直梁·弯曲变形

左端横截面的纵向对称轴为 w 轴，向上为正。
挠度 w 的正负号规定：向上为正，向下为负。
转角θ 的正负号规定：逆时针转向为正，顺时针
转向为负。 [专业差别提示④]：土建类：向下的挠度为正，
图 7.1 挠度、转角的定义
向上的挠度为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负；w 轴向下为正。
7.2 梁的挠曲线近似微分方程
略去不计。 （2）转角：横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角，通常用θ 表示。不同横截面的转
角不同，因此转角θ 也是截面位置 x 的函数，即
θ =θ (x)
（7.1b）
式（7.1b）称为梁的转角方程。转角的单位是弧度 rad 或度（°）。
7.1.3 挠度和转角的关系
挠度 w 和转角θ 都是截面位置 x 的函数，由图 7.1 可知它们之间存在以下关系
高等数学可知，平面曲线 w = w( x) 上任意一点的曲率 1 可表示为
ρ(x)
d2w
1 ρ(x)
=
±
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
dx2 dw ⎞2 dx ⎟⎠
⎤3/2 ⎥ ⎥⎦
梁的挠曲线是一条连续、光滑的曲线，因此 dw = tanθ≈θ 的数值很小，在等号右边的分 dx
母中，θ 2 与 1 相比甚小，可以略去不计，于是上式变成
在外力作用下，梁变形后各横截面的位置将发生改变，梁的横截面将产生线位移和角位 移，故工程上常用这两个量来反映弯曲变形。
（1）挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向的线位移称为挠度，通常用 w（或 y、f）表 示。不同横截面的挠度不同，因此挠度 w 是截面位置 x 的函数，即
w = w(x)
（7.1a）
式（7.1a）称为梁的挠曲线方程，简称挠曲线方程。挠度的常用单位为 mm。 工程中梁的变形一般都很小，梁弯曲后都比较平坦，因此沿轴线方向的线位移通常可以
【例 7.1】 图 7.3 所示悬臂梁，受集度为 q 的均布载
荷作用，EI 为常量，试用积分法求梁的最大挠度及最 大转角。
图 7.3 例 7.1 图
【解】：建立坐标系如图 7.3 所示，x 轴沿梁轴，向右为正，w 轴向上为正。
（1）列出弯矩方程
M ( x) = 1 q(l − x)2
2 （2）列出挠曲线近似微分方程并积分
由此可见，计算梁的变形（w 和θ ），关键在于找到梁的挠曲线方程，将它对 x 求一次 导数，便可得到转角方程。若将某个横截面位置坐标 x 代入上面的两个方程，便可求得该截 面的挠度和转角。
7.1.4 挠度与转角的正负号规定
建立如图 7.1 所示的坐标系，其原点一般在梁的左
端。并规定以变形前的梁轴线为 x 轴，向右为正；以梁
θ
(
x
)
=
dw dx
=
∫
M (x) EI
dx
+
C
（7.5）
再积分一次，可得挠曲线方程
w(
x)
=
∫
∫
M (x) EI
dxdx
+
Cx
+
D
（7.6）
·149·
材料力学
式中，C 和 D 为积分常数，其值可由梁横截面的已知边界
位移条件和光滑连续条件来确定。
以上应用二次积分求出挠曲线方程的方法称为二次
积分法，它是计算梁变形的最基本方法。
1 = ± d2w ρ(x) dx2
（7.2）
将式（7.2）代入式（6.6），得
·148·
第 7 章 直梁·弯曲变形
M (x) = ± d2w
EI z
dx2
（7.3）
式（7.3）右边的正负号的选取与坐标系的选择和弯矩正负号的规定有关，如果弯矩的正
负号按前面机械类的规定，并选用 w 轴向上为正的坐标系。那么，当弯矩 M > 0 时，挠曲线
[专业差别提示⑤]：土建类规定：则式（7.3）右端应保留负号。机械类与土建类的此处 的差异对比如图 7.2 所示。
图 7.2 机械类与土建类符号规定差异对比图
7.3 用积分法求梁的弯曲变形
利用公式（7.4）求梁的变形时，由于弯矩 M 仅是 x 的函数，故用逐次积分法便可求解。 对于等直梁 EIz 为常量，通常将其用 EI 来表示，将公式（7.4）积分一次，可得转角方程
tanθ = dw dx
由于变形很小，梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线，转角θ 极小，根据 taylor 级数展开可知 tanθ≈θ ，从而得
θ≈tanθ = dw dx
（7.1c）
·147·
材料力学
式（7.1c）反映了挠度 w 和转角θ 之间的关系，它表明梁内任一横截面所转过的角度θ 约等于 其挠曲线方程 w(x)对 x 一阶导数在该截面处的取值。根据一阶导数的几何意义可得，在数值 上转角的大小等于梁的挠曲线在该点变形前后的切线所转过的角度。
为方便计算，对于等截面梁，通常将式（7.4）改写成
EI
d2w dx2
=
M
(x)
积分一次得
EIw′′ = 1 q(l − x)2 2
再积分一次得
EIw′ = EIθ = − 1 q(l − x)3 + C 6
EIw = 1 q(l − x)4 + Cx + D 24
第 7 章 直梁·弯曲变形
第 7 章 直梁·弯曲变形
7.1 梁的挠度和转角
7.1.1 梁的挠曲线
在外力作用下，梁的轴线由直线变成曲线，弯曲变形后的梁轴线称为梁的挠曲轴，它是 一条连续、光滑的曲线，亦称挠曲线。对于平面弯曲，挠曲线是一条位于梁的同一纵向对称 平面内的平面曲线。本章只涉及平面弯曲。
7.1.2 横截面的位移
在上一章推导梁的弯曲正应力公式时，得到了在纯弯曲情况下梁的轴线的曲率表达式
（6.6），即
1= M ρ EIz 纯弯曲时，上式中的弯矩 M 为常数，若 EIz 不变，则ρ 为常数，即挠曲线是半径为ρ 的 圆弧线。 而横力弯曲时，由于剪力对弯曲变形的影响很小，通常忽略不计，因此上式也可用于横 力弯曲时的情形。此时，弯矩 M 和曲率半径ρ 都不再是常量，而是截面位置 x 的函数，根据
向下凹，如图
7.2（a）所示，此时
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d2w dx2
>
0 。反之，当弯矩
M
<
0 时，挠曲线向上凸，此时
d2w dx2
<
0
，
由图 7.2（a）可见，在机械类中弯矩 M 与 d2w 的符号总是同号，因此式（7.3）右端应保留 dx2
正号，可得：
d2w = M (x) dx2 EIz
（7.4）
式（7.4）为梁的挠曲线近似微分方程。由于在计算中进行了一些近似，故又称为挠曲线 近似微分方程。求解这一微分方程，即可得到梁的挠曲线方程，从而求得梁任意横截面的挠 度和转角。