2020年浙江杭州高三一模数学试卷

2020年浙江杭州高三一模数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知集合，，则（ ）．

A. B. C. D.

2.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）．

A.

B.

C.

D.

3.若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）．

A.

B.

C.

D.

4.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）．

正视图

俯视图

俯视图

A.

B.

C.

5.在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象

可能是（ ）．

A.

B.

C.

D.

6.“”是“关于的不等式有解”的（ ）．

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.在四面体中，，，，，点为线段上

动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围为（ ）．

B.

C.

D.

8.设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且

，则椭圆的离心率为（ ）．

A.

B.

C.

D.

9.已知数列，满足，，则使成立的最小正整数为（

）．

A.

B.

C.

D.

10.设函数，若存在，使得，则的取值范围为（

）．

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共7小题，共36分）

11.设复数满足，则 ， ．

12.过点

作圆

的两条切线，切点分别为，，则 ，直线

的方程为 ．

13.已知等比数列

中，，，则

，

．14.已知函数，，则的最小正周期为 ，单调递增区间

为 ．

15.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且

，则直线

的斜率的最大值为 ．

16.

已知，与所成角为，点满足

，若

，则

的最大值为 ．

17.当时，不等式恒成立，则

的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

（1）

（2）

18.已知的内角，，的对边分别为，，，且的面积为．

求．

若，，求角的大小及

的周长．

（1）

（2）

19.如图，已知三棱锥，平面平面，，

．

证明：．

设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】

解析:

因为，，

所以，故，错误；

则，故错误．

故选．

解析:

由题可知，焦点落在轴，，

（1）

（2）

20.已知各项均为正数的数的前项和为，且．

求数列的前项和．

求证：．

（1）

（2）

21.已知抛物线上的两个动点和，焦点为．线段的中点为

，且点，到抛物线的焦点的距离之和为．

求抛物线的标准方程．

若线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．

（1）

（2）

22.已知函数．

当时，设，为的两个不同极值点，证明：．

设，为的两个不同零点，证明：．C

1.

B

2.

又，

所以，

即，

所以

，所以渐近线方程．

故选．解析:

作出，满足约束条件的平面区域，如下图所示：

由得，由图象可知，

当直线

经过点时，直线

的截距最大，

此时最大，由得

，

此时最大值为．故选：．解析:

由三视图可知，该几何体是由一个球体和一个正四棱合组成．由图可知球的半径

，则

，而正四棱合的高是，侧面的上底长为，下底长为，则侧面的斜高

，

所以

，

所以

C 3.

D 4.球

正四棱合上下侧

总

球

正四棱合

．

故选．解析:当时，

在第一象限成增函数，且图象是凹增的，而呈减函数．且过定点，只有选项符合；

当时，

在

是增函数且图象是凸，而

在

部分单调递增，且过定点

．

没有选项符合，故选．解析:

关于的绝对值不等式有解，

∴的最小值，又∵表示数轴上的点到和的距离之和，∴的最小值是

，则，∵是集合

的真子集，

∴“”是“关于的不等式

有解”的充分不必要条件．

故选．解析:如图所示，

因为，

，

所以在等腰中，，

且

，又

，，

也是直角三角形，又

，

A 5.A 6.D 7.

所以在中，，，构成一组勾股数，

所以

，设

，

，作为空间一组基底，则，且

，

则

，

∴

，

，

又，

∴且

，

∴，

所以

与

所成角的

范围为

．

故选．解析:设椭圆，

，

，则，

又

，不妨设

，，由椭圆定义可得

，即

即

①，

B 8.