数学第六章 实数知识点及练习题及解析
初中数学第六章 实数知识点及练习题附解析
初中数学第六章 实数知识点及练习题附解析一、选择题1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2a ba b +=，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（ ）．①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+； ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④(*)(*2)aa b c b c c+=+． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 3．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( )A ．n +1B ．21n +C D5．下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．﹣18没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0D ＝﹣36．在0, 3.14159, 3π,2272中, 无理数有几个（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．下列命题中，①81的平方根是9±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4 ） A ．1B ．2C ．3D ．48．估计65的立方根大小在（ ）A ．8与9之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间9．1是a 的相反数，那么a 的值是（ ）A ．1B ．1C ．D10．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-二、填空题11．64的立方根是___________．12．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．13．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___14．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____． 15．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 16．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则(154)15*+=____ 17．3是______的立方根；81的平方根是________；32-=__________．18．若2x -+|2﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____． 19．如果36a =，b 是7的整数部分，那么ab =_______．20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．三、解答题21．观察下列各式：111122-⨯=-+； 11112323-⨯=-+； 11113434-⨯=-+； …(1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示； (2)用以上规律计算：1111223⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113420172018⎛⎫⎛⎫-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．观察下列计算过程，猜想立方根．13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; . 请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
七年级初一数学第六章 实数知识点-+典型题及解析
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值大于0，小于1.
所以答案为A选项.
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
，3.1415926，－ 是有理数，- ，0.131131113……是无理数，共2个.
【详解】
解：
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．
15．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．
二、填空题
11．．
【解析】
【详解】
根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．
解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an）=．
6．D
解析：D
【分析】
利用算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可.
【详解】
A. ，错误；
B.x2的算术平方根是 ，错误；
C. 平方根是它本身的数为0，错误；
D. =8,8的立方根是2，正确；
七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)
七年级数学下册第六章实数知识集锦单选题1、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数−1，1，2，3，则表示数4−√11的点应在（）A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间答案：D分析：先估算出4−√11的值，再确定出其位置即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∴−4＜−√11＜−3，∴4−4＜4−√11＜4−3，即0＜4−√11＜1∴表示数4−√11的点应在O，B之间．故选：D．小提示：本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出√11的值是解答此题的关键．2、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A．2√3B．3C．3√2D．4答案：A分析：根据正方形的面积公式即可求解．解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，∴a=±2√3，又边长大于0∴边长a=2√3．故选：A．小提示：本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．3、对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．解：∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．小提示：本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．4、已知min {a,b,c }表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当min{√x,x 2,x}=181时，则x 的值为（ ）A ．181B ．127C ．13D ．19 答案：D分析：根据题意可知√x,x 2,x 都小于1且大于0，根据平方根求得x 的值即可求解．解：∵min{√x,x 2,x}=181∴√x,x 2,x 都小于1且大于0∴x 2<x <√x∴x 2=181∴x =19（负值舍去）故选D小提示：本题考查了求一个数的平方根，判断√x,x 2,x 的范围是解题的关键．5、定义：若10x =N ，则x =log 10N ，x 称为以10为底的N 的对数，简记为lgN ，其满足运算法则：lgM +lgN =lg(M ⋅N)(M >0,N >0)．例如：因为102=100，所以2=lg100，亦即lg100=2；lg4+lg3=lg12．根据上述定义和运算法则，计算(lg2)2+lg2⋅lg5+lg5的结果为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．0答案：C分析：根据新运算的定义和法则进行计算即可得．解：原式=lg2⋅(lg2+lg5)+lg5，=lg2⋅lg10+lg5，=lg2+lg5，=1，故选：C．小提示：本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．6、在四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是（）A．−2B．0C．−√3D．−1答案：A分析：根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：∵−2<−√3<−1<0，∴四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是−2，故选：A．小提示：本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．7、下列说法正确的是（）A．−81平方根是−9B．√81的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．√a2+1一定是正数答案：D分析：A、根据平方根的概念即可得到答案；B、√81的平方根其实是9的平方根；C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；D、先判断出a2+1>0，再利用算术平方根的性质直接得到答案．A、−81是负数，负数没有平方根，不符合题意；B、√81=9，9的平方根是±3，不符合题意；C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，不符合题意；D、a2+1>0，正数的算术平方根大于0，符合题意．小提示：此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．8、按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m=1，n=1B．m=1，n=0C．m=1，n=2D．m=2，n=1答案：D分析：逐项代入，寻找正确答案即可.解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；小提示：本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.9、−√64的立方根等于（）A．−8B．−4C．−2D．±2答案：C分析：先求出−√64=−8，再求出-8的立方根即可得．3=−2，解：∵−√64=−8，√−8∴−√64的立方根等于-2，故选：C．小提示：本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握立方根．10、下列说法正确的是（）A．－4是（－4）2的算术平方根B．±4是（－4）2的算术平方根C．√16的平方根是－2D．－2是√16的一个平方根答案：D分析：根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．A、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C、√16=4，4的平方根是±2，则此项错误，不符题意；D、√16=4，4的平方根是±2，则−2是√16的一个平方根，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．填空题11、根据图中呈现的运算关系，可知a=______，b=______．答案：－2020 －2020分析：根据立方根和平方根的定义进行求解即可．解：∵2020的立方根是m，a的立方根是-m，∴m3=2020，∴(−m)3=−m3=−2020，∴a=−2020；∵n的两个平方根分别为2020、b，∴b =−2020，所以答案是：-2020，-2020．小提示：本题主要考查了平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．12、比较大小：√22______√33（填写“>”或“<”或“＝”）．答案：＞分析：比较两者平方后的值即可．解：∵(√22)2=12，(√33)2=13，∵12>13， ∴ √22>√33． 所以答案是：>．小提示：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．13、写出一个比√2大且比√15小的整数______．答案：2（或3）分析：先分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数是2或3．所以答案是：2（或3）小提示：本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．14、若√a +13与√a 2−53互为相反数，则a 3+5a 2﹣4的值为 _____．答案：12分析：先根据相反数的定义得√a +13+√a 2−53＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．解：由题意得：√a +13+√a 2−53=03∴√a+13=−√a2−5∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．所以答案是：12.小提示：本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．15、若实数a的立方等于27，则a=________．答案：3分析：根据立方根的定义即可得．3=3，解：由题意得：a=√27所以答案是：3．小提示：本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．解答题16、据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是______；∴x=______．(2)y3=614125，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．答案：(1)2#，2#，22#(2)y=85分析：（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．（1）解：∵x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是2；∴x=22．所以答案是：2，2，22．（2）∵1000=103<614125<1003=100000，∴y一定是两位数；∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，∵512=83<614<93=729，∴y的十位数字一定是8；∴y=85．小提示：本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．17、如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现若大正方形的面积为32cm2，则小正方形的面积是__________cm2，边长为___________cm；知识迁移某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为12cm2，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．答案：问题发现：小正方形的面积为16cm2，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见解析，大正方形边长为√5分析：问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为√5，可以把它剪开并拼成一个大正方形．问题发现：小正方形的面积为32÷2=16cm2，∴小正方形的边长为4cm．所以答案是：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，由题意得：3x⋅2x=12，整理得：x2=2，∵实际问题x为正数，∴x=√2，∴长方形的长为3x=3√2≈5.19>4，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片．拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为√5．小提示：本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．18、求下列式子中的x ：(1)25(x ﹣35)2＝49；(2)12(x +1)2＝32． 答案：(1)x 1＝2，x 2＝−45(2)x 1＝7，x 2＝﹣9分析：（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．（1）解： 25（x ﹣35）2＝49，（x ﹣35）2＝4925， x ﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75，解得：x 1＝2，x 2＝−45；（2）12（x +1）2＝32， （x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64， x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．小提示：此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．。
初中数学第六章 实数知识点-+典型题含答案
初中数学第六章实数知识点-+典型题含答案一、选择题1．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25 B．49 C．64 D．81 2．下列说法正确的个数有（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂线段最短；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1；⑤5的小数部分是51-．A．1B．2C．3D．4 3．在下面各数中无理数的个数有( )-3.14，23，227，0.1010010001．．．，+1.99，-3πA．1个B．2个C．3个D．4个4．圆的面积增加为原来的m倍，则它的半径是原来的（）A．m倍B．2m倍C．m倍D．2m倍5．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n表示第m排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（）．A．1 B2C3D66．下列计算正确的是（）A42=±B．1193=C．2(5)5=D382=±7．实数310,25）A310325<<B．331025<C310253<<D325310<<8．3的平方根是（）A．3B．9 C3D．±9 9．若一个数的平方根与它的立方根完全相同.则这个数是()A．1 B．1-C．0 D．10±，10．若x，y都表示有理数，那么下列各式一定为正数的是（）A ．212x +B ．()2x y +C ．22x y +D ．5x +二、填空题11．观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 13．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．14．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，1=，现对72进行如下操作：72→=8→2=→=1，类似地：（1）对64只需进行________次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．15．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则4)+=____ 16．27的立方根为 ．17．3是______的立方根；81的平方根是________2=__________．18．7.071≈≈≈≈，按此规_____________19．===，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．20．若x ，y 为实数，且|2|0x +=，则(x+y) 2012的值为____________．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①31000100==，又1000593191000000<<，10100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________． 22．规律探究，观察下列等式：第1个等式：111111434a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式：2111147347a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式：311117103710a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式：41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭请回答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________（2）用含n 的式子表示第n 个等式：= ___________ = ___________(n 为正整数） （3）求1234100a a a a a +++++ 23．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：（1）已知x=2，请画出数轴表示出x 的点：（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O ，对于两个不同的点A 和B ，若点A 、 B 到点O 的距离相等，则称点A 与点B 互为基准等距变换点．例如图2，点A 表示数-1，点B 表示数5，它们与基准点O 的距离都是3个单位长度，我们称点A 与点B 互为基准等距变换点．①记已知点M 表示数m ，点N 表示数n ，点M 与点N 互为基准等距变换点．I ．若m=3，则n= ；II ．用含m 的代数式表示n= ；②对点M 进行如下操作：先把点M 表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N ，若点M 与点N 互为基准等距变换点，求点M 表示的数； ③点P 在点Q 的左边，点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度，对Q 点做如下操作： Q 1为Q 的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 1的落点为Q 2这样为一次变换： Q 3为Q 2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q 3的落点为Q 4这样为二次变换： Q 5为Q 4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q 5，Q 6，Q 7．．．．Q n ，若P 与Q n ．两点间的距离是4，直接写出n 的值．24．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2﹣1来表示2的小数部分，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为4＜7＜9，即2＜7＜3，所以7的整数部分为2，小数部分为（7﹣2） 请解答：（1）10的整数部分是 ，小数部分是 ；（2）如果5的小数部分为a ，13的整数部分为b ，求a +b ﹣5的值．25．规律探究计算：123499100++++⋅⋅⋅++如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度．()()()12349910011002995051101505050++++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++=⨯= 计算：（1）246898100++++⋅⋅⋅++（2）()()()()22334100101a m a m a m a m ++++++⋅⋅⋅++26．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，解得x＝﹣2，所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，所以a＝72＝49．故答案为B．【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】根据平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根逐个判断即可．【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；②垂线段最短，故②正确；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，故③正确；④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，故④正确；2，故⑤错误；即正确的个数是3个，故答案为：C ．【点睛】本题考查了平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．3．C解析：C【分析】根据无理数的三种形式求解．【详解】-3.14，，227，0.1010010001．．．，+1.99，-3π无理数的有：，0.1010010001．．．，-3π共3个 故选：C【点睛】 本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②③虽有规律但是无限不循环的数，如0．1010010001…，等．4．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，根据题意得：πR 2=mπr 2，∴，故选：C ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．5．B解析：B【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．【详解】解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8) 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和．故本题选B．【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．6．C解析：C【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据平方根的定义即可判定；C、根据平方根的性质计算即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．【详解】A2=，故选项错误；B、13=±，故选项错误；C、2(＝5，故选项正确；D2，故选项错误．故选：C．【点睛】此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则.7．D解析：D【分析】先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3做比较即可得到答案.【详解】解：∵3==∴3=<3=>3<<，故D为答案.【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较. 8．A解析：A【分析】直接根据平方根的概念即可求解．【详解】解：∵（2＝3，∴3的平方根是为．故选A ．【点睛】本题主要考查了平方根的概念，比较简单．9．C解析：C【详解】任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，所以这个数是0，故选C ．10．A解析：A【分析】根据平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类进行判断即可得解．【详解】解：A.∵20x ≥ ∴21122x +≥ ∴212x +一定是正数； B. ∵()20x y +≥∴()2x y +一定是非负数；C.∵20x ≥，20y ≥∴220≥+x y∴22x y +一定是非负数；D. ∵50x +≥ ∴5x +一定是非负数．故选：A【点睛】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．二、填空题11．515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8解析：515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，故它们的和为256+259=515，故答案为：515．【点睛】考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．12．-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…，∴1()2019f2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．13．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．14．255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）解析：255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：64→=8→2=→=1，∴对64只需进行3次操作后变为1，故答案为3；（2）与上面过程类似，有256→=16→4=→=2→1=，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→3=→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；故答案为255．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．15．4【分析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．【详解】===4故答案为4．【点睛】本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键解析：4【分析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．【详解】4)+4=4=4故答案为4．【点睛】本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．16．3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 解析：3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算17．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是 ；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；<，2=22±，；故答案为：27，9【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．18．36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】解：观察，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的解析：36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】≈≈≈≈，7.071不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，≈.因此得到第三个数的估值扩大1022.36故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.19．【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式，找=+≥(1)n n【分析】=(2=+(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥ 【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥(1)n n =+≥ 【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．20．1【分析】先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．【详解】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：解得则故答案为：1．【点睛】本题考查了解析：1【分析】先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．【详解】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：2030x y +=⎧⎨-=⎩解得23x y =-⎧⎨=⎩则201220122012()(23)11x y +=-+==故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦；（3）100301. 【分析】（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；（3）利用题（2）的结论，先写出1234100a a a a a +++++中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.【详解】（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为1316⨯则第5个式子为：51111131631316a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭故应填：11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭； （2）第1个等式的分母为：14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯第2个等式的分母为：47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯第3个等式的分母为：710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯第4个等式的分母为：1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯归纳类推得，第n 个等式的分母为：[]13(1)(13)n n +-⋅+则第n 个等式为：[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦+（n 为正整数） 故应填：[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦； （3）由（2）的结论得：[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭则1234100a a a a a +++++ 1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯= 111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭111111111++++3447710111290133018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭30130103⨯= 110030=. 【点睛】本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.23．（1）见解析；（2）①I ，1；II 4-m ②112；③2或6． 【分析】（1）在数轴上描点；（2）由基准点的定义可知，22m n +=； （3）（3）设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，由题可知Q 1与Q 是基准点，Q 2与Q 1关于原点对称，Q 3与Q 2是基准点，Q 4与Q 3关于原点对称，…由此规律可得到当n 为偶数，Q n 表示的数是m+8-2n ，P 与Q n 两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n ；【详解】解：（1）如图所示，（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，∴n=1；故答案为1；Ⅱ．有定义可知：m+n=4，∴n=4-m ；故答案为：4-m②设点M 表示的数是m ，先乘以23，得到23m ，再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N 为23m+2，∵点M 与点N 互为基准等距变换点，∴23m+2+m=4，∴m=112； ③设P 点表示的数是m ，则Q 点表示的数是m+8，如图，由题可知Q 1表示的数是4-(m+8)，Q 2表示的数是-4+(m+8)，Q 3表示的数是8-(m+8)，Q 4表示的数是-8+(m+8)，Q 5表示的数是12-(m+8)，Q 6表示的数是-12+(m+8)…∴当n 为偶数，Q n 表示的数是-2n+（m+8），∵若P 与Q n 两点间的距离是4，∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，∴n=2或n=6．【点睛】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q 的变换规律是解题的关键．24．（1）3，10﹣3；（2）1．【分析】（1）根据3104<解答即可；（2）根据253得出a ，根据3134得出b ，再把a ，b 的值代入计算即可．【详解】（1）∵3104<<， 10310﹣3，故答案为：310﹣3；（2）∵253，a 52，∵3134，∴b ＝3，a +b 552+351．【点睛】此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.25．（1）2550；（2）50505150a m +【分析】（1）利用所给规律计算求解即可；（2）先去括号，再分组利用所给规律计算．【详解】解：（1）原式()()()21004985052=++++⋅⋅⋅++102252550=⨯=（2）原式()()23100234101a a a a m m m m =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+50505150a m =+【点睛】本题考查的知识点是去括号与添括号、有理数的加法、合并同类项，灵活运用加法的运算律是解此题的关键．26．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b-=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t，PC=2t，∴OP=8-2t，∵D（4，3），∴114222ODQ DS OQ x t t=⨯=⨯=△，11823123 22ODP DS OP y t t=⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.。
中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案
中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案一、选择题1．已知: 表示不超过的最大整数，例:，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．B ．C ．D ．或1 2．我们规定一种运算“★”，其意义为a ★b ＝a 2﹣ab ，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x 满足（x +2）★（x ﹣3）＝5，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣53．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n4．已知无理数7－2，估计它的值( )A ．小于1B ．大于1C ．等于1D ．小于0 5．等边△ABC 在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和－1，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．这题我真的不会6．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7D ．负数有一个平方根 7．下列命题是假命题的是（ ）A ．0的平方根是0B ．无限小数都是无理数C ．算术平方根最小的数是0D ．最大的负整数是﹣1 8．在实数227-911π38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．下列运算正确的是（ ） A 42=± B 222()-=- C 382-=-D ．|2|2--= 10．7和6- ）A B C + D ．-二、填空题11．若()2320m n ++-=，则m n 的值为 ____.12．观察下列各式：5=；11=；19=；a =，则a =_____．13．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．14．观察下列算式：16＋4＝20；40＋4＝44；…__________15．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．16．一个数的立方等于它本身，这个数是__．17．__________0.5．（填“>”“<”或“=”）18________．19．下列说法： -10=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．如果a =b 的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．22．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整数，例如：3=，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次3=→=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．24．定义☆运算：观察下列运算：两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．25．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．26．是无理数，而无理数是无限不循环小数，﹣1的小数部的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为2＜3的整数部分为2﹣2） 请解答：（1）10的整数部分是，小数部分是；（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b﹣5的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.2．B【分析】根据a ★b=a 2-ab 可得（x+2）★（x -3）=（x+2）2-（x+2）（x -3），进而可得方程：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，再解方程即可．【详解】解：由题意得：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，x 2+4x+4-（x 2-x -6）=5，x 2+4x+4-x 2+x+6=5，5x=-5，解得：x=-1，故选：B ．【点睛】此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件a ★b=a 2-ab 所表示的意义．3．C解析：C【分析】根据题意得到m ，n 的相反数，分成三种情况⑴m ，n ；-m ，-n ⑵m ，-m ；n ，-n ⑶m ，-n ；n ，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m ，n （m ＜n ）的相反数为﹣m ，﹣n ，则有如下情况：m ，n 为一组，﹣m ，﹣n 为一组，有A ＝|m +n |+|（﹣m ）+（﹣n ）|＝2m +2nm ，﹣m 为一组，n ，﹣n 为一组，有A ＝|m +（﹣m ）|+|n +（﹣n ）|＝0m ，﹣n 为一组，n ，﹣m 为一组，有A ＝|m +（﹣n ）|+|n +（﹣m ）|＝2n ﹣2m所以，所有A 的和为2m +2n +0+2n ﹣2m ＝4n故选：C ．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.4．A解析：A【分析】首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可. 【详解】∵23<<，∴22232-<<-，∴021<<，2-的值大于0，小于1.所以答案为A 选项.本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.5．A解析：A【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环，2019能被3整除说明跟翻转3次对应的点是一样的.【详解】翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转2次后，点C所对应的数为2翻转3次后，点A所对应的数为3翻转4次后，点B所对应的数为4经过观察得出：每3次翻转为一个循环÷=∵20193673∴数2019对应的点跟3一样，为点A.故选：A.【点睛】本题是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.6．B解析：B【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．【详解】A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；C、72的平方根为±7，所以C选项错误；D、负数没有平方根．故选B．【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．7．B解析：B【分析】分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．【详解】解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；C 、算术平方根最小的数是0，所以C 选项为真命题；D 、最大的负整数是﹣1，所以D 选项为真命题．故选：B ．【点睛】本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．8．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有：11、π共2个． 故选B ．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数． 9．C解析：C【分析】 分别计算四个选项，找到正确选项即可．【详解】A. 42=，故选项A 错误；B. 2(2)42-==，故选项B 错误；C. 3338(2)=2-=--，故选项C 正确；D. |2|2--=-，故选项D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了开平方、开立方和绝对值的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．10．C解析：C【分析】在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．【详解】如图，7和67在右边，6在左边，和-（）．故选：C．【点睛】本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．二、填空题11．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，mn=（-3）2=9．故答案为9．【解析：【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，m n=（-3）2=9．故答案为9．【点睛】此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181n=求解即可．观察各式得出其中的规律，再代入12【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】解：==1084．故答案为：1084．【点睛】解析：【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．15．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．17．＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】∵，∵-2＞0，∴＞0．故＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于解析：＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】12＞0，＞0．＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．18．6【分析】求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．∵，，又∵36＜46＜49∴6＜＜7∴的整数部分为6故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解解析：6【分析】的整数部分．【详解】∵246=，2636=，2749=又∵36＜46＜49∴6＜76故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．19．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】①10=，故①错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a==<<479<<<<23∴b=的整数部分是2，即2ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【分析】（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.【详解】解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．∴“奇异数”为21；②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8∴k+2k-1=8∴k=3∴b=10×3+2×3-1=35；（3）根据题意有()f a x y =+∵()510a f a -=∴()10510x y x y +-+=∴5410x y -=∵x 、y 为正数，且x≠y∴x=6，y=5∴a=6×10+5=65故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．22．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1（2）根据定义可知x ＜4，可得满足题意的x 的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜6，∴]=[2]=2，]=5，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：，第二次：，第三次：，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵，，]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵，，]=2，]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．23．(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52 【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-， 综上所述：a=-52． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键． 25．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<，6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．26．（1）3，﹣3；（2）1．【分析】<解答即可；（1）根据34（2）根据23得出a，根据34得出b，再把a，b的值代入计算即可．【详解】<<，（1）∵343﹣3，故答案为：3﹣3；（2）∵23，a2，∵34，∴b＝3，a+b2+31．【点睛】此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.。
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
实数知识要点：
1. 整数与有理数的关系：整数包含了有理数的全部内容，即整数是有理数的一种特殊形式。
2. 无理数：不能表示为两个整数的比的数，无理数是一类不是有理数的实数。
3. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两种。
4. 实数的四则运算法则：实数的加减、乘除运算满足相应的运算法则。
5. 整式的运算：根据四则运算法则，对整式进行加减乘除运算。
6. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，有以下三种情况：
a>b，a=b，a<b。
7. 绝对值的定义：实数a的绝对值表示为|a|，定义为a的值和
0的距离，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a<0）。
经典题型：
例1：计算下列各式的值：a) -3+5; b) 4-(-7); c) -2×3.
解答：
a) -3+5 = 5-3 = 2
b) 4-(-7) = 4+7 = 11
c) -2×3 = -6
例2：比较大小：a) -5和-3；b) -3和4-7.
解答：
a) -5<-3
b) -3<4-7，即-3<-3，两个数比较大小结果相同。
例3：计算下列各式的绝对值：a) |5|; b) |-7|; c) |-3+4|.
解答：
a) |5| = 5
b) |-7| = 7
c) |-3+4| = |1| = 1。
第六章 实数知识点-+典型题含答案
第六章 实数知识点-+典型题含答案一、选择题1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则7×6！的值为( )A ．42！B ．7！C ．6！D ．6×7！2．下列结论正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．无理数都是无限小数C ．带根号的数都是无理数D ．实数包括正实数、负实数3．将不大于实数a 的最大整数记为[]a ，则33⎡⎤-=⎣⎦（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．04．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（ ）A ．26B ．65C ．122D ．1235．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7 D ．负数有一个平方根6．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）A ．在A 点左侧B ．在线段AC 上 C ．在线段OC 上D ．在线段OB 上7．有下列说法：①在1和22,3一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②8．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．2 9．若a 、b 为实数，且满足|a －2|2b -0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对10．7和6- ）A ．76-B ．67-C ．76+D ．(76)-+二、填空题11．若()221210a b c -+++-=，则a b c ++=__________．12．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则(154)15*+=____13．一个数的立方等于它本身，这个数是__．14．已知72m =-，则m 的相反数是________．15．27的立方根为 ． 16．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.17．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____．18．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____．19．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________三、解答题21．观察下列各式﹣1×12＝﹣1+12 ﹣1123⨯＝﹣11+23﹣1134⨯＝﹣11+34 （1）根据以上规律可得：﹣1145⨯＝ ；11-1n n +＝ （n ≥1的正整数）． （2）用以上规律计算：（﹣1×12）+（﹣1123⨯）+（﹣1134⨯）+…+（﹣1120152016⨯）. 22．2是无理数，而无理是无限不循环小数，因2212的小数部分，事2的整数部分是1，将这个数减去其整数部2的小数部分，又例如：∵232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为)72。
中考数学第六章 实数知识点-+典型题附解析
中考数学第六章 实数知识点-+典型题附解析一、选择题1．下列说法正确的个数有（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂线段最短；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1； ⑤5的小数部分是51-． A ．1B ．2C ．3D ．42．在下面各数中无理数的个数有( ) -3.14，23，227，0.1010010001．．．，+1.99，-3π A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列实数中是无理数的是（ ） A ．B ．C ．0.38D ．4．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B ．156-C ．815-D ．158-5．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等； ②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 其中真命题的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（ ）A ．13B ．23C ．231-D ．2317．在3.14，237，2-327，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．若a 16b 64a+b 的值是（ ） A ．4B ．4或0C ．6或2D ．69．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间二、填空题11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 1364___________．14．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…； （2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 15．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．16．313312+333123++33331234+++333312326++++=__________．17．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若＜，并且定义新运算程序仍然是52）⊕3=___． 18．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．19．若x ＜0323x x ____________．20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．三、解答题21．观察下列三行数：(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案，n 为正整数) (2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？(3)取每行的第9个数，记这三个数的和为a ，化简计算求值：(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54a 2) 22．对于实数a ，我们规定：用符号⎡⎣a a ⎡⎣a 为a 的根整数，例如：93⎡=⎣，10=3．(1)仿照以上方法计算：4=______；26=_____． (2)若1x =，写出满足题意的x 的整数值______．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次103=→3=1，这时候结果为1．(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____． 23．（12的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：因为2211,24==， 所以122,<<因为21.4 1.96=，21.5 2.25=， 所以1.42 1.5,<<因为221.41 1.9881,1.422.0164==， 所以1.412 1.42<<因为221.414 1.999396,1.4152.002225==， 所以1.4142 1.415,<<2 1.41≈(精确到百分位)，5(精确到百分位)．（2）我们规定用符号[]x 表示数x 的整数部分，例如[]0,2.42,34=⎤⎢⎥⎦=⎡⎣①按此规定102⎤⎦= ；35a ,b 求a b -的值．24．阅读下列材料： 问题：如何计算1111122334910++++⨯⨯⨯⨯呢？ 小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下： 解：原式1111111(1)()()()22334910=-+-+-++- 1110=- 910=请根据阅读材料，完成下列问题： （1）计算：111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯；（2）计算：111126129900++++； （3）利用上述方法，求式子111115599131317+++⨯⨯⨯⨯的值． 25．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式81c c <<+．（1）求,,a b c 的值．（2）求2232a b c ++的平方根．26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值； （3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根逐个判断即可． 【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②垂线段最短，故②正确；③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，故③正确； ④算术平方根和立方根都等于它本身的数是0和1，故④正确； ⑤5的小数部分是52-，故⑤错误； 即正确的个数是3个， 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了平行公理的推论，垂线的性质，估算无理数的大小，算术平方根和立方根等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．2．C解析：C 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【详解】 -3.14，23，227，0.1010010001．．．，+1.99，-3π无理数的有： 23，0.1010010001．．．，-3π共3个 故选：C 【点睛】本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如2，35等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0．1010010001…，等．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数． 【详解】解: A 、π是无限不循环小数，是无理数； B 、=2是整数，为有理数； C 、0.38为分数，属于有理数； D.为分数，属于有理数.故选：A.本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．4．A解析：A【分析】先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．【详解】91516<<，<<，<<34∴==，a b3,3)336∴-=-=，a b故选：A．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．5．B解析：B【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据线段中点的性质，可得答案．【详解】∵，A，∴C，【点睛】此题考查实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC 的长是解题关键．7．B解析：B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】3.14，237，π中无理数有:,π,共计2个. 故选B.【点睛】考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8．C解析：C 【分析】由a a=±2，由b b=4，由此即可求得a+b 的值． 【详解】∵a ∴a=±2，∵b ∴b=4，∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2． 故选C ． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键．9．C解析：C 【分析】根据立方根的定义，可以先设出这个数，然后列等式进行求解． 【详解】 设这个说为a ，a =，∴3a=a，∴a=0或±1，故选C.【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．、、、．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；解析：53、17、5、1．【解析】解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；则满足条件的整数值是：53、17、5、1．故答案为：53、17、5、1．点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．12．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．13．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．14．-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…，∴f(2019)＝2018．∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…，∴1()2019f2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．15．11【分析】直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，n+1+n﹣5＝0，解得n＝2，∴m＝（2+1）2＝9，∴m+n＝9+2＝11．故答解析：11【分析】直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，n+1+n﹣5＝0，解得n＝2，∴m＝（2+1）2＝9，∴m+n＝9+2＝11．故答案为11．【点睛】此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．16．351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．=1=3=6=10发现规律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案为：351【点解析：351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】=10+=1+2+3+n+=351=1+2+326故答案为：351【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．17．【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】(⊕2)⊕3=⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关解析：【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】2)⊕3=3，故答案为3．本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是 ；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．19．0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x＜0，故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是解析：0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x ＜0，0x x =-+=，故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号． 20．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．三、解答题21．(1)-(-2)n ；(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2；第③行数等于第①行数相应的数除以(－2)；(3)-783【分析】第一个有符号交替变化的情况时，可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号，并检验计算结果。
中考数学第六章 实数知识点-+典型题附解析
中考数学第六章 实数知识点-+典型题附解析一、选择题1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根3 ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．12± 4．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧 5．有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④邻补角是互补的角；⑤实数与数轴上的点一一对应． 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．定义a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-则下列结论正确的有（ ）个. ①3＊2=11.②()215⊕-=-. ③（13＊25）712912425⎛⎫⊕⊕=- ⎪⎝⎭. ④若a ＊b=b ＊a ，则a=b. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在实数227-π中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．0=，则x 和y 的关系是（ ）A ．0x y ==B ．0x y -=C ．1xy =D ．0x y +=9．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．2C ．9D ．0.101001000110．若2a+b b-4+=0，则a +b 的值为( )A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2二、填空题11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．12．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．13．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的是________．14．观察下列各式：123415⨯⨯⨯+=；2345111⨯⨯⨯+=；3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．15．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．16．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)x A B A B A B ⊕=++++，如果5213⊕=，那么45⊕= __________．17．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，31⎡=⎣，现对72进行如下操作：72→=8→2=→=1，类似地：（1）对64只需进行________次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．18的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．19．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则4)+=____20．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若＜，并且定义新运算程序仍然是2）⊕3=___．三、解答题21．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷⋯÷个 （a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”． （初步探究）（1）直接写出计算结果：2③=___，（12）⑤=___； （2）关于除方，下列说法错误的是___A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1ⓝ=1；C ．3④=4③；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）④=___； 5⑥=___；（-12）⑩=___． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于___；（3）算一算：212÷(−13)④×(−2)⑤−(−13)⑥÷33 22．（1）观察下列式子：①100222112-=-==；②211224222-=-==；③322228442-=-==；……根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；（2）求01220192222++++的个位数字.23．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n a a a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究 （1）直接写出计算结果：2③=________，1)2-（⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何正整数n ，1=1； C ．3④=4③ D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=________；5⑥=________；1)2-（⑩=________． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________；（3）算一算：()3242162÷+-⨯④． 24．请回答下列问题：（117介于连续的两个整数a 和b 之间，且a b <，那么a = ，b = ； （2）x 172的小数部分，y 171的整数部分，求x = ，y = ； （3）求)17yx -的平方根． 25．让我们规定一种运算a b ad cb c d =-， 如232534245=⨯-⨯=-． 再如14224x x =-． 按照这种运算规定，请解答下列问题，（1）计算60.5142=；-3-245=；2-335xx=-（2）当x=-1时，求223212232x x x x-++-+---的值（要求写出计算过程）．26．阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x，符号[]x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[]x就是x，当x不是整数时，[]x是点x左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】将2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．【详解】解：∵2=1×2，∴F（2）=12，故①正确；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小∴F（24）= 42=63，故②是错误的；∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小∴F（27）=31=93，故③错误；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.正确的共有2个．故答案为B．【点睛】本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．2．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A、4的算术平方根是2，故A错误；B、平方根等于本身的数是0，故B错误；C、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C正确；D、﹣a大于或等于0时，可以有平方根，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.3．A解析：A【分析】【详解】14，1．2故选：A．【点睛】此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键.4．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．5．B解析：B【分析】利用无理数的概念，邻补角、平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①无理数是无限不循环小数，正确；②平方根与立方根相等的数只有0，故错误；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；④邻补角是相等的角，故错误；⑤实数与数轴上的点一一对应，正确．所以，正确的命题有2个，故选B.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解无理数、平方根与立方根的定义、两直线的位置关系等知识，难度不大．6．B解析：B根据新定义的运算把各式转化成混合运算进行计算，即可得出结果.【详解】解：∵a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-，∴①3＊2=3×3-2=7，故①错误；②()22112145,⊕-=--=--=-故②正确； ③（13＊25）7124⎛⎫⊕⊕ ⎪⎝⎭. 21217(3)()3542⎡⎤=⨯-⊕-⎢⎥⎣⎦ 3(12)5=⊕- 2312()5=-- 30925=- 故③错误；④若a ＊b=b ＊a ，则有3a －b=3b-a,化简得a=b,故④正确；正确的有②④，故选：B【点睛】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.7．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有π共2个．故选B ．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．8．D解析：D【分析】根据立方根的性质得出x+y=0即可解答．+=，∴x+y=0故答案为D．【点睛】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答即可.【详解】A、227是小数，不是无理数；B是无理数；C是整数，不是无理数；D、0.1010010001是有限小数，不是无理数，故选：B.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义并运用解题是关键.10．D解析：D【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组，解之即可．【详解】b-4=0，∴2a+b＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴a+b＝2，故选D．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，正确列出方程是解题的关键．二、填空题11．-4【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．解析：-4π【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A ′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A ′在A 的左侧，所以A ′表示的数为-4π，故答案为-4π．12．．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=． 解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=．“ 解析：12++n n ． 【解析】【详解】 根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．13．【分析】根据可以得到的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．【详解】∵，∴n 和q 互为相反数，O 在线段NQ 的中点处，∴绝对值最大的是点P 表示的数．故解析：p【分析】根据0n q +=可以得到n q 、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．【详解】∵0n q +=，∴n和q互为相反数，O在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的是点P表示的数p．故答案为：p．【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．14．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】n=求解即可．观察各式得出其中的规律，再代入12【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．15．-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+解析：-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x +1）5＝x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1，∵（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，∴a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1，把a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1代入﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5中， 可得：﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的值.16．【分析】按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.【详解】解：由解得：x=8故答案为.【点睛】本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的 解析：1745【分析】按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.【详解】 解：由1521=21(21)(11)3x ⊕=++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045⊕=+++++ 故答案为1745. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.17．255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）解析：255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：64→=8→2=→=1，∴对64只需进行3次操作后变为1，故答案为3；（2）与上面过程类似，有256→=16→4=→=2→1=，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→3=→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；故答案为255．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．18．2a【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】的平方根是，的立方根是2a ，故答案为：，2a.【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立解析：【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】38a 的立方根是2a ，故答案为：，2a .【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.19．4【分析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．【详解】===4故答案为4．【点睛】本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键解析：4【分析】根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．【详解】4)+4=4=4故答案为4．【点睛】本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．20．【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】(⊕2)⊕3=⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关解析：【分析】根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】2)⊕3=3，故答案为3．【点睛】本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．三、解答题21．初步探究：（1）12，8;（2）C ；深入思考：（1）213，415，82；（2）21n a -；（3）-5.【分析】初步探究：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；深入思考：（1）根据除方运算的定义即可得出答案；（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；（3）先按照除方的定义将每个数的圈n 次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得出答案.【详解】解：初步探究：（1）2③=2÷2÷2=12 （12）⑤=11111822222÷÷÷÷= （2）A ：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A 错误; B ：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1，故选项B 错误； C ：3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，3④≠4③，故选项C 正确； D ：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D 错误；故答案选择：C.深入思考：（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3) ÷(-3)=213 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=415（-12）⑩=8111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=21n a -（3）原式=()4252621111442711233---÷⨯-÷-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1144981278⎛⎫÷⨯--÷ ⎪⎝⎭=23--=-5【点睛】本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.22．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.【分析】（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.【详解】（1）11222n n n ---=理由是：122n n -- 11122n n +--=-11222n n --=⨯-()1212n -=-⨯12n -=（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-2020022=-()505421=-505161=-因为6的任何整数次幂的个位数字为6.所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5.【点睛】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.23．初步探究（1）12；—8；（2）C ；深入思考（1）213；415；28；（2）21n a ；（3）—1． 【解析】试题分析：理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．试题解析：概念学习（1）2③=2÷2÷2=，（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8故答案为，﹣8；（2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项B 正确；C 、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C 错误；D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；本题选择说法错误的，故选C ；深入思考：（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=1×（）2=；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（）4=； （﹣）⑩=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1×2×2×2×2×2×2×2×2=28；故答案为，，28．（2）a ⓝ=a ÷a ÷a…÷a=1÷a n ﹣2=． （3）：24÷23+（﹣8）×2③=24÷8+（﹣8）×=3﹣4=﹣1．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．24．（1）4；b＝（217−4；3（3）±8【分析】（（1）由16＜17＜2517a，b的值；（2）根据（1）的结论即可确定x与y的值；（3）把（2）的结论代入计算即可．【详解】解：（1）∵16＜17＜25，∴417＜5，∴a＝4，b＝5，故答案为：4；5；（2）∵417＜5，∴617＋2＜7，由此整数部分为617，∴x17−4，∵417＜5，∴317－1＜4，∴y＝3；17；3（3）当x17，y＝3时，)1717+4＝64，x＝()317y∴64的平方根为±8．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．25．（1）1；-7；-x；（2）-7【分析】（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论．【详解】解：（1）60.5160.543211242=⨯-⨯=-=； -3-23524158745=-⨯--⨯=---=-（）（）； 2-3253310935x x x x x x x=⨯---⨯=---=--（）（）（）． 故答案为：1；-7；-x ．（2）原式=（-3x 2+2x+1）×（-2）-（-2x 2+x-2）×（-3），=（6x 2-4x-2）-（6x 2-3x+6），=-x-8，当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．∴当x=-1时，223212232x x x x -++-+---的值为-7． 【点睛】本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键．26．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】（1）∵3 3.44<<∴[]3.43=∵6 5.75-<-<-∴[]5.76-=-故答案为：3；6-．（2）①∵3.074<∴3.07公里需要2元∵47.9312<<∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵19.212174<<∴19.17公里所需费用分为三段计费即：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；++=（元）∴19.17公里所需费用为：2226故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；++=（元）∴乘坐24公里所需费用为：2226∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．。
初中数学第六章 实数知识点-+典型题附解析
初中数学第六章 实数知识点-+典型题附解析一、选择题1．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C ．m 倍D ．2m 倍 2．下列说法正确的是（ ）A ．有理数是整数和分数的统称B ．立方等于本身的数是0，1C ．a -一定是负数D ．若a b =，则a b =3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．16的算术平方根是（ ）A ．2B ．2±C ．4D ．4±5．下列结论正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．无理数都是无限小数C ．带根号的数都是无理数D ．实数包括正实数、负实数6．40在下面哪两个整数之间（ ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和97．我们规定一种运算“★”，其意义为a ★b ＝a 2﹣ab ，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x 满足（x +2）★（x ﹣3）＝5，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣58．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．109．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（ ）A ．13+B ．23+C ．231-D ．231+10．如图，数轴上表示实数3的点可能是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S二、填空题11___________．12．+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．13．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____．14．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112()()55k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为________；第2011棵树种植点2011x ________.15．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 16．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52-=-.则下列结论： ①[][]2.112-+=-；②[][]0x x +-=；③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2. 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.17．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____．18．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________．19．44.9444≈⋯14.21267≈⋯（精确到0．01）≈__________．20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，＝2，现对72进行如下操作：72821→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．22．观察下列计算过程，猜想立方根．13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。
七年级数学下册第六章【实数】知识点总结(含答案)
一、选择题1．在实数，-3.14，0，π中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根 B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2 D ．8的平方根是43．0215中，是无理数的是（ ）A B ．0C D ．2154．在0.010010001，3.14，π，1.51，27中无理数的个数是（ ）．A ．5个B ．4个C ．3D ．2个5．若3a =，则a 在（ ）A ．3-和2-之间B ．2-和1-之间C ．1-和0之间D ．0和1之间6．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行． A ．4B ．3C ．2D ．17．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ）A ．AB >B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥8 ）A ．8B ．8-C ．D ．±9．下列有关叙述错误的是（ ）AB 是2的平方根C ．12<<D ．2是分数10．在1.414，213，5π，2-中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9二、填空题12．计算： （1）132322⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭（2）2291|121232⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭13．计算：（1223168(2)(3)--（2）22(2)8x -=14．比较大小：221（填“＞”、“＝”或“＜”）． 15．计算：3612516--=____．16．若2x =，29y =，且0xy <，则x y -等于______． 17．求下列各式中的x ： （1）2940x -=；（2）3(1)8x -=18．3189124- 19．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2． （1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．20．若x ﹣1与2x ﹣3是数A 的两个平方根，则A ＝_______． 21．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--，如果13a =-，2a 是1a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，4a 是5a 的差倒数…依此类推，那么的12342017201820192020a a a a a a a a -+-⋅⋅⋅+-+-值是______．三、解答题22．计算：2(3)216--23．已知(25|50x y -++-=．（1）求x ，y 的值； （2）求xy 的算术平方根．24．已知31a +的算数平方根是4，421c b +-的立方根是3，c 22a b c +-的平方根．25．计算．（1）3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（2）178(4)4(5)-÷-+⨯-（3163⎫-⎪⎪⎭（4）22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦一、选择题1．给出下列各数①0.32，②227，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥C ．④⑤⑥D ．③④⑤2．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．104．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②5．下列各数中，无理数有（ ）3.14125，8，127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．64的算术平方根是（ ） A ．8B ．±8C ．22D ．22±7．下列实数中，是无理数的为（ ） A ．3.14B ．13C ．5D ．98．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间9．如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么32370约等于（ ） A ．287.2B ．28.72C ．13.33D ．133.310．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；④49的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行． A ．4B ．3C ．2D ．111．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A ．21n -B ．22n -C ．23n -D ．24n -二、填空题12．把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来． 0，327-，()2--，1--，9，22-13)11163532-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭14．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15．已知103x ，小数部分是y ，求x ﹣y 的相反数_____．16．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <；164±；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）17．将1236按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．18．（1）求x 的值：2490x -=； （2()2325227-19．计算：（1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32| 20．3189124--+． 21．-64的立方根是____，9的平方根是_____，16的算术平方根是_____81_____．三、解答题22．计算：（132125(2)(10)4---⨯- （2）2325(24)27-⨯--÷23．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2． （1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根． 24．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a +3b - 25．（1）小明解方程2x 1x a332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 2y 1742++=-x-y 的值．一、选择题1．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．81的平方根是（ ） A ．9B ．-9C ．9和9-D ．813．下列计算正确的是（ ） A ．11-=-B ．2(3)3-=-C ．42=±D ．31182-=-4．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n5．下列实数中，属于无理数的是（ ） A ．3.14B ．227C ．4D ．π6．估计50的立方根在哪两个整数之间（ ） A ．2与3B ．3与4C ．4与5D ．5与67．在下列实数3，0.31，3π，27-，9，12-，38，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -9．在1.414，3213，5π，23中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．下列等式成立的是（ ）A ．±1B ＝±2C 6D 311．下列各组数中都是无理数的为（ ）A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π；C ，π；D ．0.1010101……101，π二、填空题12．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a + 13．计算：（1（2）0(0)|2|π-- （3）解方程：4x 2﹣9＝0．14．(22-15．把下列各数填在相应的集合里： 4，3.5，0，3π，5-4，10%，2-3，2016，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0）正分数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非负整数集合{ …} 无理数集合{ …}．16． ________0.5．（填“＞”“＜”或“＝”） 17．已知甲数是719的平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．18．已知5的整数部分为a ，5-b ，则2ab b +=_________． 19．计算：（1）﹣12﹣（﹣2）（21）＋2|20．设a ，b 是两个连续的整数，若a b <<，是，则a b ＝____．21．比较大小：三、解答题22．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-，38，0，13-，4-23．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．24．213a -=，31a b -+的平方根是4±，c 433a b c ++的平方根．25．设26+x 、y ，试求x 、y 的值与1x -的立方根．。
人教版七年级数学下册第六章《实数》同步练习(含答案)
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A．B 与 C B．C 与 D C．E 与 F D．A 与 B 18．(2017·广州四校联考期中)已知 a，b 为两个连续整数，且 a< 15<b，则 a＋b 的值为 7． 19．(教材 P41 探究变式)如图，将两个边长为 3的正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个三角形拼成一个大的 正方形，则这个大正方形的边长是 6．
20．(教材 P43 探究变式)观察：已知 5.217≈2.284， 521.7≈22.84，填空： (1) 0.052 17≈0.228__4， 52 170≈228.4； (2)若 x≈0.022 84，则 x≈0.000__521__7． 21．比较下列各组数的大小： (1) 12与 14； (2)－ 5与－ 7；
3 C．±2
81 D.16 D．0
A．0.7 B．－0.7 C．±0.7 4．下列说法正确的是( A ) A．因为 52＝25，所以 5 是 25 的算术平方根 B．因为(－5)2＝25，所以－5 是 25 的算术平方根 C．因为(±5)2＝25，所以 5 和－5 都是 25 的算术平方根 D．以上说法都不对 5．求下列各数的算术平方根： 9 64 (1)121； (2)1； (3) ； (4)0.01.
Байду номын сангаас
a＝.小明按键输入
C．－6 ) C．±2
D. 6 D．2
中档题 14．下列各数，没有算术平方根的是( B ) A．2 B．－4 C．(－1)2 D．0.1 15．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( D ) A．1 B．－1 C．0 D．0 或 1 16．(2017·广州期中)已知一个自然数的算术平方根是 a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( D A．a＋1 B. a＋1 C．a2＋1 D. a2＋1 17．(2017·潍坊)用计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于________之间( A )
初中数学第六章 实数知识点及练习题及解析
初中数学第六章 实数知识点及练习题及解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．设n 为正整数，且20191n n <<+，则n 的值为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．45 3．若()2320m n -++=，则m n +的值为( )A ．5-B ．1-C ．1D ．54．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数5．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则图中正方形ABCD 的边长是（ ）A ．2B 5C 6D ．3 6．估计65的立方根大小在（ ） A ．8与9之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 7．下列命题是假命题的是（ ） A ．0的平方根是0 B ．无限小数都是无理数C ．算术平方根最小的数是0D ．最大的负整数是﹣18．4的平方根是（ ） A ．±16 B ．2 C ．﹣2D ．±2 9．下列各数中，介于6和7之间的数是( )A 43B 50C 58D 33910．下列运算正确的是（ ）A 42=±B 222()-=-C 382-=-D ．|2|2--=二、填空题11．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．12．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简()()222a a b c b c ++---=__________．13．写出一个3到4之间的无理数____．14．观察下列各式：123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=；3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．15．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．162(2)-的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．17．一个数的立方等于它本身，这个数是__．18116的算术平方根为_______． 19．设a ，b 都是有理数，规定 3*=a b a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________． 20．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________三、解答题21．观察下列各式：(x －1)(x+1)=x 2－1(x －1)(x 2+x+1)=x 3－1(x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1……（1）根据以上规律，则(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________．（2）你能否由此归纳出一般性规律(x －1)(x n +x n －1+x n －2+…+x+1)=____________． （3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．22．先阅读然后解答提出的问题：设a 、b 是有理数，且满足2322+=-a b b a 的值． 解：由题意得(3)(20-++=a b ，因为a 、b 都是有理数，所以a ﹣3，b+2也是有理数，2是无理数，所以a-3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2， 所以3(2)8=-=-a b ．问题：设x 、y都是有理数，且满足2210x y -+=+x+y 的值．23．观察下列各式的计算结果2113131-1-24422===⨯ 2118241-1-39933===⨯ 21115351-1-4161644===⨯ 21124461-1-5252555===⨯ （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：211-6= × ； 211-10= × ； （2）用你发现的规律计算： 22222111111-1-1-1-1-23420162017⨯⨯⨯⋯⨯⨯（）（）（）（）（） （3）计算()2222211111111112341n n ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦（）（）（）（直接写出结果） 24．定义☆运算：观察下列运算：☆两数进行☆运算时，同号，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．（3）若2×（﹣2☆a）﹣1＝8，求a 的值．25．（1的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：因为2211,24==，所以12,<<因为21.4 1.96=，21.5 2.25=，所以1.4 1.5,<< 因为221.41 1.9881,1.42 2.0164==，所以1.41 1.42<< 因为221.414 1.999396,1.415 2.002225==，所以1.414 1.415,<<1.41≈(精确到百分位)，(精确到百分位)．（2）我们规定用符号[]x 表示数x 的整数部分，例如[]0,2.42,34=⎤⎢⎥⎦=⎡⎣①按此规定2⎤⎦= ；a ,b 求a b -的值．26．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= .（2）计算：2320191333...3+++++（3）计算：101102103200555...5++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C先确定2019介于1936、2025这两个平方数之间，从而可以得到4445<<，再根据已知条件即可求得答案．【详解】解：∵193620192025<<∴2244201945<<．<∴4445<<∵n 为正整数，且1n n <<+ ∴44n =．故选：C【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与2019临界的两个完全平方数是解决问题的关键．3．C解析：C【分析】根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m-3=0，n+2=0，解得m=3，n=-2，所以，m+n=3+（-2）=1．故选：C ．【点睛】此题考查非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D 错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B 、C 错误；∴2-是负有理数，A 正确．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】由图可知；正方形面积为5．再由正方形的面积等于边长的平方依据算术平方根定义即可得出答案.【详解】解：由图可知，正方形面积= 133-421=52⨯⨯⨯⨯，∴正方形边长故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，无理数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．C解析：C【分析】先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45<<，即可求得答案． 【详解】解：∵3464=，35125=∴6465125<<∴45<．故选：C【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．7．B解析：B【分析】分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．【详解】解：A 、0的平方根为0，所以A 选项为真命题；B 、无限不循环小数是无理数，所以B 选项为假命题；C 、算术平方根最小的数是0，所以C 选项为真命题；D 、最大的负整数是﹣1，所以D 选项为真命题．【点睛】本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据平方根的定义以及性质进行计算即可．【详解】4的平方根是±2，故选：D．【点睛】本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键．9．A解析：A【分析】求出每个根式的范围，再判断即可．【详解】解：A、67，故本选项正确；B、78，故本选项错误；C、78，故本选项错误；D、34，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个根式的范围．10．C解析：C【分析】分别计算四个选项，找到正确选项即可．【详解】=，故选项A错误；22==，故选项B错误；2=-，故选项C正确；--=-，故选项D错误；D. |2|2故选C．【点睛】本题主要考查了开平方、开立方和绝对值的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．二、填空题11．±2【分析】先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x+1=，解得：x=4∴x 的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正解析：±2【分析】先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x=4∴x 的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个． 12．0【分析】由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值.【详解】解：由数轴可知，，则，，故答案为：0.【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算. 解析：0【分析】由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值.【详解】解：由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=， 故答案为：0.【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.13．π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．解析：π（答案不唯一）．【解析】考点：估算无理数的大小．分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．答案不唯一．14．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n =求解即可．【详解】由题意得()31n n =⨯++将12n =代入原式中12151181a ==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．15．﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三种情况：①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，∴[x]解析：﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三种情况：①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2.故答案为-2或﹣1或0或1或2.点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.【详解】请在此输入详解！16．2a【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】的平方根是，的立方根是2a ，故答案为：，2a.【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立解析：【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】38a的立方根是2a，故答案为：，2a.【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.17．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．18．【分析】利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．【详解】∵，，∴的算术平方根为；故答案为：.【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．解析：1 2【分析】14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】14=12=，的算术平方根为12； 故答案为：12. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．19．1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵，∴=（）（）=（2+2）（3-4）=4（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方解析：1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵*=a b∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦=*）=（2+2）*（3-4）=4*（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键．20．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】①10=，故①错误；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．三、解答题21．（1）x7－1；（2）x n+1－1；（3）5131 2-．【分析】（1）仿照已知等式写出答案即可；（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．【详解】解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1；（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1-1）=51312- 故答案为：（1）x 7－1；（2）x n+1－1；（3）51312-． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．22．7或-1.【分析】根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x 、y 的值，进而可求x+y 的值.【详解】解：∵2210x y -=+∴()22100x y --+-=，∴2210x y --=0-=0∴x=±4，y=3当x=4时，x+y=4+3=7当x=-4时，x+y=-4+3=-1∴x+y 的值是7或-1.【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.23．（1）5766⨯；9111010⨯（2）10092017（3）12n n + 【解析】试题分析：（1）根据题目中所给的规律直接写出答案；（2）根据所得的规律进行计算即可；（3）根据所得的规律进行计算即可德结论.试题解析：（1）5766⨯ ， 9111010⨯； （2）原式=1324352016201822334420172017⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） =1201822017⨯=10092017; （3）12n n +. 点睛：本题是一个数字规律探究题，解决这类问题的基本方法为：通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52 【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-， 综上所述：a=-52． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．25．（1）2.24；（2）①5，②3-【分析】（1近似值的方法解答即可；（22的范围，再根据规定解答即可；的整数部分a b 的值，再代入所求式子化简计算即可．【详解】解：（1）因为2224,39==，所以23,<<因为222.2 4.84,2.3 5.29==，所以2.2 2.3<<，因为222.23 4.9729,2.24 5.0176==，所以2.23 2.24,<< 因为222.236 4.999696,2.237 5.004169==，所以2.236 2.237<<，2.24≈．（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，所以3.1 3.2<<，所以5.12 5.2<<，所以2⎤⎦=5；故答案为：5；②因为12,23<<<，所以1,2a b ==，所以原式12=)12123=-== 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键．26．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-，∴201514S -= 即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (5)4-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。
七年级初一数学第六章 实数知识点-+典型题及答案
七年级初一数学第六章 实数知识点-+典型题及答案一、选择题1．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则7×6！的值为( )A ．42！B ．7！C ．6！D ．6×7！ 2．下列数中，有理数是（ ）A ．﹣7B ．﹣0.6C ．2πD ．0．151151115… 3．我们规定一种运算“★”，其意义为a ★b ＝a 2﹣ab ，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x 满足（x +2）★（x ﹣3）＝5，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣54．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n 5．下列选项中的计算，不正确的是( )A ．42=±B ．382-=-C ．93±=±D ．164= 6．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )A ．3B ．3C ．3 1D ．37．下列各式中，正确的是（ ）A ()233-=-B 42=±C 164=D 393=8．在实数227-911π38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．若4a =2=3b ，且a ＋b ＜0，则a －b 的值是（ ）A ．1或7B ．﹣1或7C ．1或﹣7D ．﹣1或﹣710．7和6- ）A 76B 67C 76+D ．76)-二、填空题11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．12．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=． 例如：(-3)☆2= 32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____．13．下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，928…，那么第n 个数是__． 14．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52-=-.则下列结论： ①[][]2.112-+=-；②[][]0x x +-=；③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2. 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.15．27的立方根为 ．16．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.17．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．已知正实数x 的平方根是m 和m b +．（1）当8b =时，m 的值为_________；（2）若22()4m x m b x ++=，则x 的值为___________ 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______． 三、解答题 21．阅读下面文字：对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以如下计算：原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 114=- 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，计算：（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）235120192018201720163462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．探究： ()()()211132432222122222222-=⨯-⨯=-==-== …… （1）请仔细观察，写出第5个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：22018201920202222-2++⋅⋅⋅++．24．观察下列两个等式：112-2133=⨯+，225-5133=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，12）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．（1）计算：321|2(2)-++-；（2）若21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-，求2x y -的算术平方根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接根据题目所给新定义化简计算即可．【详解】根据题中的新定义得：原式=7×6×5×4×3×2×1=7！．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算，读懂题意，理解题目所给定义的运算方法是解此题的关键．2．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A 是无理数，故选项错误；B 、﹣0.6是有理数，故选项正确；C 、2π是无理数，故选项错误；D 、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．3．B解析：B【分析】根据a★b=a2-ab可得（x+2）★（x-3）=（x+2）2-（x+2）（x-3），进而可得方程：（x+2）2-（x+2）（x-3）=5，再解方程即可．【详解】解：由题意得：（x+2）2-（x+2）（x-3）=5，x2+4x+4-（x2-x-6）=5，x2+4x+4-x2+x+6=5，5x=-5，解得：x=-1，故选：B．【点睛】此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件a★b=a2-ab所表示的意义．4．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.5．A解析：A【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可．【详解】解：2=±错误，本选项符合题意；=2=-，本选项不符合题意；2C. 3=±，本选项不符合题意；D. 4=，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．6．D解析：D【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x1-，解得.故选D.7．C解析：C【分析】对每个选项进行计算，即可得出答案.【详解】=，原选项错误，不符合题意；3=，原选项错误，不符合题意；2=，原选项正确，符合题意；4D. 3≠，原选项错误，不符合题意.故选：C【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.8．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有π共2个．故选B．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．9．D解析：D【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a 与b 的值，即可求出-a b 的值．【详解】 解：∵24,3a b ==，且a +b <0， ∴a =−4，a =−3；a =−4，b =3，则a −b =−1或−7．故选D ．【点睛】本题考查实数的运算，掌握绝对值即二次根式的运算是解题的关键．10．C解析：C【分析】 在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．【详解】如图，7和67在右边，6在左边，7和67-（6）76．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．二、填空题11．-4【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A 的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π． 解析：-4π【解析】解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A ′与A 的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A ′在A 的左侧，所以A ′表示的数为-4π，故答案为-4π．12．8【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b= =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b==b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b ++- =a ，a 最大为8； 当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b ++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析：2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 14．①③.【分析】根据[x]表示不超过x 的最大整数，即可解答．【详解】由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；②中，当x 取小数时，显然不成立，例如x 取2.6，[x]解析：①③.【分析】根据[x]表示不超过x 的最大整数，即可解答．【详解】由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；②中，当x 取小数时，显然不成立，例如x 取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误； ③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；所以正确的结论是①③.15．3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算解析：3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算16．±7 7 -2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.解析：±77-2【解析】试题解析：∵（±7）2=49，∴49的平方根是±7，算术平方根是7；∵（-2）3=-8，∴-8的立方根是-2.17．【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．19．-4【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）根据题意可知，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵正实数的平方根是和，∴，∵，∴，∴；（2）∵正解析：【分析】（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；（2）根据题意可知22,()m x m b x +==，再代入求解即可．【详解】解：（1）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，∴0m b m ++=，∵8b =，∴28m =-，∴4m =-；（2）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，∴22,()m x m b x +==，∴224x x +=，∴22x =，∵x 是正实数，∴x ．故答案为：-4．【点睛】本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<< ∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）14-（2）124- 【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.【详解】（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭ 104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14=- （2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 124=-【点睛】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）655552222122-=⨯-⨯=；（2）12222122n n n n n +--=⨯⨯=；（3）-2【分析】（1）直接根据规律即可得出答案；（2）根据前3个式子总结出来的规律即可求解；（3）利用规律进行计算即可．【详解】解（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ，（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n，（3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝-2．【点睛】本题主要考查有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键．24．(1) (−2,1)不是“共生有理数对”，13,2⎛⎫⎪⎝⎭是“共生有理数对”；理由见详解.(2)(−n,−m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】(1)−2−1=−3，−2×1+1=1，∴−2−1≠−2×1+1，∴(−2,1)不是“共生有理数对”，∵1515 3,312222 -=⨯+=，∴1133122-=⨯+，∴(13,2)是“共生有理数对”；(2)是.理由：− n−(−m)=−n+m，−n⋅(−m)+1=mn+1∵(m,n)是“共生有理数对”∴m−n=mn+1∴−n+m=mn+1∴(−n,−m)是“共生有理数对”，【点睛】考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求出z的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（11；（2【分析】（1）根据立方根、绝对值、乘方进行运算即可；（2）利用平方根、立方根的定义求出x 、y 的值，再利用算术平方根的定义即可解答【详解】解：（1）原式=1334-+-++=（2）∵21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-∴2x 142x y 18-=⎧⎨+-=-⎩∴5x 2y 12⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴52=2+12=172-⨯x y ∴2x y -【点睛】本题考查了绝对值、乘方、平方根、立方根、算术平方根的定义，解题的关键是掌握计算的方法，准确的进行化简求值.。
七年级初一数学 第六章 实数知识点及练习题含答案
七年级初一数学 第六章 实数知识点及练习题含答案一、选择题1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数a ，21()aa =④ C ．3=4④④D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.2．在-2，117，0，23π，3.14159265，9有理数个数（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边4．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧5．下面说法错误的个数是（ ）①a -一定是负数；②若||||a b =，则a b =；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．67．7+1的值在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 8．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 9．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是非负数；④16的平方根是±4，用式子表示是164=±．⑤若a ≥0，则2()a a =，其中错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若x ，y 都表示有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ）A ．212x +B ．()2x y +C ．22x y +D ．5x +二、填空题11．若已知()2120a b -++=，则a b c -+=_____．12．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．13．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．14．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[]2.32=，[]1.52-=-.则下列结论： ①[][]2.112-+=-；②[][]0x x +-=；③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2. 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.15．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a 的值为______．16．下列说法： -10=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________17．已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a +b ＝_____．18．若x 、y 分别是8-2x -y 的值为________．19．===，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．20．如果a =b 的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．阅读下列解题过程：（12====；（2== 请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,的结果为__________________． （2）利用上面所提供的解法，请化简： ......22．阅读理解： 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 23．观察以下一系列等式：①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；③23﹣22=8﹣4=22；④_____：…（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：_____；（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n 的式子表示第n 个等式：_____；（3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+ (2100)24．观察下列各式，回答问题21131222-=⨯， 21241333-=⨯ 21351444-=⨯ …．按上述规律填空：（1）211100-＝ × ，2112005-＝ × ， （2）计算：21(1)2-⨯21(1)...3-⨯21(1)2004-⨯21(1)2005-＝ ．25．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．（1）观察一个等比列数1，1111,,,24816，…，它的公比q＝；如果a n（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，a n＝；（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…①等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②由② ﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1即（2﹣1）S＝231﹣1所以3131212121S-==--请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示a n；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+a n．26．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据定义依次计算判定即可．【详解】解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；故选：C ．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．2．C解析：C【分析】根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数，逐一判断，找出有理数即可得答案.【详解】-2、0是整数，是有理数，117、3.14159265是分数，是有理数， 23π是含π的数，是无理数，，是整数，是有理数，综上所述：有理数有-2，117，0，3.141592655个， 故选C.【点睛】本题考查实数的分类，有理数包括整数和分数；无理数包括无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数. 3．C解析：C【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a ，得|a|=-a ，故a 是负数或0，∴实数a 在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．5．C解析：C【分析】①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.【详解】①当a≤0时，-a≥0，故-a 一定是负数错误；②当a=2，b=-2时， ||||a b = ,但是a≠b ，故②的说法错误；③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误.所以错误的个数是3个.故答案为C【点睛】本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.6．C解析：C【分析】通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．【详解】解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…∵2019÷4＝504…3，∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8．故答案是：8．【点睛】本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．7．B解析：B【分析】的范围，继而可求得答案.【详解】∵22=4，32=9，∴<3，∴+1<4，故选B.【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25， ∴∴4＜5．故选C ．考点：估算无理数的大小．9．B解析：B【分析】利用实数的分类，无理数的定义，绝对值的性质、平方根的定义及二次根式的性质.【详解】①有理数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误；③绝对值是它本身的数是非负数，正确；④16的平方根是±4，用式子表示是4±，错误；⑤若a ≥0，则2a a ==，正确；则其中错误的是2个，故选B.【点睛】本题考查了有理数，无理数，绝对值，平方根及二次根式，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．A解析：A【分析】根据平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类进行判断即可得解．【详解】解：A.∵20x ≥ ∴21122x +≥ ∴212x +一定是正数； B. ∵()20x y +≥∴()2x y +一定是非负数；C.∵20x ≥，20y ≥∴220≥+x y∴22x y +一定是非负数；D. ∵50x +≥ ∴5x +一定是非负数．故选：A【点睛】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性以及实数的分类，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．二、填空题11．6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可．【详解】解：因为，所以，解得，故答案为：6．【点睛】本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方解析：6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可．【详解】解：因为()2120a b -+++=，所以10,20,30a b c -=+=-=，解得1,2,3a b c ==-=，故1(2)36a b c -+=--+=，故答案为：6．【点睛】本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键． 12．±2【分析】先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x+1=，解得：x=4∴x 的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正解析：±2【分析】先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．【详解】∵x+1是125的立方根∴x=4∴x 的平方根是±2故答案为：±2【点睛】本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．【分析】直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，n+1+n﹣5＝0，解得n＝2，∴m＝（2+1）2＝9，∴m+n＝9+2＝11．故答解析：11【分析】直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，n+1+n﹣5＝0，解得n＝2，∴m＝（2+1）2＝9，∴m+n＝9+2＝11．故答案为11．【点睛】此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．14．①③.【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【详解】由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]解析：①③.【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【详解】由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；所以正确的结论是①③.15．3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴，，故答案为：3．【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟解析：3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．【详解】解：根据题意的2a+1+3-4a=0，解得a=2，∴25,8x y ==-，∴=，故答案为：3．【点睛】 本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．16．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】①10=，故①错误；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．17．9【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．【详解】∵＜，∴4＜＜5，∵a＜＜b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的解析：9【分析】a、b的值，然后可得a+b的值．【详解】∴45，∵a b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．18．【分析】估算出的取值范围，进而可得x，y的值，然后代入计算即可．解：∵，∴，∴的整数部分x＝4，小数部分y＝，∴2x－y＝8－4＋，故答案为：．【点睛】本题考查了估算无理解析：4+【分析】估算出8-x，y的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵34<<，∴4<85，∴8x＝4，小数部分y＝448=∴2x－y＝8－44=故答案为：4【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x，y的值．19．【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式，找=+≥n n(1)【分析】=+=(2=+n(n≥1)的等式表示出来是(3=+≥(1)n n由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是n n=+≥(1)=+≥(1)n n【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a==<<479<<<<23∴的整数部分是2，即2b=ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．（1-2）9【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.【详解】解：（1==（2......==-1+10=9【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.22．（1）17；（2）11n+.【解析】【分析】①根据发现的规律得出结果即可；②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．【详解】（1）设1111123456⎛⎫++++⎪⎝⎭为A，111111234567⎛⎫+++++⎪⎝⎭为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=17；（2）设11123n⎛⎫+++⎪⎝⎭为A，111231n⎛⎫+++⎪+⎝⎭为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=11 n+．【点睛】考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．24-23=16-8=23 24﹣23=16﹣8=23 2n﹣2（n﹣1）═2（n﹣1）【解析】试题分析：（1）根据已知规律写出④即可．（2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性．（3）写出前101个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．试题解析：（1）根据已知等式：①21-20=2-1=20；②22-21=4-2=21；③23-22=8-4=22；得出以下：④24-23=16-8=23，（2）①21-20=2-1=20；②22-21=4-2=21；③23-22=8-4=22；④24-23=16-8=23；得出第n 个等式：2n -2（n-1）=2（n-1）；证明：2n -2（n-1）， =2（n-1）×（2-1）， =2（n-1）； （3）根据规律： 21-20=2-1=20；22-21=4-2=21；23-22=8-4=22；24-23=16-8=23；…2101-2100=2100；将这些等式相加得：20+21+22+23+ (2100)=2101-20，=2101-1．∴20+21+22+23+…+2100=2101-1．24．（1）99101100100⨯，2004200620052005⨯；（2）10032005. 【分析】(1)观察已知等式可知等式右边为两个分数的积,其分母相等且与等式左边分母的底数相等，分子一个比分母小1,一个比分母大1,由此填空(2)根据(1)发现的规律将每个括号部分分解为两个分数的积再寻找约分规律.【详解】解：（1）211100-＝99101100100⨯，2112005-＝2004200620052005⨯．（2）2112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 211...3⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112004⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112005⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝1322⨯ ×2433⨯ ×…×2003200520042004⨯×2004200620052005⨯ ＝12×20062005． ＝10032005．． 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力,关键是根据已知等式由特殊到一般得出分数的拆分规律和约分规律.25．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111n a a a -- 【分析】 （1）12÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可； （2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案；（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．【详解】 解：（1）12÷1＝12， a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12）n ﹣1＝112n -， 故答案为：12，1712，112n -； （2）设S ＝3+32+33+ (323)则3S ＝32+33+…+323+324，∴2S ＝324﹣3，∴S ＝24332- （3）a n ＝a 1•qn ﹣1，a 1+a 2+a 3+…+a n ＝()11111n a a a --．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q 可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣223．【解析】【分析】（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.【详解】（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2，如图所示：（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，∴AB=6，两点速度差为：2﹣12，∴6÷（2﹣12）=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .综上所述，M对应的数为2或﹣223．【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。
中考数学第六章 实数知识点总结附解析
中考数学第六章 实数知识点总结附解析一、选择题1．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则[1]+[2]+[3]+…+[36]=（ ）A ．132B ．146C ．161D ．6662．设n 为正整数，且20191n n <<+，则n 的值为（ ） A ．42 B ．43C ．44D ．45 3．40在下面哪两个整数之间（ ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和94．下列各数-(-3),0,221(-)--2--42π，，，中,负数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．0，0.121221222，13，25，2π，3这6个实数中有理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．下列实数中是无理数的是（ ）A ．B ．C ．0.38D ．7．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；则翻转2016次后，数轴上数2016所对应的点是（ ）A ．点CB ．点DC ．点AD ．点B 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间二、填空题11．观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．12．已知M 是满足不等式36a -<<的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤3722-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．13．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___14．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____．15．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112()()55k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为________；第2011棵树种植点2011x ________.16．按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n 值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n 值可以是________．17．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则315746454=，请根据上面的359319=_________．18．31.35 1.105≈3135 5.130≈30.000135-≈________．19．1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．20．如图，数轴上的点A能与实数15,3,,22---对应的是_____________三、解答题21．探究与应用：观察下列各式：1+3＝21+3+5＝21+3+5+7＝21+3+5+7+9＝2……问题：（1）在横线上填上适当的数；（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）22．观察下列各式﹣1×12＝﹣1+12﹣1123⨯＝﹣11+23﹣1134⨯＝﹣11+34（1）根据以上规律可得：﹣1145⨯＝；11-1n n+＝（n≥1的正整数）．（2）用以上规律计算：（﹣1×12）+（﹣1123⨯）+（﹣1134⨯）+…+（﹣1120152016⨯）.23．七年某班师生为了解决“22012个位上的数字是_____”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下：（1）认真填空，仔细观察．因为21=2，所以21个位上的数字是2 ；因为22=4，所以22个位上的数字是4；因为23=8，所以23个位上的数字是8；因为24= _____ ，所以24个位上的数字是_____；因为25= _____ ，所以25个位上的数字是_____；因为26= _____ ，所以26个位上的数字是_____；（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：210个位上的数字是4，你认为对吗？（3）利用上述得到的规律，可知：22012个位上的数字是_____；（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：32013个位上的数字是_____．24．观察下列两个等式：112-2133=⨯+，225-5133=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，12）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．25．阅读下列材料： 问题：如何计算1111122334910++++⨯⨯⨯⨯呢？ 小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下：解：原式1111111(1)()()()22334910=-+-+-++- 1110=-910= 请根据阅读材料，完成下列问题： （1）计算：111112233420192020++++⨯⨯⨯⨯； （2）计算：111126129900++++； （3）利用上述方法，求式子111115599131317+++⨯⨯⨯⨯的值． 26．阅读下列材料：小明为了计算22019202012222+++++的值，采用以下方法： 设22019202012222s =+++++ ① 则22020202122222s =++++ ②②-①得，2021221s s s -==-请仿照小明的方法解决以下问题：（1）291222++++=________；（2）220333+++=_________； （3）求231n a a a a ++++的和（1a >，n 是正整数，请写出计算过程）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案．详解：1.52=2.25，可得出有2个1；2.52=6.25，可得出有4个2；3.52=12.25，可得出有6个3；4.52=20.25，可得出有8个4；5.52=30.25，可得出有10个5；则剩余6个数全为6.故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146. 故选：B.点睛本题考查了估算无理数的大小.2．C解析：C【分析】先确定2019介于1936、2025这两个平方数之间，从而可以得到4445<<，再根据已知条件即可求得答案．【详解】解：∵193620192025<<∴2244201945<<．<∴4445<<∵n 为正整数，且1n n <<+ ∴44n =．故选：C【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与2019临界的两个完全平方数是解决问题的关键．3．B解析：B6＜7．【详解】所以6＜7．故选：B ．【点睛】的取值范围是解题关键．4．C解析：C【分析】根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解【详解】解：-(-3)=3；211()24-=；224-=-；44--=-； 所以2-2-4π--，，是负数，共3个。
第六章 实数知识点-+典型题及答案
第六章 实数知识点-+典型题及答案一、选择题1．下列说法中正确的是（ ） A ．4的算术平方根是±2 B ．平方根等于本身的数有0、1 C ．﹣27的立方根是﹣3 D ．﹣a 一定没有平方根2．已知x 、y （y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ） A ．14B ．﹣14C ．74D ．﹣743．2，估计它的值( ) A ．小于1 B ．大于1 C ．等于1 D ．小于0 4．下列选项中的计算，不正确的是( )A 2=±B 2=-C ．3=±D 4=5．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2-与12-B ．|C D 6．下列说法中，正确的个数是（ ）．（1）64-的立方根是4-；（2）49的算术平方根是7±；（3）2；（4是7的平方根． A ．1B ．2C ．3D ．47．下列各数中3.14，0.1010010001…，﹣17，2π有理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．4的平方根是（ ）A ．±16B ．2C ．﹣2D ．±29．下列实数中，..1π073，，，无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．若a 、b 为实数，且满足|a －2|0，则b －a 的值为( ) A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对二、填空题11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x )–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 13．若实数a 、b 满足240a b ++-=，则ab=_____． 14．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 15．观察下列算式：①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20； ②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________ 16．若()221210a b c -+++-=，则a b c ++=__________． 17．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 18．27的立方根为 ．19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b =+．例如89914*=+=，那么*(*16)m m =__________．20．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________三、解答题21．2是无理数，而无理是无限不循环小数，因2212的小数部分，事2的整数部分是1，将这个数减去其整数部2的小数部分，又例如：∵232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为)72。
中考数学第六章 实数知识点总结含答案
中考数学第六章 实数知识点总结含答案一、选择题1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019M x x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是( )A ．M N <B ．M N >C ．MND ．M N ≥2．下列命题中，真命题是（ ） A ．实数包括正有理数、0和无理数 B ．有理数就是有限小数 C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数 3．2(4)-的平方根与38-的和是（ ） A ．0 B ．﹣4 C ．2 D ．0或﹣4 4．现定义一种新运算：a ★b=ab+a-b ，如：1★3=1×3+1－3=1，那么(－2)★5的值为（ ）A ．17B ．3C ．13D ．－175．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个 6．设n 为正整数，且n ＜65＜n+1，则n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．下列命题是假命题的是（ ）A ．0的平方根是0B ．无限小数都是无理数C ．算术平方根最小的数是0D ．最大的负整数是﹣18．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )A ．线段AB 上B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上9．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．12+B ．22+C ．221-D ．221+10．若2a+b b-4+=0，则a +b 的值为( ) A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2二、填空题11．已知M 是满足不等式36a -<<的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤3722-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________． 12．64的立方根是___________． 13．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简()()222a a b c b c ++---=__________．14．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．15．已知，x 、y 是有理数，且y ＝2x -+ 2x -﹣4，则2x +3y 的立方根为_____． 16．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 17．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．18．对于任意有理数a ，b ，定义新运算：a ⊗b =a 2﹣2b +1，则2⊗(﹣6)=____． 19．1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．20．若2x -+|2﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．三、解答题21．规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈 3 次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈 4 次方”．一般地，把个记作 a ⓝ，读作 “a 的圈 n 次方” （初步探究）（1）直接写出计算结果：2③，（﹣12）③． （深入思考）2④21111112222222⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣12）⑩． （3）猜想：有理数 a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式等于多少． (4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣12）9×（﹣12）⑧ 22．阅读理解： 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 23．七年某班师生为了解决“22012个位上的数字是_____”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下： （1）认真填空，仔细观察．因为21=2，所以21个位上的数字是2 ； 因为22=4，所以22个位上的数字是4； 因为23=8，所以23个位上的数字是8； 因为24= _____ ，所以24个位上的数字是_____； 因为25= _____ ，所以25个位上的数字是_____； 因为26= _____ ，所以26个位上的数字是_____；（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：210个位上的数字是4，你认为对吗？（3）利用上述得到的规律，可知：22012个位上的数字是_____；（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：32013个位上的数字是_____．24．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，点P 是数轴上的一个动点．（1）求出A 、B 之间的距离；（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；（3）数轴上一点C 距A 点36个单位长度，其对应的数c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．25．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由； ②与23“模二相加不变”的两位数有______个26．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”． （1）请直接写出最小的四位依赖数；（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q np n++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝2222++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可. 【详解】解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=， ∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•；()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •-=201910x x •>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.2．D解析：D 【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案． 【详解】A 、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B 、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C 、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D 、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．3．D解析：D 【分析】【详解】＝4，4的平方根是±2，的平方根为±2，2，﹣2+（﹣2）＝﹣4， 2+（﹣2）＝0．0或﹣4． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知平方根的定义及立方根的定义是解答此题的关键．4．D解析：D 【分析】根据新运算的定义即可得到答案． 【详解】∵a ★b =ab +a ﹣b ，∴（﹣2）★5=（﹣2）×5﹣2﹣5=﹣17． 故选D ． 【点睛】本题考查了基本的知识迁移能力，运用新定义，求解代数式即可，要灵活运用所学知识，要认真掌握．5．B解析：B 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣2π是无理数，所以原说法错误； ④237是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．6．D解析：D【分析】n的值．【详解】∴89，∵n n+1，∴n=8，故选；D．【点睛】7．B解析：B【分析】分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．【详解】解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；C、算术平方根最小的数是0，所以C选项为真命题；D、最大的负整数是﹣1，所以D选项为真命题．故选：B．【点睛】本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．8．B解析：B【分析】【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.9．D解析：D【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．【详解】设点C所对应的实数是x．则有x﹣（﹣1），解得+1．故选D．【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．10．D解析：D【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组，解之即可．【详解】b-4=0，∴2a+b＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴a+b＝2，故选D．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，正确列出方程是解题的关键．二、填空题11．±2【分析】首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，∵N是满足不等式x≤的解析：±2【分析】首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】解：∵M a<<a的和，∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，∵N是满足不等式x≤22的最大整数，∴N＝2，∴M＋N＝±2．故答案为：±2．【点睛】此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键．12．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8=，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．13．0【分析】由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值.【详解】解：由数轴可知，，则， ，故答案为：0. 【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.解析：0 【分析】由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值. 【详解】解：由数轴可知，0b c a <<<， 则0,0a b b c +<-<，||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=，故答案为：0. 【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.14．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】解：＝8，＝2，2的算术平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】82，2，． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．15．-2． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x+3y 的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：，解得：x＝2，则y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（解析：-2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：20 20 xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：x＝2，则y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．2=-．故答案是：﹣2．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．16．25【分析】利用平方根定义即可求出这个数.【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25.【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义.解析：25【分析】利用平方根定义即可求出这个数.【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25.【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义.17．如等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.解析：π等，答案不唯一． 【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.18．【分析】根据公式代入计算即可得到答案. 【详解】∵a ⊗b=a2﹣2b+1，∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17. 故答案为：17. 【点睛】此题考查新定义计算公式，正解析：【分析】根据公式代入计算即可得到答案. 【详解】 ∵a ⊗b =a 2﹣2b +1，∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17. 故答案为：17. 【点睛】此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.19．【分析】设，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式故答案为：. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020【分析】设1120182019m =+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】原式()111120202020m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221202*********m m m m mm =-+--++ 12020=故答案为：12020. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =+将式子进行合理变形是解题的关键. 20．3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案． 【详解】 解：∵有意义， ∴x ﹣2≥0， 解得：x≥2， ∴+x ﹣2＝x+3， 则＝5， 故x ﹣2＝25， 解得解析：3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x 的取值范围进而得出x 的值，求出答案． 【详解】∴x ﹣2≥0， 解得：x≥2，﹣2＝x+3，5， 故x ﹣2＝25， 解得：x ＝27， 故x 的立方根为：3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）12，-2；（2）（15）4，（﹣2）8；（3）n-21a⎛⎫⎪⎝⎭；（4）7-28.【分析】（1）分别按公式进行计算即可；（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1a，则aⓝ=a×(1a)n-1；（4）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【详解】解：（1）2③=2÷2÷2=12，（﹣12）③=﹣12÷（﹣12）÷（﹣12）=﹣2；（2）5⑥=5×15×15×15×15×15=（15）4，同理得；（﹣12）⑩=（﹣2）8；（3）aⓝ=a×1a×1a×…×n-211a a⎛⎫= ⎪⎝⎭；(4)（-3）8×（-3）⑨-（﹣12）9×（﹣12）⑧=（-3）8×（1-3）7 -（﹣12）9×（-2）6=-3-(-1 2 )3=-3+1 8=7 -28.【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．22．（1）17；（2）11n+.【解析】【分析】①根据发现的规律得出结果即可；②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．【详解】（1）设1111123456⎛⎫++++⎪⎝⎭为A，111111234567⎛⎫+++++⎪⎝⎭为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=17；（2）设11123n⎛⎫+++⎪⎝⎭为A，111231n⎛⎫+++⎪+⎝⎭为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=11 n+．【点睛】考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1）16，6；32，2；64，4；（2）对；（3）6；（4）3．【分析】（1）利用乘方的概念分别求出24、25、26的结果，即可解决；（2）算出210的结果，即可知道个位数是多少，即可解决；（3）按照上述规律，以4为周期，个位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故能得出答案；（4）分别求出31，32，33，34，找出规律，个位数重复3，9，7，1，2013中是4的503倍，而且余1，故得出结论．【详解】解：（1）∵24=16、25=32、26=64∴24的个位数为6；25的个位数为2；26的个位数为4；（2）∵210=1024∴个位数是4，该说法对（3）可以知道规律，以4为周期，各位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故22012个位数刚好为6；（4）∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243；∴个位数重复3，9，7，1∵2013中是4的503倍，而且余1∴个位数为3．【点睛】本题主要考查了乘方的运算以及找规律，熟练乘方的运算以及找出规律是解决本题的关键．24．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.【详解】解：（1）∵2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∴11002ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10，∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12； （2）∵P 到A 和B 的距离相等， ∴此时点P 所对应的数为：()21042+-=-；（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，∴c ＜0，又|AC|=∴c=2-BC=12- ∵2PB PC =，①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+⨯-=--②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+⨯-=-∴点P 表示的数为：2--或14- 【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别． 25．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38 【分析】(1) 根据“模二数”的定义计算即可；(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算126597，，和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数 【详解】解: (1) ()296531011M =，()()221010111108531596M M =+=+ 故答案为：1011,1101()2①()()222301,1210M M ==， ()()()222122311,122311M M M +=+=()()()22212231223M M M ∴+=+， 12∴与23满足“模二相加不变”.()()222301,6501M M ==，，()()()222652310,652300M M M +=+=()()()22265236523M M M +≠+，65∴与23不满足“模二相加不变”. ()()222301,9711M M ==，()()()2229723100,9723100M M M +=+=， ()()()22297239723M M M +=+， 97∴与23满足“模二相加不变”②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7≤≤<<，； 当a 为偶数，b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==，∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合） 当a 为偶数，b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==，∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个 当a 为奇数，b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==，∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合 当a 为奇数，b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==，∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合） 当此两位数大于等于77时，符合共有4个 综上所述共有12+6+16+4=38 故答案为：38 【点睛】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键． 26．（1）1022；（2）3066，2226；（3）6736【分析】（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数； （2）设千位数字是x ，百位数字是y ，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x ﹣y ），个位数字是（2x+y ），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x 、y 即可，从而求出所有特色数;（3）根据最小分解的定义可知： n 越小，p 、q 越接近，nq ﹣np 才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n++，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代入F（m）＝q np n++，再比较大小即可.【详解】解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；∴特色数是3066，2226．（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝q np n ++，由（2）可知：特色数有3066和2226两个，对于3066＝613×5+14=61×50+24∵1×613－1×5＞2×61－2×50，∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61∴F（3066）＝61263= 50252++对于2226＝89×25+14＝65×34+24，∵1×89－1×25＞2×65－2×34，∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65∴F（2226）＝636 5267= 342++∵6367 5236<故所有“特色数”的F（m）的最大值为：67 36．【点睛】此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.。
七年级数学下册第六章实数知识点归纳总结(精华版)(带答案)
七年级数学下册第六章实数知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列等式：①√116=18，②√(−2)33=−2，③√(−2)2=2，④√−83=−√83，⑤√16=±4，⑥−√4=−2；正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：A分析：根据算术平方根定义及立方根定义解答．解：√116=14，故①错误； √(−2)33=−2，故②正确；√(−2)2=2，故③正确；√−83=−√83，故④正确； √16=4，故⑤错误；−√4=−2，故⑥正确；故选：A ．小提示：此题考查求一个数的算术平方根及立方根，正确掌握算术平方根定义及立方根定义是解题的关键．2、-2019的相反数是（ ）A ．2019B ．-2019C ．12019 D ．−12019答案：A分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．解：-2019的相反数是2019．故选：A ．小提示：本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义.3、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y 为√3时，输入值x 为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③答案：D分析：根据运算规则即可求解．解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，,√4=2，y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4、估计√6的值在（）A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间答案：C分析：根据无理数的估算方法估算即可．∵√4<√6<√9∴2<√6<3故选：C ．小提示：本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5、实数−23的倒数是（ ）A ．23B ．−23C ．123D ．−123答案：D分析：根据倒数的意义可直接进行求解．解：实数−23的倒数是−123； 故选D ．小提示：本题主要考查实数与倒数的意义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．6、对于数字-2+√5，下列说法中正确的是（ ）A ．它不能用数轴上的点表示出来B ．它比0小C ．它是一个无理数D ．它的相反数为2+√5答案：C分析：根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．A ．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B ．−2+√5>0，故该说法错误，不符合题意；C ．−2+√5是一个无理数，故该说法正确，符合题意；D ．−2+√5的相反数为2−√5，故该说法错误，不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．7、定义a *b ＝3a ﹣b ，a ⊕b ＝b ﹣a 2，则下列结论正确的有（ ）个．①3*2＝7．②2⊕（﹣1）＝﹣5．③（13*25）⊕（72⊕14）＝﹣29125．④若a *b ＝b *a ，则a ＝b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．①、3∗2＝3×3-2=7，故计算正确，符合题意；②、2⊕（−1）=（﹣1）-22=−5，故计算正确，符合题意；③、(13∗25)⊕(72⊕14)=(3×13−25)⊕[14−(72)2]=35⊕(−12)=(−12)−(35)2=−30925，故计算错误，不符合题意；④、a ∗b =3a −b ，b ∗a =3b −a ，∵a *b ＝b *a ，3a −b =3b −a ，解得：a =b ，故计算正确，符合题意．综上所述，正确的有：①②④，共3个．故选：C ．小提示：本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．8、一般地，如果x n =a （n 为正整数，且n ＞1），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是±2C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为偶数时，2的n 次方根有n 个答案：C分析：根据新定义的意义计算判断即可．解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．小提示：本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．9、运算后结果正确的是（）A．2√3÷12=√3B．√43=2C．√8−2√2=0D．√2×√6=3√2答案：C分析：根据实数的运算法则即可求解；解：A.2√3÷12=4√3≠√3，故错误；B.√43≠2，故错误；C.√8−2√2=0，故正确；D.√2×√6=2√3≠3√2，故错误；故选：C．小提示：本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．10、已知|a−5|+√b−3=0，那么a−b=（）A．2B．3C．-2D．8答案：A分析：直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出a ，b 的值，进而求解即可．解：∵|a -5|+√b −3=0，∴a -5=0，b -3=0，解得：a =5，b =3，∴a -b =5-3=2，故选：A ．小提示：本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确得出a ，b 的值是解题关键．填空题11、7是__________的算术平方根．答案：49分析：根据算术平方根的定义即可解答.解：因为√49=7，所以7是49的算术平方根.所以答案是：49小提示：本题主要考查的是算术平方根，属于基础题，要求学生认真读题，熟记概念.12、√−643的倒数是 ____，3﹣√10的绝对值是 ______．答案： ﹣14√10﹣3 分析：（1）先化简√−643再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可.（2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出√3- 2的相反数即可.解：（1）化简√−643=√(−4)33=−4，又(−4)×(−14)=1， 所以答案是：−14.（2）√3- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数−(√3−2) =2−√3 ，所以答案是：2−√3故答案为−14，2−√3小提示：本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键.13、如果√15＝3.873，√1.5＝1.225，那么√15000＝___________．答案：122.5分析：根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案．解：∵1.5×10000=15000，∴√15000＝100√1.5＝122.5，所以答案是：122.5．小提示：本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．14、如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1，√2，其中a＜﹣1，且AB＝BC，则|a|＝_____．答案：2+√2分析：先根据数轴上点的位置求出AB=BC=√2−(−1)=√2+1，即可得到−1−a=√2+1，由此求解即可．解：∵A，B，C在数轴上对应的点分别为a，﹣1，√2，∴BC=√2−(−1)=√2+1，∴AB=BC=√2−(−1)=√2+1，∴−1−a=√2+1，∴a=−2−√2，∴|a|=2+√2，所以答案是：2+√2．小提示：本题主要考查了实数与数轴，解题的关键在于能够根据题意求出AB=BC=√2−(−1)=√2+1．15、观察下面的变化规律：2 1×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−17,27×9=17−19，……根据上面的规律计算：2 1×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=__________．答案：20202021分析：本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．由题干信息可抽象出一般规律：2a•b =1a−1b（a,b均为奇数，且b=a+2）．故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021=1+(13−13)+(15−15)+⋯+(1 2019−12019)−12021=1−12021=20202021．故答案：20202021．小提示：本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．解答题16、一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．答案：a和x的值分别为﹣1，25分析：根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∴x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．小提示：此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．17、已知长方形的长为72cm，宽为18cm，求与这个长方形面积相等的正方形的边长．答案：36cm分析：首先求出长方形面积，进而得出正方形的边长．因为长方形的长为72 cm，宽为18 cm，所以这个长方形面积为：72×18＝1296(cm2)，所以与这个长方形面积相等的正方形的边长为：√1296＝36(cm)，答：正方形的边长为36 cm.小提示：此题主要考查了算术平方根的定义以及矩形、正方形面积求法，正确开平方是解题关键．18、现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否在这块木板上截出两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板？答案：能截出两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板.分析：根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2√2和3√2，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可．∵两个面积是8dm2和18dm2的正方形木板的边长是2√2和3√2，√8+√18＝2√2+3√2=5√2；∵√2＜1.5，∴5√2＜1.5×5=7.5；答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．小提示：此题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能够正确求得每个正方形的边长，然后再进行比较是本题的关键。
七年级初一数学 第六章 实数知识点及练习题附解析
七年级初一数学 第六章 实数知识点及练习题附解析一、选择题1．表面积为12dm 2的正方体的棱长为（ ）A dmB ．dmC ．1dmD ．2dm2．下列说法错误的是（ ）A ．a 2与（﹣a ）2相等B 互为相反数CD ．|a|与|﹣a|互为相反数3．对于实数a ，我们规定，用符号为a 的根整数，例如：3=，3=．我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：5221．若对x 连续求两次根整数后的结果为1，则满足条件的整数x 的最大值为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．16 4．现定义一种新运算：a ★b=ab+a-b ，如：1★3=1×3+1－3=1，那么(－2)★5的值为（ ） A ．17B ．3C ．13D ．－175．若定义f （x ）＝3x ﹣2，如f （﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8，下列说法中：①当f （x ）＝1时，x ＝1；②对于正数x ，f （x ）＞f （﹣x ）均成立；③f （x ﹣1）+f （1﹣x ）＝0；④当a ＝2时，f （a ﹣x ）＝a ﹣f （x ）．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④6．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或14±，其中正确的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．有下列说法：①在1和2一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②8．估计65的立方根大小在（ ） A ．8与9之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 9．下列各式中，正确的是（ ）A ±2B 2=C 2=-D 4=-10．0=，则x 和y 的关系是（ ） A ．0x y ==B ．0x y -=C ．1xy=D ．0x y +=二、填空题11．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的是________．12．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______． 13．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 14．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．15．已知31.35 1.105≈，3135 5.130≈，则30.000135-≈________． 16．46的整数部分是________．17．若34330035.12=，30.3512x =-，则x =_____________． 18．已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜19＜b ，则a +b ＝_____．19．利用计算器，得0.050.2236,0.50.7071,5 2.236,507.071≈≈≈≈，按此规律，可得500的值约为_____________20．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________三、解答题21．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a ⊕b ⊕c =2a b c a b c --+++.如：(1)-⊕2⊕3=123(1)2352---+-++=.①根据题意，3⊕(7)-⊕113的值为__________； ②在651128,,,,0,,,,777999---这15个数中，任意取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a ⊕b ⊕c ”运算，在所有计算结果中的最大值为__________；最小值为__________．22．规律探究，观察下列等式： 第1个等式：111111434a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式：2111147347a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式：311117103710a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭第4个等式：41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭请回答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________（2）用含n 的式子表示第n 个等式：= ___________ = ___________(n 为正整数） （3）求1234100a a a a a +++++23．定义☆运算： 观察下列运算：两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ． （2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ． （3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值． 24．阅读下列材料：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题． （1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________． 25．阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[]x 就是x ，当x 不是整数时，[]x 是点x 左侧的第一个整数点，如[]33=，[]22-=-，[]2.52=，[]1.52-=-，则[]3.4=________，[]5.7-=________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：里程范围 4公里以内（含4公里） 4-12公里以内（含12公里） 12-24公里以内（含24公里） 24公里以上 收费标准2元4公里/元6公里/元8公里/元①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？26．在已有运算的基础上定义一种新运算⊗：x y x y y ⊗=-+，⊗的运算级别高于加减乘除运算，即⊗的运算顺序要优先于+-⨯÷、、、运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53⊗-= ； （2）若35x ⊗=，则x = ；（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ⊗-⊗；（4）如图所示，在数轴上，点A B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ⊗=时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据正方体的表面积公式：S ＝6a 2，解答即可． 【详解】解：根据正方体的表面积公式：S ＝6a 2， 可得：6a 2＝12， 解得：a 2．dm．故选：A．【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．2．D解析：D【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．【详解】∵（﹣a）2＝a2，∴选项A说法正确；a＝a，互为相反数，故选项B说法正确；互为相反数，故选项C说法正确；∵|a|＝|﹣a|，∴选项D说法错误．故选：D．【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．3．C解析：C【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．【详解】解：当x=5时，5221，满足条件；当x=10时，10331，满足条件；当x=15时，15331，满足条件；当x=16时，16442，不满足条件；∴满足条件的整数x的最大值为15，故答案为：C．【点睛】本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．4．D解析：D【分析】根据新运算的定义即可得到答案．【详解】∵a★b=ab+a﹣b，∴（﹣2）★5=（﹣2）×5﹣2﹣5=﹣17．故选D．【点睛】本题考查了基本的知识迁移能力，运用新定义，求解代数式即可，要灵活运用所学知识，要认真掌握．5．C解析：C【分析】首先理解新定义运算的算法，再根据新定义运算方法列出所求式子，计算得到结果【详解】∵f（x）＝1，∴3x﹣2＝1，∴x＝1，故①正确，f（x）﹣f（﹣x）＝3x﹣2﹣（﹣3x﹣2）＝6x，∵x＞0，∴f（x）＞f（﹣x），故②正确，f（x﹣1）+f（1﹣x）＝3（x﹣1）﹣2+3（1﹣x）﹣2＝﹣4，故③错误，∵f（a﹣x）＝3（a﹣x）﹣2＝3a﹣3x﹣2，a﹣f（x）＝a﹣（3x﹣2），∵a＝2，∴f（a﹣x）＝a﹣f（x），故④正确．故选：C．【点睛】本题考查新定义运算，理解运算方法是重点，并且注意带入数据6．C解析：C【分析】分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．【详解】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；③任何实数都有立方根，③说法正确；2±，故④说法错误； 故其中正确的个数有：2个． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．7．D解析：D 【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得． 【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误； ②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误；④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②， 故选：D ． 【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．8．C解析：C 【分析】先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45<<，即可求得答案．【详解】解：∵3464=，35125= ∴6465125<<∴45<．故选：C 【点睛】本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．9．D解析：D 【分析】根据平方根及立方根的定义依次计算各项后即可解答． 【详解】选项A =2，选项A 错误；选项B 2=±，选项B 错误；选项C =，选项C 错误；选项D 4=-，选项D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，熟练运用平方根及立方根的定义是解决问题的关键．10．D解析：D 【分析】根据立方根的性质得出x+y=0即可解答． 【详解】0+=， ∴x+y=0 故答案为D ． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键．二、填空题11．【分析】根据可以得到的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【详解】 ∵，∴n 和q 互为相反数，O 在线段NQ 的中点处， ∴绝对值最大的是点P 表示的数． 故 解析：p【分析】根据0n q +=可以得到n q 、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【详解】 ∵0n q +=，∴n 和q 互为相反数，O 在线段NQ 的中点处， ∴绝对值最大的是点P 表示的数p ． 故答案为：p ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．12．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．13．25【分析】利用平方根定义即可求出这个数.【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25.【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义.解析：25【分析】利用平方根定义即可求出这个数.【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25.【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义.14．如等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.解析：π等，答案不唯一． 【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.15．-0.0513 【分析】根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位． 【详解】 因为 所以-0.0513 故答案为：-0.0513 【点睛】考核知识点：立方根．理解立方解析：-0.0513 【分析】n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位． 【详解】5.130≈≈-0.0513 故答案为：-0.0513 【点睛】考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．16．6 【分析】求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分． 【详解】 ∵，，又∵36＜46＜49 ∴6＜＜7 ∴的整数部分为6 故答案为：6 【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解解析：6【分析】的整数部分．【详解】∵246=，2636=，2749=又∵36＜46＜49∴6＜76故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．9【分析】首先根据的值确定a 、b 的值，然后可得a+b 的值．【详解】∵＜，∴4＜＜5，∵a＜＜b ，∴a＝4，b ＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的解析：9【分析】a、b的值，然后可得a+b的值．【详解】<∴45，∵a b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．19．36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】解：观察，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的解析：36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】≈≈≈≈，7.071不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，≈.因此得到第三个数的估值扩大1022.36故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.20．【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数，即可得到答案.【详解】解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，∴A为负数，从数轴可以看出，A点在和之间，解析：【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数12-.【详解】解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，∴A为负数，从数轴可以看出，A点在2-和1-之间，2<=-，故不是答案；刚好在2-和1-之间，故是答案；112->-，故不是答案；是正数，故不是答案；故答案为.【点睛】本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.三、解答题21．（1）3（2）5 3（3）11 7 -【分析】（1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；（2）分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．【详解】解：①根据题中的新定义得：3⊕()7-⊕113=()()111137373332---++-+= ②当a-b-c≥0时，原式()12a b c a b c a =--+++=, 则取a 的最大值，最小值即可，此时最大值为89，最小值为67-； 当a-b-c≤0时，原式()12a b c a b c b c =-+++++=+， 此时最大值为785993b c +=+=，最小值为6511777b c ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵586113977>>->- ∴综上所述最大值为53，最小值为117-. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键．22．（1）11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦；（3）100301. 【分析】（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；（3）利用题（2）的结论，先写出1234100a a a a a +++++中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.【详解】（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为1316⨯则第5个式子为：51111131631316a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 故应填：11316⨯；11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭； （2）第1个等式的分母为：14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯第2个等式的分母为：47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯第3个等式的分母为：710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯第4个等式的分母为：1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯归纳类推得，第n 个等式的分母为：[]13(1)(13)n n +-⋅+则第n 个等式为：[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦+（n 为正整数） 故应填：[]13(1)(131)n n +-⋅+；13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦； （3）由（2）的结论得：[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭则1234100a a a a a +++++ 1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯= 111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 111111111++++344771*********3018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭30130103⨯= 110030=. 【点睛】本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.23．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a ）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-， 综上所述：a=-52． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．24．（1）440；（2）()()1123n n n ++． 【分析】通过几例研究n(n+1)数列前n 项和，根据题目中的规律解得即可．【详解】．（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11 =1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+1(10111291011)3⨯⨯-⨯⨯ =1101112=4403⨯⨯⨯．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1） =1(123012)3⨯⨯-⨯⨯+1(234123)3⨯⨯-⨯⨯+1(345234)3⨯⨯-⨯⨯+…+ ()()()()121113n n n n n n ++--+⎡⎤⎣⎦ =()()1123n n n ++． 故答案为：()()1123n n n ++．【点睛】本题考查数字规律问题，读懂题中的解答规律，掌握部分探究的经验，用题中规律进行计算是关键．25．（1）3；6-；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．【详解】（1）∵3 3.44<<∴[]3.43=∵6 5.75-<-<-∴[]5.76-=-故答案为：3；6-．（2）①∵3.074<∴3.07公里需要2元∵47.9312<<∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）∵19.212174<<∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；∴19.17公里所需费用为：2226++=（元）故答案为：2；3；6．②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；∴乘坐24公里所需费用为：2226++=（元）∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里 答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．26．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x ；（4）t 1=3；t 2=53【分析】（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；（2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范围进行化简即可；（4）根据A 、B 在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数a 和b ，再根据（2）的解题思路即可得到结果．【详解】解：（1）5(3)5(3)(3)5⊗-=--+-=；（2）依题意得：335-+=x ， 化简得：3=2-x ，所以32x -=或32x -=-，解得：x =5或x =1；（3）由数轴可知：0<x <1，y <0，所以1x y x ⊗-⊗ = (1)()-+--+x x y x x=1-++--x x y x x=12+-y x（4）依题意得：数a =−1+t ，b =3−t ；因为2a b ⊗=， 所以(1)(3)32-+--+-=t t t ， 化简得：241-=-t t ，解得：t =3或t =53， 所以当2a b ⊗=时，t 的值为3或53． 【点睛】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．。
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数学第六章 实数知识点及练习题及解析一、选择题1．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②②-①得10661S S -=-，即10561S =-，所以10615S -=.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是A ．201811a a --B ．201911a a --C ．20181a a-D ．20191a -2．设记号*表示求,a b 算术平均数的运算，即*2a ba b +=，那么下列等式中对于任意实数,,a b c 都成立的是（ ）①()()()**a b c a b a c +=++；②()()**a b c a b c +=+；③()()()**a b c a b a c +=++；④()()**22aa b c b c +=+ A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 3．下列选项中的计算，不正确的是( )A 2=±B 2=-C ．3=±D 4=4．观察下列各等式：231-+= -5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130B ．-131C ．-132D ．-133530b -= ） A ．0B ．±2C ．2D ．46．下列各式中,正确的是( )A 34B 34; C 38D 347．设n 为正整数，且n n+1，则n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个9．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．下列运算中，正确的是（ ） A ．93=±B ．382=C ．|4|2-=-D ．2(8)8-=-二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ． 13．64的立方根是___________．14．2(2)-的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．15．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．16．若x ＜0323x x ____________． 17．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________ 18．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________19．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72821→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f = 根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 . ②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值． 22．观察下列各式：111122-⨯=-+； 11112323-⨯=-+； 11113434-⨯=-+； …(1)你发现的规律是_________________.(用含n 的式子表示； (2)用以上规律计算：1111223⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113420172018⎛⎫⎛⎫-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23．是无理数，而无理是无限不循环小数，因1的小数部分，事的整数部分是1，将这个数减去其整数部的小数部分，又例如：∵23223<<，即23<<的整数部分为2，小数部分为)2。
请解答（1的整数部分是______，小数部分是_______。
（2a b ，求a b +（3）已知x 是3+的整数部分，y 是其小数部分，直接写出x y -的值.24．规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b )：如果c a b =，那么(a ，b )=c ． 例如：因为23=8，所以(2，8)=3． （1）根据上述规定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2，14）=_______． （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ，4n ）=（3，4）小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）=x ，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x =4，即（3，4）=x ， 所以（3n ，4n ）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30) 25．我们规定：a p -＝1p a（a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__； （2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值． 26．观察下列解题过程： 计算231001555...5+++++ 解：设231001555...5S =+++++① 则23410155555....5S =+++++② 由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (5)4-+++++=用学到的方法计算：2320191222...2+++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】首先根据题意，设M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，求出aM 的值是多少，然后求出aM-M 的值，即可求出M 的值，据此求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2019的值是多少即可． 【详解】∵M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①， ∴aM=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2019②， ②-①，可得aM-M=a 2019-1， 即（a-1）M=a 2019-1，∴M=201911a a --. 故选：B. 【点睛】考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．B解析：B 【分析】根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可． 【详解】①中()*2b c a b c a ++=+，()*()22a b a c b ca b a c a ++++++==+，所以①成立；②中()2a b c a b c ++*+=，()*2a b c a b c +++=，所以②成立； ③中，()()32*2a b c a b a c ++++=，()2*2a b ca b c +++=，所以③不成立； ④中()2a b a b c c +*+=+，22(*2)22222a abc a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立． 故选：B ． 【点睛】考核知识点：代数式．理解材料中算术平均数的定义是关键．3．A解析：A 【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可． 【详解】解：2=2=±错误，本选项符合题意；2=-，本选项不符合题意；C. 3=±，本选项不符合题意；D. 4=，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．4．C解析：C【分析】通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．【详解】解：第一行：211=；第二行：224=；=；第三行：239=；第四行：2416……第n行：2n；∴第11行：2=．11121∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．故选：C．【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．5．C解析：C【分析】由算术平方根和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后进行计算即可．【详解】解：根据题意，得a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝3，∴a+b＝1+3＝4，∴2．故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a、b的值．6．A【解析】=±34，所以可知A选项正确；故选A.7．D解析：D【分析】n的值．【详解】∴89，∵n n+1，∴n=8，故选；D．【点睛】8．C解析：C【分析】根据立方根的定义，可以先设出这个数，然后列等式进行求解．【详解】设这个说为a，a=，∴3a=a，∴a=0或±1，故选C.【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键.9．B解析：B【详解】解：①实数和数轴上点一一对应，本小题错误；②π不带根号，但π是无理数，故本小题错误；③负数有立方根，故本小题错误；④17的平方根，本小题正确，正确的只有④一个，故选B．10．B【分析】根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案． 【详解】，故该选项运算错误，2=，故该选项运算正确，2=，故该选项运算错误，8=，故该选项运算错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．二、填空题 11．8 【解析】解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：8 【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b++- =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．． 【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1； 第五次：1×3+5解析：8． 【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．13．2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．解析：2【分析】8，根据立方根的定义即可求解．【详解】8=，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．14．2a【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】的平方根是，的立方根是2a，故答案为：，2a.【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立解析：【分析】根据平方根的定义及立方根的定义解答.【详解】38a的立方根是2a，故答案为：，2a.【点睛】此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.15．π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π解析：π圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π•d=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．16．0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x＜0，∴，故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是解析：0【分析】分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．【详解】解：∵x＜0，x x=-+=，故答案为：0．【点睛】本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．17．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．18．36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】解：观察，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的解析：36【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.【详解】7.071≈≈≈≈，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.19．1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1解析：1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1,∴这个正数是22(2)11a +==，故答案为：1.【点睛】此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 20．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．三、解答题21．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【分析】（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.【详解】解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．∴“奇异数”为21；②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8∴k+2k-1=8∴k=3∴b=10×3+2×3-1=35；（3）根据题意有()f a x y =+∵()510a f a -=∴()10510x y x y +-+=∴5410x y -=∵x 、y 为正数，且x≠y∴x=6，y=5∴a=6×10+5=65故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．22．（1）111111n n n n -⨯=-+++；（2）20172018- 【分析】 （1）由已知的等式得出第n 个式子为111111n n n n -⨯=-+++； （2）根据规律将原式中的积拆成和的形式，运算即可. 【详解】（1）∵第1个式子为111122-⨯=-+ 第2个式子为11112323-⨯=-+ 第3个式子为11113434-⨯=-+ ……∴第n 个式子为111111n n n n -⨯=-+++ 故答案为：111111n n n n -⨯=-+++ （2）由（1）知：原式1111111(1)()()()2233420172018=-++-++-++⋅⋅⋅+-+ 112018=-+20172018=- 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及数字规律，分析题目，找出规律是解题关键.23．（1）33； （2）4；（3）x ﹣y=7．【解析】【分析】（1）由34可得答案；（2）由2＜3知2，由67知b=6，据此求解可得；（3）由2＜3知5＜6，据此得出x 、y 的值代入计算可得．【详解】（1）∵34，3﹣3；故答案为3﹣3．（2）∵23，∴2，∵67，∴b=6，∴a+b2+6．（3）∵23，∴5＜6，∴x=5，小数部分为2．则x﹣y=52）=5【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．24．（1）3，0，-2 (2) (4，30)【解析】分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.详解：（1）∵33=27∴（3，27）=3∵50=1∴（5，1）=1∵2-2=1 4∴（2，14）=-2（2）设（4，5）=x，（4，6）=y则x45=，y4=6∴x y x y44430+=⋅=∴（4，30）=x+y∴(4，5)+(4，6)=(4，30)点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.25．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a＝9时，p＝1；当a＝3时，p＝2；当a＝﹣3时，p＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键. 26．22020−1【分析】根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．【详解】设S ＝2320191222...2+++++①则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．。