极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

1

1

1

ln

2

e e

2

ln

b a

b a a

a b

b

ab ab b a b a b

a

b

a b b b a a

a

-

-

-

⎛⎫

-+

⎛⎫

<<<<<<

⎪

⎪

+-

⎝⎭⎝⎭

，

不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．

对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义

ln ln

a b

a b

-

-

为a，b的对数平均值，且

ln ln2

a b a b

a b

-+

<<

-

，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

()()()

,,,

G a b L a b A a b

<<．

先给出对数平均不等式的多种证法．

证法1（对称化构造）设0

ln ln

a b

R

a b

-

=>

-

，则ln ln

k a k b a b

-=-，ln ln

k a a k b b

-=-，构造函数()ln

f x k x x

=-，则()()

f a f b

=．由()1

k

f x

x

'=-得()0

f k

'=，且()

f x在()

0,k 上，在()

,k+∞上，x k

=为()

f x的极大值点．对数平

2

a b

k

+

<<，等价于

2

2

a b k

ab k

+>

⎧

⎨<

⎩

，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．

证法2（比值代换）令1

a

t

b

=>

，则

()()

11

ln ln2ln2

b t b t

a b a b

a b t

-+

-+

<<⇔<

-

(

)

21

11

ln

ln21

t

t t

t

t t

-

-+

⇔<<⇔<<

+

，构造函数可证．

证法3（主元法）不妨设a b>，

ln ln ln ln0

ln ln

a b

a b a b

a b

-

<⇔-<⇔-<

-

．

记(

)ln ln

f a a b

=-，()

,

a b

∈+∞，则

(

)

2

1

f a

a

'==<，得()

f a 在()

,b+∞上，有

()()0

f a f b

<=，左边得证，右边同理可证．

证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设a b>，则由

()()

()()

2

ln ln ln

22

ln ln ln

e e1

a a a

x x

b b b

dx dx dx

<

⎰⎰⎰得()()()

222

1

ln ln

2

b a a b a b

-<--，

ln ln2

a b a b

a b

-+

<

-

；

由()

2

2

2

11

1

a a a

b b b

dx dx dx

x x

⎛⎫⎛⎫

<

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎰⎰⎰得()()

211

ln ln

a b a b

b a

⎛⎫

-<--

⎪

⎝⎭

，

ln ln

a b

a b

-

<

-

．

证法5（几何图示法）过()1

f x

x

=上点

2

,

2

a b

a b

+

⎛⎫

⎪

+

⎝⎭

作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得()11ln ln

2

a

b

a b dx a b

a b x

-⋅<=-

+

⎰，即

ln ln2

a b a b

a b

-+

<

-

；

如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得

1

dx

x

=<

⎪

⎪

⎝⎭

ln ln

a b

a b

-

<

-

．

由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．

再解例1：()()

12

f x f x

=即12

12

e e

x x

x x

--

=，

1122

ln ln

x x x x

-=-，则12

12

1

ln ln

x x

x x

-

=

-