试验十三阻尼振动的研究

实验十三 阻尼振动的研究

实验目的

1．研究振动系统所受阻尼力和速度成正比时，其振幅随时间的衰减规律。 2．测量振动系统的半衰期和品质因数。 3．测量滑块儿的阻尼常数。 实验仪器

气垫导轨，滑块儿，光电计时装置，弹簧两组，附加物4块，天平，秒表等。 实验原理

简谐振动是一种振幅相等的振动，它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上，阻尼力不可避免，而抵抗阻力做功的结果，使振动系统的能量逐渐减小。因此，实验中发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。如果物体的速度v 不大，实验结果证明，阻尼力f 和v 成正比而方向相反。设物体在x 轴上振动，则

dt

dx v f αα−=−= （2－13－1）

式中α为阻尼常数。

气垫导轨上，滑块儿和弹簧组成的振动系统，在空气阻力作用下，作的是阻尼振动。若质量为m （包含档光片）的滑块儿，在弹力－kx 、阻尼力dt

dx α−的作用下产生的加速

度为2

2

dt x d ，由牛顿第二定律得

dt dx

kx dt

x d m α−−=22 （2－13－2）

式中k 为弹簧的倔强系数。令m k =2

0ω，m

αβ=2，

（2－13－2） 式改写成 022

02

2=++x dt dx dt

x d ωβ （2－13－3） 式中β为阻尼因数；0ω为振动系统的固有的圆频率。当2

02ωβ<时，（2－13－3）式的

解为

)cos(0o f t t e A x ϕωβ+=•− （2－13－4） 公式（2－13－4）称为阻尼振动方程，其中220βωω−=f 为振动的圆频率，A 0、0ϕ分别为振幅和初相位。由此可见，滑块儿作阻尼振动时，振幅应按指数规律衰减，衰减的快慢取决于β。阻尼振动的周期

2

02022βωπωπ−=

=f

T （2－13－5）

比无阻尼时为大。

设阻尼振动的振幅从A 0衰减为A 0/2所用时间为1T ，

由（2－13－4）式得21

00

2

T e A A β−=而

2

1

2ln T =β （2－13－6）

又因为m

2αβ=，所以

1

2ln 2T m =α （2－13－7）

2

1T 称为半衰期。由（2－13－6）式和（2－13－7）式可知，只要测出滑块儿的质量和半

衰期，就可得到β和α。因此，引入半衰期2

1T 不仅能描述振幅衰减的快慢，而且还给

出了测量β和α的一种方法。除此之外，还常用品质因数（即Q 值），来反映阻尼振动衰减的特性。其定义为：振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗能量E ∆之比的π2倍，即

E

E Q ∆=π2 （2－13－8）

滑块儿在导轨上振动时，任一瞬时，其克服阻力做功的功率等于阻尼力的大小αv 与运动速度v 的乘积，即等于2v α。在振动过程中2v α是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果；这样一个周期中的能量损耗E ∆就等于一个周期中滑块儿克服阻力做的功。即E ∆=（2v α）平均・T 。可以证明，一个周期中的平均动能等于平均弹性势能，且均等于总能量的一半，所以E kx mv 21)21()21(22==平均平均, m E v =平均)(2, 因

而T m

E E α=∆,把此公式和公式（2－13－7）代入公式（2－13－8）可得

2

ln 2

1

T T

Q π=

（2－13－9）

实验中测出T 和2

1T ，便可求出品质因数Q 。

实验内容

1．用天平测量滑块儿（附挡光片）、每个附加物的质量；

2．导轨调平后，将倔强系数小的一组弹簧与凸形档光片和滑块儿连在一起，并调节光电门和计时器，至到满足测量周期的要求；

3．在滑块儿上对称的放两个附加物，接到离平衡位置10厘米左右处，轻轻释放，测出其振动周期T ；

4．用秒表测量滑块儿的振幅为A 0衰减到A 0/2所用的时间2

1T ；

5．从某一振幅值开始，记录滑块儿振动时，对应1T ，2T ，… nT 时的最大位移A 1，A 2，… A n （即振幅），至振幅衰减到较小为止；

6．滑块儿上增至4个附加物，重复步骤3～5；

7．改用倔强系数较大的另一组弹簧，滑块上仍放4个附加物，再做3至5的内容。 数据处理

1．记录数据。将不同振动系统（指在滑块上加不同附加物或不同弹簧）时测得的数据，分别填入自拟的表格中。

2．利用（2－13－6）、（2－13－7）、（2－13－9）式计算不同情况下的β、α和Q 的值。

3．在同一坐标纸上做出不同系统的振幅衰减曲线。

4．比较计算结果，分析各振幅衰减曲线，总结阻尼振动的特点和规律。 思考题

1．何谓半衰期？何谓品质因数？二者有何关系？ 2．滑块儿上的附加物改变时（阻尼性质不变），α和Q 是否发生变化？