相似三角形典型中考题

相似三角形典型中考题

1、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿A→D→C→B的方向运动，速度为2cm/秒；点N沿A→B的方向运动，速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止.设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为y cm2.

（1）试求出当0 < x < 3时，y与x之间的函数关系式；

（2）试求出当4 < x < 7时，y与x之间的函数关系式；

（3）当3 < x < 4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值. 若不相似，试说明理由.

2．如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A →B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．

（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；

（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；

（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．

y

B

x

A

3、我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.

把两块边长为4的等边三角形板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角形板DEF 的顶点D 与三角形板ABC 的AC 边中点O 重合，把三角形板ABC 固定不动，让三角形板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点M ，射线DF 与线段BC 相交于点N ．

（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△ADM ∽△CND ．此时，AM ·CN= ．

（2）将三角形板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AM ·CN 的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用）

P

图2

图3

图1

A

B C

M

N

D(O)

E

F

A

B

C

M

N

D(O)

E

F

F

E

D(O)

M

C

B(N)

A

4、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y

轴的正半轴上，且满足

10OA -=．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5、如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE ⊥BO 交BC 边于点E ．

（1）求证：△ABF ∽△COE ；

（2）当O 为AC 边中点，2=AB AC 时，如

图2，求OE OF 的值； （3）当O 为AC 边中点，n AB

AC

=时，请直接写出

OE

OF

的值．

6、(如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是DC 中点，点F 在BC 上，且CF=1，在△AEF 中作正方形A 1B 1C 1D 1，使边A 1 B 1在AF 上，其余两个顶点C 1、D 1分别在EF 和AE 上。

（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）； （2）求AF 的长及正方形A 1B 1C 1D 1的边长；

（3）在（2）的条件下，取出△AEF ，如图②，将△E C 1D 1沿直线C 1D 1、△C 1 FB 1沿直线C 1 B 1分别向正方形A 1B 1C 1D 1内折叠，求小正方形A 1B 1C 1D 1未被两个三角形覆盖的四边形面积。

B B A A

C E

D D

E C O F

图1 图2

F

B 1

A 1D 1

B

C A D

C 1F E

7、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)， tan ∠BAC=

4

3

（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；

（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得△APQ 与△ADB 相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．

8．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在Y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠CE=55，且tan ∠EDA=4

3． （1）判断OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线L ，使直线L 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线CE 与Y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

第7题图