高考数学第2讲 复数、平面向量(二轮)

一个复数为纯虚 数，不仅要求实 部为0，还需要求 虚部不为0.
则 a＋bi 为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c 且 b＝d (a，b，c，d∈R )．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d ∈R )．
(4)复数的模：
向量―O→ Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R )的模，记作|z|或
uuur
=2(OC
uuur
-OB
),即
uuur AB
=2
uuur BC
,所以|
uuur AB
uuur
|∶|BC
|
33
=2∶1,故选D.
考点二 栏目索引
4.(2018课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ
=
.
答案 1
2
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解析 由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ= 1.
二、向量
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一.从知识结构上：
1.向量的加法、减法、数乘、平面向量基本定理（线性运算）
2.向量的数量积 3.向量的坐标
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4.坐标运算和非坐标运算
二、从解题策略上：
1. 基底几何意识 6.结论意识（中线定理、共线定理等）
1.坐问标题计4算：坐标法在图形向数量转化中的运用
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第2讲 复数、平面向量
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考点一 复数
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考点二 平面向量的线性运算 考点三 平面向量的数量积
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：
形如 a＋bi(a，b∈R )的数叫复数，其中 a，b 分 别是它的 实部 和 虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为 实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，
高AC考,又导航AP=t
uuur
AB+
1 3
uuur
AC,
uuur
∴t AB+
1 3
uuur AC
=λ
uuur
AB+
2 5
(1-λ)
uuur
AC,得
t λ,
2 5
(1-λ)
1 3
解得t=λ=
,
1.
6
解法二:∵
uuur AN
=
2
uuur NC
,∴
uuur AC
=
5
uuur AN
,∴
uuur
AP=t
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考点二 平面向量的线性运算
uuur uuur uuur
如图， ABC 中， CD 3DB ， AD AB AC （, R ），则
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.
解答：法一（向量法）
uuur AD
uuur AB
1
uuur BC
uuur AB
1
uuur ( AC
uuur AB)
3
uuur AB
C=(-1,-3) a=(-1,1) b=(6,2)
例题 4：向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示．若 c a b ，
1.坐问例标题题计44算：：坐向标量法a,在b,图c 在形正向方数形量。网转格化中中的的位运置用如图所示．若
c
a
b
，
(,
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R) ，则
。
计算：
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（1）2a b
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uuur
3.已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB=
1
uuur
OA+
2
uuur OC
,则|
uuur uuur
AB |∶| BC
|=
33
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶2 D.2∶1
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(D )
答案
D
uuur
由OB
=1
uuur
OA+
2
uuur OC
uuur
,得OB
uuur
-OA
．
(1)(1±i)2＝±2i，11＋ －ii＝i，11＋ －ii＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N *)；i4n＋i4n＋1 ＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N *)．
(4)z·z ＝|z|2＝| z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||，|zn|＝|z|n.
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R )，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i
；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i
；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
2．若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所 对应的图形的面积为________． 解 析 ： 设 z ＝ x ＋ yi(x ， y ∈ R ) ， 由 |z － i|≤ 2 得 |x ＋ (y －
1)i|≤ 2，所以 x2＋(y－1)2≤ 2， 所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面内所对应的图形是以 点(0,1)为圆心，以 2为半径的圆及其内部，它的面积为 2π. 答案：2π
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6.(2019课标全国Ⅰ,理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为
(x,y),则 ( C ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
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C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案 C 由已知条件,可得z=x+yi.∵|z-i|=1, ∴|x+yi-i|=1,∴x2+(y-1)2=1.
而 2 018＝4×504＋2，
所以
z
＝
i＋i2＋i3＋…＋i2 018 1＋i
＝
i＋i2 1＋i
＝
－1＋i 1＋i
＝
(－ (1＋ 1＋i)i()1(－ 1－i)i)＝22i＝i.
[典例] (1)如图，在复平面内，复数 z1，
z2 对应的向量分别是―O→ A ，―O→ B ，若 zz2＝z1，
则 z 的共轭复数 z ＝
2
变式：若垂直？
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5.(2019广东六校第一次联考)如图,在△ABC中,
uuur AN
=
2
uuur
NC,P是BN上一点,若
uuur AP
3
=t
uuur
AB+
1
uuur AC
,则实数t=
.
3
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答案 1
6
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解析
解法一:∵
uuur AN
=
2
uuur NC
uuur
,∴ AN
1
uuur AC
，
4
4
44
3 , 1 3 。
44
16
法三：几何法
法二（坐标法）
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A
由于本题为填空题且题设中没限制三角的形状，所以可取特殊的三角形：CAB 90o ，
取 AB AC 1，建立直角坐标系，则 B(1,0) ，C(0,1) ，∵ CD 3DB ，很快可得 D(3 , 1) ， 44
考点一 复数
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2.(2019课标全国Ⅰ,1,5分)设z= 3-i ,则|z|=
1 2i
(C)
A.2 B. 3 C. 2 D.1
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答案 C ∵z= 3-i = (3-i)(1-2i)
1 2i (1 2i)(1-2i)
=
3-7i 2i 1-(2i)2
2
=1-7i
5
=
1 5
-
7 5
|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2 .
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R )．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R )
平面向量―O→ Z .
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则
CD+μ
CuuBur (λ,μ∈R高),考则导航μλ=
.
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答案 1
2
解析
uuur
由题意可设CG
uuur
=xCE
uuur
(0<x<1),则CG
uuur
=x(CB
+
uuur BE
)=x高CuuB考ur 导1航2 CuuDur
=
x 2
uuur CD
+x
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
[解题技法] 对复数几何意义的再理解 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量―O→ Z 相互联系，即 z＝a ＋bi(a，b∈R )⇔Z(a，b)⇔―O→ Z . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此 可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结
合的方法，使问题的解决更加直观．
CB.因为CG=λCD+μ CB, CD与 CB不共线,所以λ=
2x,μ=x,所以
λ
μ=
1
2.
变式？
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总结提升 向量线性运算问题的求解方法
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(1)进行向量的线性运算时,要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三 角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减 法运算及数乘运算来求解. (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用 三角形的中位线、相似三角形的对应边成比例等平面几何的知识,把未知向 量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
(
)
A．12＋32i
B．12－32i
C．－12＋32i
D．－12－32i
[解析] 由题意知 z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故 z(－1＋i)＝1 ＋2i，即 z＝－1＋1＋2ii＝((－1＋1＋2ii))((11＋＋ii))＝1－2 3i＝12－32i，z ＝12＋32i，
故选 A. [答案] A
uuur AB
+
1
uuur AC
uuur
=t AB
+
5
uuur AN
.∵B,P,N三点共
3
2
3
6
线,∴t+ 5 =1,∴t= 1 .
6
6
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6.(2019郑州第一次质量预测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,
uuur
BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若CG
=λ
uuur
=
2
uuur AC
uuur
.设 NP
=λ
uuur
NB,则
uuur
AP=
uuur AN
+
uuur
NP=
2
uuur
AC+λ
3
5
5
uuur
NB=
2 5
uuur
AC +λ(
uuur
NA+
uuur
AB)=
2 5
uAuCur +λ
-
2 5
uuur AC
uuur AB
=λ
uuur
AB+
2
5(1-λ)
uuur uuur
i,
法2？
∴|z|=
1 5
2
-
7 5
2
=
2 ,故选C.
变式2： 复平面内表示复数z的点位于 ( )
z 变式1 ：共轭复数 ＝？
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
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3．已知复数
z＝i＋i2＋i31＋ ＋… i ＋i2
018
，则复数
z＝________.
解析：因为 i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋高i2考＋导i航3＋i4＝0，
例题 4：向量 a,栏b目,c索在引正方形网格
例题 4：向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示．若c a b ，。(, R) ，则
。
计算：
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（1）2a b
变式：起点为A(-1,2)
AB=a b
( ) (2)(a b). 3a b
(3)a b与a-2b的夹角
（4）a b在a方向上的投影
3 , 1 3 .
44
16
C
D B
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2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( A )
A.a⊥b C.a∥b
B.|a|=|b| D.|a|>|b|
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答案 A 解法一:由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a,b为邻边的平行四边 形为矩形,所以a⊥b.故选A. 解法二:将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥ b.故选A.
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总结提升 复数的乘法
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复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的数看作一类同类项, 不含i的数看作另一类同类项,分别合并即可. 复数的除法 解决复数除法问题的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.解题时要注意 把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理 化”,其实质就是“分母实数化”.
④除法：zz21＝ac＋ ＋dbii＝((ac＋ ＋dbii))((cc－ －ddii))＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i (c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设 z1，z2，z3∈C ，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1
；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
( ) (2)(a b). 3a b
(3)a b与a-2b的夹角 （4）a b在a方向上的投影
C=(-1,-3) a=(-1,1) b=(6,2)
2.非坐标计算
已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2
计算： （1）2a b
( ) (2)(a b). 3a b
(3)a b与a-2b的夹角 （4）a b在a方向上的投影