几何专题(七)——存在性问题(含答案)
存在性问题
1.（19年北京中考）在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是__________．2．（20年朝阳期末）如图，分别过第二象限内的点P 作x ，y 轴的平行线，与y ，x 轴分别交于点A ，B ，与双曲线6y x=分别交于点C ，D . 下面三个结论，①存在无数个点P 使AOC BOD S S =△△；②存在无数个点P 使POA POB S S =△△；③存在无数个点P 使ACD OAPB S S =△四边形.所有正确结论的序号是 .3. 已知长方形ABCD 可以按图示方式分成九部分，在a ，b 变化的过程中，下面说法正确的有①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长②存在长方形ABCD 的长宽之比为2③存在长方形ABCD 分成的九部分为正方形④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为100A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④b b aa b a CD B4.（20年人大附中月考）在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是边AD 上的一个动点（与点A ，D 不重合），连接EO 并延长，交BC 于点F ，连接BE ，DF . 下列说法：① 对于任意的点E ，四边形BEDF 都是平行四边形；② 当90ABC ∠>︒时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是矩形； ③ 当AB AD <时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是菱形；④ 当45ADB ∠=︒时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是正方形. 所有正确说法的序号是_________________.5.我们知道任意三角形都存在内切圆，同样的，一些凸四边形也存在内切圆。
初中数学 等腰三角形存在性问题(含答案)
等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段：5AC =5BC（3）分类讨论：根据55AC BC =，（4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06⎛⎫⎪⎝⎭． 【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）233642y x x =--+；（2）可用铅垂法，当点D 坐标为()2,6-时，△ADE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A 、E 两点及直线x =-1（对称轴）①当AE =AP 时，以A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵AE=1AP AH =3，∴1PH故(1P -、(21,P-． ②当EA =EP 时，以E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM =1，34P M P M ===，故(31,2P --、(41,2P --．③当P A =PE 时，作AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设()51,P m -，()()2225140P A m =-++-，()()2225=102P E m --++ ∴()22921m m +=++，解得：m =1． 故()51,1P -．综上所述，P 点坐标为(1P -、(21,P -、(31,2P --+、(41,2P --、()51,1P -．【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．【2019白银中考（删减）】如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）211433y x x =-++；（2）①当CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到CB 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为H ，则CH QH ==，故Q点坐标为-⎝⎭． ②当AC =AQ 时，考虑直线BC 解析式为y =-x +4，可设Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =5=，解得：m =1或0（舍），故Q 点坐标为（1，3）．③当QA =QC 时，作AC 的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在． 综上所述，Q点坐标为⎝⎭或（1，3）．【2019盐城中考删减】如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图像与一次函数2y kx k =-+的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k <． （1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB ∆是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为1、2； （2）求k 的值等价于求B 点坐标，B 点横坐标始终为2，故点B 可以看成是直线x =2上的一个动点， 满足△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形， 又A 点坐标为（1，2），故OA = ①当OA =OB时，即OB =记直线x =2与x 轴交点为H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1或-3． ②当AO =AB 时，易知B 点坐标为（2，0），k =-2． 综上所述，k 的值为-1或-2或-3．【2018贵港中考（删减）】如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x ⊥轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当PCM ∆是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）223y x x =--；（2）①当PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当MP =MC 时，（表示线段列方程）设P 点坐标为()2,23m m m --，则M 点坐标为(),3m m -， 故线段()()223233PM m m m m m =----=-+ 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为N ，则MN =m ， 考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC =，∴23m m -+，解得3m =0（舍）， 故P点坐标为(3-．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3-．【2019眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c =-++经过点(5,0)A -和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ∠=∠，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN ∆为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）241620999y x x =--+，顶点D 坐标为()2,4-；（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ， 可得AM =BD =5，故AN =BM =1；②当NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ， △MAD ∽△DAB ，可得AM =256，116BM = ∴AN AMBM BD=，即2561156AN =， 解得：5536AN =．③当DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点M ． 综上，AN 的值为1或5536．【2019葫芦岛中考（删减）】如图，直线4y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点PBC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM ∆是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）234y x x =-++；（2）①考虑到∠DPM =45°，当DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线AM ：y =x +1，联立方程：2341x x x -++=+， 解得：13x =，21x =-（舍）． 此时t =1．②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°，∠MAB=22.5°，考虑tan∠22.5°1，直线AM：)11 y x=+，联立方程：)23411 x x x-++=解得：15x=21x=-（舍）．此时t1 -．综上所述，t的值为11．附：tan22.5°1．221122.5°22.5°45°45°tan22.51︒==【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．。
存在性问题带答案
存在性问题带答案
存在性问题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问
题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对
学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的”热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若
能导出合理的结果，就做出”存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判
断。
由于”存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设
存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并
具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一
次全面的考验。
一、函数中的存在性问题（相似）
1.（枣庄10 分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1 个单
位，再向下平移4 个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B 两点（点
A 在点
B 的左边），与轴交于点C，顶点为D.
（1）写出的值；
（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求
出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.（临沂13 分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；。
立体几何存在性问题
5．(1)证明见解析；(2) .
【解析】分析：〔1〕推导出 BE⊥CD，AB⊥CD，从而 CD⊥平面 ABE，由此能证明平面 ABE⊥平 面 ACD； 〔2〕取 BD 的中点 G，连接 EG，那么 EG∥BC．推导出 BC⊥平面 ABD，从而 EG⊥平面 ABD， 由此能求出线段 AE 的长．
详解：〔1〕证明：因为
的体积.
4．如图 2，在四棱锥
中，平面
平面 ，底面 为矩形.
〔1〕求证：平面
平面 ；
〔2〕假设
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，试求点 到平面 的距离.
5．如图，三棱锥 点．
的三条侧棱两两垂直，
， ， 分别是棱 ， 的中
〔1〕证明：平面
平面 ；
〔2〕假设四面体 的体积为 ，求线段 的长．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
7．〔1〕见解析；〔2〕
【解析】分析：〔1〕先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的 判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；〔2〕分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公 式进展求解． 详解：〔1〕因为∠C＝90°，即 AC⊥BC，且 DE∥BC，
所以 DE⊥AC，那么 DE⊥DC，DE⊥DA1， 又因为 DC∩DA1＝D，所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂ 平面 A1DC，所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以 A1F⊥平面 BCDE， 又因为 BE⊂ 平面 BCDE，所以 A1F⊥BE． 〔2〕由 DE∥BC，且 DE＝BC，得 D，E 分别为 AC，AB 的中点，
折起到 的位置，如图 2 所示.
图1图2 〔Ⅰ〕求证：
平面 ；
〔Ⅱ〕证明：平面
初中数学几何最值存在性问题(word版+详解答案)
几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC 交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x =相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y 轴相交于A 点，与x 轴相交于B 、C 两点，且点C 在点B 的右侧，设抛物线的顶点为P ．（1）若点B 与点C 关于直线x ＝1对称，求b 的值；（2）若OB ＝OA ，求△BCP 的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h ，求出h 与b 的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ； （4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(,)2QQ b y+在抛物线上，当22AM QM+的最小值为3324时，求b的值．16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为610？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P→M→N→A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
立体几何存在性问题
立体几何中的存在性问题1、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点 ，2==BC AC ，41=AA .（Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45，若存在，求CE 的长，若不存在，请 说明理由.2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点。
（Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。
3、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为454、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.ABCD EP1A BCOA1B 15、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =22. （Ⅰ）求证：BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.6、如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.（1）求证：BMPAD 平面;（2）在侧面PAD 内找一点N，使MN PBD ⊥平面7、如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.DPABC（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.8、如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；9、直三棱柱A1B1C1—ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。
存在性问题专题 (含答案)
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35. 设 （1）求 （ 2 ）设 立，求 （ 3 ）设
ln h
，
的极大值； ， ，若
h
e
e
，其中 t
．
的最大值； 成立，求
h
对任意的
t
h
t㔶 ，使
h
恒成
h ，若对任意给定 的
的取值范围．
te ，在区间
te 上总存在 t
36. 已知函数 （1）求 （2）若对任意的
㔶
成等比数列．
（3）是否存在实数 ，使得对任意的正整数 的最大值；若不存在，请说明理由．
h
h ，
h
，当
h
h
， ，都有
h 时，比较
h
的大小； 成立．若存在，求
h
h
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19. 已知函数 （1）当 （2）若存在实数
时，解不等式 满足
h h h ， h
，求函数
h
h
ln
． 的单调区间； t 上是减函数，求实数 的取值范围； 的切线，证明：切点的横坐标为 ．
在区间 作曲线
（3）过坐标原点
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23. 已知函数 （1）设 （2）求证：存在
，若
h
h
h ． 在
t
．
的斜率为 ，是否存在
的值，若不存在，
请说明理由．
48. 已知函数 （1）当
时，求函数
h
h
h
的单调减区间； ，求 的最大值． t 时，有 ；
立体几何存在性问题
立体几何中的存在性问题1、如图,已知直三棱柱111ABC A B C -,90ACB ∠=o ,E 就是棱1CC 上动点,F 就是AB 中点 ,2==BC AC ,41=AA 、(Ⅰ)求证:CF ⊥平面1ABB ;(Ⅱ)当E 就是棱1CC 中点时,求证:CF ∥平面1AEB ;(Ⅲ)在棱1CC 上就是否存在点E ,使得二面角1A EB B --的大小就是45o ,若存在,求CE 的长,若不存在,请 说明理由、2、如图,在底面就是正方形的四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥面ABCD,BD 交AC 于点E,F 就是PC 中点,G 为AC 上一点。
(Ⅰ)求证:BD ⊥FG;(Ⅱ)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG//平面PBD,并说明理由;(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为23π时,求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。
3、在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 就是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=o ,1AB AD PD ===,2CD =、(Ⅰ)求证://BE 平面PAD ; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面PBD ;(Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点,PQ PC λ=u u u r u u u r ,试确定λ的值,使得二面角Q BD P--为45o4、如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面ABC ,112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点、 (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ;GFE AABCD EP(Ⅱ)求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值;(Ⅲ)在1BC 上就是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点E 的位置、5、如图,棱锥P —ABCD 的底面ABCD 就是矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =2,BD =22、 (Ⅰ)求证:BD PAC ⊥平面; (Ⅱ)求二面角B PD C --的余弦值; (III)在线段PD 上就是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为962,若存在,指出点Q 的位置,若不存在,说明理由、6、如图,四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面,22PA AD CD AB ====,M PC 为的中点、(1)求证:BM PAD 平面P ;(2)在侧面PAD 内找一点N,使MN PBD ⊥平面7、如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥面ABC,BC ⊥AC,BC=AC=2,AA 1=3,D 为AC 的中点、 (Ⅰ)求证:AB 1//面BDC 1;(Ⅱ)在侧棱AA 1上就是否存在点P,使得CP ⊥面BDC 1？并证明您的结论、8、 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,PA ⊥底面ABCD ,PA = AD = CD = 2AB = 2,M 为PC 的中点、 (1)求证:BM ∥平面PAD ;1A BCO A 1B 1C DPABCA C 1B C 1(2)平面PAD 内就是否存在一点N ,使MN ⊥平面PBD ？ 若存在,确定N 的位置,若不存在,说明理由;9、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示,D 、E 分别为棱CC 1与B 1C 1的中点。
二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤： （1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+- （2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++== （3）斜率公式：①2121y y k x x -=-；②tan k θ=（θ为直线与x 轴正方向的夹角）（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 ②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一面积问题例1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例2：如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=21x 2+bx-2的图象过C 点． （1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？x CO yA B D1 1 图2变式练习：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB=4，点D （2，23）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；例3：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；y xCBOA变式练习：如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；能力提升：1.（2013菏泽）如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．题型二：构造直角三角形例2．（2010四川乐山）如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；变式练习： 1.函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；y D B MA COx3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．4.（2012广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1E5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标； （3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．6.（2013山西）如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2013济宁）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB 与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．8.（2013 绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
期末复习解析几何——存在性问题
期末复习解析几何——存在性问题1．已知点F 是抛物线x y 42=的焦点，N M 、是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（）A ．2C ．3 2．若θ是任意实数，则方程224cos()14x y πθ++=所表示的曲线一定不是( )A ．圆B ．双曲线C ．直线D ．抛物线3．若圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A ．曲线C 可为椭圆，也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样曲线C 不存在4．（理）若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于B A ,两点，过原点与线段AB 的A 5．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到直线1:34120l x y -+=和2:20l x +=的距离之和的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46．若(,0)F c 为椭圆C C 于A,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（）A 7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于__________.8．已知两个点(5,0)(5,0)M N -和，若直线上存在点P ，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y =x +1; y=2；④y=2x+1．其中为“B 型直线”的是．（填上所有正确结论的序号）9．在△ABC中，已知A −2，0，B(2，0)，动点C使得△ABC的周长为10，则动点C 的轨迹为.10．在直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆x 22+y2=1有两个不同的交点P、Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.11．我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图，“盾圆C ”是由椭圆与抛物线24y x =中两段曲线合成，12,F F 为椭圆左、右焦点，2(1,0)F ，A 为椭圆与抛物线的一个公共点，（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在过2F 的一条直线l ，与“盾圆C ”依次交于,,,M N G H 四点，使得1F MH ∆与1F NG ∆的面积之比为6:5，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.12．已知向量)1,0(),0,2(===AB OC OA ，动点M 到定直线1=y 的距离等于d ，并且满足)(2d BM CM k AM OM -⋅=⋅，其中O 为坐标原点，k 为非负实数.（1）求动点M 的轨迹方程1C ；（2）若将曲线1C 向左平移一个单位，得曲线2C ，试判断曲线2C 为何种类型；（3）若（2）中曲线2C 为圆锥曲线，其离心率满足10<<e ，当21,F F 是曲线2C 的两个焦点时，则圆锥曲线上恒存在点P ，使得021=⋅PF PF 成立，求实数k 的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2021年深圳中考数学优等生系列：7.存在性问题(有详解)
存在性问题知识点梳理探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现- -定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等.解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射.动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰(边)三角形存在问题;直角三角形存在问题;平行四边形存在问题;矩形、菱形、正方形存在问题;梯形存在问题;全等三角形存在问题;相似三角形存在问题;其它存在问题等.动态几何之存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类.精讲精练例1（2018•山东淄博•8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∵AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，∴△PAE∽△PBD，∴，∴PA•BD=PB•AE；（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，∵∠EAP=∠B，∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，解得：AE=2，BD=3，∴由（1）可知：，∴cos∠APC==，∴cos∠BDF=cos∠APC=，∴，∴DF=2，∴DF=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD=AE，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，∵cos∠BAC=cos∠APC=，∴sin∠BAC=，∴，∴DG=，∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE=2×=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．例2（2018·山东青岛·12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S△PQB+S△BCP，计算即可；（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，推出tan∠QPN==，由此构建方程即可解解题问题；（4）存在．连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得=，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，∴CD=BH=8，DH=BC=6，∴AH=AB﹣BH=8，AD==10，BD==10，由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，∴PN=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]=t2﹣12t+78（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠QPN=∠DBA，∴tan∠QPN==，∴=，解得t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，PQ⊥BD．（4）存在．理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，∵KH∥EF，∴=，∴=，解得：t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．【点评】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．例3（2018·山东泰安·11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，，所以二次函数的解析式为：y=，（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图设D（m，），则点F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，当PA=PE时，=，解得，n=1，此时P（﹣1，1）；当PA=AE时，=，解得，n=，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE=AE时，=，解得，n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．例4（2018·山东威海·12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法问题可解；（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）把C（0，4）带入得4=a（0+4）（0﹣2）∴a=﹣∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4 （2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D∴点D在对称轴上设点D坐标为（﹣1，m）过点C做CG⊥l于G，连DC，DB∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2解得：m=1∴点D坐标为（﹣1，1）（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）∴BC=∵EF为BC中垂线∴BE=在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF=∴∴BF=5，EF=，OF=3设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切如图：①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1在Rt△BEF和Rt△FR1P1中tan∠1=∴∴r1=∵sin∠1=∴FP1=，OP1=∴点P1坐标为（，0）②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，可求r2=，OP2=7∴P2坐标为（7，0）∴点P坐标为（，0）或（7，0）（4）存在当点P坐标为（，0）时，①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP当x=时，y=﹣∴DN=MP=∴点N坐标为（﹣1，）②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等则点M横坐标为﹣则M纵坐标为﹣由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时，点N纵坐标为此时点N坐标为（﹣1，）当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣）当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）【点评】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．考点突破类型一三角形存在性1. （2018·浙江临安·8分）如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．2.（2018·山东潍坊·12分）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．类型二四边形存在性1. （2018·四川自贡·14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2．（2018·辽宁省抚顺市）（14.00分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．3．（2017青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三其它类型存在性1．（2018·新疆生产建设兵团·13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·浙江衢州·12分）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．3. (2018·江苏常州·10分）如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A.B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A.B.C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC.BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4. （2018·湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．存在性问题知识点梳理探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现- -定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等.解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射.动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰(边)三角形存在问题;直角三角形存在问题;平行四边形存在问题;矩形、菱形、正方形存在问题;梯形存在问题;全等三角形存在问题;相似三角形存在问题;其它存在问题等.动态几何之存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类.精讲精练例1（2018•山东淄博•8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∵AP与⊙O相切，∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，∴∠EAP=∠B，∴△PAE∽△PBD，∴，∴PA•BD=PB•AE；（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD=DF，∵∠EAP=∠B，∴∠APC=∠BAC，易证：DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC，由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，解得：AE=2，BD=3，∴由（1）可知：，∴cos∠APC==，∴cos∠BDF=cos∠APC=，∴，∴DF=2，∴DF=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD=AE，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为M点，∵cos∠BAC=cos∠APC=，∴sin∠BAC=，∴，∴DG=，∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形其面积为：DG•AE=2×=【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．例2（2018·山东青岛·12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．根据题意解答下列问题：（1）用含t的代数式表示AP；（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）当QP⊥BD时，求t的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；（2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S△PQB+S△BCP，计算即可；（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∠QPN+∠PQN=90°，推出∠QPN=∠DBA，推出tan∠QPN==，由此构建方程即可解解题问题；（4）存在．连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，推出EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，推出BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得=，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，∴CD=BH=8，DH=BC=6，∴AH=AB﹣BH=8，AD==10，BD==10，由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，∴PN=PA•sin∠DAH=（10﹣2t），AN=PA•cos∠DAH=（10﹣2t），∴BN=16﹣AN=16﹣（10﹣2t），S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]=t2﹣12t+78（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠QPN=∠DBA，∴tan∠QPN==，∴=，解得t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，PQ⊥BD．（4）存在．理由：连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2=22+x2，解得x=，作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，∴EF=PN=（10﹣2t），AF=QN=（10﹣2t）﹣2t，∴BF=16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，∵KH∥EF，∴=，∴=，解得：t=，经检验：t=是分式方程的解，∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．【点评】本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．例3（2018·山东泰安·11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，，所以二次函数的解析式为：y=，（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图设D（m，），则点F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，当PA=PE时，=，解得，n=1，此时P（﹣1，1）；当PA=AE时，=，解得，n=，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE=AE时，=，解得，n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．例4（2018·山东威海·12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法问题可解；（2）依据垂直平分线性质，利用勾股定理构造方程；（3）由题意画示意图可以发现由两种可能性，确定方案后利用锐角三角函数定义构造方程，求出半径及点P坐标；（4）通过分类讨论画出可能图形，注意利用平行四边形的性质，同一对角线上的两个端点到另一对角线距离相等．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0）∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）把C（0，4）带入得4=a（0+4）（0﹣2）∴a=﹣∴抛物线表达式为：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D∴点D在对称轴上设点D坐标为（﹣1，m）过点C做CG⊥l于G，连DC，DB∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2解得：m=1∴点D坐标为（﹣1，1）（3）∵点B坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）∴BC=∵EF为BC中垂线∴BE=在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF=∴∴BF=5，EF=，OF=3设⊙P的半径为r，⊙P与直线BC和EF都相切如图：①当圆心P1在直线BC左侧时，连P1Q1，P1R1，则P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1在Rt△BEF和Rt△FR1P1中tan∠1=∴∴r1=∵sin∠1=∴FP1=，OP1=∴点P1坐标为（，0）②同理，当圆心P2在直线BC右侧时，可求r2=，OP2=7∴P2坐标为（7，0）∴点P坐标为（，0）或（7，0）（4）存在当点P坐标为（，0）时，①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN=MP当x=时，y=﹣∴DN=MP=∴点N坐标为（﹣1，）②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等则点M横坐标为﹣则M纵坐标为﹣由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时，点N纵坐标为此时点N坐标为（﹣1，）当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣）当点P坐标为（7，0）时，所求N点不存在．故答案为：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）【点评】本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨论的数学思想．考点突破类型一三角形存在性1. （2018·浙江临安·8分）如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质.【分析】（1）当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长．据此可求出A′和E的坐标；（2）将A′，E点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式．进而可求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）根据折叠的性质可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能为直角，因此要使△A′EF成为直角三角形只有两种可能：①∠A′EF=90°，根据折叠的性质，∠A′EF=∠AEF=90°，此时A′与O重合，与题意不符，因此此种情况不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此种情况也不成立．因此A′不与O、B重合的情况下，△A′EF不可能成为直角三角形．【解答】解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，设A′的坐标为（0，b），AE=A′E=b，OE=2b，b+2b=2+，所以b=1，A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）．（2）因为A′、E在抛物线上，所以，所以，函数关系式为y=﹣x2+x+1，由﹣x2+x+1=0，得x1=﹣，x2=2，与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）．（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；同理若∠A′FE=90°也不可能，所以不能使△A′EF成为直角三角形．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强．2.（2018·山东潍坊·12分）如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【解答】解：（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣+=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y1=，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣（x﹣1）2，即y2=﹣．（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，），过点T作TE⊥y轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2﹣=解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2﹣=t2+16，解得t3=﹣；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形．（3）如图2：设P（m，﹣），则Q（m，﹣）∵Q、R关于x=1对称∴R（2﹣m，﹣），①当点P在直线l左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR与△AMG全等，∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，∴P（0，），即点P、C重合．∴R（2，﹣），由此求直线PR解析式为y=﹣，当PQ=AM且QR=GM时，无解；②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣或y=﹣【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3.类型二四边形存在性1. （2018·四川自贡·14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D（﹣2，﹣3）．设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得，。
存在性问题专题 (含答案)
h 存在性问题专题 （含答案）1. 已知函数 ƒ x = x — t |x| t C R ． （1）试讨论函数 ƒ x 的单调区间；（2）若 Et C 0th ，对于 6x C 1th ，不等式 ƒ x Σ x h a 都成立，求实数 a 的取值范围．2. 已知函数 ƒ x = x 3 — ax h h 10．（1）当 a = 1 时，求曲线 y = ƒ x 在点 h t ƒ h处的切线方程；（2）在区间 1th 内至少存在一个实数 x ，使得 ƒ x € 0 成立，求实数 a 的取值范围．3. 已知等差数列 a n 满足：a 1 = t ，a 5 = 0．数列 b n 的前 n 项和为 S n = h n —1 — 1 n C N ×（1）求数列 a n 和 b n 的通项公式；（2）令 c n = h a n ，试问：是否存在正整数 n ，使不等式 b n c n h 1 Σ b n h c n 成立?若存在，求出相应 n 的值；若不存在，请说明理由．4. 已知函数 ƒ x = lnx — 1 ax h — hx h 1，a C Rh（1）若 ƒ x 在 x = h 处的切线与直线 hx h y = 0 垂直，求 a 的值； （2）若 ƒ x 存在单调递减区间，求 a 的取值范围．5. 已知函数 ƒ x = x h — mx h n mtn C R ．（1）若 n = h ，且不等式 ƒ x ≤ 0 在 0t 㔶 m 的最小值；（2）若 x 1，x h 是方程 ƒ x = 0 的两实根，且满足 0 € x 1 € h € x h € 㔶，试求 m h n 的范围．h 6. 已知函数 y = x h t 有如下性质：如果常数 t Σ 0，那么该函数在 0tx上是减函数，在 tt h œ上是增函数．（1）已知 ƒ x = 㔶x h —1hx —3 tx C 0t1 ，利用上述性质，求函数 ƒ x 的单调区间和值域；hxh1（2）对于（1）中的函数 ƒ x 和函数 g x =— x — ha ，若对任意 x 1 C 0t1 ，总存在 x h C 0t1 ，使得 g x h = ƒ x 1 成立，求实数 a 的值．7. 已知函数 ƒ x = x x hb，其中 b C R ．（1）求 ƒ x 的单调区间；（2）设 b Σ 0，若 Ex C 1t 3，使 ƒ x ≤ 1，求 b 得取值范围．㔶㔶8. 设 ƒ x 是 R 上的奇函数，且对任意的实数 a ，b 当 a h b G 0 时，都有 ƒ a hƒ bΣ 0．（1）若 a Σ b ，试比较 ƒ a ，ƒ b 的大小；（2）若存在实数 1 t 3 使得不等式 ƒ x — c h ƒ x — c h Σ 0 成立，试求实数 c 的取值范围．h h9. 已知函数 ƒ x = x — 1 h x — a ． （1）若 a =— 1，解不等式 ƒ x ≤ 3；（2）如果 Ex C R ，使得 ƒ x € h 成立，求实数 a 的取值范围．10. 已知函数 ƒ x = x — a — x — 㔶 x C Rta C R 的值域为 3t3 ．（1）求实数 a 的值；（2）若存在 x 0 C R ，使得 ƒ x 0 ≤ hm — m h ，求实数 m 的取值范围．txh1 hh11. 设二次函数 ƒ x = ax h h bx h c atbtc C Rta G 0 满足条件：（a ）当 x C R 时，ƒ x — 㔶 = ƒ h — x ，且ƒ x ≤ x ； h（b ）当 x C 0th 时，ƒ x ≤；（c ）ƒ x 在 R 上的最小值为 0．求最大的 m m Σ 1 ，使得存在 t C R ，只要 x C 1tm ，就有 ƒ x h t ≤ x ．12. 已知函数 ƒ x = kx x h3kk Σ 0 ．（1）若 ƒ x Σ m 的解集为 x x €— 3 或 x Σ— h ，求不等式 5mx h h k x h 3 Σ 0 的解集； h（2）若存在 x 0 Σ 3，使得 ƒ x 0 Σ 1 成立，求 k 的取值范围．13. 已知函数 ƒ x = x — 1 h x h 3 ，x C R ．（1）解不等式 ƒ x ≤ 5；（2）若不等式 t h h 3t Σ ƒ x 在 x C R 上有解，求实数 t 的取值范围．14. 设 ƒ x = mx h h 3 m — 㔶 x — 9．（1）试判断函数 ƒ x 零点的个数； （2）若满足 ƒ 1 — x = ƒ 1 h x ，求 m 的值；（3）若 m = 1 时，存在 x C 0th 使 得 ƒ x — a Σ 0 成立，求 a 的取值范围．ha a 15. 已知正项数列 a n 的前 n 项的和为 S n ，且 p — 1 S n = p h — a n n C N ×tp Σ 0tp G 1 ，数列b n 满足 b n = hlog p a n ．（1）分别求 a n 和 b n 的表达式 ； （2）设数列的前 n 项和 T n ，当 p = 1 时，求证： 0 € T n € 㔶 ； （3）是否存在正整数 M ，使得 n Σ M 时， a n Σ 1 恒成立?若存在，求出相应的 M 的值；若不存在，请说明理由．16. 设 x 1，x h 为函数 ƒ x = ax h h b — 1 x h 1 a Σ 0 两个不同零点，且满足 x h — x 1 = h ．（1）若对任意 x C R 都有 ƒ h — x = ƒ h h x ，求 ƒ x ；（2）设 g x =— ƒ x h h x h — x ，试证明必存在 x 0 C R 使得 g x 0 ≤ 㔶 成立．17. 设函数 ƒ x = xe x ，g x = ax h h x（1）若 ƒ x 与 g x 具有完全相同的单调区间，求 a 的值； （2）若当 x ≤ 0 时恒有 ƒ x ≤ g x ，求 a 的取值范围．18. 已知公差不为 0 的等差数列 a n 的首项 a 1 = 1，前 n 项和为 S n ，且 a 1，a h ，a 㔶 成等比数列．（1）求数列 a n 的通项公式及 S n ；（2） 记 A = 1 h 1 h ... h 1 ，B = 1 h 1 h (1)，当 n ≤ h 时，比较 A 与 B 的大小；S 1 S h S n1 n —1hhh（3）是否存在实数 k ，使得对任意的正整数 m ，n ，都有 a h h a h ≤ k · a h成立．若存在，求k 的最大值；若不存在，请说明理由．mnmhnb n a na19.已知函数ƒx = x —3 h hx h t ，t C R．（1）当t = 1 时，解不等式ƒ x ≤ 5；（2）若存在实数a 满足ƒ a h a —3 € h，求t 的取值范围．20.已知关于x 的不等式x — 1 — hx — 1 Σlog1a （其中a Σ0 ）．3（1）当 a = 3 时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数 a 的取值范围．21.设函数ƒx = |ax — 1|．（1）若ƒ x ≤ h 的解集为— 6th ，求实数a 的值；（2）当 a = h 时，若存在x C R，使得不等式ƒ hx h 1 —ƒ x —1 ≤ 7 — 3m 成立，求实数m 的取值范围．22.设函数ƒx = x h h ax —lnx a C R ．（1）若 a = 1，求函数y = ƒ x 的单调区间；（2）若函数ƒ x 在区间0t1 上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点0 作曲线y = ƒ x 的切线，证明：切点的横坐标为1．ƒ x x23. 已知函数 ƒ x = x h h ax h b ．（1）设 b = a ，若 |ƒ x | 在 x C 0t1 上单调递增，求实数 a 的取值范围． （2）求证：存在 x 0 C — 1t1 ，使 |ƒ x 0 | ≤ |a|．24. 已知命题 p 知 关于 x 的方程 a h x h h ax — h = 0 在 — 1t1 上有解；命题 q 知 只有一个实数 x 满足不等式 x h h hax h ha ≤ 0．若“p 或 q ”是假命题，求实数 a 的取值范围．25. 已 知 二 次 函 数 ƒ x = hx h h ax h b为 偶 函 数 ， g x =h x = c x h 1 h c G h ．关于 x 的方程 ƒ x = h x 有且仅有一根 1． h— 1 x h m ，（1）求 a ，b ，c 的值；（2）若对任意的 x C — 1t1 ，≤ g x 恒成立，求实数 m 的取值范围； （3） 令 x = h 数 m 的取值范围．，若存在 x 1tx h C 0t1 使得 x 1 — x h ≤ g m ，求实26. 设函数 ƒ x = px — p — hlnx ，其中 e 是自然对数的底数．x（1）当 p = 3 时，求函数 ƒ x 的极值h（2）若 ƒ x 在其定义域内为单调函数，求实数 p 的取值范围．（3）设 g x = he ，若在1te 上至少存在一点 x 0，使得 ƒ x 0 Σ g x 0 成立，求实数 p 的取值 范围．3 ƒ x ƒ 1 — xh 27. 已知函数 ƒ x = e x x h h ax h a ．（1）当 a = 1 时，求函数 ƒ x 的单调区间；（2）若关于 x 的不等式 ƒ x ≤ e a 在 at h œ 上有解，求实数 a 的取值范围；（3）若曲线 y = ƒ x 存在两条互相垂直的切线，求实数 a 的取值范围；（只需直接写出结果）28. 已知函数 ƒ x = x h h a — 㔶 x h 3 — a ．（1）若 ƒ x 在区间 0t1 上不单调，求 a 的取值范围；（2）若对于任意的 a C 0t 㔶 ，存在 x 0 C 0th ，使得 ƒ x 0 ≤ t ，求 t 的取值范围．29. 已知函数 ƒ x = mx 3h ax h h 1 — b h x ，mtatb C R ．3（1）求函数 ƒ x 的导函数 ƒ' x ；（2）当 m = 1 时，若函数 ƒ x 是 R 上的增函数，求 z = a h b 的最小值；（3）当 a = 1，b = 时，函数 ƒ x 在 ht h œ 上存在单调递增区间，求 m 的取值范围．30. 已知 ƒ x = ax h h bx h c ，atbtc C R ，定义域为 — 1t1 ．（1）当 a = 1，|ƒ x | ≤ 1 时，求证：|1 h c| ≤ 1；（2）当 b Σ ha Σ 0 时，是否存在 x C — 1t1 ，使得 |ƒ x | ≤ b ?31. 已知函数 ƒ x = alnx h x h h bx （a 为实常数）．（1）若 a =— h ，b =— 3，求 ƒ x 的单调区间；（2）若 b = 0，a Σ— h e h 求函数 ƒ x 在 1t e 上的最小值及相应的 x 值；（3）设 b = 0，若存在 x C 1t e ，使得 ƒ x ≤ a h h x 成立，求实数a 的取值范围．32. 已知函数 ƒ x = lnx ．x（1）记函数 F x = x h — x · ƒ x x C 1 th ，求函数 F x 的最大值；h（2）记函数 H x =tx ≤ st x t0 € x € st若对任意实数 k ，总存在实数 x 0，使得 H x 0 = k 成立，求实数 s 的取值集合．33. 已知过原点 0 的动直线 l 与圆 C 知 x h 1 h h y h = 㔶 交于 A ，B 两点．（1）若 |AB| = 15，求直线 l 的方程．（2）在 x 轴上是否存在定点 M x 0t0 ，使得当 l 变动时，总有直线 MA ，MB 的斜率之和为 0?若存在，求出 x 0 的值；若不存在，说明理由．34. 己知函数 ƒ x = mx h n e —x （mtn C R ，e 是自然对数的底）．（1）若函数 ƒ x 在点 1t ƒ 1 处的切线方程为 x h e y — 3 = 0，试确定函数 ƒ x 单调区间； （2）① 当 n =— 1，m C R 时，若对于任意 x C 1 th ，都有 ƒ x ≤ x 恒成立，求实数 m 的最小h值；② 当 m = n = 1 时，设函数 g x = xƒ x h tƒ' x h e —x t C R ，是否存在实数 atbtc C 0t1 ， 使得 g a h g b € g c ?若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，说明理由．xheƒ1 g x hx35. 设 ƒ x = alnx h bx — b ，g x = ex ，其中 atb C R ． e（1）求 g x 的极大值；（2）设 b = 1，a Σ 0，若 ƒ x h — ƒ x 1 €—立，求 a 的最大值；对任意的 x 1tx h C 3t 㔶 x 1 G x h 恒成（ 3） 设 a =— h ， 若对任意给定的 x 0 C 0te ， 在区间 0te 上总存在 stt s G t ， 使 ƒ s = ƒt = g x 0 成立，求 b 的取值范围．36. 已知函数 ƒ x = alnx — x h h ，其中 a G 0．（1）求 ƒ x 的单调区间；（2）若对任意的 x 1 C 1te ，总存在 x h C 1te ，使得 ƒ x 1 h ƒ x h = 㔶，求实数 a 的值．37. 已知函数 ƒ x = x h a · e —x ．（1）当 a = e h 时，求 ƒ x 在区间 1t3 上的最小值； （2）求证：存在实数 x 0 C — 3t3 ，有 ƒ x 0 Σ a ．38. 已知函数 ƒ x = 1 ax h — ha h 1 x h hlnx a C R ．h（1）若曲线 y = ƒ x 在 x = 1 和 x = 3 处的切线互相平行，求 a 的值； （2）求 ƒ x 的单调区间；（3）设 g x = x h — hx ，若对任意 x 1 C 0th ，均存在 x h C 0th ，使得 ƒ x 1 € g x h ，求 a 的取值范围．1g x 1x39. 已知函数 ƒ x = a x — 1x— hlnx a C R ．（1）若 a = h ，求曲线 y = ƒ x 在点 1t ƒ 1 处的切线方程；（2）求函数 ƒ x 的单调区间；（3）设函数 g x =— a ．若至少存在一个 x 0 C 1te ，使得 ƒ x 0 Σ g x 0 成立，求实数 a 的取 值范围．40. 已知函数 ƒ x = ax h h hx — a e x ，g x = 1 ƒ lnx ，其中 a C R ，e = h.71tht … 为自然对数的h底数．（1）若函数 y = ƒ x 的图象在点 M h t ƒ h处的切线过坐标原点，求实数 a 的值；（2）若 ƒ x 在 — 1t1 上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （3）当 a = 0 时，对于满足 0 € x 1 € x h 的两个实数 x 1tx h ，若存在 x 0 Σ 0，使得 g' x = g x 1 —g x hx 1—x h成立，试比较 x 0 与 x 1 的大小．41. 已知函数 ƒ x = x — alnx h 1ha xa C R ．（1）求 ƒ x 的单调区间；（2）若在 1te e = h.71tht… 上存在一点 x 0，使得 ƒ x 0 ≤ 0 成立，求 a 的取值范围．42. 已知函数 ƒ x = e mx — lnx — h ．（1）若 m = 1，证明：存在唯一实数 t C 1 t1 ，使得 ƒ' t = 0；h（2）求证：存在 0 € m € 1，使得 ƒ x Σ 0．x h y h h43.已知椭圆C知a hhb h= 1（a Σb Σ0）的离心率为C 上，直线PA 交x 轴于点M．，点P 0t1 和点A mtn （m G 0）都在椭圆h（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）．（2）设0 为原点，点 B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得²0QM = ²0NQ ?若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．44.已知函数ƒx = e x hx —1 —ax h a a C R ，e 为自然对数的底数．（1）当a＝1 时，求函数ƒ x 的单调区间；（2）①若存在实数x，满足ƒ x € 0，求实数 a 的取值范围；②若有且只有唯一整数x0，满足ƒ x0€ 0，求实数a 的取值范围．45.已知函数ƒx = log a x h 1 a Σ1 ，若函数y = g x 的图象与函数y = ƒx 的图象关于原点对称．（1）写出函数g x 的解析式；（2）求不等式hƒ x h g x ≤ 0 的解集A；（3）问是否存在m C 0t h œ ，使不等式ƒ x h hg x ≤ log a m 的解集恰好是A ?若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．xe x46.已知函数ƒx = xh1（e 为自然对数的底数）．e（1）求函数ƒ x 的最大值；（2）设函数x = xƒ x h tƒ' x h 1，存在实数x1，x h C 0t 1 ，使得h x1€ x h成立，求实数t 的取值范围.47.设函数ƒ x = mlnx —1 x h 1 . m C R ．h hx（1）当m = 5时，求ƒ x 的极值；㔶（2）设A 、B 是曲线y = ƒ x 上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k，是否存在m，使得m — k = 1 ? 若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．48.已知函数ƒx = x3 h 3h1 —a x h —3ax h 1，a Σ 0．（1）当 a = 1 时，求函数ƒ x 的单调减区间；（2）证明：对于任意正数a，存在正数p，使得当x C 0tp 时，有ƒx ≤ 1；（3）设（2）中的p 的最大值为g a ，求g a 的最大值．2 149. 设函数 ƒ x = lnx — ax h 1—a — 1．x（1）当 a = 1 时，过原点的直线与函数 ƒ x 的图象相切于点 P ，求点 P 的坐标； （2）当 0 € a € 1 时，求函数 ƒ x 的单调区间；h（3）当 a = 1 时，设函数 g x = x h — hbx — 5 ，若对于 6x 1 C 0te ，Ex h C 0t1 使 ƒ x 1 ≤31hg x h 成立，求实数 b 的取值范围（e 是自然对数的底数，e €h 1）．50. 已知函数 ƒ x = ax — ha h 1 lnx — h ，g x =— halnx — h ，其中 a C R ．xx（1）当 a = h 时，求曲线 y = ƒ x 在点 1t ƒ 1 处的切线方程；（2）当 a Σ 0 时，求 ƒ x 的单调区间；（3）若存在 x C 1 te h ，使不等式 ƒ x ≤ g x 成立，求 a 的取值范围．e51. 函数 y = Asin mx h A Σ 0tm Σ 0t0 ≤ ≤ π h在 x C 0t7π 内只取到一个最大值和一个最小值，且当 x = π 时，y max = 3；当 x = 6π 时，y min =— 3． （1）求出此函数的解析式； （2）求该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数 m ，满足不等式 Asin m存在，求出 m 的范围（或值），若不存在，请说明理由．h Σ Asin mh ? 若52. 已知函数 ƒ x = x h — k h 1 x h 9，g x = hx — k ，其中 k C R ．㔶（1）若 ƒ x 在区间 1t 㔶 上有零点，求实数 k 的取值范围；（ ）设函数 p x = ƒ x tx € 0t是否存在实数 k ，对任意给定的非零实数 x ，存在唯一的非零 g x tx ≤ 0t实数 x h x 1 G x h ，使得 p x 1 = p x h ．若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．3 — m h h hm h 3 — m h h 㔶h㔶53. 已知函数 ƒ x = ln 1 h 1 ax h x h — ax （ a 为常数，a Σ 0 ）．hh（1）当 y = ƒ x 在 x = 1 处取得极值时，若关于 x 的方程 ƒ x — b = 0 在 0th 上恰有两个不h相等的实数根，求实数 b 的取值范围；（2）若对任意的 a C 1th ，总存在 x 0 C 1 t1 ，使不等式 ƒ x 0 Σ m a hh ha — 3 成立，求实数 m 的取值范围．54. 已知函数 ƒ x = e x ，点 A at0 为一定点，直线 x = t t G a 分别与函数 ƒ x 的图象和 x 轴交于点 M ，N ，记 O AMN 的面积为 S t ． （1）当 a = 0 时，求函数 S t 的单调区间；（2）当 a Σ h 时，若 Et 0 C 0th ，使得 S t 0 ≤ e ，求实数 a 的取值范围．55. 已知函数 ƒ x = x — alnx ，g x =— 1ha x（1）若 a = 1，求函数 ƒ x 的极值；a Σ 0 ．（2）设函数 h x = ƒ x — g x ，求函数 h x 的单调区间； （3）若存在 x 0 C 1te ，使得 ƒ x 0 € g x 0 成立，求 a 的取值范围．56. 已知函数 ƒ x — lnx — ax h 1—a — 1 a C R ．x（1）当 a ≤ 1 时，讨论 ƒ x 的单调性；h（ 2） 设 g x = x h — hbx h 㔶． 当 a = 1 时， 若对任意 x 1 0th ， 存在 x h C 1th ， 使 ƒ x 1 ≤ g x h ，求实数 b 取值范围．57.已知二次函数ƒx = ax h h bx h c a Σ0 的图象过点1t0 .（1）记函数ƒ x 在0th 上的最大值为M，若M ≤ 1，求a 的最大值；（2）若对任意的x1 C 0th ，存在x h C 0th ，使得ƒ x1h ƒ x hΣ 3 a，求 b 的取值范围.h a58.设a 为正实数，函数ƒx = ax，g x = lnx．（1）求函数h x = ƒ x · g x 的极值；（2）证明：Ex0 C R，使得当x Σ x0时，ƒ x Σ g x 恒成立．59.设函数ƒ x = p x 1x —hlnx，g x = he（p 是实数，e 为自然对数的底数）．x（1）若ƒ x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若在1te 上至少存在一点x0，使得ƒ x0Σ g x0成立，求p 的取值范围．60.设二次函数ƒx = ax h h bx h c atbtc C R 满足下列条件：①当x C R 时，其最小值为0，且ƒ x — 1 = ƒ — x — 1 成立；②当x C 0t5 时，x ≤ ƒ x ≤ h|x — 1| h 1 恒成立．（1）求ƒ 1 的值；（2）求ƒ x 的解析式；（3）求最大的实数m m Σ 1 ，使得存在t C R，只要当x C 1tm 时，就有ƒ x h t ≤ x 成立．61. 已知函数 ƒ x = e x ，A at0 为一定点，直线 x = t （t G a ）分别与 ƒ x 的图象和 x 轴交于点 M ，N ，记 O AMN 的面积为 S t ．（1）当 a = 0 时，求函数 S t 的单调区间；（2）当 a Σ h 时，若 Et0 S t 0 ≤ e ，求 a 的取值范围．62. 已知函数 ƒ x = ax h — ha h 1 x a C R ．（1）当 a ≤ 0 时，讨论函数 ƒ x 的单调性；（2）设 g x = bx h ，当 a = 1 时，若对任意 x C 0th ，存在 x C 1th ， 使 ƒ x ≤ g x ， 求lnx h实数 b 的取值范围．1 h 1 h63. 已知函数 ƒ x = 1 ax h — a h 1 x h lnx ，g x = x h — hbx h 7．ht（1）当 a = 0 时，求曲线 y = ƒ x 在点 1t ƒ 1 处的切线方程；（2）当 a € 1 时，求函数 ƒ x 的单调区间；（3）当 a = 1 时，函数 ƒ x 在 0 th M ，若存在 g x ≤ M 成立，㔶求实数 b 的取值范围．0 0 64.已知函数ƒx = x·ex—aa € 0 ．（1）当 a =—㔶时，试判断函数ƒ x 在—㔶t h œ 上的单调性；（2）若函数ƒ x 在x = t 处取得极小值，1 求实数t 的取值集合T；h 问是否存在整数m，使得m ≤ t hth1数m 的值；若不存在，请说明理由．ƒ t ≤ m h 1 对于任意t C T 恒成立．若存在，求出整65.设函数ƒx=a ln x h1—a x h—b x a G1，曲线y=ƒx在点1tƒ1处的切线斜率为0．h（1）求b；（2）若存在x ≤ 1，使得ƒx €a，求a 的取值范围．a—166.设函数ƒx = e x—1，x G 0．x（1）判断函数ƒ x 在0t h œ 上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式ƒ x —1 € a 成立．a 2 167. 已知 a Σ 0 且 a G 1，函数 ƒ x = log h ．1—x（1）求 ƒ x 的定义域 D 及其零点；（2）讨论并证明函数 ƒ x 在定义域 D 上的单调性；（3）设 g x = mx h — hmx h 3，当 a Σ 1 时，若对任意 x 1 C — œt — 1 存在 x h C 3t 㔶 ，使得ƒ x 1 ≤ g x h ，求实数 m 的取值范围．68. 已知函数 ƒ x = log a h x ．（1）判断并证明 ƒ x 的奇偶性；（2）若两个函数 F x 与 G x 在闭区间 ptq 上恒满足 F x — G x Σ h ，则称函数 F x 与G x在闭区间 p t q 上是分离的．是否存在实数 a 使得 y = ƒ x 的反函数 y = ƒ—1 x 与 g x = a x 在闭区间 1th 上分离?若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．69. 已知函数 ƒ x = ax h — hax h b a Σ 0 在区间 — 1t 㔶 上有最大值 10 和最小值 1．设 g x = ƒ x ．（1）求 a ，b 的值；（2）证明：函数 g x 在 bt h œ 上是增函数；（3）若不等式 g h x — k · h x ≤ 0 在 x C — 1t1 上有解，求实数 k 的取值范围．70. 已知函数 ƒ x = x 3 — k h — k h 1 x h h 5x — h t g x = k h x h h k x h 1，其中 k C R ．（1）设函数 p x = ƒ x h g x ．若 p x 在区间 0t3 上不单调，求 k 的取值范围；（ ）设函数 q x = g x t x ≤ 0，是否存在 k ，对任意给定的非零实数 x ，存在惟一的非零实 ƒ x t x € 0数 x h x h G x 1 ，使得 q' x h = q' x 1 成立?若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由．x h h 1xha hhhhxh71.已知函数ƒx = ．（1）若ƒ' a = 1，求 a 的值；（2）设 a ≤ 0，若对于定义域内的任意x1，总存在x h使得ƒ x h€ ƒ x1，求a 的取值范围．72.设函数ƒx = x h —ax h lnx （a 为常数）．（1）当 a = 3 时，求函数ƒ x 的极值；（2）当0 € a € h h 时，试判断ƒ x 的单调性；（3）若存在x0C 1th ，使不等式ƒ x0€ mlna 对任意a C 0t 1恒成立，求实数m 的取值范围．73.已知集合P = x 1≤ x ≤ h ，函数y = log ax h — hx h h 的定义域为Q．h（1）若P fi Q G t，求实数 a 的取值范围；（2）若方程log ax h — hx h h = h 在 1 th 内有解，求实数a 的取值的取值范围．h74.已知函数ƒx = ex，其导函数记为ƒ' x （e 为自然对数的底数）．e（1）求函数ƒ x 的极大值；（2）解方程ƒƒx = x；（3）若存在实数x1tx h x1G x h使得ƒ x1 = ƒ x h，求证：ƒ' x1hx h€ 0．75.已知函数ƒx = lnx —x—1h．（1）求函数ƒ x 的单调递增区间；（2）证明：当x Σ 1 时，ƒ x € x —1；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0Σ 1，当x C 1tx0，恒有ƒ x Σ k x — 1 ．76.已知函数ƒx = 1h alnx a G 0ta C Rx（1）若 a = 1，求函数ƒ x 的极值和单调区间；（2）若在区间0te 上至少存在一点x0，使得ƒ x0€ 0 成立，求实数a 的取值范围．77.已知函数ƒx = x h —ax —aln x —1 a C R .（1）求函数ƒ x 的单调区间；h （2）试判断是否存在实数 a a ≤ 1 ，使y = ƒ x 的图象与直线y = 1 h ln无公共点（其中自然对数的底数e 为无理数且e = h.71tht…）．78.设ƒ x = a h xlnx，g x = x3 —x h —3．x（1）当a = h 时，求曲线y = ƒ x 在x = 1 处的切线方程；（2）如果存在x1，x h C 0th 使得g x1— g x h≤ M 成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的stt C 1 th 都有ƒ s ≤ g t 成立，求实数a 的取值范围．h79. 设函数 ƒ x = xhlnx，g x = ax3 — xh． （1）求函数 ƒ x 的最小值； （2）若存在 x C 0t h œ ，使 ƒ x Σ g x 成立，求实数 a 的取值范围；1（3）若使关于 x 的方程 ƒ x — g x = 0 在 e — 3ten （其中 e = h.71…… 为自然对数的底数）上 有解的 a 的最小值为 an，数列 an 的前 n 项和为 Sn，求证：Sn € 3．80. 已知函数 ƒ x = 1 axh — ha h 1 x h hlnx a C R .h（1）若曲线 y = ƒ x 在 x = 1 和 x = 3 处的切线互相平行，求 a 的值； （2）求 y = ƒ x 的单调区间； （3）设 g x = xh — hx，若对任意 x1 C 0th ，均存在 xh C 0th ，使得 ƒ x1 € g xh ，求 a 的取值范围．81. 已知函数 ƒ x = ex — axh h a — e h 1 x — 1（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数 g x = ƒ x — 1 x ·ƒ' x 在区间 1t h œ 上单调递减，求 a 的取值范围．h（2）当 a C e — ht1 时，函数 ƒ x = ex — axh h a — e h 1 x — 1 在 0t1 上是否有零点?并说明 理由．2182. 设 x = 3 是函数 ƒ x = xh h ax h b e3—x x C R 的一个极值点．（1）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b），并求 ƒ x 的单调区间；（2）设a Σ 0，g x = ah hh5 㔶ex．若存在 ɛ1，ɛhC 0t㔶 使得 |ƒ ɛ1— g ɛh| € 1 成立，求 a的取值范围．83. 已知函数 ƒ x = ax — lnx — 㔶 a C R ． （1）讨论 ƒ x 的单调性； （2）当 a = h 时，若存在区间 mtn Š 1 t h œ ，使 ƒ x 在 mtn 上的值域是h的取值范围．k t k ，求 kmh1 nh184. 已知定义在 R 上的偶函数 ƒ x ，当 x C 0t h œ 时，ƒ x = ex． （1）当 x C — œt0 时，求过原点与函数 ƒ x 图象相切的直线的方程； （2）求最大的整数 m m Σ 1 ，使得存在 t C R，只要 x C 1tm ，就有 ƒ x h t ≤ ex．85. 设函数 ƒ x = a h lnx，g x = x3 — xh — 3．xh（1）讨论函数 ƒ x 的单调性；（2）若存在x1txhC—1 3t3，使得g x1 — g xh ≤ M 成立，求满足条件的最大整数M；（3）若对任意的 stt C 1 th ，都有 sƒ s ≤ g t 成立，求实数 a 的取值范围．32286. 数列an各项均为正数，a1=1，且对任意的hn C N×，有 anh1 = an h canh c Σ 0 ．（1）求 c1hca1hc 1hcahh1 的值；a3（2）若c = 1 ，是否存在h016n C N×，使得an Σ 1，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．87. 已知函数 ƒ x = axh h bx h c（a Σ 0），g x = ƒ x ·e—㔶x（e 为自然对数的底），当 — 1 ≤ x ≤ 1 时，|ƒ x | ≤ 1，且 a h b = h． （1）求 ƒ x ； （2）求函数 g x 可能的最大值和最小值； （3）若 Ex0 C R，当 x C — œtx0 ，g x ≤ ƒ' x 成立（ƒ' x 是 ƒ x 的导函数），求最大整数 x0．88. 已知函数 ƒ x = lnx．x（1）若关于 x 的不等式 ƒ x ≤ m 恒成立，求实数 m 的最小值；（2）对任意的 x1，xh C0th ，已知存在 x0 Cx1txh ，使得 ƒ' x0=ƒxh—ƒ x1 x —hx 1，求证：x0€x1xh．23答案1. （1） ƒ x = xh — txtx ≤ 0 ，— xh h txtx € 0当 t Σ 0 时，ƒ x 的单调增区间为 t t h œ ， — œt0 ，单调减区间为 0t t .hh当 t = 0 时，ƒ x 的单调增区间为 — œt h œ .当 t € 0 时，ƒ x 的单调增区间为 0t h œ ， — œt t ，单调减区间为 t t0 .h（2） 方法一：设 g x = ƒ x — x = xh — t h 1 xhtx C 0th .— xh h t — 1 x tx C — 1t0x C 0th 时，因为 th1 C 0th ，所以 gx = g th1 =— th1 h .hminh㔶x C — 1t0 时，因为 g — 1 =— t，g 0 = 0，所以 gmin x =— t .故只须 Et C 0th ，使得：—th1 㔶hΣa成立，即—1㔶≤a，—tΣ a0≤a所以 a ≤— 1 .㔶方法二：设 h t = ƒ x — x =— |x| ·t h x|x| — x，t C 0th .只须 h t max ≤ a ，对 x C — 1th 都成立．则只须 h 0 = x|x| — x ≤ a，对 x C — 1th 都成立．再设 m x = x|x| — x，x C — 1th ，只须 m x min ≤ a，易求得 a ≤— 1 .㔶 2. （1） 当 a = 1 时，ƒ' x = 3xh — hx，ƒ h = 1㔶．曲线 y = ƒ x 在点 htƒ h 处的切线斜率 k = ƒ' h = t，所以曲线 y = ƒ x 在点 htƒ h 处的切线方程为 y — 1㔶 = t x — h ，即 tx — y — h = 0． （2） 由已知，得 a Σ x3h10 = x h 10，xhxh设 g x = x h 10 1 ≤ x ≤ h ， 则 g' x = 1 — h0．xhx3因为 1 ≤ x ≤ h，所以 g' x € 0，所以 g x 在 1th 上是减函数．所以 g x min = g h = 9，所以 a Σ 9．hh3. （1） 设数列 an 的公差为 d，由 a5 = a1 h 㔶d，得 d =— h，得 an =— hn h 10．由数列bn的前n和为Sn=hn—1—1 hn C N× 可知，当n=1时，b1=S1=1．h当 n ≤ h 时，bn = Sn — Sn—1 = hn—h．因为h1—h=1h=b1，所以n ≤ 1 时，bn = hn—h．故数列 an 的通项公式为 an =— hn h 10， bn 的通项公式为 bn = hn—h．（2） cn = han = h10—hn = 㔶5—n，bn = hn—h．假设存在正整数 n 使不等式 bncn h 1 Σ bn h cn 成立，即要满足 cn — 1 bn — 1 Σ 0．因为 cn，bn 需满足同时大于 1 或同时小于 1． 则由指数函数性质得 5 — n Σ 0t 或 5 — n € 0tn — h Σ 0. n — h € 0.24解得 h € n € 5．综上所述，存在正整数 n = 3，㔶 时，使不等式 bncn h 1 Σ bn h cn 成立．4. （1） 直线 hx h y = 0 的斜率 k =— h，若 曲线 ƒ x 在 x = h 处的切线与直线 hx h y = 0 垂直，则 ƒ' h = 1，hƒ x = lnx — 1 axh — hx h 1，hƒ' x = 1 — ax — h，x则 ƒ' h = 1 — ha — h = 1，解得 a =— 1．hh（2） 若 ƒ x 存在单调递减区间，即 ƒ' x = 1 — ax — h € 0 在 0t h œ 上有解，即 1 — h € ax，则xx设 g x = 1—hx，则 g x =xh1 — hxhaΣhxh t1 — h ·1 = 1 — 1 — 1 ≤— 1， 则xxxa Σ— 1.5. （1） 由 ƒ x ≤ 0 得 m ≤ x h h 在 0t㔶 上有解（易检验 x = 0 不是已知不等式的解），x则 m ≤ h h，即 m 的最小值为 h h．ƒ 0 Σ 0t n Σ 0t （2） 设 ƒ x = xh — mx h n，则由题意得 ƒ h € 0t 即 㔶 — hm h n € 0tƒ 㔶 Σ 0t 16 — 㔶m h n Σ 0.利用线性规划可得 m h n 的范围为 ht1㔶 ．6. （1） y = ƒ x = 㔶 xh—1hx—3 = hx h 1 h 㔶 — t，hxh1hxh1设 u = hx h 1tx C 0t1 t1 ≤ u ≤ 3，则 y = u h 㔶 — ttu C 1t3 ．u由已知性质得，当 1 ≤ u ≤ h，即 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x 单调递减；h所以减区间为 0t 1 ；h当 h ≤ u ≤ 3，即 1 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x 单调递增；h所以增区间为 1 t1 ；h由 ƒ 0 =— 3tƒ 1 =— 㔶tƒ 1 =— 11，h3得 ƒ x 的值域为 — 㔶t — 3（2） g x =— x — ha 为减函数，故 g x C — 1 — hat — ha tx C 0t1 ．由题意，ƒ x 的值域是 g x 的值域的子集，所以 — 1 — ha ≤— 㔶．所以 a = 3．— ha ≤— 3h7. （1） ① 当 b = 0 时，ƒ x = 1．x故 ƒ x 的单调区区间为 — œt0 ， 0t h œ ；无单调增区间．25②当 b Σ 0 时，ƒ'x=b—xh xhhb h．令 ƒ' x = 0，得 x1 = b，xh =— b． ƒ x 和 ƒ' x 的情况如下：x — œt — b — b — bt b bƒ' x—0h0ƒxk³bt h œ— kƒ x 和 ƒ' x 的情况如下：故 ƒ x 的单调减区间为 — œt — b ， bt h œ ；单调增区间为 — bt b ．③ 当 b € 0 时，ƒ x 的定义域为 D = x C Rh因为ƒ'x=b—x xhhbh€0在D 上恒成立，x Gt— b．故 ƒ x 的单调减区间 — œt — — b ， — — bt — b ；无单调增区间．（2） 因为 b Σ 0，x C 1 t 3 ，㔶㔶所以 ƒ x ≤ 1 等价于 b ≤— xh h x，其中 x C 1 t 3 ．㔶㔶设 g x =— xh h x，g x 在区间 1 t 3 上的最大值为 g 1 = 1．㔶㔶h㔶则“E C 1 t 3 ，使得 b ≤— xh h x”等价于 b ≤ 1．㔶㔶㔶所以，b 的取值范围是 0t 1 ．㔶8. （1） 因为 ƒ x 是 R 上的奇函数，所以ƒ a—ƒ b a—b= ƒ ahƒ —b ah—bΣ 0t又因为 a Σ b，所以 a — b Σ 0，所 以 ƒ a — ƒ b Σ 0，即 ƒ a Σ ƒ b ．（2） 由（1）知，a Σ b 时，都有 ƒ a Σ ƒ b ，所以 ƒ x 在 R 上单调递增． 因为 ƒ x 为奇函数，所以 ƒ x — c h ƒ x — ch Σ 0 等价于 ƒ x — c Σ ƒ ch — x ，所以不等式等价于 x — c Σ ch — x，即 ch h c € hx，因为存在实数 x C 1 t 3 使得不等式 ch h c € hx 成立，hh所以 ch h c € 3，即 ch h c — 3 € 0，解得 c 的取值范围为 — 1h 13 t 13—1 ．hh9. （1） 若 a =— 1，ƒ x ≤ 3，即 为 x — 1 h x h 1 ≤ 3，当 x ≤— 1 时，1 — x — x — 1 ≤ 3，即有 x ≤— 3；h当 — 1 € x € 1 时，1 — x h x h 1 = h ≤ 3 不成立；当 x ≤ 1 时，x — 1 h x h 1 = hx ≤ 3，解得 x ≤ 3；h综上可得，ƒ x ≤ 3 的解集为 — œt — 3 U 3 t h œ ；hh（2） Ex C R，使得 ƒ x € h 成立，26即有 h Σ ƒ x min， 由函数 ƒ x = x — 1 h x — a ≤ x — 1 — x h a = a — 1 ，当 x — 1 x — a ≤ 0 时，取得最小值 a — 1 ，则 a — 1 € h，即 — h € a — 1 € h，解得 — 1 € a € 3．则实数 a 的取值范围为 — 1t3 ．10. （1） 对于任意 x C R，ƒ x=x—a — x—㔶 C — a—㔶ta—㔶 ，可 知 a — 㔶 = 3，解得：a = 1 或 a = 7；（2） 依题意有 — 3 ≤ hm — mh， 即 mh — hm — 3 ≤ 0，解得：m C — 1t3 ．11. 由（a）知，函数 ƒ x 的对称轴为 x =—1． 所以b = ha ……Ⓢ由（c）知，x =—1 时，y =0，即a — b h c = 0 ……Ⓢ a由（a）、（b）知 ƒ 1 = 1，即h b h c = 1 ……Ⓧ联立①、②、③得 所以1 11 a = 㔶tb = h tc = 㔶.ƒx 1 h 1 1 1h假设存在 t C R，只要 x C 1tm ，=㔶xhhxh㔶=㔶xh1.就有 ƒ x h t≤ x，即 1㔶x h t h 1 h ≤ x 恒成立．设g x = xh h h t — 1 x h t h 1 ht 只需证“存在 t C R，只要 x C 1tm ，g x = xh h h t — 1 x h t h 1 h ≤ 0 恒成立”，其充要条件为g 1 ≤ 0t g m ≤ 0.取 x = 1，有 解得1 㔶thhh≤1t— 㔶 ≤ t ≤ 0t27取 x = m，有 即1 㔶mhth1h≤mt解得mh — h 1 — t m h th h ht h 1 ≤ 0t所以 m ≤ 1 — t h — 㔶t．1 — t — — 㔶t≤ m ≤ 1 — t h — 㔶 tt因为 0 ≤— t ≤ 㔶，所以 m ≤ 1 h 㔶 h 㔶 = 9．故当 t =— 㔶 时，mmax = 9． 12. （1） 因为 k Σ 0，所以ƒxΣm¤ kxxh h3kΣm¤ mxh —kxh3km€0，因为不等式 mxh — kx h 3km € 0 的解集为 x x €— 3 或 x Σ— h ，所以 — 3，— h 是方程 mxh — kx h 3km = 0 的根，且 m € 0．所以k =— 5tm‹3k = 6k = ht m =— h t5所以 5mxh h k x h 3 Σ 0 ¤hxh — x — 3 € 0 ¤— 1 € x € 3．hh所以不等式 5mxh h k x h 3 Σ 0 的解集为 — 1t 3 ．hh（2）因为ƒxΣ1¤ kxxh h3kΣ1kΣ0¤xh—kxh3k€0¤x—3kΣxh，存在 x0 Σ 3，使得 ƒ x0Σ1成立，即存在x0Σ3，使得kΣ 0x成 h 立．x0—3h令 g x = x ，x C 3t h œ ， 则 k Σ g xx—3min．h令 x — 3 = t， 则 t C 0t h œ ，y = th3 = t h 9 h 6 ≤ httt ·9 h 6 = 1h．t当且仅当 t = 9 即 t = 3 即 x = 6 时等号成立．t所以 g x min = 1h，所以 k C 1ht h œ ．13. （1） 原不等式等价于 x €— 3t或— h — hx ≤ 5— 3 ≤ x ≤ 1t 㔶≤ 5或x Σ 1t hx h h≤5t得73— h ≤ x €— 3 或 — 3 ≤ x ≤ 1 或 1 € x ≤ h t因此不等式的解集为 — 7 t 3 ．hh（2） ƒ x = x — 1 h x h 3 ≤ x — 1 — x h 3 = 㔶，要使 th h 3t Σ ƒ x 在 x C R 上有解，只需 th h 3t 大于 ƒ x 的最小值，th h 3t Σ ƒ x min = 㔶 ‹ th h 3t — 㔶 Σ 0 ‹ t €— 㔶 或 t Σ 1．14. （1） （i）当 m = 0 时，ƒ x =— 1hx — 9 为一次函数，有唯一零点．（ii）当 m G 0 时，由 6 = 9 m — 㔶 h h 36m = 9 m — h h h 10t Σ 0，故 ƒ x 必有两个零点．（2） 由条件可得 ƒ x 的图象关于直线 x = 1 对称，所以 — 3 m— = 1 且 m G 0，解得 㔶hm281h m= .5（3） 依题原命题等价于 ƒ x — a Σ 0 有解，即 ƒ x Σ a 有 解． 所以 a € ƒ x max，因为 ƒ x 在 0th 上递减， 所以 ƒ x max = ƒ 0 =— 9，故 a €— 9． 15. （1） 当 n = 1 时，由 p — 1 a1 = ph — a1 ，得 a1 = p ． 当 n ≤ h 时，p — 1 Sn = ph — an p — 1 Sn—1 = ph — an—1两式相减，整理得 an = 1 ．an—1 pan = p1 pn—1 = ph—n ，从而bn= 㔶 — hn ．（2） an 为等比数列， bn 为等差数列，由错位相减法，得Tn=㔶n hn—1．当 n = 1th 时， T1 = Th = 㔶 ．当 n ≤ 3 时 ， Tn = Tn—1 =hnh——3 n € 0 ． 0 € Tn € T3 = 3 ， 故 0 € Tn ≤ 㔶 ． （3） 当 0 € p € 1 时，存在 M = h ，使得当 n Σ h 时， an Σ 1 恒成立． 当 p Σ 1 时，由 an = ph—n Σ 1 ，得 h — n Σ 0 即 n € h ． 所以满足要求的 M 不存在 ．16. （1） 由 ƒ h — x = ƒ h h x 得函数 ƒ x 关于 x = h 对称，则 — b—1 = h，ha又 xh — x1 = h 可知 x1 = 1，xh = 3，则 a h b — 1 h 1 = 0，解得 a = 1，b =— 1，则 ƒ x = 1 xh — 㔶 x h 1．3333gx = （2）=— a x — x1 x — xh h h xh — xa xh — xx—x1hh a≤axh—x1hha hht等号成立条件为x0=xhhx1—ha，h设函数 g x 的最大值为 h a ，则 h a = ahhhah=a1h1h =ah 1hh≤㔶，haa故必存在 x0 C R 使得 g x0 ≤ 㔶 成立． 17. （1） 因为 ƒ x = xex，所以 ƒ' x = ex h xex = 1 h x ex 当 x €— 1 时，ƒ' x € 0，所以 ƒ x 在 — œt —1 内单调递减；当 x Σ— 1 时，ƒ' x Σ 0，所以 ƒ x 在 — 1t h œ 内单调递增．又 g' x = hax h 1，由 g' — 1 =— ha h 1 = 0，得 a = 1，h此 时 g x = 1 xh h x = 1 x h 1 h — 1，hhh29显然 g x 在 — œt — 1 内单调递减，在 — 1t h œ 内单调递增，故 a = 1．h（2） 当 x ≤ 0 时恒有 ƒ x ≤ g x ，即 ƒ x — g x = x ex — ax — 1 ≤ 0 恒成立． 故只需 F x = ex — ax — 1 ≤ 0 恒成立，对 F x 求导数可得 F' x = ex —a． 因为 x ≤ 0，所以 F' x = ex — a，若 a ≤ 1，则当 x C 0t h œ 时，F' x Σ 0，F x 为增函数， 从而当 x ≤ 0 时，F x ≤ F 0 = 0，即 ƒ x ≤ g x ；若 a Σ 1，则当 x C 0tlna 时，F' x € 0，F x 为减函数，从而当 x C (0tlna쳌 时，F(x쳌 € F(0쳌 = 0，即 ƒ(x쳌 € g(x쳌，故 ƒ(x쳌 ≤ g(x쳌 不恒成立．故 a 的取值范围为：a ≤ 1．18. （1） 设公差为 d，由 a1，ah，a㔶 成等比数列得：ah = a a1 㔶，h即 1 h d h = 1 ·1 h 3d ，求得：d = 1 或 d = 0 舍去 .所以na=1hn—1·1=n，S=n1han·n=h1nnhh1．（2） A = 1 h 1 h … h 1 = h 1 h 1 h … h1 =h 1— 1 ，S1 ShSn1×h h×3n× nh1nh1B=1h1h…1 =1h1h…1 =h—1 =h 1— 1 ，a0h a1hanh—1h0 h1hn—1hn—1hn因为当 n ≤ h 时，hn Σ n h 1，即 1 — 1 Σ 1 — 1 ．hnnh1所以 A € B．（3） 要使 ah h ah ≤ k ·ah mtn C Nh 成立，只须：k ≤ amh hahn mtn C Nh 恒成立，即 k ≤mnmhnahmhnahmhah n ahmhn min因为= amh hnahahmhnmhhnh mhn h=mhhnh mhhnhhhmn，又因为hmn ≤ mh h nh所以 mhhnhmhhnhhhmn≤ mh mhhhnhhn=h1 h当且仅当m = n 时等号成立所以 k ≤ 1 时，对任意的正整数 m，n，不等式 ah h ah ≤ k ·ah 都成立，hmnmhn即实数 k 存在，最大值为 1 .h19. （1） 当 t = 1 时，ƒ x = x — 3 h hx h 1 ，由 ƒ x ≤ 5 得 x — 3 h hx h 1 ≤ 5，当 x ≤ 3 时，不等式等价为 x — 3 h hx h 1 ≤ 5，即 3x ≤ 7，得 x ≤ 7，此时 x ≤ 3，3当 — 1 € x € 3 时，不等式等价为 — x — 3 h hx h 1 ≤ 5，即 x ≤ 1，此时 1 ≤ x € 3，h当 x €— 1 时，不等式等价为 3 — x — hx — 1 ≤ 5，解得 x ≤— 1，得 x ≤— 1，h综上，x ≤ 1 或 x ≤— 1，即不等式的解集为 — œt — 1 U 1t h œ ．ƒ a h a — 3 = h a — 3 h ha h t（2）≤ ha h t — ha — 6= th6t则命题 ƒ a h a — 3 € h，等价为 ƒ a h a — 3 min € h，即 t h 6 € h，则 — h € t h 6 € h，即 — t € t €— 㔶，即 t 的取值范围是 — tt — 㔶 ．20. （1） 当 a = 3 时， x — 1 — hx — 1 Σ— 1 ，30所以x≤1 x—1—hx—1Σ—1或x≤1h1 — x — 1 — hx Σ— 1或1€ x € 1h1 — x — hx — 1 Σ— 1所以x≤ 1h或1€ x € 1h，x Σ— 1 h — 3x Σ— 1所以 — 1 € x ≤ 1 或1 € x € 1，即 — 1 € x € 1，hh所以不等式的解集为 — 1t1 ．— xt x ≤ 1（2） ƒ x = x — 1 — hx — 1 =h — 3xt 1 € x € 1hxt 所以 ƒ x C — œt 1 ，所以 ƒ x 的最大值为 1．x≤ 1hhh因为不等式有解，所以1 Σ log1a，所以1a Σ 1 h，即a Σ 3．h33321. （1） 显然 a G 0，当 a Σ 0 时，解集为 — 1 t 3 ，— 1 =— 6，3 = h，无解；aaaa当 a € 0 时，解集为 3 t — 1 ，令 — 1 = h，3 =— 6，a =— 1，aaaah综上所述，a =— 1．h（2） 当 a = h 时，令 h x = ƒ hx h 1 — ƒ x — 1 = |㔶x h 1| — |hx — 3| =— hx —㔶t x ≤— 1 t㔶6x — ht — 1 € x € 3 t㔶hhx h 㔶t x ≤ 3 .h由此可知，h x 在 — œt — 1 单调减，在 — 1 t 3 和 3 t h œ 单调增，㔶㔶hh则当 x =— 1 时，h x 取到最小值 — 7，㔶h由题意知，— 7 ≤ 7 — 3m，则实数 m 的取值范围是 — œt 7 ．hh22. （1） a = 1 时 ，ƒ x = xh h ax — lnx x Σ 0 ，所 以 ƒ' x = hx h 1 — 1 = hx—1 xh1 ，xxx C 0t 1 ，ƒ' x € 0，x C 1 t h œ ，ƒ' x Σ 0，hhƒ x 的减区间为 0t 1 ，增区间 1 t h œ ．hh（2） ƒ' x = hx h a — 1．x因为 ƒ x 在区间 0t1 上是减函数，所以 ƒ' x ≤ 0 对任意 x C 0t1 恒成立，即 hx h a — 1 ≤ 0 对任意 x C 0t1 恒成立，x所以 a ≤ 1 — hx 对任意 x C 0t1 恒成立，x令 g x = 1 — hx，x所以 a ≤ g x min，31易知 g x 在 0t1 单调递减，所 以 g x min = g 1 =— 1． 所以 a ≤— 1．（3） 设切点为 M ttƒ t ，ƒ' x = hx h a — 1，x切线的斜率 k = ht h a — 1，又切线过原点 k = ƒ t ，ttƒ t = ht h a — 1，即：th h at — lnt = hth h at — 1．tt所以 th — 1 h lnt = 0，存在性：t = 1 满足方程 th — 1 h lnt = 0，所以 t = 1 是方程 th — 1 h lnt = 0 的根．再证唯一性：设 t = th — 1 h lnt， ' t = ht h 1 Σ 0，tt 在 0t h œ 单调递增，且 1 = 0， 所以方程 th — 1 h lnt = 0 有唯一解．综上，切点的横坐标为 1．23. （1） ① 当 — a ≤ 0 即 a ≤ 0 时，只需 ƒ 0 = a ≤ 0 即可，h所以 a ≤ 0 满足题意．② 当 0 €— a € 1 即 — h € a € 0 时不合题意．h③ 当 — a ≤ 1 即 a ≤— h 时，只需 ƒ 0 = a ≤ 0 即可，h所以 a ≤— h．所以 a ≤— h 或 a ≤ 0．（2） 解法一：如果 |ƒ 1 | 与 |ƒ — 1 | 中有一个不小于 |a|，那么命题成立，而 |ƒ 1 | = |1 h a h b| ≤ |a| ¤ 1 h b 1 h ha h b ≤ 0，此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为M（图略），|ƒ — 1 | = |1 — a h b| ≤ |a| ¤ 1 h b 1 — ha h b ≤ 0，此不等式在平面直角坐标系下表示的区域记为 N（图略）．由于 M U N = xty xty C R ，故 |ƒ 1 | ≤ |a| 与 |ƒ — 1 | ≤ |a| 至少有一个成立． 解法二：当 a = 0 时，|ƒ x0 | ≤ 0 显然成立． 当 a Σ 0，假设 6x C — 1t1 t|ƒ x | € a 恒成立，即 — a € ƒ x € x， 所 以 — a € ƒ 1 = 1 h a h b € at— a € ƒ — 1 = 1 — a h b € at 所 以 — 1 — ha € b €— 1t— 1 € b €— 1 h hat 所以 b C t．当 a €0 时，同理可得 b C t，故假设不成立，综上知原命题结论成立．24. 对于方程 ahxh h ax — h = 0．32。
立体几何存在性问题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】立体几何存在性问题未命名一、解答题1．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.2．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.3．如图，在长方体中，，点在棱上，，点为棱的中点，过的平面与棱交于，与棱交于，且四边形为菱形.(2)确定点的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥的体积.4．如图2，已知在四棱锥中，平面平面，底面为矩形.（1）求证：平面平面；（2）若，试求点到平面的距离.5．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面；（2）若四面体的体积为，求线段的长．6．如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：；（2）若，，为的中点．（i）过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．7．如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．（1）求证：；（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.8．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．（1）证明：平面平面；（2）若，为棱的中点，，，求四面体的体积．是矩形，且平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）当为何值时，平面？证明你的结论. 10．10．如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.图1 图2（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.参考答案1．（1）见解析.（2）见解析.（3）.【解析】分析：（1）在梯形中，过点作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用线面垂直的判定定理得平面,进而可得平面平面；（2）在线段上取点，使得，连接，先证明与相似，于是得，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用体积相等可得，，解得.详解：（1）因为面面，面面，，所以面，.故四边形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.因为，平面，平面.∴平面,平面，∴平面平面.（2）在线段上存在点，使得平面在线段上取点，使得，连接.在中，因为，所以与相似，所以又平面，平面，所以平面.（3）点到平面的距离就是点到平面的距离，设到平面的距离为，利用同角相等可得，，可得.点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到，，根据平行关系和长度关系得到点是的中点，点是的中点；（2），因为，所以，进而求得体积.详解：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，即点是的中点．因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为点是的中点，所以点是的中点，综上：分别是的中点；（Ⅱ）因为，所以，又因为平面平面，所以平面；又因为，所以．点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.3．（1）见解析（2）为棱上靠近的三等分点，为棱中点，【解析】分析：(1)要证平面平面，即证平面，即证，；(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，利用等体积法即可求得结果.详解：(1)在矩形中,,.又平面，.,平面.又平面,平面平面.(2)为棱上靠近的三等分点，为棱中点，，所以的面积.于是四棱锥的体积.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．4．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）取AD 的中点O，则平面，由，从而利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：．（2）解：取AD的中点O，则，，则．又易知，所以，解出．点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5．(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）推导出BE⊥CD，AB⊥CD，从而CD⊥平面ABE，由此能证明平面ABE⊥平面ACD；（2）取BD的中点G，连接EG，则EG∥BC．推导出BC⊥平面ABD，从而EG⊥平面ABD，由此能求出线段AE的长．详解：（1）证明：因为，是棱的中点，所以．又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，则．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：取的中点，连接，则．易证平面，从而平面，所以四面体的体积为，则，在中，，．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6．（1）见解析；（2）见解析，【解析】分析: (1) 取中点,连接,,先证明面,再证明.(2) (i)取中点,连接,,则，即为所作直线,证明四边形为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取中点,连接,,为中点，又,为中点，又，面又面，(2)(i)取中点,连接,,则，即为所作直线,理由如下:在中、分别为、中点,且又,且，四边形为平行四边形.(ii),,，面又在中,,,又,面，.：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.7．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解．详解：（1）因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.因为A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又因为BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE．（2）由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB 的中点，在Rt△ABC中，，则A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，则梯形BCDE的面积S1＝×(6＋3)×4＝18，四棱锥A1—BCDE的体积为V＝×18×A1F＝12，即A1F＝2，在Rt△A1DF中，，即F是CD的中点，所以A1C＝A1D＝4，因为DE∥BC，DE⊥平面A1DC，所以BC⊥平面A1DC，所以BC⊥A1C，所以，在等腰△A1BE中，底边A1B上的高为，所以四棱锥A1—BCDE的表面积为S＝S1＋＋＋＋＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力．8．（1）见解析；（2）【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到⊥平面，即，进而得到平面平面,(2)由等体积法求解，。
立体几何存在性问题
立体几何存在性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABC D ， AB DC ， AB AD ⊥， 1DC AD ==， 2AB =， 45PAD ∠=︒， E 是PA 的中点， F 在线段AB 上，且满足0CF BD ⋅=.（1）求证： DE 平面PBC ；（2）求二面角F PC B --的余弦值； （3）在线段PA 上是否存在点Q ，使得FQ 与平面PFC 所成角的余弦值是在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.2．如图，已知长方形ABCD 中，, M 为DC 的中点。
将ADM ∆ 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM 。
（1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，问点E 在何位置时，二面角的余弦值为55。
3．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点.（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求的值，如不存在，说明理由.4．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，，．（1）若M为棱SB的中点，求证：平面SCD；（2）当时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为 ，求当取最大值时点N的位置．5．如图，在直三棱柱中，平面平面，且.（1）求证： ；（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的大小.6．如图，在平行四边形 中， ， ， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， ，点 在线段 上运动，且．（1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小； （2）设平面 与平面 所成二面角的大小为 （ ），求 的取值范围．7．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。
解析几何_存在性问题(含答案)
解析几何——存在性问题1、已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3e =，过1C 的左焦点1F 的直线:20l x y -+=被圆2222:(3)(3)(0)C x y r r -+-=>截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1C 的右焦点为2F ，在圆2C 上是否存在点P ，满足2122a PF PF b=,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.[解]：（1）因为直线l 的方程为:20l x y -+=，令0y =，得2x =-，即1(2,0)F -…1分 ∴2c =，又∵c e a == 26a = ， 2222b a c =-=∴ 椭圆1C 的方程为221:162x y C +=.…４分 （2）存在点P ，满足2122a PF PF b=∵ 圆心2(3,3)C 到直线:20l x y -+=的距离为d ==，又直线:20l x y -+=被圆222:66310C x y x y m +--++=截得的弦长为∴由垂径定理得2r ===，故圆2C 的方程为222:(3)(3)4C x y -+-=.…………８分设圆2C 上存在点(,)P x y ，满足2122a PF PF b=即123PF PF =，且12,FF 的坐标为12(2,0),(2,0)F F -，= 整理得2259()24x y -+=，它表示圆心在5(,0)2C ，半径是32的圆。
∴2CC ==………………１２分 故有2332222CC -<<+，即圆C 与圆2C 相交，有两个公共点。
∴圆2C 上存在两个不同点P ，满足2122a PF PF b =.………１４分2、平面直角坐标系xOy 中，椭圆∑：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为36，焦点为1F 、2F ，直线l ：02=-+y x 经过焦点2F ，并与∑相交于A 、B 两点．⑴求∑的方程；⑵在∑上是否存在C 、D 两点，满足AB CD //，D F C F 11=？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，说明理由．[解]：依题意)0 , 2(2F ，2=c ……2分，由36==a c e 得6=a ……3分 222=-=c a b ，椭圆∑的方程为12622=+y x ……4分 ⑵（方法一）若存在满足条件的直线CD ，∵AB CD //，∴1-==AB CD k k ，设直线CD 的方程为m x y +-=……5分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+m x y y x 12622……6分，得06)(322=-+-+m x x ……7分 0)63(6422=-+-m mx x ，01296)63(44)6(222>-=-⨯⨯--=∆m m m （*）设) , (11y x C ，) , (22y x D ，则2321mx x =+，463221-=m x x ……9分由已知D F C F 11=，若线段CD 的中点为E ，则CD E F ⊥1，111=-=CDE F k k ………10分 )0 , 2(1-F ，)2, 2(2121y y x x E ++即)4 , 43(mm E ，由124341=+=m mk E F ，解得4-=m ……13分4-=m 时，09612962<-=-m ，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线CD ……14分 （方法二）假设存在) , (11y x C ， ) , (22y x D ，线段CD 的中点为) , (00y x E ，则2y y ,2210210y x x x +=+=，12121-=--x x y y ……5分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12612622222121y x y x 两式相减得：0))((21))((6121212121=+-++-y y y y x x x x ……7分， 代入、化简得：03100=-y x 由已知D F C F 11=，则CD E F ⊥1，111=-=CD E F k k ……9分 由12001=+=x y k E F 得，200+=x y ， 由①②解得1,300-=-=y x ，即)1,3(--E ……11分 直线CD 的方程为：)4(+-=x y ， 联立⎪⎩⎪⎨⎧--==+412622x y y x 得 0422442=++x x ……13分 ∵0964244242<-=⨯⨯-=∆，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线CD ……14分3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),1,5()3,1(N M 、- 若点C 满足),()1(R t ON t OM t OC ∈-+= 点C 的轨迹与抛物线：x y 42=交于A 、B 两点．(1)求证：⊥；(2)在x 轴上是否存在一点),0,(m P 使得过点P 直线交抛物线于D 、E 两点，并以该弦DE 为直径的圆都过原点, 若存在，请求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由)()1(R t t t ∈-+=知点C 的轨迹是M 、N 两点所在的直线，故点C 的轨迹方程是)1(4)3(13-⋅--=+x y , 即4-=x y 由⎩⎨⎧=-=xy x y 442016124)4(22=+-⇒=-⇒x x x x 1621=∴x x , 1221=+x x 1616)(4)4)(4(212121-=++-=--=∴x x x x x x yy 02121=+∴y y x x , 故.OB OA ⊥………..6分(2)法一：存在点),0,4(P 满足条件。
初中数学总复习《动态几何之存在性问题探讨》学生版 答案A4
【一、等腰（边）三角形存在问题：答案】【例1:】解：（1）∵ 抛物线的顶点坐标为A (－2，3)，∴可设抛物线的解析式为2y a(x 2)3=++。
由题意得 2a(02)32++=，解得1a 4=-。
∴ 物线的解析式为21y (x 2)34=-++，即21y x x 24=--+。
（2）设存在符合条件的点P ，其坐标为（p ，0），则PA 2=22(2p)3--+，PB =22p 2+，AB 2=22(32)25-+= 当PA =PB 时，22(2p)3--+=22p 2+，解得9p 4=-； 当PA =PB 时，22(2p)3--+=5，方程无实数解； 当PB =AB 时，22p 2+=5，解得p 1=±。
∴ x 轴上存在符合条件的点P ，其坐标为（94-，0）或（－1,0）或（1,0）。
（3）∵ PA －PB ≤AB ，∴当A 、B 、P 三点共线时，可得PA －PB 的最大值，这个最大值等于AB ，此时点P是直线AB 与x 轴的交点。
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则b 22k b 3=⎧⎨-+=⎩， 解得1k 2b 2⎧=-⎪⎨⎪=⎩。
∴ 直线AB 的解析式为1y x 22=-+，当1y x 22=-+=0时，解得x 4=。
∴ 当PA －PB 最大时，点P 的坐标是（4，0）。
【例2：】解：（1）如图，过B 点作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO =90°。
∵ ∠AOB =120°，∴∠BOC =60°。
又∵ OA =OB =4， ∴ OC =12OB =12×4=2， BC =OB •sin 60°=34=232⨯。
∴ 点B 的坐标为（﹣2，﹣23）。
（2）∵ 抛物线过原点O 和点A ．B ，∴ 可设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，将A （4，0），B （﹣2，﹣23）代入，得16a+4b=04a 2b=23⎧⎪⎨--⎪⎩， 解得3a=623b=3⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：直角三角形存在性问题的处理思路是什么？
问题2：相似三角形的存在性问题的处理思路是什么？
问题3：常见的夹角固定，两点动的等腰三角形的存在性都有哪些？问题的处理思路是什么？
几何专题（七）——存在性问题
一、单选题(共8道，每道12分)
1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=14cm，∠B=60°．P为下底BC上一点（不与点B，C重合），连接AP，过点P作射线PE交线段DC于点E，使得∠APE=∠B．若DE:EC=5:3，则BP=( )
A.4或6
B.3或8
C. D.2或12
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三等角模型
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）
3.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点处，折痕交AB于点E，交BC于点F．已知AB=AC=6，BC=8，若以点，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长为( )
A. B.4
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到的位置，交直线CA于点D．若AC=6，BC=8，当为等腰三角形时，线段CD的长为( )
A.6或4
B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质与判定
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝14，E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C 出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．则当运动时间t=_______s 时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．( )
A.1
B.
C. D.1或2
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：动点问题
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以
1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0t6），
连接DE，当
△BDE是直角三角形时，t的值为( )
A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30度角的直角三角形
7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE=8，BC=12，，∠C=30°，∠B=60°．点P是线段BC边上一动点（包括B，C两点），当PB为( )时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为直角梯形．
A.2
B.6
C.2或6
D.或
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：存在性问题
8.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s 的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0t3），连接EF，当△BEF 是直角三角形时，t（s）的值为( )
A. B.1
C.或1
D.或1或
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形。