判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法
一、定义法
设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】
证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。

证明：令01111)()1ln()(>+=+-
='+-=x
x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的
0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。

二、性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；
⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
三、同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.
设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.
例1. 求函数2
22
)(-+=x x x f 的单调区间.
教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求
此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：
外层函数：t
y 2=
内层函数：22
-+=x x t
内层函数的单调增区间：]
,21
[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：
]
21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：]
,21
[+∞-∈x 复合函数的减区间为：
]
21
,[--∞∈x 四、求导法
导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点
求函数值域的常用方法 1．观察法
用于简单的解析式。

y ＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞). 2.配方法
多用于二次(型)函数。

y ＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞） 3. 换元法
多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

y=-x+2√( x -1)+2 令t=√(x -1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1]. 4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1). 0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1, 1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞). 5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M 和最小值m.那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法 有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者. 7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)]. 8. 数形结合法
利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.
例1 已知函数232
()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的
取值范围.
解:
说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函
数单调性关系:即“若函数单调递增,则'()0f x ≥;若函数单调递减,则'()0f x ≤”
来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.
类型题1: 设函数
ax x x f -+=1)(2
,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数.
类型题2: 函数
kx e x y 2=在)1,0(上单调递增,求实数k 的取值范围. 例2讨论下列函数单调性 （1）b kx x f +=)( （2）x k
x f =
)(
类型题1: 函数
c
bx ax x x f +++=23)(其中c b a ,,为实数），当032
<-b a 时)(x f 是（ ）
A 、增函数
B 、减函数
C 、常数
D 、既不是增函数也不是减函数
类型题2: 设函数
()(0)kx
f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数 的增区间是（ ）。

A ．
B ．
C ．
D ．
3． 在
上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。

A ． B ． C ．
D ．
4．当 时，函数
的值有正也有负，则实数a 的取值范围
是（ ） A ． B ． C ． D ．
填空题 1． 在 都是减函数,则 在 上是____函数(填增
或减)． 2．函数 ,当
时,是增函数,当 时是
减函数,则．
3．已知 是常数),且 ,则 的值
为_______． 4． 函数 在 上是减函数,则 的取值范
围是_______． 5．若函数
在区间 上是减函数，则实数 的
取值范围是__________． 6．已知 在定义域内是减函数，且
，在其定义域内判断下列
函数的单调性：
①（为常数）是___________；
②（为常数）是___________；
③是____________；④是__________．
7．设，是增函数，和，是减函数，则
是_______函数；是________函数；是_______函数．
解答题
1．判断一次函数单调性.
2．证明函数在上是增函数，并判断函数在上的单调性.
3．判断函数的单调性.
4．求函数的单调递减区间.
5．函数对于有意义，且满足条件，
，是非减函数，（1）证明；（2）若
成立，求的取值范围．
6．函数，，求函数的单调区间．7．求证：在上不是单调函数．
8．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．
9．设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.
课后习题答案
1．D 2．A 3．A 4．C 1．减 2．13 3．1 4．5．6．①减函数；②增函数；③增函数；④减函数 7．减；减；增
1．一次函数的定义域是R.设，且，则
. ，∴当时，
，即；当时，，即.综上，当
时，一次函数是增函数；当时，一次函数
是减函数.
2．设，则由已知，有
，∴，即.∴函数在上是增函数. 在上都是增函数，∴
，即在上是增函数.
3．函数的定义域是.∵函数在上是增函数，在上是减函数，∴在上是减函数（“同增异减”）.
4．由得或.∴函数的定义域是
…①.令，则化为
在上是增函数，∴求的单调递减区间，只需求的单调递减区间，且满足，即满足①.
的单调递减区间是…②.由①和②知，函数
的单调递减区间是
5．解：（1）在中令，，则有
，又，．
（2），利用为非减函数，有
，解之，得
6．解：设，
①当时，是增函数，这时与具有相同的增减性，由即得或
当时，是增函数，为增函数；
当时，是减函数，为减函数；
②当时，是减函数，这时与具有相反的增减性，由即得
当时，是减函数，为增函数；
当时，是增函数，为减函数；
综上所述，的单调增区间是和，单调减区间是和
7．解：设，则
①
于是，当时，，则①式大于0；
故在上不是单调函数
8．解：设，且，
则
，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么
，故在上为减函数
其它证法：设，，且，
则
，
下面讨论的符号
若，则；
若，则；
若，则；
综上可知，，故在上是减函数.
9．依题意，得又，
于是不等式化为由得.∴x的取值范围是.。