必修四2-5-1~2平面向量应用举例

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→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
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【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
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名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
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(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
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规律方法
组基底，②把未知向量逐步往基底方向进行分解，③ 利用向量相等来得到相关结论．
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【变式 1】 设 P、Q 分别是梯形 ABCD 的 对角线 AC 与 BD 的中点， (1)试用向量证明：PQ∥AB； (2)若 AB＝3CD，求 PQ∶AB 的值． (1)证明 → ＝λAB → (λ>0)， 设DC
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证明
→ → 设AD＝a，AB＝b，
→ → → 1→ 则DE＝AE－AD＝ AC－a 4 1 3 ＝4b－4a， 3→ 1 3 → → → FB＝AB－AF＝b－4AC＝4b－4a， → → 所以DE＝FB，且 D、E、F、B 四点不共线，所以四边形 DEBF 是平行四边形．
运算
，研究几何元素之间的关系，如距离、
→ －AC → |＝|CB → |＝1，故选 B. |AB
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3．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与 分解． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积．
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2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何 元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量 夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． → |＝1.5，|AC → |＝1.5，|BC → |＝1，则|AB → 试一试：在△ABC 中，若|AB → －AC|的值为( A．0 提示 )． B．1 C. 3 D．2
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题型一 平行问题的证明 【例 1】 已知平行四边形 ABCD 中， E、F 是对角线 AC 上的两点，且 1 AE＝FC＝4AC，试用向量方法证明四 边形 DEBF 也是平行四边形． → → → → → → [ 思 路 探 索 ] 设AD＝a，AB＝b → 表示DE，FB → DE＝FB → 结论
→ → ∴PQ∥AB，又 P、Q、A、B 四点不共线， 所以 PQ∥AB. (2)解 1 ∵AB＝3CD，∴λ＝3，
1 1→ → → → 又∵PQ＝ (－λ＋1)AB，∴PQ＝ AB， 2 3 ∴PQ∶AB＝1∶3.
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题型二 用向量证明共线或共点问题 【例 2】 如图所示，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD、AB 上， CE AF 1 且ED＝FB＝2，求证：点 E、O、F 在同一直线上． → ，AD → } → 表示FO → 、OE → [思路探索] 选基底{AB → → → 证明FO＝OE → 结论
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自学导引 1．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行问题，常用向量平行 (共线 )的等价条件： a ∥ b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量 垂直的等价条件：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式 x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝|a||b|＝ 2 2 2 2 x1＋y1· x2＋y2 (4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向 量模的公式|a|＝ x2＋y2.
1 → → → → → → → → → ∵PQ＝AQ－AP＝AB＋BQ－AP＝AB＋2(BD－AC) 1 → → → → ＋DC → )] ＝AB＋2[(AD－AB)－(AD 1 → → → ＝AB＋2(CD－AB) 1 → → 1 → ＝ (CD＋AB)＝ (－λ＋1)AB， 2 2
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2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问 题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的 获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象 中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．