自然坐标·切向和法向加速度

如图选轨迹上一点 O为原
O
点，用由原点 O 至质点位 s<0 s>0
置的弧长 s 作为质点位置
r
坐标. s 称自然坐标. s 可正
O
A

et
en
可负.
质点运动方程 s s(t)
自然坐标也可用矢量特征描述.
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第二章 质点运动学
切向单位矢量 et 沿曲线切向,指向s>0方向. 法向单位矢量 en 沿曲线法向且指向曲线的凹侧.

lim
Δt 0
Δv Δt
et

dv dt
et
at反映速度大小的变化率
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第二章 质点运动学
(4)总加速度
a
at
an

dv dt
et

v2 R
en
dv dt et


2
Ren
a an2 at2
tan an
v
at
求汽车在t=1s时的加速度.
[解] 加速度
a anen atet
an vt2 R
vt

ds dt

20 0.6t 2
at

d2s dt 2
an

(20
0.6 t 2 )2 R
at 1.2t
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第二章 质点运动学
将R=200m及t＝1s代入上列各式，得
a
an
at
O
(5)一般曲线运动
质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成
a
at
an

dv dt
et
v2

en
——曲率圆半径
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第二章 质点运动学
[例题1] 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车
开始阶段的运动学方程为 s 20t 0.2t 3 (单位：m，s).
任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解.
§2.6.2 速度·法向和切向加速度
动画演示
1. 速度和加速度矢量
速度矢量 加速度矢量
v v et
a at an atet anen
at和an分别为质点的切向加速度和法向加速度.
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第二章 质点运动学
Δ1v

vΔ

an
lim Δt 0
Δ1v Δt

v
an

ven


2
Ren
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第二章 质点运动学
(3)切向加速度
t0 时，近似有 v' // v // Δ2v
Δ2v

[v'v
]et

Δvet
at

lim
Δt 0
Δ2v Δt
[解] v ds 30 10t
dt
an

v2

at

dv dt
B
A
30
O 15
C
t =2 s = 80m v = 50m/s
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第二章 质点运动学 [例题4] 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口 为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t = 0. 试求： (1)子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度.
第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标·切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标 §2.6.2 速度·法向和切向加速度
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第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标·切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标
若质点轨迹已知，质点的运动可分解为切向和法向.
自然坐标——将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线
2. 质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度
经t 质点速度增量
Δv v'v
取 AD=AC
a

lim
Δv
Δv Δ1v Δ2v
t0 Δt


v'
B
v


A
O
lim Δ1v lim Δ2v
t0 Δt t0 Δt
(1)法向加速度
t0时，近似有 Δ1v v
at 1.2
12233'
为加速度与
et
的夹角.
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第二章 质点运动学
[例题2]低速迫击炮弹以发射角45度 发射,其初速率v0=90m/s. 在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高 点和落地点其运动轨迹的曲率.
[解]将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直交坐标系O-xy中,
vt (20 0.612)m s 19.4m s
an

(19.4)2 200
m
s2
1.88m
s2
at 1.21m s2 1.2m s2
a an2 at2 (1.88)2 (1.2)2 m s2 2.23m s2
tan an 1.88 1.5667
v0 g v02 g2t 2


arctan
炮弹运动的速度与加速度为
v
v0

cosi

(v0
sin

gt
wenku.baidu.com
)
j
a g gj
(1)在最高点 v y v0 sin gt 0
v v0 cos an g
R v2 an (v0 cos)2
g
(90 2 9.8
2)2 m 413.3m
v
Dv
P
v'
Δ
2v
C
Δ1v
A
Δ1v

vΔ

v
AB R

v
vΔt R
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法向加速度
第二章 质点运动学
an
lim Δ1v
Δt0 Δt
v2 R
an

v2 R
en
an反映速度方向变化的快慢 .
(2)角速率 定义
lim Δ
Δt0 Δt
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第二章 质点运动学
(2)在落地点 v v0et
v v0
an g cos(45 )
R

v2 an

v02 g cos(45 )
902 9.8 2
m 1169m 2
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第二章 质点运动学
[例题3]质点M在水平面内运动轨迹如图 ， t=0 时M在 O点，质点运动规律 s=30t+5t2 (m)，求t=2s时，质点M 的法向和切向加速度.
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[解]
(1)
x

v0t 1
y x2g

1 2
gt 2
y 2
v02
(2) vx v0 v y gt
第二章 质点运动学

O v0
x

an
at
y
g
v
v
2 x

v
2 y

v02 g2t 2
dv
g2t
at dt v02 g2t 2
an
g2 at2