弹性动力学中的基本波汇总
《弹性力学》第十一章 弹性波
15
由于 e 0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2u 2 2 c u 2 2 t
2 2 2 c 2 2 t
2w 2 2 c w 2 2 t
E 其中 c2 2(1 )
v E
得
30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
11
[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
12
在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
弹性波动力学复习ppt课件
波动方程
1.纳维方程的推导 2.由纳维方程两边去散度和旋度推导纵横波波动 方程 3.由势函数带入纳维方程，得到势函数表示的波 动方程 4.由势函数计算位移场
.
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弹性波的传播
1.三维波动方程均匀面波解及各物理量的含义 2.三维波动方程均匀平面简谐波解及各物理量的含义 3.非均匀平面波的传播条件 4.球面波和柱面波的衰减规律 5.P、SV、SH波的定义 6. P、SV、SH波入射自由界面和分层界面形成的反射和透射示意图 7.面波的特点 8.P波垂直入射分层界面时反射系数和透射系数的计算 9.多层snell定律的完整写法，并根据snell定律说明全反射发生的原因，任举一例说明 全反射现象。 10.根据射线路径示意图，写出三维波动方程均匀平面简谐波解，并解释各项物理含 义。
弹性波动力学复习提纲课件
对处理后的数据进行统计分析，得出试样材料的弹性波传播特性及 变化规律。
结果展示
通过图表、图像等方式将分析结果进行可视化展示，便于理解和记 忆。
弹性波的应用实例
地球物理学中的弹性波研究
地震波传播与地球内部结 构研究
地球内部结构复杂，地震波的传播规律对于 揭示地球内部构造、地震预测等具有重要意 义。弹性波在地球物理学中广泛应用于地震 波分析、震源机制解等研究。
弹性波动力学复 习提纲课 件
目录
绪论
弹性波动力学的研究对象
01 弹性波：在弹性介质中传播的波动现象。 02 弹性波的传播特性：波动速度、波长、频率等。 03 弹性波的激发与观测：物理实验与观测方法。
弹性波动力学的研究方法
理论分析
基于物理定律建立弹性波传播的控制方程。
数值模拟
利用计算机求解控制方程，模拟弹性波传播过程。
利用Green定理建立表示连 续体动力学的边界积分方程。
离散化方程
将边界积分方程离散化为线 性方程组。
边界条件处理
需要在边界上使用适当的边 界条件。
弹性波的实验研究
实验设备与材料
发射器
用于产生弹性波的设备，如声源、震动器等。
接收器
用于探测和记录弹性波的设备，如麦克风、加速度计等。
试样材料
研究不同材料对弹性波传播特性的影响，如金属、非金属、复合 材料等。
性，取得了一系列重要成果。
03
数值模拟与实验
发展了多种数值模拟方法和实验技术，有效地模拟和观测了弹性波传播
过程中的各种现象和规律。
存在的主要问题与挑战
复杂结构中弹性波的传播
在复杂结构（如多层、夹杂、周期性等）中， 弹性波的传播特性更加复杂，需要进一步深 入研究。
弹性波动力学
学习意义：理解不同边界条件下的地震波波动方程的含义，理解各种弹性力学参数的物理意义并将参数和地下介质的岩性问题联系起来，最终为地震剖面的岩性解释服务。
刚体：变形忽略不计的物体弹性波：扰动在弹性介质中的传播波前面：波在介质中传播的某个时刻，介质内已扰动的区域和未扰动区域间的界面称为波前面地震波分类：纵波横波，平面波球面波柱面波，体波界面波表面波 哑指标：在同一项中重复两次从而对其应用求和约定的指标 自由指标：在同一项中出现一次因而不约定求和的指标各项同性张量：如果一个张量的每个分量都是坐标变换下的不变量，则称此张量为各项同性张量张量性质：二阶实对称张量的特征值都是实数：二阶实对称张量对应于不同特征值的两个特征向量垂直：二阶实对称张量总存在三个相互垂直的主方向：在主轴坐标系内二阶实对称张量的矩阵形式是对角形：三个相互垂直主方向的右手坐标系为主轴坐标系弹性：物体受外力时发生形变，外力消除时物体回到变形前的水平 弹性变形：在弹性范围内发生的可恢复原状的变形 弹性体：处于弹性变形阶段的物体弹性波动力学基本假设：物体是连续的：物体是线性弹性的：物体是均匀分布的：物体是各项同性的：小变形假设：无体物初应力假设 位形：弹性体在任意时刻所占据的空间区域参考位形：弹性体未受外力作用处在自然情况下的位形 运动：刚性平移，刚性转动，变形应变主方向：如果过p 点的某个方向的线源，在变形后只沿着他原来的方向产生相对伸缩主应变：沿着应变主方向的相对伸缩体力：连续分布作用于弹性体每个体元上的外力称为体力 面力：连续分布作用于弹性体表面上的力 运动微分方程的物理意义：表示应力张量在弹性体内部随点位置变化时应满足的关系式内能：弹性体在某个变形状态下，其内部分子的动能以及分子之间相互作用具有的势能总和应变能密度：单位体积内的弹性体所具有的应变能 广义胡克定律：线性弹性体内一点处的应力张量分量可以表示为该点处应变量张量的线性齐次方程动弹性模量：由介质的速度参数表达的弹性模量极端各向异性弹性体：过p 点任意方向都不同的弹性体粘滞力：实际流体中两层流体相互滑动流体间相互作用的阻力 理想流体介质：可以将粘滞力忽略的流体无旋波：无旋位移场的散度对应弹性体的涨缩应变场以波的形式传播（涨缩应变场）无散波：无散位移场的旋度对应弹性体的转动情况以波的形式运动平面波：波前面离开波源足够远时脉冲型和简谐型均匀和非均匀平面波 非频散波：波的传播速度仅仅依赖媒介密度拉美系数等而与波的频率无关 频散波：波的传播速度与频率有关频散：初始扰动的没一个简谐成分都以不同速度前进，从而初始波形在行进中发生了变化相速度：简谐波的传播速度群速度：由简谐波叠加而成的波其合成振幅的传播速度非均匀平面波：如果波的等位相面各点振幅不同，既等位相面和等振幅面不平行球面波：弹性媒质的位移矢量场具有球对称性，且只是空间变量和时间变量的函数 1、证明：kmjn kn jm im n ijk e e δδδδ-=；2、321321321n n n m m m i i i imne δδδδδδδδδ=3、321321321n n n m m m i i i ijkimn ijk e e e δδδδδδδδδ=4、kmjn kn jm knkm ki jn jm ji inim ii δδδδδδδδδδδδδ-==5、如果i i e a a =，ii e b b =，i i e c c=，证明：c b a b c a c b a )()()(∙-∙=⨯⨯；k ijk j i e e c b c b =⨯)()()(k ijk j i m m k ijk j i e e c b e a e e c b a c b a ⨯=⨯=⨯⨯n m kn ijk j i m k m ijk j i m e e e c b a e e e c b a=⨯=)(njn im jm in j i m n knm kij j i m e c b a e e e c b a)(δδδδ-==nn m m n m n m n n m m m n m e c b a e c b a e c b a c b a-=-=)(c b a b c a e c b a e b c a n n m m n n m m)()(∙-∙=-=分析：由于标量对坐标的选择无关，因此，如果证明了物理量在坐标变换前后相等，即可以认为此物理量是标量。
弹性力学基本概念和考点汇总
弹性力学基本概念和考点汇总弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它是物理学和工程学中的一门重要课程，被广泛应用于材料力学、结构设计和工程力学等领域。
在学习弹性力学的过程中，有一些基本概念和考点是必须要掌握的。
1.弹性形变和塑性形变：弹性形变是指物体在受到外力作用后，恢复到原始形状的形变。
而塑性形变是指物体在受到外力作用后，不能完全恢复到原始形状的形变。
2.弹性力学中的基本假设：在弹性力学中，通常做出两个基本假设。
第一个是小变形假设，即物体在受力作用下发生的形变是很小的；第二个是线弹性假设，即物体的应力和应变之间的关系是线性的。
3.弹性势能和应变能：弹性势能是指物体在受力过程中，由于形变而储存的能量。
而应变能是指物体在受力过程中，由于形变而转换成的能量。
4. Hooke定律：Hooke定律是指物体在小变形范围内，应力和应变之间的关系是线性的。
它可以表示为应力等于弹性模量乘以应变。
5.弯曲力学：弯曲力学是研究杆件在受到弯曲力作用下的形变和应力分布。
在弯曲力学中，有一些重要的概念和公式，如弯曲应力、弯曲应变、弯矩和弯曲方程等。
6.薄壁压力容器：薄壁压力容器是指在薄壁条件下，承受内外压力作用的容器。
在薄壁压力容器的分析中，常常需要考虑切应力和平均应力的计算。
7.稳定性分析：稳定性分析是指对于一个受到外力作用的物体，判断其是否处于稳定平衡状态的分析。
在稳定性分析中，需要考虑物体的刚度、屈曲和挠度等因素。
8.复合材料力学：复合材料是由两种或两种以上不同材料组成的材料。
在复合材料力学中，需要考虑不同材料的力学性能和界面效应等因素。
9.动力学分析：动力学分析是研究物体在受到外力作用下的运动状态和运动规律。
在动力学分析中，需要考虑物体的质量、加速度和作用力等因素。
以上是弹性力学中的一些基本概念和考点的汇总。
掌握这些基本概念和考点可以帮助我们理解弹性力学的基本原理和应用，进而应用于实际问题的分析和解决。
《地震波理论》复习最终版
《地震波理论》复习最终版《地震波理论》复习内容⼀、弹性理论基础1. 柯西公式的意义；因此弹性体内⼀点的应⼒状态可以完全由作⽤于垂直坐标轴⽅向的三个截⾯上的应⼒向量或其分量所确定。
2. 应⼒与应变的关系；（为单位函数）3. 杨⽒模量E（纵向应⼒与纵向应变的⽐例常数就是材料的弹性模量E,也叫杨⽒模量）泊松⽐ν（横向应变与纵向应变之⽐值称为泊松⽐，也叫横向变性系数,它是反映材料横向变形的弹性常数）；4. 拉梅常数λ、µ；为引⼊均匀各向同性介质中应⼒与应变关系，引⼊λ、µ，µ表⽰剪切模量。
5. 运动的应⼒⽅程和位移⽅程；运动应⼒⽅程：运动位移⽅程：6. 介质受应⼒作⽤产⽣位移由哪⼏部分组成；由式上式可以看出处于应⼒应变状态下的物体其质点位移由三部分组成:①平动: u，v，w，这是和参考点M⼀起作同样的运动，它不使物体形状改变;②弹性应变: eij，i,j=x,y,z 这是⼀种使物体形状和体积发⽣改变的运动，称为弹性应变.应变有九个分量，考虑到它的对称性，只有其中六个分量独⽴的。
exx，eyy，ezz称为正应变，exy，eyz，ezx称为切应变;③旋转: ωx，ωy，ωz这是质点围绕参考点M的旋转运动，不使物体形状和体积发⽣改变，不属弹性应变范畴.7. 导出拉梅⽅程的前提条件；在对空间求导时，只有λ、µ不随空间变化，即在均匀介质中才能导出拉梅⽅程。
8. 能流密度。
表⽰在单位时间内通过与它垂直的单位截⾯积的机械能。
⼆、弹性动⼒学中的基本波1. 由拉梅⽅程导出纵波、横波⽅程；拉梅⽅程对上式进⾏散度运算，得到：对上式进⾏旋度运算，得到：2. 平⾯波、不均匀平⾯波；平⾯波：等相位为平⾯，且与波的传播⽅向垂直的波动。
不均匀平⾯波：平⾯波传播的⽅向余弦为l 、m 、n 是复数，这样的波为不均匀平⾯波。
3. 在什么情况下才能称为平⾯波；离震源较远时可以将在局部等相位内，将点震源产⽣的球⾯波看成⼀个平⾯。
《弹性波动力学》固体中弹性波-05 声波在流体-固体界面上的反射和折射
势函数的反射和折射系数的定义为
t t r r , t , t i i i
反射系数与折射系数
势函数的反射和折射系数为 r z2 L cos 2 2tT z2T sin 2 2tT z1L r , 2 2 i z2 L cos 2tT z2T sin 2tT z1L
上式应对所有的z都成立,因而式中指数因子部分必然应该恒等,即
k1L sin i k1L sin r k2 L sin tL k2T sin tT 波矢的界面分量相等
从此导得反射定律 i r
P P
与折射定律
sin i k2 L c1L , sin tL k1L c2 L sin i k2T c1L . sin tT k1L c2T
声波在流体/固体界面上的 反射和折射
P P
i r
流体 固体
z
折射
步骤(思路)
声学边界条件 写出波函数表达式 将波函数代入边界条件 定义和求解反射系数、透射系数 结果讨论
P P
i r
流体 固体
z
tT tL
S P
x
流固界面的边界条件
15
30
45
60
75
90
Incident Angle
Incident Angle
1.0 0.8
Amplitude
Tp R 第二临界角
f
第一临界角 0.6
0.4
1000.,1483 1700.0,1700.0,600.0
第一临界角 不存在第二临界角
t 1 2 z2 L cos 2tT t , 2 2 i 2 z2 L cos 2tT z2T sin 2tT z1L
弹性波与结构动力学
弹性波与结构动力学引言：弹性波是物质中传播的一类波动现象，它在结构动力学中起着重要的作用。
通过研究弹性波的传播特性，我们可以深入了解结构的振动行为，进而为工程结构的设计和安全性评估提供理论支持。
一、弹性波的基本概念弹性波是一种沿着介质中传递的机械波，其传播过程中介质的形状和体积保持不变。
弹性波包括两种类型：纵波和横波。
纵波是沿传播方向的波动，介质中的粒子在波传播过程中沿波的传播方向振动。
而横波是垂直于传播方向的波动，介质中的粒子在波传播过程中垂直于传播方向振动。
二、弹性波的传播特性弹性波在传播过程中受到介质本身刚度和密度的影响。
根据介质的性质不同，弹性波的传播速度也不同。
例如，在固体中，纵波的传播速度大于横波的传播速度；而在液体中，纵波和横波的传播速度相等。
此外，弹性波的传播还受到外部条件的限制，如介质的边界条件和存在的障碍物。
这些因素会使波动的传播方向改变，产生反射、折射和散射现象。
三、结构动力学中的应用结构动力学旨在研究结构体在受到外界力作用下的响应行为。
通过研究弹性波的传播和结构的振动特性，我们可以了解结构在承受外力时的变形和应力分布情况，从而评估结构的安全性和稳定性。
1. 弹性波的成像技术利用弹性波的传播特性，我们可以将其应用于结构的成像技术中。
通过在结构表面上布置传感器，并采集传感器上的信号信息，可以获得结构内部的振动分布情况。
这对于检测结构的缺陷和损伤以及评估结构的健康状况具有重要意义。
2. 弹性波在地震工学中的应用地震是一种具有较高频率和较大能量的弹性波。
研究地震波的传播行为可以帮助我们了解地震的发生机理和地震波对结构的影响。
通过地震波的预测和分析，可以为建筑物的抗震设计和城市的抗震规划提供科学依据。
3. 结构动力响应的数值模拟结构动力学中的数值模拟是利用计算机模拟方法来分析结构体在受到外力激励下的响应行为。
其中，弹性波的传播特性被广泛应用于模拟结构的振动响应。
通过建立结构的有限元模型和适当的边界条件，可以计算结构在不同外力作用下的动态行为，为工程师提供设计和评估结构安全性的参考。
第六章无限弹性介质中的弹性波
以位移矢量为扰动函数的波动方程 可得：
2u p 2 2 u p Fp t 2
2 us us Fs 2 t
2
（6-6） （6-7）
方程（6-6）和（6-7）即为无旋变形位移场和等
体积变形位移场的波动方程。
无限弹性介质中的弹性波
手拨两端固定的琴弦，在其被拨处将产生一个速度或位移的改 变量，产生一个初始“扰动”。
无限弹性介质中的弹性波
炸药在地表层爆炸，使地应力获得一个改变，产生一个初始 “扰动”。
无限弹性介质中的弹性波
地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很 近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从 而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的地方，由于岩石 受力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震 源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播， 这就是地震波。
注意到：
U t
(t ) 2t U ((U )) 0
(2U ) 2 ( U ) 2
2U 2 2 2 2 ( U ) 2 t t t
(2U ) 2 (U ) 2t
固体介质中的纵波（无旋波）是一种胀缩应变波
（疏密波），它与流体中的声波具有同样的性质。
如果不考虑固体中转换波问题，地震波的传播问题
也可以用声波方程来研究，即用声波方程来近似，
通常使用的标量地震波动方程就是以这类标量(如
压力)为未知函数的方程。
弹性波方程
忽略转换波
声波方程
运动微分方程（质点流速与压强的关系）
2 ( 2 ) t 2
注意到： 以及：
【冲击动力学】第4讲 弹性动力学和弹性波
无体力作用下的弹性动力学方程
E 1
2(1 ) 1 2e x2u2u t 2
E 1
2(1
)
1
2
e y
2
v
2v t 2
E 1
2(1 ) 1 2
e z
2
w
2w t 2
2021/4/3
纵波和横波
静力平衡下的弹性体受到载荷作用时,并不是弹性体的所有部分立刻产生位移、 应力等,而是随着时间的流逝,位移、应力等以波动的形式以一定的速度逐渐 传播的。下面我们介绍两种主要的弹性波：无旋波（纵波）和等容波（横波）
u 0,t
1 2
f
ct
f
ct
+
1 2c
ct
ct
g
s ds
1 2
f
ct
f
ct
+
1 2c
ct
ct
g
s ds
0
Example 2
• For an infinite rod, if the initial displacement and the initial velocity are even functions, then:
ux
x,t
1 2
f
x
ct
f
x
ct
+
1 2c
g
x
ct
g
x
ct
f x f x f x f x
f x f x f x f x
ux
x,t
1 2
f
x
ct
f
x
ct +
1 2c
g
x
弹性波动力学概念
质点振动部分一 基本概念1) 构成振动系统的各部分都可看成是一个物理性质集中地元件，这种振动系统也称为质点振动系统。
OR 由物理性质集中的元件构成的振动系统。
2)单自由度系统A 简谐振动（无阻尼自由振动）：物体在线性恢复力或线性恢复力矩的作用下的运动。
B 阻尼自由振动：因摩擦，声波辐射等原因阻碍震动的进行（阻尼），而导致震动幅度随时间衰减。
C 受迫振动：（策动力）在策动力作用下的振动称作受迫振动。
3)什么是3dB 带宽？在但自由度振动系统的震速振幅的频率特性曲线上，速度振幅比共振峰值处下降0.707倍所对应的两个频率分别为 和 （ > ），则3分贝带宽定义为 ，可以用3分贝带宽的大小表示频率特性曲线的平坦程度。
0.00.5 1.0 1.5 2.0012345678910B z z1z2二 基本原理与技能1） 简谐振动、阻尼振动和受迫振动表达式简谐振动：阻尼振动：欠阻尼状态：x(t)= cos( )过阻尼状态：x(t)=临界阻尼状态：x(t)=(受迫振动：2） 频率特性曲线的测量扫频法：将幅值相等但不同频率的简谐力加在振动系统上，测量每个频率的速度振幅，用描点法作出频率特性曲线。
脉冲法：将含有等幅值的各种频率成分的时域信号（强迫力）加在振动系统上，测量系统响应。
流体中声场部分一基本概念11）声压：设流体体积元受声扰动后压强由改变为P，则由声扰动产生的逾量压强（简称逾压）就称为声压，2）声场：媒质中有声波存在的区域。
3）声波传播速度：常数，温度为t（℃）时理想气体中的声速为(m/s)温度为20℃的空气中的声速约为334米/秒，常温下水中声速约为1500米/秒4）质点振动速度：5）声阻抗率：声场中某位置的声压与该位置的质点的速度的比值定义为该位置的声阻抗率。
== -26)声压级：声场中某点的声压级定义为该点的声压的有效值与参考声压的比值取常用对数，再乘以20。
空气中参考声压水中参考声压7）声强级：声场中某点的声强级定义为该点的声强与参考声强的比值取常用对数，再乘以10空气中参考声强一般取瓦米在空气中声压级与声强级数值上近于相等声强：通过垂直于声传播方向的单位面积上的平均能量流称为平均能量流密度或称为声强，即：I=38）临界角：光线从光密介质射向光疏介质时，折射角将大于入射角；当入射角为某一数值时，折射角等于90°，此入射角称临界角。
弹性波动力学基础
第1章 绪论1.1 弹性波场论概述在普通物理的力学部分，我们曾经着重讨论过物体在外力作用下的机械运动规律。
在讨论时，由于物体变形影响很小，我们将其忽略，而将物体视为刚体或简化为质点，这是完全正确的。
然而，实际上任何物体在外力作用下不仅会产生机械运动，而且会产生变形。
由于变形物体内部将相互作用，产生内力、应力和应变。
当应力或应变达到一定极限时，物体就会破坏，这一点在研究材料和工程力学中尤其要考虑，地球介质也不例外，地壳运动或地震都会产生地质体的应力或应变。
在弹性力学中，主要讨论对物体作用时的变形效应，物体不再假定为刚体，而是弹性体、塑性体，应当视为可变形体，我们研究的视角也从外部整体过渡到内部局部。
长期的生产实际和科学实验均已表明，几乎所有的物体都具有弹性和塑性。
所谓的弹性是指物体的变形随外力的撤除而完全消失的这种属性。
所谓的塑性是指物体的变形在外力的撤除后仍部分残留的这种属性。
物体的弹性和塑性受诸多因素影响而发生改变，并在一定的条件下相互转化。
因此，确切地，应当说成物体处于弹性状态或塑性状态，而非简单地说物体是弹性体或塑性体。
在弹性力学中，只讨论物体处于弹性状态下的有关力学问题，这时物体可称为弹性体。
由上所述，弹性力学又称弹性理论，研究的对象是弹性体，其任务是研究弹性体在外界因素（包括外力，温度等）作用下的应力、应变和位移规律。
简单地说，弹性力学就是研究弹性体的应力、应变和位移规律的一门学科。
弹性力学是固体力学中很重要的一个分支。
而固体力学是从宏观观点研究固体在外力作用下的力学响应的科学，它主要研究固体由于受外力作用所引起的内力（应力）、变形（应变）以及与变形有直接关系的位移的分布规律及其随时间变化的规律。
可见，应力、应变和位移是空间和时间的函数。
与固体力学对应的还有流体力学等。
固体力学还包括材料力学，断裂力学等等。
弹性力学本身又分为弹性静力学（Elasticity Statics ）和弹性动力学（Elasticity Dynamics ）。
弹性波动力学复习提纲课件
04 弹性波的散射和干涉
弹性波的散射
弹性波散射的定义
弹性波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向和能量分布发生变化的现象。
弹性波散射的分类
瑞利散射、米氏散射、共振散射等。
弹性波散射的物理机制
波动与障碍物相互作用，产生反射、折射、吸收等现象。
弹性波散射的数学模型
散射波函数、散射系数等。
弹性波的干涉
三维波动方程
总结词
三维弹性波的波动方程是描述弹性波在三维空间介质中传播的基本方程。
详细描述
三维波动方程适用于描述任意方向传播的波，适用于各种复杂的三维介质结构。该方程全面考虑了波 在三维空间中的传播特性，包括波的传播方向、速度以及介质中质点的位移、速度和加速度。
边界条件和初始条件
总结词
边界条件和初始条件是确定弹性波波动方程解的重要约束条件。
随着入射角的增大，反射系数会发生变化。
弹性波的折射
1 2
折射系数
描述入射波与折射波之间振幅关系的系数。
斯涅尔定律
入射角等于折射角。
3
折射系数与入射角的关系
随着入射角的增大，折射系数也会发生变化。
全反射和透射
要点一
全反射
当入射角达到某一临界值时，折射波消失，只剩下反射波 。
要点二
透射
当入射角小于某一临界值时，折射波存在，且其振幅与入 射波相似。
详细描述
通过向物体内部发射弹性波并检测反射回来的波，可 以判断物体内部的缺陷、损伤等，如飞机、高铁等大 型机械的检测，确保其安全运行。
声呐探测
总结词
利用弹性波在水中传播的特性进行水下探测和通信。
详细描述
声呐系统通过向水下发送声波并接收回波，可以探测水 下目标的位置、大小、形状等信息，广泛应用于海洋科 学研究、水下考古等领域。同时，声呐技术还可用于水 下通信，实现水下设备之间的信息传递。
弹性波
应力波
应力波是应力和应变扰动的传播形式，弹性波是应力波的一种，即扰动或外力作用引起的应力和应变在弹性 介质中传递的形式。弹性介质中质点间存在着相互作用的弹性力。某一质点因受到扰动或外力的作用而离开平衡 位置后，弹性恢复力使该质点发生振动，从而引起周围质点的位移和振动，于是振动就在弹性介质中传播，并伴 随有能量的传递。在振动所到之处应力和应变就会发生变化。弹性波理论已经比较成熟，广泛应用于地震、地质 勘探、采矿、材料的无损探伤、工程结构的抗震抗爆、岩土动力学等方面。
图一
反射折射
弹性波到达界面后，一部分返回到原来的弹性介质内，即发生反射现象；另一部分穿过界面进入相邻的另一 弹性介质内，即发生折射现象。在同一弹性介质中，介质本身不均匀引起的弹性波传播方向改变也称为弹性波的 折射（若传播方向改变后与原来的传播方向相反则为反射）。纵波入射到平面交界面上会产生一个反射纵波和一 个反射横波；横波入射到平面交界面上，也会发生同样的现象。
绕射
弹性波在传播过程中遇到障碍物边缘或孔洞时所发生的弯折现象称为波的绕射。障碍物或孔洞越小，波长越 长，则绕射现象越显著。绕射现象反映出波的特性。在地震学中，研究震源附近区域内弹性波的传播时需要考虑 波的绕射。
研究
弹性波传播问题的研究可分为理论研究和实验研究两方面。
弹性动力学中的基本波讲诉
fo (x, y, z,t) 0 fo' (x, y, z,t) 0
(2-22)
这种形式的初值条件意味着除了给定的以外，在 介质中没有任何形式的震源。
边值条件包括在波函数求解区域边界上给定待求解 的函数值和在求解区域内部介质分界面上给定的连续 条件，前者称为边界条件，后者称为分界面连续条件。
div us=div ( curl )=0。
这样以 标量位为未知函数的波动方程式（2－8）描述
的是介质某一区域的体积变化—即膨胀或压缩。在这种 状态下介质质点围绕其平衡位置作前进或返回的往返运 动，单元体不作旋转。这种类型的波动称为纵波，经常
用P 表示，也称P波。
由方程式（2－9）所描述的是另一类型的波动。
；在这样2 ,的2分, 界2 面
上自两边介质作用的应力应该相等，正如在介质内部其
它截面上一样。在分界面上应力相等的条件称为应力连
续条件。在x，y，z直角坐标系内取z＝0为两种弹性不
同的介质分界面，xoy面在各个点上与分界面相切(介
质分界面可以是非水平的或弯曲的)。
z＝0时的应力连续条件可以写作：
这样的边界条件称为混合边界条件。
使用非零的边界条件，或称为非齐次边界条件，求
解齐次波动方程式(2-12)、(2-13)或(2-16)，可以代
替求解带震源项的非齐次波动方程式(2-8)、(2-9)，
以研究震源的作用。这时，位于波函数求解区域V以外
的震源作用由V区域边界面S上给出的边界条件所代替。
2 2 2 0
(2-
28)
作为波动方程的解必须满足（2－26）、（2－28）
两类分界面连续条件。
§2-2 声波方程的建立
固体介质中的纵波是一种胀缩应变波，有时称为 疏密波，它与流体中的声波具有同样性质。如果 不考虑固体中的转换波问题，地震波的传播问题 可以使用声波方程来研究。
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fo (x, y, z,t) 0 fo' (x, y, z,t) 0
(2-22)
这种形式的初值条件意味着除了给定的以外，在 介质中没有任何形式的震源。
第二章 弹性动力学中的基本波
弹性体的运动表现为在弹性介质中传播的弹性波。 在本章中将介绍弹性波方程以及在均匀各向同性完 全弹性介质中弹性波的基本类型和它们的特点。
1、弹性波的控制方程 2、声波方程的建立 3、均匀各向同性无限弹性介质中的平面波 4、均匀各向同性无限弹性介质中的球面波 5、均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波 6、波动方程的定解问题
当外力作用停止以后或在没有外力作用的介质部分，讨
论已经发生的弹性振动在介质中的传播情况，使用齐次
波动方程。在式（2－8）和式（2－9）中令
，
可有： 0, 0
2
t 2
2
2
0
（2－12）
2
t 2
2
0
（2－13）
三、波动方程的一般形式
在弹性介质中存在两种类型的波，纵波和横波。其齐
次方程可归纳为：
（1-98）
其中u为位移向量，体变 divu ，F 为体力向量。
方程式（1-98）决定着弹性介质运动状态，决定着振动在
弹性介质中的传播，称为拉梅方程。
§2－1 弹性波控制方程
一、弹性波方程的导出
弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量u所决定。 作为质点位置坐标和时间的函数，位移向量u满足弹性介质运动 平衡微分方程式。根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理，任何一个向量 场可以表示为一个无源向量场及一个无旋向量场之和，所以位移 向量u可以写作：
curlu p curl(grad) 0 (2-10)
此处考虑了us为无散的旋度场
div us=div ( curl )=0。
这样以标量位为未知函数的波动方程式（2－8）描述
的是介质某一区域的体积变化—即膨胀或压缩。在这种 状态下介质质点围绕其平衡位置作前进或返回的往返运 动，单元体不作旋转。这种类型的波动称为纵波，经常
能产生纵波。 拉梅方程
VP
2
VS
(
) grad
2u
F
2u t 2
对上式取散度
对上式取旋度
2
2t
2
2
divF
2
2t
2
curlF
四、初值与边值条件
波动方程一般有无限多的解。求解波动方程，确定 位移场唯一解，要求给出补充条件——初值条件和 边值条件。
首先，求出波动方程的通解。 其次，根据给定的初值、边值条件确定待定系数。 满足条件的解为定解。
2(1 ) 1 (2-20) 1 2
可见纵波速度大于横波速度。对自然界中常见的岩石
来说，＝ ,即 =0.25。具有这种性质的物体称为泊
松体。对泊松体而言， ＝ 1.73；
总结：在均匀各向同性完全弹性介质中，纵波和横
波彼此独立存在和传播，在非均匀介质中，纵波和横波
彼此不能分开、独立传播，即纵波能产生横波，横波也
div(grad) 2
整理后可得：
grad[(
2)2
2
t 2
]
curl[2 2 ] 0
t
（2－7）
在（2－7）式中若两个方括号中的式子为零，则方程
得到满足。因此我们有：
2
t 2
2
2
2
t 2
2
（2－8） （2－9）
方程式（2－8）、（2－9）为非齐次波动方程。
二、纵波和横波
下面是本章要用到的第一章中的公式
xx 2exx
yy
2 e yy
(1-74)
zz
2ezz
xz
exz
yz eyz (1-75)
xy
exy
exx
u x
eyy
v y
ezz
w z
exy
u y
v x
u w exz z x
eyz
v z
w y
(
) grad
2u
F
2u t 2
如果要求确定在时间间隔[0，tm]， 0 t tm
内的波函数值，或称为波场值，要求给出波函数及其对 时间偏导数在t＝0时在所有求解区域上的值：
f (x, y, z, t)t0 f0 (x, y, z)
f t
t0 f0' (x, y, z)
(2-21)
称为初值条件。如果在t=0时刻以前介质是静止的，其 位移等于零，则初始条件应是：
2 f 1 2 f C 2 t 2
(2-16)
其中f=f(x，y，z，t) 为波函数，可以代表表示纵波和横波
的各种物理量，如位移位、体变等，C表示波的传播速度
纵波传播速度：
2
VP
横波传播速度：
VS
(2-17) (2-18)
取纵波和横波传播速度之比 ，
2
(2-19)
用E 和v 表示 、 ，并代入式（2-19），可得：
用P 表示，也称P波。
由方程式（2－9）所描述的是另一类型的波动。
curlu 2 curl(u p us ) curl(curl )
divus div(curl ) 0
(2-11)
此处考虑了up为无旋场，
curl up＝curl (grad )=0。
在这种情况下运动形式是弹性介质单元体旋转，而 不发生膨胀或压缩现象。这种类型的波动，其质点位移 方向与振动传播方向相垂直，因而得名为横波，经常用 S表示，也称S波。
弹性介质运动平衡方程式
2
t 2
2
2
分解为：
2
t 2
2
表明，在均匀各向同性完全弹性介质中存在着两种互相独 立的波动类型。根据关系式
divu
curlu 2
其中 为相对体变， 为弹性介质旋转角位移量，前者表
示介质的胀缩应变，后者表示介质的旋转运动。
不难看出， divu div(u p us ) divu p 2
u u p us grad curl （2－3）
其中 和 称为位移位， 为标量位， 为向量位。
up为标量位的梯度，其旋度为零，称为无旋场；us为向 量位的旋度，其散度为零，称为无散场；即
curl
和（2－3）式类似，对体力向量F 使用场的分解， 将它分为位场部分grad 和旋场部分curl，可有：
F grad curl （2－6）
将（2－3）、（2－6）代入拉梅方程(1-98)，
( )grad 2u F 2u
t 2
（1-98）
( )grad(div(grad curl )) 2(grad
curl
)
( grad
curl)
2 t 2
(grad
curl
)
0
其中除交换微分运算顺序外,还考虑了div curl =0，