二次根式复习课教学设计

《二次根式复习课》教学设计
---- 黄州中学马利民
教学背景
《二次根式》是人教版《数学》初中九年级上册第一章的内容，属于“数与代数”领域。

它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。

本章的主要内容有二次根式的概念、性质、运算和应用。

二次根式的性质的依据是算术平方根的概念。

二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。

这些都说明了前后知识之间的内在联系。

本章的学习将为今后进一步学习根式奠定基础，本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用。

复习目标
1、知识与技能目标
（1）了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则。

（2）用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算。

（3）会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。

2、过程与方法目标
（1）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。

（2）经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。

（3）经历本章的学习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。

3、情感与态度目标
（1）通过常见的情境资料，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，拉近师生之间情感距离，为完成本复习课打下良好的基础。

（2）通过老师的及时表扬，鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生学习数学的兴趣的信心。

（3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。

重点难点
教学重点：运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。

教学难点：运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题要求学生有严密的数学思维，是本节复习课的难点．
教学过程
一、情境引入
【答一答】
如图是由边长为m
1的正方形地砖铺设的地面示意图，
小明要沿着如图所示的路线前进，请问从B
A→所走的路程为m；
若a
BE=,则从C
B→所走的路程为m（结果保留根号）。

设计意图：二次根式是由于实际计算的需要而产生的，计算“行径路程”需要二次根式的知识。

该具体情境的引入，学生既觉得非常熟悉又倍感亲切，结合“勾股定理”全体学生不难回答。

这样的低起点设置，首先能引发全体学生的学习兴趣和积极性、启发他们的探索欲望。

本章知识
1、二次根式的【概念】：
定义1：形如)0
(≥
a
a的代数式叫做二次根式.
强调：二次根式被开方数不小于0。

2、二次根式的【性质】：
(1))0()(2≥=a a a ； (2)⎩⎨⎧<-≥==)
0(,)0(,2
a a a a a a
(3))0,0(≥≥⨯=
⨯b a b a b a (4)
)0,0(>≥=b a b
a b a 3、二次根式的【运算】： 二次根式乘法法则：)0,0(≥≥⨯=
⨯b a b a b a
二次根式除法法则：
)0,0(>≥=b a b a
b
a
二次根式加减运算：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式混合运算：原来学习的运算顺序，运算律（结合律、交换律、分配律），乘法公式（如
22))((b a b a b a -=-+,2222)(b ab a b a +±=±）等仍然适用.
4、二次根式的【化简】：
二次根式计算或化简的结果（即最简二次根式）应符合两点要求： （1）分母中不含根号；
（2）根号内不含分母、小数和能开得尽方的因数.
二、典型例题 【辩一辩】
例1：下列各式中哪些是二次根式那些不是为什么①2
1；
23x ；
)1(1<-a a ；⑧)1(1≥-a a 。

设计意图：判断是否是二次根式的活动，既能调动全班每一位学生积极愉快地参与到数学学习活动，又能使教师在最短的时间内了解到全班每一位学生对二次根式概念的掌握情况，设计这一环节体现了“面向全体学生”和“有效教学”的教学理念。

【求一求】
例2：求下列二次根式中字母的取值范围：
（1）a 5；（2）32-x ；（3）a
-12
；（4）
x
x --
+315
设计意图：通过例题使学生回忆二次根式有意义的定义，判断学生对此知识点的掌握情况，巩固学生对二次根式取值范围的掌握。

【用一用】
例3：利用二次根式的双重非负性求值。

（1）若0)(62
=++-y x x ，求y x -的值；
（2）若522+-+-=x x y ，求
x
y
的值。

设计意图：（1）使学生学会有限个非负数的和等于0，则每个非负数都必须是0，所以求解这类问题常转化为方程或方程组。

再次体验转化的数学思想方法。

（2）设置【例3（2）】是巩固已有经验，第（2）道设置增加了题目的隐含条件的挖掘这方面能力的培养。

【想一想】例4：化简下列各式，并分别说明化简依据。

①2)2(； ②2
)21(-； ③29⨯； ④
4
3。

设计意图：使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的四个性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质。

三、能力训练
【填一填】练1：计算填空。

（1）._______38=⨯（2）
.
_______216
6=（3）._______94423= 设计意图：（1）（2）两道均有两种解法：先乘除再化简和先化简再乘除，教师在这里可以
展开一题不同解法的讨论。

可以对（2
讲解“短除分解法化简二次根式”；（3）注意区分：带分数中的整数和真分数连写表示加法运算，而一个数与二次根号的连写表示乘法运算。

也有两种解法：从里到外或从外到里。

【做一做】练2：计算下列各式。

（1）2
2
)23()3(-+-; （2）2324⋅÷; （3）)3
1
3
12(27--; （4） )13)(26(-+. 设计意图：（1）考察二次幂的算术平方根与积（因式含二次根式）的平方幂的和混合运算；（2）考察二次根式除乘混合运算，强调从左到右的顺序，学生可能先化简的前提下，强调可以一步到位更快；（3）考察去括号法则，化简和合并同类二次根式；（4）回顾多项式乘多项式法则，再次体验类比思想方法。

【选一选】练3：选择正确的答案。

（1）2
2
-=
-x x
x x
成立的条件是（ ） 02
.
≥-x x
A ； 2.≠x
B ； 0.≥x
C ； 2.>x
D . （2）化简22)(x x -+，结果正确的是（ ）
x A 2.-； 0.B 或x 2； x C 2.-或x 2； x D 2..
设计意图：（1）巩固性质4，特别要注意根号内的字母的条件限制；（2）综合考察性质1和2，特别是要学生学会二次根式中隐含条件的挖掘。

【试一试】练4:若a ，b 为实数,且022=-+-b a ,
(1)求2
2
222b a a ++-的值。

(2)若满足上式的a ，b 为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.
设计意图：（1）再次运用“二次根式本身的非负性”解决“确定字母的值”的问题，进而用求的的值解决“求代数式的值”的问题，本题还可以先因式分解再代人求值更快；（2）让学生运用所学的二次根式的知识（结合勾股定理）解决“求线段的长度”问题，让学生体验分类讨论数学思想方法。

四、小结提升 【说一说】
通过本节课的复习，说说你有何收获心里还有何疑虑
五、作业自测 《二次根式复习作业》。