解：①∵∠ABG＝90°，∴∠ABD+∠GBC＝90°，∵∠GBD+∠BGD＝90°，∴∠ABD＝∠BGD，同理∠GBD＝∠BAD，由（1）知△BDG∽△ADC，∴∠GBD＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD＝CD＝BC＝5，∵tan∠ABC＝m．∴tan∠BGD＝m，∴GD＝，∴GF＝2GD＝，∴S△BFG＝×FG×BD＝＝；②当BG∥AC时，∴∠ACB＝∠GBC，∵∠GBC＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x，由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82，解得x＝5±，当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝，当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝；当BE∥CG时，∴∠EBC＝∠BCG，则∠CBG＝∠BCG，∴BG＝CG，∴BD＝CD＝5，由勾股定理得AD＝，∴m＝，综上，m＝或或．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握角之间的转化发现解题思想是关键．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x，根据△CDE∽CBD，得出＝＝，建立方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵＝tan∠B＝，∴＝，∴DE＝；（2）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠CDB＝×90°＝45°，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴tan∠CDE＝tan∠BAC＝＝＝，综上所述，∠CDE的正切值为1或；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，∴BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣x，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝3，x＝，∴AD＝6﹣x＝6﹣×＝，故这时AD的长为．【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．根据矩形的性质得到AD＝HG＝2，AH＝DG，解直角三角形即可得到结论；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM＝AH＝2，解直角三角形即可得到结论；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．根据平行四边形的性质得到DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ＝DG＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，则四边形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．【点评】本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，设AC＝a，BC＝a，由勾股定理得AB的长，在△ABD中，利用面积法可表示出DG的长，再利用勾股定理得出AG的长，从而解决问题；（2）首先利用两个角相等可证明△ADB∽△DEB，得，再证明△ACB∽△DFB，得，从而证明结论；（3）设DE＝x，EF＝3x，得DF＝4x，由cot，可表示出BF的长，再利用勾股定理得出BE、BD的长，由（2）可知，△ADB∽△DEB，得，可表示出AB的长，从而解决问题．【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ABC中，cot A＝，设AC＝a，BC＝a，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝a，∵D是AC的中点，∴AD＝，∵S，∴DG＝，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，在Rt△GDB中，tan；（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，∴△ACB∽△DFB，∴，∴，∴AD•BF＝BC•DE；（3）解：∵，∴设DE＝x，EF＝3x，∴DF＝4x，∵∠A＝∠BDE，∴cot A＝cot∠BDE＝，在 Rt△BDF中，cot，∴BF＝x，在Rt△BEF中，BE＝＝＝x，在Rt△BDF中，DB＝＝＝2x，由（2）可知，△ADB∽△DEB，∴，∴，∴AB＝x，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣x＝x，∴，即AE：EB＝7：17．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC＝∠AED，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△OEC，∴，∴＝，∴EC＝，∴AE＝，∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ODB，∴＝（）2＝（）2＝；（2）如图1，当点E在AC上时，∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝EO，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，∴OC＝；当点E在线段CA的延长线上时，如图2，∵∠EAO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝AO，∴∠E＝∠AOE，∵∠B＝∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠AOE，∴△ABC∽△AOE，∴，∴，∴AE＝OC，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝EC﹣AE＝5，∴OC﹣OC＝5，∴OC＝，综上所述：线段OC的长为或；（3）如图3，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，∴∠EBO＝∠DCA，∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，∴∠DAC＝∠BOE，∴△CDA∽△BEO，∴，∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，∴△ABE∽△ODC，∴，∴，∴，∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），∴OC＝8﹣．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．【分析】（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．解直角三角形求出ER，DR即可；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．证明＝＝＝，构建关系式，可得结论；（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∠A＝90°，∠BD＝90°，∴BD＝＝＝，∵ER⊥BD，∴∠EBR＝∠BER＝45°，∵AE＝，∵BE＝，∴ER＝BR＝，∴DR＝﹣＝，∴tan∠EDB＝＝＝；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DA＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝，∵∠EBM＝∠FBM＝45°，MP⊥BE，MQ⊥BF，∴MP＝MQ，∴＝＝＝，∴＝，∴y＝﹣x（0≤x≤1）；（3）如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝1﹣x﹣＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝﹣（x﹣1）＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．【分析】（1）将AB2＝BC•BD转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而△ABC∽△DAB，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；（2）作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC＝，再根据比例性质求得结果；（3）两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y＝1求得结果，当△ACB∽△FED时，推出DF∥AB，从而＝，根据△ABE∽△DBA，推出BD＝，进而可求得结果．【解答】（1）证明：∵AB2＝BC•BD，∴，∴＝，∴＝，即：＝，∴，∵∠C＝∠BAD＝90°，∴△ABC∽△DAB，∴∠ADB＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE＝∠BAC，∵∠AEB＝∠C，AB＝AB∴△BAE≌△BAC（AAS），∴AE＝AC；（2）如图1，作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，∴，由（1）得，∠EAB＝∠BAC，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠BAG，∴AG＝BG，∴BH＝AH＝AB＝，∵cos∠ABC＝，∴，∴BG＝，∴AG＝，∴，∴，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜）；（3）如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，∴△DEF≌△DEA（ASA），∴EF＝AE，∴y＝1，∴＝1，∴x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，如图3，当△ACB∽△FED时，∠BAC＝∠DFE，∵∠BAE＝∠BAC，∴∠DFE＝∠BAE，∴DF∥AB，∴＝，∵△ABE∽△DBA，∴，∴，∴BD＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，∴＝，∴x＝，∴BC＝，综上所述：BC＝或．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．14．（宝山区）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果＝，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果AF＝AB，求n的值．【分析】（1）作DG⊥CE于G，证明△BCE≌△CDG，进一步命题得证；（2）设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，通过角的运算推出∠BPD＝45°，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果；（3）连接AF，CF，证得∠AFC＝90°，再证得AF平分∠PAD，进一步求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作DG⊥CE于G，∵CE⊥PB，∴∠DGC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠BCE+∠DCG＝90°，∴∠CBE＝∠DCG，∴△BCE≌△CDG（AAS），∴DG＝CE，∵CE⊥PB，DF⊥PB，DG⊥CE，∴∠GEF＝∠DFE＝∠DGE＝90°，∴四边形EFDG是矩形，∴EF＝DG，∴CE＝CF；（2）解：如图2，设∠ABP＝α，设PD＝a，CF＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∵AP＝AD，∴AB＝AP，∴∠APB＝∠ABP＝α，∴∠BAP＝180°﹣∠ABP﹣∠APB＝180°﹣2α，∴∠PAD＝∠PAB﹣∠BAD＝90°﹣2α，∵AP＝AD，∴∠APB＝∠ADP＝＝45°+α，∴∠FPD＝∠APD﹣∠APB＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，∴EG＝DF＝PD＝，由（1）得：EF＝CE，∴△EFC也是等腰直角三角形，∴DG＝EF＝CE＝＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣a＝，∴tan∠CDG＝＝，同理（1）可证：∠BCE＝∠ABP＝α，∵∠BCE＝∠CDG，∴∠ABP＝∠CDG，∴tan∠ABP＝；（3）解：如图3，连接AF，CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE＝45°，∴∠CFE＝∠BAC，∴点A、B、C、F共圆，∴∠AFE+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFE＝90°，∵AF＝，AB＝AC，∴，即：cos∠CAF＝，∴∠CAF＝60°，∴∠DAF＝∠CAF﹣∠DAC＝60°﹣45°＝15°，由（2）得：△PFD是等腰直角三角形，∴FD＝FP，∵AP＝AD，∴AF是PD的垂直平分线，∴∠PAD＝2∠DAF＝30°．【点评】本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角．15．（虹口区）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE∽△ABD及△ADF∽△ABC，进而命题得证（2）根据△ADE∽△ABD得出，进而得出y与x的关系式，当x＝0时，求得此时DE长，进而求得x的范围；（3）当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM＝CD，根据AM平分∠BAC，推出MN＝CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，∴，∴；（2）解：∵∠ACB＝90°，tan B＝，∴tan B＝＝，设AC＝3a，BC＝4a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3a）2+（4a）2＝102，∴a＝2，∴AC＝6，BC＝8，∴AD＝＝，由（1）得，∴，∴y＝，当x＝0时，此时DE⊥AB，由S△ABC＝得，10•DE＝6×8，∴DE＝，∴x＞；（3）解：如图1，当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∴AF＝AG，∴∠EAF＝∠GAF＝，∵∠DAF＝∠BAC，∴∠DAC＝∠GAF，∵AC⊥BD，∴∠AMC＝∠ACD，∴AM＝AD，∴CM＝CD，∵AM平分∠BAC，∴MN＝CM，由S△ABC＝S△ABM+S△ACM得，，∴16•CM＝48，∴CM＝3，∴CD＝3．如图2，当G点在AC的延长线上时，∵△AEF∽△AGF，∴∠AEF＝∠AGF，∵∠AGF是∠AEF的外角，∴∠AGF＞∠AEF，∴这种情形不存在，∴CD＝3．【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化条件，发现特殊性．。
上海中考数学一模2015年25题汇编(含答案)
K 満分H分*茎中第(1)小・4拳・0时・55分)(1)矩形AJ3CD 中.ZABCF90Sm = io.\ AF±(T.且点F恳线敕CE的申点kAAE = AC-10.Rl^CBE 中・taiWECB -豆亡=寺./K 口TJJ? - 2710.R T ACBE中,GF«CF• lanZBCB* 寸岂(2)■/ ZABC = ZC*BE = 90a, ^LAGH二Z仇沪.fJG HE AH HC中形ABCD 中*AD HC,(1分》(1分)(1分〉(1分〉(1廿)<1知(I炉2015年上海一模25题集锦1、(2015年一模黄浦25题)25.在矩形ABCD中，= BC = 6.对谢线AC.交于点O,点疋在AB延长线上，联结CE, AF丄CE t分别交线段CE、边BC、对角线*D于点F、G. H(点F不与点C\ E重合｝；(D当点F是线段CE的中点时.求GF的长;(2〉设BE = x, OH = y.求y关于兀的函数解析式，并写出它的定义域;（3） f flH=BG时山丹=人0昇・5+了 = 6*即;二丫 "斛縛工二3.2' gGH=HG 时MD=AH・过点A作从f丄DH・垂足为H.5 * yRtACBE中^cosZADK = 2•二—j— =3 6 5将"粧晋代入⑴解密忑=£3* ^GH = BHBt.DH-AH- A点H ftAD ®fi平分线上. 此时点F与点C 3tf二書（舍）嫌上所迷BE的K<3或#.2、（2015年一模徐汇25题）.如图，梯形ABCD中，AD // BC ,对角线AC _ BC , AD =9 ,AC =12, BC =16，点E是边BC上的一个动点，-EAF - BAC , AF交CD于点F ,交BC 延长线于点G，设BE = x ；（1）试用x的代数式表示FC ；(2)设FGEF-y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;BE的长;［来源学科网］25 (1分) （2分）（1分）BGE3^\DFco\GAl ：7当A是等農三角形若，&\DF 也为等腰三角形动点（D 和A 、B所以，BE = 7二不重合），过 D 作DE // BC 交AC 于E ，并以DE 为边向BC 一侧作正方形 DEFG ，设AD = x3（ 2015年一模宝山26题）.如图在△ ABC 中，AB=BC=10，AC =牛、5，D 为边AB 上一(3) = = t ZG = Zl AD当AF = DF 时，点F 为CD 中点3 Cl = DI0 <16林理得、V100作AH £ DF 于"，易得DH m"丸 EEAiUM'：.^CAr = ^tiAE* AB UL … 20 A-■ ■—r J » 1■AC - r e 12 ~ rcf C- -A5由弘I HEs 川Ci'得,搜1 £卜'5山报：,^Ai'E二90AF AC 123LI ~ H< ~16~ 斗3 15 25 CF -A =—、 -V -——5 22 当 Al ）二w 时， CF =3/. Cl = —A = 6 ? A 5=10(1) 请用X的代数式表示正方形DEFG的面积，并求出当边FG落在BC边上时的x的值;(2) 设正方形DEFG与厶ABC重合部分的面积为y，求y关于x的函数及其定义域；(3) 点D在运动过程中，是否存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况？若存在，请直接写出此时AD的值，若不存在，则请说明理由;4、( 2015年一模崇明25题)(本题满分14分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4 分)已知在ABC中，AB =AC =5，BC =6，O为边AB上一动点(不与A、B重合)，以0为圆心0B为半径的圆交BC于点D,设OB =x，DC =y .(1)如图1,求y关于x的函数关系式及定义域；(2)当O 0与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；（3）如图2,若O O与边AC交于点E （有两个交点时取靠近当DEC与ABC相似时，求x的值.25, Hfd）如图1联站「AB 亚片GGB H QD代= XODB:.or>//A.c* BO_Bp.王-些'' 5 ' 6「* BD- gjr-"I■工+ 6((KX5)(2)如團氛肖与线段A匚有且只育一亍交点时①®0与播2梱切时作OH_LAC.HK丄AGAM丄BC垂圧井劃为H^K y M,JS^OH#BK.AM=4— -BC・AM-A「FK' - —1g-_'r.BK■習3也-0H…丽-賦C的交点），联结DE ,C（备用图ir C1分1分B（备用图•(图£}（2> A ftGO 内，〔不SQO 内时内：.OB>OA”"”*>■5 一 x•">4•rc 不在£50内 /-OB<AB1分,\y<X<5炀匕当工二器或号VY5时◎。
上海中考数学第25题分析(上)
上海中考第25题分析（上）——因动态产生的求函数解析式问题一、第25题考什么1、主要知识点：圆、相似三角形的判定与性质、线段与射线（延长线、直线等）、函数解析式与定义域；2、主要数学思想：字母表示数的思想、用字母表示线段和差、图形运动思想、数形结合思想、变量及函数思想、方程思想、分类讨论思想；3、主要数学方法：待定系数法、类比的方法、配方法、消元法、换元法、降次法等等；4、主要一般方法：观察与实验、运动与静止、形象与抽象、分析与综合、归类与猜想、特殊与一般；二、图形运动中的函数关系问题1. 函数是数学的“主干”，它反映变量与变量之间的对应关系；图形运动包含着大量的几何变化关系，通过数形结合，可以用函数来研究这些变化关系。
2. 图形运动本质上是点的运动，点的运动可以用数量（字母）来刻画，常常根据相似三角形的性质或勾股定理或面积计算或圆的相切等来建立函数关系式。
3. 有了函数关系式，往往通过列等式、解方程来求特定位置的几何量，最常见的是在“变”中探求“不变”！4. “图形运动中的动态探究型问题”是以图形中的一些元素的运动变化为载体来探究图形中的某些元素之间在变化过程中相互依存关系的本质特征。
这些本质特征中也包含“变中不变”的这种特殊情况。
5. 所谓“变中不变”，对于一个元素而言，是指该元素虽然处于变化过程中，但它的某些属性不变；对于两个或两个以上的元素而言，是指这些元素虽然处于变化过程中，但它们的某些属性之间的关系不变.6. “图形运动中的动态探究型问题”的根本是探究图形中的某些元素之间在变化过程中的相互依存关系，用数学的眼光来看这些相互依存关系实际上就是函数关系；所以，求图形运动变化过程中某些变量之间的函数解析式是研究这类问题的最常见的手法。
三、求函数解析式的几大类型和方法1、利用勾股定理建立函数关系式——多注意字母表示线段以及线段和差的使用；2、利用直线与圆相切、圆与圆相切建立函数解析式——注意内切和外切的双向讨论；3、利用特殊三角形或四边形的性质及特点来建立函数解析式；4、利用锐角三角比或相似比来建立比例及等式从而求解函数解析式；5、利用运动等时间或等距离S=Vt来建立函数解析式；6、利用等面积法来建立函数解析式；7、利用弧长和扇形面积公式来建立函数解析式；8、利用实际题当中的某些等量关系——比如角相等、边相等建立函数解析式；四、中考第25题解题思想及策略1. 数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。
上海(中考)初中英语选择题(归类)训练(含答案)
上海中考初中英语专项训练（选择题）（含答案）姓名________一、冠词、代词（共15题15分）1. When astronauts（宇航员）Fei Junlong, Nie Haisheng came back from space, many reporters interviewed ________ and got some first-hand information.A. theyB. themC. theirD. themselves2 . There is ______ report in today’s newspaper. It’s about the International Film Festival, Shanghai.A. aB. anC. theD. /（不填）3 Liu Xiang and Yao Ming are world-famous sports stars. ____ of them have set a good example to us.A. AllB. NeitherC. BothD. None4. —Is __________ here?—No.Tom and Peter have asked for a 1eave.A. anyoneB. everyoneC. someoneD. nobody5. —Mum, where is my CD player?—It’s in white bag on your desk.A. aB. anC. theD. 不填6. —Tom, Mary can’t sharpen the pencil. Can you give a hand?—Certainly.A. sheB. herC. hersD. herself7. Jack , good boy ! Please pass __________ the glasses . I want to read the newspaper .A. youB. meC. himD. her8. —Your tea, please.—There must be ____________ in the tea. It tastes good.A. anything sweetB. something sweetC. sweet somethingD. everything sweet9. —What do you think of the bridge?—I have never seen ________ before.A. so a long oneB. so long oneC. such a long oneD. a such long one10. —Whose English-Chinese dictionary is this?—It’s ________. My parents bought it for my sister and me.A. hersB. oursC. mineD. theirs11. I asked Lily for paper, bu t she didn’t have .A. any; someB. any; anyC. some; anyD. some; some12. —This is ______ film I’ve told you about several times.—It’s great. I’ve never seen ______ more moving one.A. a, aB. the, theC. the, aD. a, the13. —Could you lend me your pen?—Of course. I have two, and ______ of them write well.A . any B. all C. both D. two14.—Which would you like, tea or coffee?—________is OK. I really don't mind.A. BothB. EitherC. NoneD. Neither15.—who taught _____ French?—Nobody. She learned all by __________.A. herself; herB. she ; herselfC. her; sheD. her ; herself二、介词、连词（共20题20分）1. A tsunami（海啸）happened in some southern Asian countries _____ December, 2004.A. atB. onC. inD. by2. Tim’s mum is worried ______ her son’s eyesight as he plays online games too much.A. forB. aboutC. withD. of3. The doctors tried their best to save the pati ent’s life, ______ failed.A. orB. soC. butD. because4. —Would you like coffee or tea?—Coffee，please. By the way, do you have milk? I like coffee _______ milk.A. forB. orC. withD. without5. _______China has become a member of WTO，English is more popular that before.A. SinceB. ThoughC. WhetherD. If6.—Would you like to go to the park with me, Susan?—I’d like to, you don’t want to go alone.A. untilB. beforeC. ifD. after7. Kunming is famous _______ its nice weather.A. inB. asC. forD. with8 . The sign “@” in *****************means __________.A. aB. toC. atD. on9. Remember to return the book to the school library in time, _ _ you will be fined（罚款）.A. orB. andC. butD. then10.—Why hasn’t Mr Li come to work today?—______ he has gone to Beijing to have a meeting.A. IfB. UntilC. ThoughD. Because11. The accident happened _______ a cold winter morning.A. inB. onC. atD. of12. — Time to go to bed, Mary.—Oh, Mum, I won’t go to bed I have finished my homework.A. afterB. sinceC. untilD. as soon as13. Soccer is different American football. It’s played all over the wor ld.A. fromB. forC. inD. on14. Here are some flowers ________ you ________ our best wishes.A. to; forB. for; withC. of; toD. from; to15. There are two classes____ Saturday afternoon. We can not have a rest this weekend.A. atB. onC. inD. of16. It was so late, _________ the farmers went to working in the field.A. andB. orC. soD. but17. I didn't know anything about it_______my father told me.A. untilB. becauseC. ifD. after18. It’s very nice you to give me the chance.A. ofB. forC. toD. at19. The sports meet will continue_____ it rains this afternoon.A. ifB. sinceC. as soon asD. unless20.Study hard, ___________you are sure to have a good result in the exam.A. orB. andC. forD. but三、数词、名词（共20题20分）1. I’ve read ______ sports news about the F1 race today.A. twoB. piecesC. two piecesD. two pieces of2. During World War II, a Jewish（犹太）lady was protected by a local family in Shanghai in her ______.A. fiftiesB. fiftyC. fiftiethD. the fiftieth3. —Can you get a piano for me，dear?—But there isn’t enough _________ for it in our hous e.A. placeB. f1oorC. roomD. ground4. The river through our city, which is about _________, is clean again.A. 6000 metres longB. 6000-metres-longC. 6000-metre-longD. 6000 metre long5. ________ is spoken the most widely in the world.A. ChineseB. EnglishC. FrenchD. Russian6. People in America and Canada usually make ______to celebrate Thanksgiving Day.A. rice dumplingsB. moon cakesC. pumpkin piesD. chocolate eggs7. This is Elizabeth Tina Brown, our new teacher. You may call her _________.A. Mr BrownB. Miss BrownC. Mrs TinaD. Ms Elizabeth8. —How many_________would you like?—Two, please.A. cups of teaB. cup of teasC. cups of teasD. cup of tea9. I study in Yu Cai Middle School. There are two________students in our school.A. thousandB. thousandsC. thousand ofD. thousands of10. They said they would have holiday.A. a two-monthB. two monthsC. two-monthsD. two-month’s11.Tom regards Tianjin as his second because he has been here for over ten years.A. familyB. houseC. roomD. home12. We have ______at seven in the morning.A. breakfastB. lunchC. supperD. dinner13. I am thirsty. Would you bring me_______, please?A. some breadB.some teaC. some cakesD. some eggs14. What’s wrong with my son’s ________? He can’t see things clea rlyA. eyesB. earsC. mouthD. nose15.—What’s the English for“电子邮件”?—It’s“_____”A. FaxB. E-mailC. TelephoneD. ID16.—When was the PLA founded?—It was founded on ____.A. July 1. 1921B. October 1.1949C. May 1.1922D. August 1.192717. In the past t~w years, many tall buildings have been built in our city. The tallest is anthat stands in the centre.A. 80-floor buildingB. 60-floor buildingC. 80-floor buildingsD. 70 floors building18.—Mum, I've got an "A" in the English exam today!—Great! And you are sure to win a second time because this is a good_______A. reportB. resultC. startD. skill19.___ Chinese are looking for ways to learn English well before Beijing 2008 Olympics .A. ThousandB. ThousandsC. Thousand ofD. Thousands of20. “What’s the ________ today ? ”“It’s June 26. ”A. dayB. dateC. timeD. hour四、形容词、副词（共20题20分）1 Nowadays science fiction isn’t as ____________ as cartoons among teenagers.A. popularB. more popularC. less popularD. the most popular2. We are glad to see that Shanghai is developing ________ these years than ever before.A. quicklyB. less quicklyC. more quicklyD. the most quickly3. The cheese cake tasted so ______ that the kids asked for more.A. deliciousB. wellC. badD. badly4. —Why didn’t you enjoy the talk?—It was ________talk that I had ever listened to.A. the most interestingB. the least interestingC. more interestingD. 1ess interesting5. Guo Yue did quite _______ at the World Table Tennis Championship（锦标赛），but Zhang Yining did even _____.A. better; wellB. well; wellC. well; betterD. better; better6. — W hose picture is better, Jack’s or Tom’s?— Both of them are good. I think Jack draws Tom.A. as good asB. as well asC. better thanD. worse than7. It gets very here in summer.A. coolB. coldC. warmD. hot8. Be ________, and you will do well in the English exam.A. carefulB. politeC. sureD. friendly9. Lin Tao is good at all the subjects at school, _________English.A. reallyB. mostlyC. especiallyD. exactly10. —The coat is too expensive.—Look, here's another one. It's___ ______and nicer.A. dearerB. cheaperC. olderD. longer11.The population of Tianjin is __________ than that of Shanghai.rgerB. lessC. smallerD. fewer12.It’s raining _________. We have to stay at home instead of going fishing .A. badlyB. hardlyC. heavilyD. strongly13. Kate is as _________as Maria.A. tallB. tallerC. tallestD. the tallest14. She looks very________. I think she needs to have a rest.A. tiredB. hardC.wellD. hardly15.—Tom is terribly ill.—We’d better send him to hospital as _____as we can.A. slowlyB. quicklyC. quietlyD. easily16.—Do you like the Moonlight Sonata?—Sure, it sounds really________.A. clearB. clearlyC. beautifulD. beautifully17. Supermarkets are necessary. People usually spend_____ time finding things they want, but they usually spend _____ money than they want.A. less; lessB. less; moreC. fewer; lessD. fewer; more18. “Do you want to improve your score in math? Try staying away from your computer!” A recent report in Britain says, “The _____ students use computer at school and at home, the _____ they do in exams of reading and math.”A.more; betterB. less; worseC. more; moreD. less; better19 . He speaks English ______ an American, so we all believe that he has stayed in America for many years.A. as good asB. worse thanC. as badly asD. as well as20.—The TV programme is boring. Shall we play chess instead?—All right. That is __________ than watching a boring programme.A. very goodB. much goodC. very betterD. much better五、动词（一）：1-25题，每题1分，26-29题为选作题。
2023年上海中考数学卷25题
中考模拟数学一、选择题1.如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。
A．16B．14C．12D．112.在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1的图象可能是（）xA．B． C．D．(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）3.对于反比例函数y=kxA．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB的面积为k B．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小4.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈5.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对6.如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）A．4.8m B．6.4m C．8m D．10m7.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短B．逐渐变长 C．先变短后变长D．先变长后变短8.如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y=kx−1（k为常数，且k≠0）的图象可能是（）。
A．B． C．D．9.已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12二、填空题（共24分）10.已知△ABC，若有|sinA−1|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2是。
上海中考专题训练25题专题训练与答案
1．〔此题总分值14分，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值6分，第(3)小题总分值4分〕在Rt△ABC中，C90，BC2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边AB上的点D，设点A点E重合，联结AE，过点E作直线EM与射线CB垂直，交点为M．〔1〕假设点M与点B重合如图10，求cotBAE的值；〔2〕假设点M在边BC上如图11，设边长ACx，BMy，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；〔3〕假设BAEEBM，求斜边AB的长．EE AADDCB(M)图10 C MB图112．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题各4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．〔1〕如图1，如果EF//BC，求EF的长；3〔2〕如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的，求AM的长；8〔3〕如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．MMADADEEFFBCN B CN〔图1〕〔第25题图〕13．〔此题总分值14分〕如图，矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F。
点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停顿运动，P、R两点同时停顿运动.设运动时间为t〔单位:s〕.〔1〕求证:DE=CF；〔2〕设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；〔3〕设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值.DEFCPORAQB第25题图4．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，AB=4，AD=3，25sinBCD，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．5〔1〕求证：∠BCD=∠BDC；〔2〕如图1，假设以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长；〔3〕如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，假设△ADH和△ECF相似，求DP的长．ADADHHPPFB〔第25题图1〕CBC〔第25题图2〕E 2、5.6、〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题5分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕：⊙O的半径为3，OC弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，ECOBOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设ABx,CEy〔1〕求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；〔2〕当OEF为直角三角形时，求AB的长；〔3〕如果BF1，求EF的长．EOOFDABC备用图1第25题〔备用图2〕O37．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕：如图七，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD ＝6，AB ＝8，sinC＝45，点P 在射线DC 上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP＝x，BQ＝y．ADBC(图七)〔1〕求证：点D在线段BC的垂直平分线上；〔2〕如图八，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；A DP〔图〔3〕假设以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C 为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．QB C八〕A D(备用) BC41.解：〔1〕当点M与点B重合，由旋转得：BCBD2，ACED，CBAEBD，EDBC90∵EMCB∴EBC90∴CBAEBD45⋯⋯⋯⋯1分E∴CABCBA45∴ACCB2∴AB22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴DEDB2 AD∴AD222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AD∴cot21BAE⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分DE〔2〕设E M与边A B交点为G由题意可知：1290，3CBA90C B(M)又23，∴1CBA∵EBDCBA，∴1EBD，∵EDGBDE，∴△EDG∽△BDEEDDG∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDED∵BCBD2，ACEDx∴x2 DGx，∴2xDG⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2MBBCcosABC⋯⋯⋯⋯⋯1分BGAB由题意可知：2AB x 4，GB 422xy24 x2x2∴224x2∴4yx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2x4定义域为⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10x2分4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分E1ADG3HCMB2〔3〕当点M在边B C上时，由旋转可知：ABEB，∴AEBBAE设CBAx，那么A BEx，∵BAEEBM，分别延长EA、BC交于点H∴AEBBAEEMB2x，∵ABEBAEAEB180∴x36易得：HABHABE36，HBEBAEAEB72∴AHABBE，HBHE，∵ACB90，∴HCBC2∴HBHE4，∴△BAE∽△HBE，∴ABHB A EBE，又BEABAEHEHA4AB，∴A B44ABAB，∴AB225(负值舍去)∴AB225⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分当点M在边C B的延长线上时，∵AEBBAE，BAEEBM ∴AEBEBM∴AE∥MC∴BAECBAEA∵CBAEBA∴EBMCBAEBABCcosCBA，BC2AB∴CBA60，∵∴AB4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分D综上所述：AB225或4.CBM52．解：〔1〕∵AD//BC ，EF//BC ，∴EF//AD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕又∵ME//DN ，∴四边形EFDM 是平行四边形．∴EF=DM ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕 同理可证，EF=AM ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕 ∴AM=DM ． ∵AD=4，∴12EFAMAD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕2〔2〕∵3 S 四边形S ，∴ MENFADN8 5 SSS ．AMEDMFADN8即得S S5 AMEDMF SSA D NA D N8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕∵ME//DN ，∴△AME ∽△AND ．∴ S AM AME SADADN2 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕同理可证，△DMF ∽△DNA ．即得SDM DMF SADADN2 2．⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕设AM=x ，那么D MADAM4．x∴ 2(4)25 xx16168．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕即得2430xx ．解得x 11，x 23．∴AM 的长为1或3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕 〔3〕△ABN 、△AND 、△DNC 能两两相似．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕∵AD//BC ，AB=DC ，∴∠B=∠C ．由AD//BC ，得∠DAN=∠ANB ，∠ADN=∠DNC ．∴当△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似时，只有∠AND=∠B 一种情 况．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕 于是，由∠ANC=∠B+∠BAN ，∠ANC=∠AND+∠DNC ， 得∠DNC=∠BAN ．∴△ABN ∽△DNC ． 又∵∠ADN=∠DNC ，∴△AND ∽△DNC ． ∴△ABN ∽△AND ∽△DNC ．∴ABBN ， NCCDA NAD BNAN．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕设BN=x ，那么N C=10–x ．∴ 5x ．10x5即得2x10x 25．0解得x5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕经检验：x =5是原方程的根，且符合题意．∴BNCN5．∴A N 54 AN． 即得AN25．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔1分〕 ∴当△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似时，AN 的长为25．63．〔此题总分值14分〕〔1〕证:作OH⊥DC于点H，设⊙O与BC边切于点G，联结OG.〔1分〕∴∠OHC=90°DEHFC∵⊙O与BC边切于点G∴OG=6，OG⊥BCP∴∠OGC=90°∵矩形ABCD∴∠C=90°GO ∴四边形OGCH是矩形R ∴CH=OG∵OG=6∴CH=6〔1分〕∵矩形ABCD∴AB=CD ∵∴AB=12CD=12 A Q第25题图(1)B∴DH=C D﹣CH=6∴DH=CH∴O是圆心且OH⊥DC∴EH=FH〔2分〕∴DE=CF.〔1分〕〔2〕据题意，设DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t〔0<t<4〕.〔1分〕∵矩形ABCD∴∠A=∠B=90°假设△PAQ与△QBR相似，那么有①APQBA QBR1012--t3t3t1.5t14t〔2分〕5②A PBRA QQB10-t1.5t3t123tt26914或t2-26914〔舍〕〔2分〕1〔3〕设⊙O与AD、AB都相切点M、N，联结OM、ON、OA.∴OM⊥ADON⊥AB且OM=ON=6又∵矩形ABCD∴∠A=90°DEHFC ∴四边形OMAN是矩形又∵OM=ON∴四边形OMAN是正方形〔1分〕∴MN垂直平分OA (P)M OG∵△PAQ与△PA'Q关于直线PQ对称R ∴PQ垂直平分OA∴MN与PQ重合〔1分〕AN〔Q〕B第25题图(2)∴MA=P A=10-t=6∴t=4〔1分〕∴AN=AQ=xt=6∴x= 32〔1分〕∴当t=4和x= 32时点A'与圆心O恰好重合.76．解：〔1〕过点O作OH⊥CE，垂足为H∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y∴11 BDABx，2211EHECy⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分22∵在Rt△ODB中，222ODBDBO，OB=3∴OD= 3622x ⋯⋯⋯1分∵OC=OE∴∠ECO=∠CEO∵∠ECO＝∠BOC∴∠CEO=∠BOC又∵∠ODB=∠OHE=9°0，OE=OB ∴△ODB≌△EHO∴EH=OD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴y2 3622x∴ 2y36x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分函数定义域为〔0＜x＜6〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分〔2〕当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①假设∠OFE＝90o，那么∠COF＝∠OCF＝45o∵∠ODB=90°，∴∠ABO=45°又∵OA=OB∴∠OAB=∠ABO=45°，∴∠AOB=90°∴△OAB是等腰直角三角形∴AB2OB32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分②假设∠EOF＝90o，那么∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30o⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ODB=90°，∴∠ABO=60°又∵OA=OB∴△OAB是等边三角形∴AB=OB=3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分〔3〕①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，2OC9可得：△CFO∽△COE，CE＝，CF2∴EF＝CE–CF＝92 252．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，CE＝2OCCF94，∴EF＝CF–CE＝974．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分44107、〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕解：〔1〕作DH⊥BC于H〔见图①〕⋯⋯⋯⋯〔1分〕在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°,∠BHD=90°∴四边形ABHD是矩形∴DH=AB，BH=AD⋯⋯⋯⋯〔1分〕又∵AD＝6，AB＝8∴DH=8，BH=6在Rt△DHC中,sinC＝45,可设D H=4k,DC=5k 22∴DC=10,HC=1086 ，∴BH=HC=6⋯⋯⋯⋯〔1分〕又∵DH⊥BC∴点D在线段B C的垂直平分线上⋯⋯⋯⋯〔1分〕〔2〕延长BA、CD相交于点S〔见图②〕，⋯⋯⋯⋯〔1分〕∵AD∥BC且BC＝12∴AD= SASDAD1∴SBSCBC2∴SD=DC=10，SA=AB=8 12 BC∵DP＝x，BQ＝y,SP=x+10由△SPQ～△SAD得S QSPS DSA54⋯⋯⋯〔1分〕5∴(10)SQx⋯⋯⋯⋯〔1分〕4BQ5516(x10)x447257∴所求解析式为yx，⋯⋯⋯⋯〔1分〕42定义域是0≤x≤145⋯⋯⋯⋯〔1分〕(说明：假设用勾股定理列出：2AQ2DP2QB2BC2PC2AD亦可，方法多样．)〔3〕由图形分析，有三种情况：〔ⅰ〕当点P在线段D C上，且点Q在线段A B上时，只有可能两圆外切，57由BQ+CP=BC，1012xx，解得42 x23〔ⅲ〕当点P在线段D C的延长线上，且点Q在线段A B的延长线上时，11此时57BQx,CP=x-10⋯⋯⋯⋯〔1分〕4257假设两圆外切，BQ+CP=BC，即1012 xx,解得4234x⋯⋯⋯⋯〔1分〕357假设两圆内切，BQCPBC，即(10)12xx 425 47x(x10)12解得x2225 47x(x10)12解得x74〔不合题意舍去〕2⋯⋯⋯⋯〔1分〕2综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为3 ，343或22．12。
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1．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ． （1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．2．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD 38运动时间为t （单位:s ）.（1）求证: DE =CF ；CB (M )图10图11（2）设x = 3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；（3）设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O4．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，552sin=∠BCD，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．、5.6、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知：⊙O 的半径为3，OC ⊥弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC ∠=∠，射线CE CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x = CE y =（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当OEF ∆为直角三角形时，求（3）如果1BF =，求EF 的长．7．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图七，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A ＝90°，AD ＝6，AB ＝8，sinC ＝54，点P 在射线DC 上， 点Q 在射线AB 上，且PQ⊥CD，设DP ＝x ，BQ ＝y ．（1）求证：点D 在线段BC 的垂直平分线上； （2）如图八，当点P 在线段DC 上，且点Q 在线BCD A（图八）(图七)段AB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若以点B 为圆心、BQ 为半径的⊙B 与以点C 为圆心、CP 为半径的⊙C 相切，求线段DP 的长．(备用)1.解：（1）当点M 与点B 重合，由旋转得：=BC ，EBD CBA ∠=∠，︒=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴∠∴︒=∠=∠45EBD CBA …………1分 ∴︒=∠=∠45CBA CAB ∴2==CB AC∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE∴222-=AD ……………………………1分 ∴12cot -==∠DEADBAE ………………1分 （2）设EM 与边AB 交点为G由题意可知：︒=∠+∠9021，︒=∠+∠903CBA 又32∠=∠，∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠，∴EBD ∠=∠1，∵BDE EDG ∠=∠，∴△EDG ∽△BDE ∴EDDGBD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ，x ED AC ==∴xDGx =2，∴22x DG =…………………………1分由题意可知：ABBCBG MB ABC ==∠cos 42+=x AB ，242x GB -= ∴422422+=-x x y (1)CB (M )∴444222++-=x x x y ……………………1分 定义域为20<<x …………………………1分（3）当点M 在边BC 上时，由旋转可知：EB AB =，∴BAE AEB ∠=∠ 设︒=∠x CBA ，则︒=∠x ABE ，∵EBM BAE ∠=∠，分别延长EA 、BC 交于点H∴︒=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2，∵︒=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易得：︒=∠=∠=∠36ABE ABH H ，︒=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==，HE HB =，∵︒=∠90ACB ，∴2==BC HC ∴4==HE HB ，∴△BAE ∽△HBE ，∴BEAEHB AB =，又AB BE = AB HA HE AE -=-=4，∴ABABAB -=44，∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分当点M 在边CB 的延长线上时，∵BAE AEB ∠=∠，EBM BAE ∠=∠ ∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠ ∴︒=∠60CBA ，∵ABBCCBA =∠cos ，2=BC ∴4=AB …………………………2分 综上所述：522+-=AB 或4.2．解：（1）∵ AD122EF AM AD ===38ADNMENF S S ∆=四边形58AME DMF ADNS S S ∆∆∆+=58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=22AME ADN S AM S AD ∆∆=22DMF ADN S DM S AD ∆∆=4DM AD AM x =-=-22(4)516168x x -+=2430x x -+=11x =23x =AB BNNC CD =AN AD BN AN =5105xx =-210250x x -+=5x =5BN CN ==45AN AN=AN=1分）∴∠OHC=90°∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6，OG ⊥BC ∴∠OGC=90°∵矩形ABCD ∴∠C =90° ∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG∵OG =6 ∴CH =6 （1分） ∵矩形ABCD ∴AB =CD∵AB =12 ∴CD =12 ∴DH =CD ﹣CH =6 ∴DH = CH∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH （2分） ∴DE =CF . （1分）（2）据题意，设DP =t ，PA =10-t ，AQ =3t ，QB =12-3t ，BR =（0 < t <4）. （1分）∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有①BR AQ QB AP = t t t t 5.133-12-10= 514=t （2分） ②QB AQ BR AP = ttt t 31235.1-10-= 146921-=t 或14692-2-=t （舍）（2分） （3）设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ，联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 （1分） ∴MN 垂直平分OA∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA∴MN 与PQ 重合 （1分）∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分）(P )3（1分）∴AN = AQ = x t = 6 ∴x =23时点A'与圆心O恰好重合. ∴当t = 4 和x =2456．解：（1）过点O 作OH⊥CE，垂足为H∵在圆O 中，OC⊥弦AB ，OH⊥弦CE ，AB =x ，CE =y∴1122BD AB x ==，1122EH EC y == ………………………………1分 ∵在Rt△ODB 中，222OD BD BO +=，236x - ………1分∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO ＝∠BOC∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO∴EH=OD …………………………1分∴23622x y -=∴236y x =-……………………………………………………………………1分函数定义域为（＜x＜6）………………………………………………………1分 （2）当△OEF 为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE ＝90º，则∠COF ＝∠OCF ＝45º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB 是等腰直角三角形∴232=⋅=OB AB …………………………………………………2分②若∠EOF ＝90º ， 则∠OEF ＝∠COF ＝∠OCF ＝30º……………………1分∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB∴△OAB 是等边三角形∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分（3）①当CF ＝OF ＝OB –BF ＝2时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝292=CF OC ，∴EF ＝CE –CF＝25229=-． ……………………………………………2分②当CF ＝OF ＝OB +BF ＝4时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝492=CF OC ，∴EF ＝CF –CE ＝47494=-． ……………………………………………2分7、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）解：（1）作DH⊥BC 于H （见图①） …………（1分）在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B ＝90°, ∠BHD=90°∴四边形ABHD 是矩形∴DH =AB ，BH=AD …………（1分） 又∵AD ＝6，AB ＝8 ∴DH =8，BH=6在Rt △DHC 中, sinC ＝54,可设DH=4k, DC=5k ∴DC=10, HC=681022=-，∴B H=HC=6 …………（1分） 又∵DH⊥BC∴点D 在线段BC 的垂直平分线上 …………（1分） （2）延长BA 、CD 相交于点S （见图②）， …………（1分）∵AD∥BC 且BC ＝12 ∴AD=21BC∴21===BC AD SC SD SB SA ∴SD=DC=10，SA=AB=8 ∵DP ＝x ，BQ ＝y, SP=x+10 由△SPQ～△SAD 得45==SA SD SP SQ ………（1分）∴)10(45+=x SQ …………（1分）2745)10(4516+-=+-=x x BQ∴所求解析式为2745+-=x y ， …………（1分）定义域是0≤x ≤514…………（1分） (说明：若用勾股定理列出：222222PC BC QB DP AQ AD -+=-+亦可，方法多样．)（3）由图形分析，有三种情况：（ⅰ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC ，12102745=-++-x x ，解得32=x（ⅱ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，两圆不可能相切，…………（2分）（ⅲ）当点P 在线段DC 的延长线上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，此时2745-=x BQ , CP =x-10 …………（1分）若两圆外切，BQ+CP=BC ，即12102745=-+-x x ,解得334=x …………（1分） 若两圆内切，BC CP BQ =-，即12)10(2745=---x x12)10(2745=---x x 解得22=x 12)10(2745-=---x x 解得74-=x （不合题意舍去）…………（1分）综上所述，⊙B 与⊙C 相切时，线段DP 的长为32，334或22 ．。