n维向量的内积.ppt

例如：
1 2
1 2
0
0
1
1 2
0
0
, 2
1 2
0
0
, 3
0
1
2
1 2
, 4
0
1
.
2
1 2
就是R4的一组标准正交基 .
1 (1,0, ,0)T ,2 (0,1, ,0)T , ,nT (0,0, ,1)T 是R n 中一组典型的标准正交基。
若 1,2 , ,r 是V的一组标准正交基，那么V中
一，内积
我们知道，几何空间中两个向量a,b的内积（数量 积）定义为：
a b a b cos ,
其 中a , b 分别是向量a,b的长度，是a与b的 夹 角.
R n 中的向量尚未定义长度和夹角，因此不能仿照上
式来定义内积。回顾在中建立直角坐标系后，有向量
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )
当 0 时，
1 1 1,
此时表明
1
是单位向量。由非零向量
得到单位向量 1 的过程称为单位化或标准化.
有了柯西-许瓦兹不等式，就可以在 Rn 中
定义向量间的夹角.
定义3 设, R n，若 0, 0，则 arccos (, ) ,0 ,
称为 与 的夹角.
若（，） 0，则称与 正交（垂直）
4
则由正交条件得到齐次线性方程组：
1 1 1 1 x1
1 1
2 1
1 1
0 0
x2 x3 x4
0
1 1 1 1
1 1 1 1
1
2
1
0
rr32 rr11
0 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 1
1 0 1 2
1 0 1 0
r1 r2
010
-
1
rr122r3r3
的任一向量 应能由 1,2 , ,r 线性表示，
设表示式为 k11 k22 krr .
为求其中的系数
可用 i与上式两端
作内积：
(,i ) k1(1,i ) ki(i ,i ) kr (r ,i ) ki (i ,i ) ki
即 ki (,i )
从而 (,1 )1 (,2 )2 (,r )r , 即是说，在标准正交基下，向量的坐标可以 通过内积简单地表示出来.
内积是向量的一种运算，用矩阵表示，有
b1
（，）
a1 , a 2
,an
b2 b3
T.
性质：
（1）对称性： (, ) (, )
（2）线性性： ( , ) (, ) (, ), (k,) k(,);
（3）正定性： (,) 0,且当 0时有(, ) 0.
由正定性可以引出向量的长度概念。
解：由2 k1与1正交知（2 k1，1） 0，
即（2，1） k（1，1） 0.
1
,
线性无关，
2
1
0，（1，1）０.
从而可以解出： k （（12，，11））.
n=2的几何解释：
2
2
设 1与 2上的投影向量为 ,
则2 1(如图5.1）. 其中
1
图5.1
( 2
cos ) 1 1
2
(2,1) 2 1
可表示为
1T
T2
Tn
(1,2 ,
,n
)
E
1
1
, 1
亦即 (iT j )nn (ij )nn
其中
(ij )nn
1 0
当i j 当i j (i, j 1,2, , n).
这说明，方阵A为正交矩阵的充要条件是
A的列向量都是单位向量，且两两正交.
考虑到 ATA E与 AAT E 等价， 所以上述结论
§5.1 n维向量的内积
前面我们介绍了向量的线性运算，即向量间的 加法和数与向量的乘法运算，并规定了向量的线 性相关性和向量空间基的概念，由此在理论上解 决了线性方程组的求解问题。
但在向量空间中还没有涉及到度量性质，也就 是说还没有考虑向量空间中的向量的大小、向量 间的夹角等问题。在几何空间中，通过向量的数 量积计算向量的长度（两点间的距离）及两向量 的夹角，这些在物理、力学中是很重要的，本节 将以向量的数量积为背景，在向量空间中引入内 积，并赋予相应的度量性质。
2
1,2 ,3 即为所求.
1
例4
已知向量1 为正交向量组.
1, 1
在R
3中求1
,
2
,
使1
,
2
,
3
解 由 (1,2 ) 0,(1,3 ) 0 可知 1,2
应满足方程 1T 0, 即 1 2 3 0.
其基础解系为 0
0
1 1 ,2 1 .
1
1
把基础解系正交化即为所求， 亦即取
2
1 , 3
2
(1 (1
, ,
2 1
) )
1
.
由于
(1 ,2 ) 1,(1,1 ) 2,
于是得
2
1 0 ,3 1
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
三、正交矩阵和正交变换
定义6 如果n阶矩阵A满足：ATA E(即A1 AT ),
则称A为正交矩阵.
若A按列分块表示为A= (1,2 , ,n ),则 ATA E
定义2
对 于n维 实 向 量
（a1, a2 ,
,
a
）T，
n
称 （，）为的长度（或模、范数），
n
记为 ，即 （，）
ai2 .
i1
由定义2及内积的性质易证向量的长度具有 以下性质：
（1）正定性： 0;且 0 0；
（2）齐次性： k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式:
虽然两两正交，但
2 B 0
不是单位向量，
故B不是正交矩阵.
0
例6 设 A (ij)nn ,且 A 1，又 AT A1,
试证A+E不可逆. 证 因A E A ATA A(E AT) A(AT E)
A(AT ET) A(A E)T 上式两端去行列式得
A E A (A E)T A E, 从而 A E 0,
解 （1） (,) 1 2 1 4, 2, 6,
1
arccos(,) arccos 4 arccos
26
6. 3
又 (, ) 1 1 1 0 3, 2, 3,
cos 2
(,)
3 23
,
2 6 .
（2）
设向量
（x 1
,
x
2
,
x
3
,
x
）T与，，都正交,
记作 .
由定义2知： (1) 若 0，则与任何向量都正交；
(2) 0;
(3) 对于非零向量，， 与的夹k角 i(i1,2,r) 为 . 2
例1 设α (1,1,1,1)T,β (1,2,1,0)T,γ (1,1,1,0)T,求：
(1) 与的夹角1及与的夹角2; (2) 与,, 都正交的所有向量.
由于1,2 , ,s两两正交， 当i j时，（i , j） 0， 所以ki (i ,i ) 0
因i 0,(i ,i ) 0,故ki 0(i 1,2, ,s), 这表明 1,2 , ,s 线性无关.
定义5 设1,2 , ,r是向量空间V（V R n） 的一组基，若它们两两正交，则称 1,2 , ,r 是向量空间V的一组正交基； 当正交基 1,2 , ,r 是单位向量时，则称 这组正交基为向量空间V的一组标准正交基 （或称规范正交基）.
y x 说明经正交变换后，线段的长度保持不变，
这是正交变换的优良特征.
(,)2 2 2,即(,)2 （，）（，）
n
n
n
亦即： aibi
ai2
bi2 ,
i1
i1
i1
且等式成立 是与线性无关.
性质（1）、（2）、（3）由读者完成，下证（4）：
证明：
若，线性相关 k R，使 k或 k 以 k为例,有
（，）（，k) k(,) k (,) (, )(,) k2(, )2 k (, )
1
3
1 2
0
1 2
3
3
(1 ,3 ) (1 ,1 )
1
( 2 ( 2
,3 ,2
) )
2
1 1 0
2 3
1 1 1
1 3
6 9
1 3
2 3
1 3
1 2
0
1 2
再把它们单位化，取
1
1
1 1
1
1 3
1, 1
1
2
1 2
2
1 6
2 1
,
2
3
1 3
3
1
2
0 ,
1 1
(2 , 1 ) (1 , 1 )
1
因此
2 k1
2
(2 (1
, 1 ) , 1 )
1
2
与1正交.
二、标准正交基与施密特（Schimidt)方法
定义4 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基.
由上述定义可知：
（1） 1,2 s是正交向量组 （i ,i） 0;(i , j) 0(i Hale Waihona Puke Baiduj).
（2）
1,2 s是标准正交向量组
（i , j）
ij
1, 0,
i j .
i j
定理1 若n维向量 1,2, ,s是一组两两正交
的非零向量，则 1,2 , ,s线性无关.
证明：若有常数k1, k2 ,
,
k
使
s
k11 k22 kss 0,
则上式两端与 i 作内积可得
0 (0,i ) (k11 k22 kss ,i ) k1(1,i ) k2(2 ,i ) ks(s ,i )
的向量1,2 , ,r ,可用施密特正交化方法转换成
一组正交向量组1,2 , ,r , 其中
1 1;
2
2
(1 , 2 (1 ,1
) )
1
;
r
r
(1 , r (1 ,1
) )
1
( 2 ( 2
,r ,2
) )
2
(r1 , r ) (r1 ,r1 )
r1
而且 1,2 , ,r与1,2 , ,r 等价，进而令
1
1 1
1 ,
2
1 2
2,
,
r
1 r
r
,
就得到V的一个标准正交向量组.如果 1,2 , ,r
是V的基，则 1,2 , ,r是V的标准正交基.
上述由线性无关向量组1,2 , ,r 导出正交化 向量组 1,2 , ,r 的施密特正交化的过程，不仅 满足1 ,2 , ,r与1,2 , ,r 等价，还满足：对
任何 k(1 k r) ,向量组 1 ,2 , ,k与1 ,2 , ,k
等价.
例3
设
1
1 1,2
1 0,3
1 1 ,
试用施密特
1
1
0
正交化过程把这组向量标准正交化.
解
取
1 1 1 1;
1
2
2
(1 , 2 (1 ,1
) )
1
1 0 1
2 3
1 1 1
对A的行向量也成立. 由此可见，正交矩阵A的n个
列（行）向量构成向量空间 R n 的一个标准正交基.
例5 设
1 3
2 3
2 3
2 0 0
A
2 3
1 3
2 3
,
B 0
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
0
1 2
1 2
则A的每个列（行）向量都是单位向量，而且
两两正交，所以A是正交矩阵。 B的各列（行）
即有 ( .
若线性无关 对任何实数k,
都有k 由内积的性质得
(k k ( k2 2(k ( 0, 此式说明实系数方程
( x 2 2(,x (
无实数根，其判别式：
4( 4(
即（ 2 2
证毕
长度为1的向量称为单位向量。由长度的正定性及 齐次性可知：
设1,2 , ,r 是向量空间V的一组标准正交基， 也就是要找到一组两两正交的单位向量 1,2 , ,r , 使 1,2 , ,r与 1,2 , ,r 等价， 此问题称为把 1,2 , ,r 这组基标准正交化.
为此，我们给出一个不予证明的定理：
定理2 向量空间V (V Rn )中的任意 r个线性无关
的计算公式：
3
a b aibi
i 1
于是我们可以相仿地引入 Rn中的内积概念。
定义1 设n维实向量
称实数
a1
aa32 ,
b1
bb32 ,
n
aibi a1b1 a2b 2 anbn
i1
为向量 与 的内积，记作（，），
即
n
（，） aibi a1b1 a 2b 2 a nbn . i 1
即A+E可逆.
在第三章的例2中我们曾介绍了的线性变换y=Px, 现在又引进了正交矩阵的概念，于是有： 定义7
若P为正交矩阵，则y=Px线性变换称为正交变换. 设y=Px为正交变换，则有
y (y, y) yT y xTPTPx xTx (x,x) x .
这里 x 表示向量的长度，相当于线段的长度，
0
10
0 ,
0 0 0 - 1
0 0 0 1
得简化的齐次线性方程组
x1
x
2
x3 x2
0 0,
x4 0
得其基础解系为 (1,0,1,0)T
故得与，，都正交的所有向量为： k(1,0,1,0)T , k R.
例2 设1,2( Rn ) 线性无关，求常数k，使 2 k1与1正交 .并就n 2对所得结果 作出几何解释.