判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法一、函数单调性的定义：一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2，1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、常见方法：Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤1 取值：在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2;2 作差（或商）变形：作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；3 定号：确定差f(X1)-f(X2)的符号；4 判断：根据定义得出结论。
例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,则f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：1 函数y=-f(x)的单调性相反2 函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反3 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性解：设y1=-x+1,y2=1/x,∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓,∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数Ⅳ、分析法：复合函数单调性判断：例：判断y=1/(-2x-3)的单调性解：令u=-2x-3,∵y=1/u在（0,+ ∞）↓,在（-∞，0）↑，u(x)在(-∞,+ ∞) ↓∴y=1/(-2x-3)在（0,+ ∞）↑，在（-∞，0）↓这种方法概括为“同减异增”判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……做题时要结合具体题意，找出适当的方法解题。
判断函数单调性的三种途径
（1）若 m - 1 ≤ 0 ，
即 m≤1，
由 f ′(x) > 0 ，得 x > 1 ；由 f ′(x) < 0 ，
得 0<x<1.
故当 m ≤ 1 时，函数 f (x) 在 (1, +∞) 上单调递增，在
(0,1) 上单调递减.
（2）若 0 < m - 1 < 1 ，
即 1 < m < 2，
用于判断复杂函数的单调性.图象法则十分形象直观，
ìx2 - x,x < 0,
（2）由题意可知，y = í 2
î-x + x,x ≥ 0,
地判断出函数在各个区间上的单调性.
相较而言，定义法的适用范围较广，导数法则常
解答过程也较为简便.
数学篇
(-∞,1] 上单调递减，
在 [2, +∞) 上单调递增.
象,明确各个区间段上曲线的升降情况，就能一目了然
讨论不同区间内函数的单调性.
三、利用图象判断函数的单调性.
借助函数的图象，可以快速明确函数的变化情
况，了解函数的特征，如函数的定义域、值域、单调性
等.在判断函数的单调性时，可以先根据函数的性质或
函数的解析式画出函数的图象；然后从左往右观察函
数图象的变化趋势，当函数在某一区间段内的图象呈
上升趋势，则该函数在此区间内为增函数；当函数在
（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附
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证明：如图 1，曲线 f (x) 关于直线 x = a 对称，在曲
图1
图2
m - 1 ≤ 0 、0 < m - 1 、m - 1 > 1 、m - 1 = 1 几种情况，来
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】 解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅， 因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <． 故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围． 【解析】 解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减， 则对称轴14a -， 解得3a-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（ ） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域． 【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >， 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】 令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥， 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案 【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去， 所以1a =， 故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（ ）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ， 由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<， 解得：12a <， 函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（ ） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误； 对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >； 对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立， 当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立； 当1x <时，20x -<，且()0f x <， 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-， 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立， 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=， 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________． 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围 【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞． 故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >； 当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤， 所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结
函数的单调性是函数的一个重要性质，下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结，希望对大家有帮助！
1、定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x1、x2∈D，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性．
2、导数法:
设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，
则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；
如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．
（2）单调性的判断方法：
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等
（补充）单调性的有关结论
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，
则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数，
则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则
为减(增）函数，
为增（减）函数
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。
例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。
f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。
因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。
若函数$f(x)。
g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。
三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。
对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。
t=g(x)。
y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。
设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数的单调性是数学中常见的一个问题。
在解决这个问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们确定函数的单调性。
下面将就这些方法和技巧进行详细介绍。
1.用导数判断函数的单调性：常数函数：常数函数不会随自变量的变化而变化，因此常数函数在定义域上是单调的。
一次函数：一次函数的导数为常数，若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。
幂函数：幂函数的导数根据指数、底数的不同具有不同的形式，通过求导后的符号进行判断函数的单调性。
指数函数：指数函数的导数为指数函数本身的常数倍，若底数大于1且指数函数变量在定义域上递增时，函数单调递增；若底数小于1且指数函数变量在定义域上递减时，函数单调递增。
对数函数：对数函数的导数为自变量在底数为e的自然对数函数中的导数，根据求导后的符号进行判断函数的单调性。
2.利用函数的一阶和二阶导数进行判断：函数的一阶导数描述了函数图像的斜率，可以通过判断一阶导数的符号确定函数的单调性。
若一阶导数始终大于零，则函数单调递增；若一阶导数始终小于零，则函数单调递减。
函数的二阶导数描述了函数图像的曲率，若二阶导数始终大于零，则函数图像为凹函数，函数单调递增；若二阶导数始终小于零，则函数图像为凸函数，函数单调递减。
3.利用函数的性质进行判断：常用的函数性质包括函数的奇偶性、周期性、对称性等。
若函数具有奇函数的性质，则在定义域的相对称点上具有相反的函数值，可以通过判断奇函数在其中一区间内的正负性得出函数在该区间的单调性。
若函数具有周期性，则可以通过观察一个周期内的变化趋势来判断函数的单调性。
4.利用图像进行判断：通过观察函数图像可以直观地判断函数的单调性。
若函数图像始终上升，则函数单调递增；若函数图像始终下降，则函数单调递减。
这些是常用的判断函数单调性的方法和技巧。
在实际问题中，有时候需要结合多个方法和技巧来确定函数的单调性。
同时，还可以利用函数的单调性来解决一些实际问题，例如在优化问题中，我们可以通过判断目标函数的单调性来确定最优解的存在性和位置。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法函数的单调性是指函数在自变量的取值范围内是否呈现增加或减少的趋势。
判断函数单调性的常见方法包括函数的导数和函数的凹凸性等。
一、函数的导数判断单调性：当函数在其中一区间内可导时，可以通过判断函数的导数的符号来确定函数在该区间内的单调性。
1.若函数f'(x)>0，即导数大于0，则函数在该区间内是严格递增的。
2.若函数f'(x)<0，即导数小于0，则函数在该区间内是严格递减的。
3.若函数f'(x)=0，即导数等于0，则函数在该点可能有极值点。
4.若函数f'(x)>=0，即导数大于等于0，则函数在该区间内是递增的。
5.若函数f'(x)<=0，即导数小于等于0，则函数在该区间内是递减的。
需要注意的是，一个函数在一些区间上的单调性还需要满足函数在该区间上是连续的，即函数存在于该区间上。
二、函数的凹凸性判断单调性：函数的凹凸性也可以用来判断函数的单调性。
凹凸性表示函数的曲线是向上凸起还是向下凸起。
1.若函数f''(x)>0，即二阶导数大于0，则函数在该区间内是向上凸起的，且在该区间内是递增的。
2.若函数f''(x)<0，即二阶导数小于0，则函数在该区间内是向下凸起的，且在该区间内是递减的。
3.若函数f''(x)=0，即二阶导数等于0，则函数在该点可能存在拐点。
需要注意的是，函数的凹凸性需要函数存在二阶导数，因此这种方法只适用于可导的函数。
综合判断法：有时候，通过综合判断函数在不同区间上的单调性，可以更准确地判断函数的单调性。
这可以通过以下步骤进行：1.确定函数定义的区间，即函数存在的区间。
2.判断函数在每个区间上的导数的符号，根据导数和函数的关系来判断函数的单调性。
3.判断函数在每个区间上的凹凸性，根据凹凸性和函数的关系来判断函数的单调性。
4.将导数和凹凸性的结果综合起来，判断函数在整个定义区间上的单调性。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内是否递增或递减。
判断一个函数的单调性需要观察它的导数或增减性，下面将详细介绍判断函数单调性的方法。
一、定义函数的单调性假设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递减。
二、判断函数单调性的准则1. 函数导数法函数的导数能够反映函数的增减性，因此我们可以通过观察函数的导数来判断函数的单调性。
1.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；1.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≤0，则函数在该区间上单调递减；1.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；1.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。
2. 函数零点法2.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于零，即f(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；2.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于零，即f(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减；2.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于零，即f(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；2.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于等于零，即f(x)≤0，则函数在该区间上单调递减。
3. 函数一阶导数与二阶导数法如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≥0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≤0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。
函数单调性判断方法
函数单调性判断方法
1、思路
假如有一个函数f(x)，想要判断它的单调性，我们先从一阶导数开始。
令f(x)的一阶导数为f’(x)，对一阶导数f’(x)进行判断：（1）如果f’(x)在所有x值的情况下都大于0，则f(x)为单调递增
函数；
（2）如果f’(x)在所有x值的情况下都小于0，则f(x)为单调递减
函数；
（3）如果f’(x)在不同x值时有正有负，则f(x)不是单调函数。
2、一阶导数判断
假如一个函数f(x)定义域为[a,b]，则求出f(x)的一阶导数f’(x)；
（1）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)>0，f’(b)>0，则
f(x)在[a,b]区间内是单调递增函数；
（2）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)<0，f’(b)<0，则
f(x)在[a,b]区间内是单调递减函数；
（3）如果f’(x)在x=a和x=b的情况下，f’(a)>0，f’(b)<0或
f’(a)<0，f’(b)>0，则f(x)在[a,b]区间内是不单调函数；
（4）如果f’(x)存在x0，使得f’(x0)=0，f’(x)在x=a和x0的
情况下，f’(a)>0，f’(x0)>0，则f(x)在[a,x0]区间内是单调递增函数；
（5）如果f’(x)存在x0，使得f’(x0)=0，f’(x)在x=a和x0的
情况下，f’(a)<0，f’(x0)<0，则f(x)在[a,x0]区间内是单调递减函数；。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题。
单调性是指函数在定义域内的增减性质，它在数学建模和解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文档中，我们将介绍判断函数单调性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是使用导数。
导数代表了函数在某一点的变化率，通过导数的正负性可以判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，那么函数在这个区间上是单调递增的；如果导数始终小于零，那么函数在这个区间上是单调递减的。
如果导数在某一区间上恒为零，则函数在这个区间上是常数函数。
二、二阶导数法。
除了使用一阶导数外，我们还可以通过函数的二阶导数来判断函数的单调性。
如果函数在某一点的二阶导数大于零，那么函数在这一点附近是上凸的，也就是说函数在这一点上是单调递增的；如果二阶导数小于零，那么函数在这一点附近是下凸的，函数在这一点上是单调递减的。
三、零点和极值点法。
除了导数法和二阶导数法外，我们还可以通过函数的零点和极值点来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，并且在这个区间的端点上函数的值相对于这个区间内的值是最大或最小的，那么函数在这个区间上是单调递增或单调递减的。
四、拐点法。
拐点是函数图像上的一个特殊点，它是函数由凹转凸或由凸转凹的点。
通过判断函数的拐点，我们也可以间接地判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一点的二阶导数存在，且二阶导数在这一点发生了跳跃，那么这一点就是函数的拐点，函数在这一点附近可能发生了单调性的变化。
五、实例分析。
为了更好地理解判断函数单调性的方法，我们接下来通过一些具体的实例来进行分析。
我们将选取一些常见的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，通过导数、二阶导数、零点和极值点、拐点等方法来判断它们的单调性。
通过这些实例分析，相信大家能够更加深入地理解和掌握判断函数单调性的方法。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数的单调性是数学分析中一个重要的概念。
它描述了函数在定义域上是否递增或递减。
判断函数单调性的常用方法包括可视化法、导数法和二阶导数法。
一、可视化法：可视化法是一种直观的方法，适用于对函数的图像有一定了解的情况下。
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，如果其图像上的所有点都满足以下两个条件之一，则函数f(x)是递增的：1.对于任意的x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)；2.图像上没有水平线段。
同样地，如果上述两个条件改为f(x1)≥f(x2)和没有水平线段，则函数f(x)是递减的。
这种方法的主要优点是简单易懂，但适用范围有限，只适用于简单的函数图像。
二、导数法：导数法是一种更为精确的方法，可以通过函数的导数来判断函数的单调性。
对于连续可导的函数f(x)，如果在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)是递增的；如果f'(x)≤0，则函数f(x)是递减的。
这个方法的基本思想是通过求函数的导数，来判断函数在各个点的斜率，从而推断函数的单调性。
三、二阶导数法：二阶导数法是导数法的一种延伸。
对于函数f(x)，如果在定义域上f''(x)≥0，则函数f(x)是凸函数，是递增的；如果f''(x)≤0，则函数f(x)是凹函数，是递减的。
这个方法的主要思路是通过求函数的二阶导数，来判断函数的曲率，进而推断函数的单调性。
以上是判断函数单调性的常用方法，但需要注意以下几点：1.这些方法都是基于函数的导数或二阶导数进行判断，因此要求函数在相应的区间上具有连续可导性。
2.判断函数的单调性并不只是局限于上述三种方法，还可以通过其他数学工具如函数的零点、拐点、极值等来辅助判断。
3.在实际应用中，人们可能会结合上述多种方法来判断函数的单调性，以确保结果的准确性。
在文章的开头，我提到了三种判断函数单调性的常用方法：可视化法、导数法和二阶导数法。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法是通过观察函数的导数的正负性进行推断。
具体的步骤如下：
1. 对于给定函数 f(x)，首先求出它的导数 f'(x)。
2. 分析函数的导数 f'(x) 的正负性。
当 f'(x) > 0 时，函数的导数为正；当 f'(x) < 0 时，函数的导数为负。
3. 根据函数的导数的正负性来判断函数的单调性：
- 如果 f'(x) > 0，那么函数在该区间上是单调递增的；
- 如果 f'(x) < 0，那么函数在该区间上是单调递减的；
- 如果 f'(x) = 0，那么函数在该点可能是极大值点或极小值点，需要进一步分析。
需要注意的是，如果函数在一个区间上的导数恒大于（或恒小于）0，则函数在该区间上是严格递增（或严格递减）的。
此外，也可以通过二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当函数的二阶导数大于0时，函数是凸的，即是严格单调递增的；当二阶导数小于0时，函数是凹的，即是严格单调递减的。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。
在数学中，我们通常使用以下方法来判断或证明函数的单调性：微分法、判别式法、几何意义法等。
接下来，我会分别详细介绍这些方法。
1.微分法：微分法是判断函数单调性的常用方法，它利用函数的导数来判断函数的增减性。
一个函数在区间上递增，等价于该函数在区间上的导数大于等于0；同理，一个函数在区间上递减，等价于该函数在区间上的导数小于等于0。
具体步骤如下：（1）首先，计算函数的导函数；（2）然后，求出导函数的零点（即求出导数为0的点）；（3）最后，根据零点在定义域上的分布情况，判断函数的单调性。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，求导得到f'(x)=2x；然后，求出f'(x)=0时的解，即2x=0，解得x=0；最后，根据零点在定义域上的分布情况：当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0。
因此，函数f(x)=x^2在定义域上是递增的。
2.判别式法：判别式法是判断函数单调性的另一种方法，它利用函数的判别式，可以快速判断函数的单调性。
对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，判断其单调性时，可以根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负性进行判断。
具体步骤如下：（1）首先，计算判别式Δ；（2）然后，根据Δ的正负性，判断函数的单调性：-当Δ>0时，函数在定义域上是先增后减或先减后增的；-当Δ=0时，函数在定义域上是单调递减或单调递增的；-当Δ<0时，函数在定义域上是单调递增或单调递减的。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2-3x+2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，计算判别式Δ=(-3)^2-4*1*2=1；然后，根据Δ>0，我们知道函数在定义域上是先增后减或先减后增的。
3.几何意义法：几何意义法是判断函数单调性的另一种方法，它通过分析函数的图像来判断函数的单调性。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，假设f(x1)＜f(x2)，那么此函数为增函数；反知，假设f(x1)＞f(x2)，那么此函数为减函数. 【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。
证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=xx x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。
二、性质法除了用根本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 假设函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，那么在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C 〔C 为常数〕具有相同的单调性；⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，那么f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，那么f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减〞法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，那么三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，假设有两个函数单调性相同，那么第三个函数为增函数；假设有两个函数单调性相反，那么第三个函数为减函数.注：〔1〕奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；〔2〕互为反函数的两个函数有相同的单调性；〔3〕如果f(x)在区间D 上是增〔减〕函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增〔减〕函数.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 假设)(x f y =增，)(x g y =增，那么))((x g f y =增. (2) 假设)(x f y =增，)(x g y =减，那么))((x g f y =减. (3) 假设)(x f y =减，)(x g y =减，那么))((x g f y =增.(4) 假设)(x f y =减，)(x g y =增，那么))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x xx f 的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：外层函数：ty 2=内层函数：22-+=x x t 内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法 1．观察法用于简单的解析式。
函数单调性的判定方法最全
函数单调性的判定方法最全函数的单调性是描述函数在整个定义域上的增减趋势的特性。
判定函数单调性是数学分析中的重要内容之一，对于函数的应用和推导都有着重要的影响。
本文将介绍函数单调性的判定方法，包括函数的基本概念、单调函数的定义、单调性的判定方法以及一些特殊函数的单调性判定。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，用于将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、单调函数的定义单调函数是指函数在定义域上的取值随自变量的增大而单调增加（或单调减少）的函数。
具体来说，如果对于定义域上的任意两个数a和b，若a<b，则有f(a)≤f(b)（或f(a)≥f(b)），则函数f(x)称为递增函数（或递减函数）。
三、单调性的判定方法1.导数判定法：对于可导函数，通过计算导数可以判断函数的单调性。
如果函数的导数恒大于零，则函数单调递增；如果导数恒小于零，则函数单调递减。
2.一阶导数和二阶导数判定法：如果函数在定义域上的一阶导数恒大于零（或恒小于零），而二阶导数恒小于零（或恒大于零），则函数单调递增（或递减）。
3.函数值比较法：对于定义域上的两个不同的数a和b，如果f(a)>f(b)，则函数单调递增；如果f(a)<f(b)，则函数单调递减。
4.零点判定法：如果函数在定义域上恒大于零（或恒小于零），则函数单调递增（或递减）。
5.不等式判定法：对于定义域上的任意两个数a和b，如果对于任意x∈[a,b]，有f'(x)≥0，则函数单调递增；如果对于任意x∈[a,b]，有f'(x)≤0，则函数单调递减。
四、特殊函数的单调性判定1.幂函数：当指数n为正偶数时，函数在整个定义域上单调递增；当指数n为负偶数时，函数在整个定义域上单调递减；当指数n为正奇数时，函数在整个定义域上单调递增；当指数n为负奇数时，函数在整个定义域上单调递减。
2.指数函数：当底数a大于1时，函数在整个定义域上单调递增；当底数a大于0且小于1时，函数在整个定义域上单调递减。
函数单调性判断方法
函数单调性判断方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。
在数学中，如果函数的定义域为一个实数集，函数的值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小，那么这个函数就是单调函数。
简单来说，单调函数要么是递增的，要么是递减的。
接下来，我们将介绍三种常见的方法来判断函数的单调性。
第一种方法是使用导数的概念。
如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数大于零，那么函数是递增的；如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数小于零，那么函数是递减的。
要判断函数的导数符号，可以先求出函数的导数表达式，然后找出导数表达式的零点。
在零点的左侧，导数为负，函数递减；在零点的右侧，导数为正，函数递增。
如果函数的导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
第二种方法是使用二阶导数的概念。
如果一个函数的二阶导数大于零，那么函数是凹的，也就是递增的；如果一个函数的二阶导数小于零，那么函数是凸的，也就是递减的。
要判断函数的二阶导数的符号，可以先求出函数的二阶导数表达式，然后找出二阶导数表达式的零点。
在零点的左侧，二阶导数为负，函数凸；在零点的右侧，二阶导数为正，函数凹。
如果函数的二阶导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上凹（或凸），即单调递增（或单调递减）。
第三种方法是使用区间端点的值来判断单调性。
对于函数f(x)，如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) < f(b)，那么函数在该区间上单调递增；如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) > f(b)，那么函数在该区间上单调递减。
这种方法主要适用于一些简单的函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。
需要注意的是，这三种方法都是相对简化的判断方法，适用于一些简单的函数。
对于复杂的函数，我们可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。
举个例子，我们来判断函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调性。
函数的单调性
一、函数单调性判断常用方法：1、定义法（重点）：121212121212()()0()()()()0()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩即单调增函数在其定义域内有任意，且即单调增函数2、常用结论：⑴ )(x f 与)(x f +C 单调性相同。
（C 为常数）⑵ 当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。
⑶ 当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。
⑷ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。
⑸ 当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。
3、复合函数快速判断：“同增异减”4、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
二、利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
三、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：（1） 确定函数的定义域；（2）将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
（3） 分别确定分解成的两个函数的单调性；（4）下结论：若两个函数在对应的区间上的单调性相同，则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异，则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
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判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。
证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=xx x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：外层函数：ty 2=内层函数：22-+=x x t内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法 1．观察法用于简单的解析式。
y ＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞). 2.配方法多用于二次(型)函数。
y ＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞） 3. 换元法多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√( x -1)+2 令t=√(x -1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1]. 4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1). 0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1, 1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞). 5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M 和最小值m.那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法 有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者. 7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)]. 8. 数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.例1 已知函数232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围.解:说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则'()0f x ≥;若函数单调递减,则'()0f x ≤”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.类型题1: 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数.类型题2: 函数kx e x y 2=在)1,0(上单调递增,求实数k 的取值范围. 例2讨论下列函数单调性 （1）b kx x f +=)( （2）x kx f =)(类型题1: 函数cbx ax x x f +++=23)(其中c b a ,,为实数），当032<-b a 时)(x f 是（ ）A 、增函数B 、减函数C 、常数D 、既不是增函数也不是减函数类型题2: 设函数()(0)kxf x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数 的增区间是（ ）。
A ．B ．C ．D ．3． 在上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ． B ． C ．D ．4．当 时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．填空题 1． 在 都是减函数,则 在 上是____函数(填增或减)． 2．函数 ,当时,是增函数,当 时是减函数,则．3．已知 是常数),且 ,则 的值为_______． 4． 函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_______． 5．若函数在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是__________． 6．已知 在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：①（为常数）是___________；②（为常数）是___________；③是____________；④是__________．7．设，是增函数，和，是减函数，则是_______函数；是________函数；是_______函数．解答题1．判断一次函数单调性.2．证明函数在上是增函数，并判断函数在上的单调性.3．判断函数的单调性.4．求函数的单调递减区间.5．函数对于有意义，且满足条件，，是非减函数，（1）证明；（2）若成立，求的取值范围．6．函数，，求函数的单调区间．7．求证：在上不是单调函数．8．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．9．设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.课后习题答案1．D 2．A 3．A 4．C 1．减 2．13 3．1 4．5．6．①减函数；②增函数；③增函数；④减函数 7．减；减；增1．一次函数的定义域是R.设，且，则. ，∴当时，，即；当时，，即.综上，当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数.2．设，则由已知，有，∴，即.∴函数在上是增函数. 在上都是增函数，∴，即在上是增函数.3．函数的定义域是.∵函数在上是增函数，在上是减函数，∴在上是减函数（“同增异减”）.4．由得或.∴函数的定义域是…①.令，则化为在上是增函数，∴求的单调递减区间，只需求的单调递减区间，且满足，即满足①.的单调递减区间是…②.由①和②知，函数的单调递减区间是5．解：（1）在中令，，则有，又，．（2），利用为非减函数，有，解之，得6．解：设，①当时，是增函数，这时与具有相同的增减性，由即得或当时，是增函数，为增函数；当时，是减函数，为减函数；②当时，是减函数，这时与具有相反的增减性，由即得当时，是减函数，为增函数；当时，是增函数，为减函数；综上所述，的单调增区间是和，单调减区间是和7．解：设，则①于是，当时，，则①式大于0；故在上不是单调函数8．解：设，且，则，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么，故在上为减函数其它证法：设，，且，则，下面讨论的符号若，则；若，则；若，则；综上可知，，故在上是减函数.9．依题意，得又，于是不等式化为由得.∴x的取值范围是.。