不等式【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若

,a b c d ><，则a c b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，

但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b

c d

>）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>

4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。如

（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______

（答：137x y ≤-≤）；

（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a

c

的取值范围是______

（答：12,2⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2

1

log log 21+t t a a 和的大小

（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11

log log 22

a a

t t +≥（1t =时取等号））；

（2）设2a >，1

2

p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小

（答：p q >）；

（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小

（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当4

13

x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；

当4

3

x =时，1+3log x ＝2log 2x ）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积

定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是

A 、1

y x x =+的最小值是2

B

、2y =的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x =-->

的最大值是2-

D 、4

23(0)y x x x

=-->

的最小值是2-

（答：C ）；

（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：）；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______

（答：3+）；

4.常用不等式有：（1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；

（3）若0,0a b m >>>，则b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。如

如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）

后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：21111111

1(1)(1)1n n n n n n n n n -

=<<=-++--

=<<=如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；

（3）已知,,,a b x y R +∈，且11

,x y a b

>>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222

a b b c c a

a b c +++++>++；