极限存在的两个准则和重要极限

(1
1 x
)
x
(1
1n)n1
lim (1
n
n11)
n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1n ) n 1
lim [(1
n
1 n
)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
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当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
1
1
1
lim(
) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
例2. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n2
n2 n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim n2
n n2 n
lim
n
n2 n2
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2 x
)
2
1
sin
2 x
(1
sin
2x )sin
2 x
2 x
e
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内容小结
1. 极限存在准则 夹逼准则: 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则 单调有界准则:
2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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解:
原式
=
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0sin2x
x 2
2
1 12 2
说明: 计算中注意利用 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
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课堂练习 (1) (2) (3) (4) (5)
三.单调有界准则
定理2. 单调有界数列必有极限.
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
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例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
n
1
1
n
解
,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例5. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此当 x 0 时, t 0
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注 目录 上页 下页 返回 结束
例6.求 解: 原式 =
2
例7.求
e 2.718281828459045
原题 目录 上页 下页 返回 结束
lim(1
n
1 n
)n
e
(2).函数情形
lim (1
x
1 x
)
x
e
lim (1
x
1 x
)x
e
e
注 目录 上页 下页 返回 结束
lim (1
x
1 x
)x
e
证: 当 x 0 时, 有 n x n 1, 则
(1
n11)n
x1 x2 xn xn1 M ,单调增加
y1 y2
yn yn1
lim
n
xn
存在
m, 单调减少
lim
n
yn
存在
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1
四.重要极限 lim(1 x) x e x0
(1).数列情形，记
xn
(1
1 n
)n
lim (1
n
1 n
)
n
e
e 为无理数 , 其值为
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
x
1x) x
wk.baidu.com
e
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 x) x e
x0
也即
lim(1
x
1 x
)x
lim(1
x)
1 x
x0
e
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例9. 求
解: 令 t x , 则 x 时,t
(0
x
2
)
1 x 1 sin x cos x
即 cos x sin x 1, x
(0
x
2
)
当
2
x
0 时,有
0
x
2
.
此时有
cos x sin x 1,
x
即 cos x
sin x x
1,
(
2
x
0)
由夹逼定理得
例4. 求
解:
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：
lim (1
( x)
1
(x)
) (x)
e
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1
例10 (1)lim(1 2x) x . x0
(2)lim( x 1)2x1. x x 3
(3)lim ln 1 x
x0
x
例11. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
1
lim n
n
1
n
2
n2
1
2
n2
1
n
1
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二. 重要极限 lim sin x 1
x0 x
x
(
0
,
2
)时，
BD
1
ox C A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦即
sin x x tan x
(0
x
2
)
sin x x tan x
定理1. 函数极限存在的夹逼准则
假设函数 f (x), g(x), h(x)满足：
(1) x (x0 , ) , g(x) f (x) h(x) ,
(2) lim g(x) lim h(x) a
xx0
xx0
lim f (x) a
xx0
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数列极限存在的夹逼准则