二次函数解析式最值问题专题总结

二次函数解析式最值问题1.线段最值

例1：二次函数y=−

2

x+mx+n的图象经过点A(−1,4),B(1,0),y=−2

1

x+b经过点B,且与二次函数y=−

2

x+mx+n

交于点D. (1)求二次函数的表达式；

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN 的最大值。

考点：[待定系数法求二次函数解析式, 一次函数的性质, 一次函数图象上点的坐标特征

例2：二次函数y=−

2

x+b x+c的图象与x轴交于A(1,0)，且当x=0和x=−2时所对应的函数值相等。(1)

求此二次函数的表达式；

(2)设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC 的周长最小?如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由。

(3)设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积。考点：[抛物线与x轴的交点, 二次函数的最值, 待定系数法求二次函数解析式, 轴对称-最短路线问题]

ax+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A.B两点,A点在B点左侧。点B 例3：已知：如图,抛物线y=2

的坐标为(1,0)，OC=3BO.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值。

例5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=25

4x +bx+c 与y 轴交于点A ，与x 轴交于B(1,0),C(5,0)两点，其对称轴与x 轴交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使ΔPAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使ΔACN 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

例6：如图,已知抛物线y=2

ax −3x+c 与y 轴交于点A(0,−4),与x 轴交于点B(4,0)，点P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点。

(1)求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；

(2)当点P 移动到抛物线的什么位置时,∠PAB=90∘求出此时点P 的坐标；

(3)当点P 从点A 出发，沿线段AB 下方的抛物线向终点B 移动，在移动中，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求t 为何值时S 有最大值，最大值是多少?

ax+2x+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(6,0)，点P是线段AB上方抛例7：如图,已知抛物线y=2

物线上的一个动点。

(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)当点P移动到抛物线的什么位置时,使得∠PAB=75∘，求出此时点P的坐标；

(3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少?

ax+bx−3的对称轴为直线x=1，与x轴分别交于A. B两点，与y轴交于点例8：如图(1),已知抛物线y=2

C，一次函数y=x+1经过点A，且与y轴交于点D.

(1)求出该抛物线解析式；

(2)如图(2),点P为抛物线B. C两点间部分上任意一点(不包含B. C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式。并确定t为何值时，S取得最大值?最大值为多少；

(3)如图(3)，将△ODB沿直线y=x+1平移得△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′.若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1:2两部分，请直接写出此时的平移距离。

(3)如图3中,ED ′恰好将△O ′D ′B ′分为面积线段的两部分时有两种情形。 ①若O ′E=2EB ′,设D ′(m,m+1),则O ′(m,m),E(m+2,m)，

∵点E 在抛物线上，

∴m=(m+2)2−2(m+2)−3，

②若2O ′E=EB ′,设D ′(m,m+1)则O ′(m,m),E(m+1,m)，

∵点E 在抛物线上，

∴m=(m+1)2−2(m+1)−3，

解答：

(1)∵当x =0和x =−2时所对应的函数值相等，

∴抛物线的对称轴为直线x =−1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−3,0)，

∴抛物线解析式为y =−(x +3)(x −1),即y =−2

x −2x +3；

(2存在。

连结BC 交直线x =−1于点D ，则DB =DA ，

∴DC +DA =DC +DB =BC ，

∴此时DA +DC 最小，△ADC 的周长最小，

当x =0时,y =−2x −2x +3=3,则C (0,3)，

设直线BC 的解析式为y =kx +m ，

把B (−3,0),C (0,3)代入得−3k +m =0,m =3,解得k =1,m =3，

∴直线BC 的解析式为y =x +3，

当x =−1时，y =x +3=2，

∴D 点坐标为(−1,2)；

(3)作MN ∥y 轴交BC 于N ，如图，

设M (t ,−2t −2t +3)(−3

3时,△MBC 的面积的最大值为827， 此时M 点坐标为(−23,4

15).