数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解）

一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：

11()(1)22

n n n a a n n S na d ++==+

特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，(

)111n

n a q S q

-=

-，特别要注意对公比的讨论；

3.可转化为等差、等比数列的数列；

4.常用公式:

（1）1n

k k ==∑1

2

123(1)n n n ++++=+L ；

（2）21n

k k ==∑222211

63

1123(1)(21)()(1)2

n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n

k k ==∑33332(1)2

123[

]n n n +++++=L ；

（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .

例1 已知3log 1

log 23-=

x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L

＝x

x x n

--1)1(＝2

11)

21

1(2

1--n ＝1－n 2

1

例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1

)32()(++=n n

S n S n f 的最大值.

解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

1++=+n n S n

∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50

1

≤

∴ 当 8

8-n ，即8n =时，501

)(max =n f .

二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那

么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例3 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x

①+②得 （反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5

例4 函数()1x f x x =+，求()()()()1111220121201220112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++++++++ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的值.

三.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b ⋅叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和. 如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.

例5 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S …………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{}21n -的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）

即：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

变式 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，22n n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的通项是等差数列{}2n 的通项与等比数列{n 21}的通项之积

设n n n

S 2

226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………② （设制错位） ①－②得，14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S （错位相减）

112

2212+---=n n n

∴12

42

n n n S -+=-

四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解