分类数据分析

列联表
(例题分析)
【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集 团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利 益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本 单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 合计
赞成该方案 68
75
57
总百分比：每一个观察值除以观察值的总个数(
fij / n )
9 - 15
统计学
STATISTICS (第四版)
百分比分布
(图示)
行百分比
赞成该方案
一分公司 68
反对该方案 合计
24.4%
68.0% 16.2%
32 22.7% 32.0% 7.6% 23.8%
列百分比
二分公司 三分公司
75
57
26.9%
期望频数的分布
(例题分析)
A公司
B公司 其它公司
广告后 实际频数 102
82
16
购买人
数 期望频数 200×0.45 200×0.4 200×0.15
在广告宣传战之前，A公司、B公司和其它公司的市场占有率分 别为45%、40%和15%。上表给出了广告后对200个消费者购买意 愿的调查的结果，检验广告战前后各公司的市场占有率是否发生了 变化 ？
统计学
STATISTICS (第四版)
c 统计量
拟合优度检验：
1. 用于检验一个分类变量中各类别的期望频数和观察频数 是否有显著差异。
2. 其实际为假设检验
3. 在原假设为观察频数和实际频数一致的前提下，有如下
检验统计量：
c 2 c ( f o f e ) 2
j 1
fe
其自由度为C 1 式 中 ： fo — 每 一 类 别 的 观 察 频 数
5. 对分类数据的描述和分析通常使用列联表
9 -6
统计学
STATISTICS (第四版)
列联表的构造
9 -7
统计学
STATISTICS (第四版)
列联表
(contingency table)
1. 由两个以上的变量交叉分类的频数分布表
2. 行变量的类别用 r 表示， ri 表示第 i 个类别 3. 列变量的类别用 c 表示， cj 表示第 j 个类别 4. 每种组合的观察频数用 fij 表示 5. 表中列出了行变量和列变量的所有可能的组
fij— 列 联 表 中 第 i行 第 j列 类 别 的 实 际 频 数
e ij— 列 联 表 中 第 i行 第 j列 类 别 的 期 望 频 数
c2统计量可以看作是检验真实值与期望值的接近程度。
9 - 21
统计学
STATISTICS (第四版)
c 统计量
• 分布与自由度的关系
9 - 22
9.2 拟合优度检验 (goodness of fit test)
如二分公司赞成人数比一分公司多，并不表明 二分公司比一分公司更赞成该方案，因为两公 司调查人数不同。
2. 为在相同的基数上进行比较，可以计算相应
的百分比，称为百分比分布
行百分比：行的每一个观察频数除以相应的行 合计数(fij / ri)
列百分比：列的每一个观察频数除以相应的列 合计数( fij / cj )
等价于检验三个公司的期望购买人数和实际购买人数是否9一- 2致8 。
统计学
STATISTICS (第四版)
拟合优度检验
(例题分析1-1)
【例9.1】 1912年4月15日，豪华巨轮泰坦尼克号与 冰山相撞沉没。当时船上共有共2208人，其中男 性1738人，女性470人。海难发生后，幸存者为 718人，其中男性374人，女性344人，以的显著 性水平( 0.05)检验存活状况与性别是否有关。
fe — 每 一 类 别 的 期 望 频 数
9 - 24
统计学 拟合优度检验的期望频数的
STATISTICS (第四版)
计算
若可求出第i行第j列元素的期望概率pij， 则一个实际频数 fij 的期望频数eij ，是总频 数的个数 n 乘以该实际频数 fij 的期望概 率pij
eij n pij
9 - 25
合，所以称为列联表
6. 一个 R 行 C 列的列联表称为 R C 列联表
9 -8
统计学
STATISTICS (第四版)
列联表的结构
(2 2 列联表)
列(cj) 行 (ri)
i =1
i =2 合计
列( cj )
j =1
j =1
f11 f21 f11+ f21
f12 f22 f12+ f22
合计
f11+ f12 f21+ f22
9 - 29
统计学
STATISTICS (第四版)
拟合优度检验
(例题分析1-2)
分 析 ： 在 这 次 海 难 中 ， 幸 存 者 共 718 人 ， 即 总 存 活 比 例 为
718/2208=0.325。若存活状况与性别无关，则男性存活
的期望人数为：0.3251738＝565人，女性存活的期望人
统计学
STATISTICS (第四版)
拟合优度检验
(例题分析1-3)
H0:生存状况与性别无关（观察
频数与期望频数一致）
H1:生存状况与性别相关（观察
频数与期望频数不一致） = 0.05 df = (2-1)= 1 临界值(s):
=0.1
0
3.8415 c2
统计量:
c2 c (fo fe)2 303
9 - 20
统计学
STATISTICS (第四版)
c 统计量
1. 用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性 2. 检验统计量为：
c
c2
(fofe)2
~c2(C1)
f j1
e
fo— 实 际 频 数
fe— 期 望 频 数
或
c c r
2
c(fij e ij)2
~2((R 1 )(C 1 ))
e i 1j 1 ij
一分公司
二分公司 三分公司 四分公司
赞成该方 案
反对该方 案
实际频数 期望频数 实际频数 期望频数
68
75
57
79
100*66.4%=66
150*66.4%=80
90*66.4%=6 0
110*66.4%=73
32
75
33
31
100*33.6%=34
150*33.6%=40
90*33.6%=3 0
110*33.6%=37
赞成 反对
合计
男学生 45 105 150
女学生 42 78 120
合计 87 183 270
9 - 17
统计学
STATISTICS (第四版)
(3) 对于学生宿舍上网收费的新措施，男女学生的抽样调查结果 如下列联表所示，在男女生赞成的比例相同的前提下，男女 生赞成该措施的期望频数分别为： ( A ) A. 48和39 B . 102和81 C. 15和14 D. 25和19
数为： 0.325470＝153人，若男女性期望的存活人数和
实际的存活人数非常接近，则可以认为存活率与性别无关
，反之，则认为存状况与性别相关。因此可以利用c2统计
量来检验。
男
女
合计
实际生存 人数
374
344
718
总人数
1738
470
2208
期望生存 人数
1738×0.325 470×0.325
9 - 30
9 -3
统计学
STATISTICS (第四版)
学习目标
1. 解释列联表 2. 进行 c2 检验
拟合优度检验 独立性检验 3. 测度列联表中的相关性
9 -4
9.1 分类数据
9.1.1 分类数据 补充Hale Waihona Puke Baidu列联表的构造
列联表的分布 9.1.2 c2统计量
统计学
STATISTICS (第四版)
分类数据
观察值的分布
(图示)
条件频数
行边缘分布
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司 合计
赞成该方案 68
75
57
79 279
反对该方案 32
75
33
31 141
合计 100 120 90 110 420
列边缘分布
9 - 14
统计学
STATISTICS (第四版)
百分比分布
(概念要点)
1. 条件频数反映了数据的分布，但不适合对比
赞成 反对
合计
男学生 45 105 150
女学生 42 78 120
合计 87 183 270
9 - 18
c 统计量
统计学
STATISTICS (第四版)
概述
c2检验(Chi-square test)是现代统计 学的创始人之一，英国人K . Pearson（ 1857-1936）于1900年提出的一种具有广 泛用途的统计方法，因此又称为Pearson c2检验。可用于两个或多个率或构成比间 的比较，定性资料的关联度分析，拟合 优度检验等等。
9 - 16
统计学
STATISTICS (第四版)
练 习 （1）
(1) 列联分析是利用列联表来研究： ( A ) A. 两个分类变量的关系 B . 两个数值型变量的关系 C. 一个分类变量和一个数值型变量的关系 D. 两个数值型变量的分布
(2) 以下列联表中，最右边一列称为：( B ) A. 列边缘频数； B. 行边缘频数； C. 条件频数； D. 总频数
统计学
STATISTICS (第四版)
期望频数的计算举例
举例：要检验各分公司对某项改革方案的 看法是否相同？
赞成该方 案
反对该方 案
实际频数 实际频数
一分公司 68 32
二分公司 三分公司 四分公司
75
57
79
45
33
31
9 - 26
统计学
STATISTICS (第四版)
期望频数的分布
(例题分析)
9 - 32
统计学
STATISTICS (第四版)
拟合优度检验
n
9 -9
统计学
STATISTICS (第四版)
列联表的结构
(r c 列联表的一般表示)
列(cj)
列(cj)
行(ri)
j =1
j =2
…
i =1
f11
f12
…
i=2
f21
f22
…
:
:
:
:
合计
c1
c2
…
fij 表示第 i 行第 j 列的观察频数
合计
r1 r2
:
n
9 - 10
统计学
STATISTICS (第四版)
在全部420个样本中，赞成改革方案的人数为279，占66.4%；反对的人数占 33.6%。在各分公司对改革方案看法相同的前提下，各分公司赞成（反对） 这项改革不同态度的期望频数为分公司总样本数*66.4%（33.6%）。9等- 价27于 检验各分公司赞成方案的实际频数与期望频数是否一致。
统计学
STATISTICS (第四版)
79 279
反对该方案 32
75
33
31 141
合计 100 120 90 110 420
9 - 11
统计学
STATISTICS (第四版)
列联表的分布
9 - 12
统计学
STATISTICS (第四版)
观察值的分布
1. 边缘频数
行边缘分布（频数）
行观察值的合计数的分布 例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人
j1
fe
决策:
在 = 0.05的水平上拒绝H0
结论:
有较充分的理由认为生存状况 与性别相关
9 - 31
统计学
STATISTICS (第四版)
拟合优度检验
(例题分析2-1)
【例】 一项统计结果声称：某市老年人口（年龄在 65岁以上）所占的比例为14.7%，该市老年人口 研究会为了检验该项统计是否可靠，随机抽选了 400名居民，发现其中有57人年龄在65岁以上。 调查结果是否支持该市老年人口比例为14.7%的 说法？（=0.05）。
1. 分类变量的取值表现为类别
例如：性别 (男, 女)
2. 各类别可用符号或数字代码来测度
例如：性别 (男用1表示, 女用0表示)
3. 顺序数据也可以看作分类数据
原料的质量等级：一等品、二等品、三等品
4. 数值型数据也可以转化为分类数据
数学期末考试成绩是一个数值型数据，可以根据分数段 将成绩为“优秀”、“良好”、“及格”和“不及格” 几个类别
列边缘分布（频数）
列观察值的合计数的分布 例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，
90人，110人
2. 条件分布与条件频数
表中每个具体的观察值都是变量 X 条件下变量 Y 的 频数，或在变量 Y 条件下变量 X 的频数，称为条件 分布（频数）
9 - 13
统计学
STATISTICS (第四版)
统计学
STATISTICS (第四版)
第 9 章分类数据分析
9 -1
统计学
STATISTICS (第四版)
概述
第七、八章介绍的估计和检验方法仅主 要针对数值型变量。而列联分析是针对分 类变量进行分析的方法。
9 -2
统计学
STATISTICS (第四版)
第 9 章 分类数据分析
9.1 分类数据与c2统计量 9.2 拟合优度 检验 9.3 列联分析：独立性检验 9.4 列联表中的相关测量 9.5 列联分析中应注意的问题
62.5% 17.8%
45 31.9% 37.5% 10.7% 28.6%
20.4%
63.35 13.6%
33 23.4% 36.7% 7.9% 21.4%
总百分比
四分公司
合计
79
66.4%
28.3%
71.8% 18.8%
31 22.0% 28.2% 7.4% 26.2%
— — 33.6%
— — 100%