2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）

（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D

【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，

对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．

（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i

1

zz =-（ ）

（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C

【解析】

4i 4i

i (12i)(12i)11

zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多

项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5

分】已知向量1(2BA =uu v

，1

)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）

（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A

【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC

+⋅∠==

=⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ

＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值

范围：0180θ︒≤≤︒；（2

）由向量的数量积的性质有|a ·cos a b

a b θ=

，·

0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．

（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年

中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）

（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D

【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可

在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差

比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．

【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在

一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．

（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425

（B ）4825

（C ）1 （D ）1625

【答案】A 【解析】由3tan 4

α=

，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2

161264cos 2sin 24252525αα+=

+⨯=，故选A ．

【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角

函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，13

25c =，则（ ）

（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A

【解析】因为4223

3

5

244a b ==>=，122333

2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．

【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果

两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．

（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；

第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．

【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特

点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，

变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．

（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于1

3

BC ，则cos A = ( )

（A （B （C ）- （D ）-

【答案】C

【解析】设BC 边上的高线为

AD ，则3

B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，

知222222cos

2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．

【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉

及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．

（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多

面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B

【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积

2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．

【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥

中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．

（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，

6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）

（A ）4π （B ）92

π （C ）6π （D ）323π