新人教版17.1勾股定理第一课时课件
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八年级数学(新人教版)17.1《勾股定理》第1课时课件(PPT.共15张)
将上面的题的“离地2m的地方断裂”改为“木杆的总长度 为8m”，“杆顶离赶脚距离为4m”等条件不变，求木杆在 什么地方断裂？ 提示：在Rt△ACB中，根据勾股定理建立一个方程（参考1 题的方法），问题可获得解决！
巩固练习：
1. 图中边上标注的数字和字母代表边长，请快速求出图中未知数的值：
2. a、b代表直角△ABC的锐角∠A和∠B，c为斜边，请根据条件填空： （1）. 若a：b=1:2，c = 5，则a = （ （2）. 若a + c = 10，b = 4，则a =（ （3）. 若∠A =30°，b = 2，则则a =（ ）， b = （ ）， c = （
略解： 在Rt△ABC中，根据勾股定理可知：
用木板的最短边 （宽）与门框的 最长的入口处AC （对角线）比较 是本题的切入点.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木 板能从门框内通过.
书上同步练习P26（学生练习，教师在 互动中给出答案）
1小题：
1小题：
例2（教材P25)
分析：本题的关键是抓住移动梯子AB移动的 距离BD = OD – OB,而OD 和OB可以 化归在Rt△CDO和Rt△ABO中利用勾 股定理求得. 略解： 在Rt△CDO,根据勾股定理有：
在Rt△ABO中，根据勾股定理有：
一圆柱形的柱子，它的高 是8米，底面半径是2米，一 只壁虎在A点，想要吃到B点 的昆虫，它爬行的最短距离 是多少？（圆周率取3）
故移动梯子AB顶端下滑0.5m时，梯子 的底端并不是也移动了0.5m,而是移动 了0.77m.
1.如图,折叠长方形纸片（四个角都是直角，对边相等） 的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）.你能说出图中哪些线段的长? （2）.求线段EC的长.
巩固练习：
1. 图中边上标注的数字和字母代表边长，请快速求出图中未知数的值：
2. a、b代表直角△ABC的锐角∠A和∠B，c为斜边，请根据条件填空： （1）. 若a：b=1:2，c = 5，则a = （ （2）. 若a + c = 10，b = 4，则a =（ （3）. 若∠A =30°，b = 2，则则a =（ ）， b = （ ）， c = （
略解： 在Rt△ABC中，根据勾股定理可知：
用木板的最短边 （宽）与门框的 最长的入口处AC （对角线）比较 是本题的切入点.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木 板能从门框内通过.
书上同步练习P26（学生练习，教师在 互动中给出答案）
1小题：
1小题：
例2（教材P25)
分析：本题的关键是抓住移动梯子AB移动的 距离BD = OD – OB,而OD 和OB可以 化归在Rt△CDO和Rt△ABO中利用勾 股定理求得. 略解： 在Rt△CDO,根据勾股定理有：
在Rt△ABO中，根据勾股定理有：
一圆柱形的柱子，它的高 是8米，底面半径是2米，一 只壁虎在A点，想要吃到B点 的昆虫，它爬行的最短距离 是多少？（圆周率取3）
故移动梯子AB顶端下滑0.5m时，梯子 的底端并不是也移动了0.5m,而是移动 了0.77m.
1.如图,折叠长方形纸片（四个角都是直角，对边相等） 的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）.你能说出图中哪些线段的长? （2）.求线段EC的长.
新人教版17.1.1勾股定理第一课时.ppt
C
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直边的平方和等于斜边的平方
SA+SB=SC
Ｂ 6、8、10 Ｄ 8、10、12
提高训练
3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为_____4_9_____cm2。
C D
B A
7cm
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
ac
a2 b2 c2
2002年国际数学家大会会标
弦图
它标志着我 国古代数学 的成就！
这个图形里 到底蕴涵了什 么样博大精深 的知识呢？
勾股定理
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著 名的哲学家、数学家、天文学家。
A
B
C
SA+SB=SC
SA+SB=SC
C A
B
图甲
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 4 4 8
勾股命定题1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两的直角两边直长角分边长分 别为别a为,ba,,斜b, 斜边边长长为为c,c那, 那么么aa22 b2 cc22..
用赵爽弦图证明勾股定理
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
小结：
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
最新人教版17.1《勾股定理》(1)PPT课件
勾
弦
勾股
股
考一考:
1.求下列图中字母所代表的正方形的4
169
①
②
2. 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的
周长为30 .
１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对 角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
( C)
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
B
３
C
４
A
②
①？
Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，
能否求出AB的长？
A C D
四、归纳小结
1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分 别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c.2 2、赵爽弦图利用了__面_积____关系进行勾股定理的
证明.
3、学习反思：
_____________________________
点
二
∵ S大正方形
D
C
勾 股
＝4S直角三角形+S小正方形
定
＝4×_______+ （_b_-_a_ ）2
理 的
＝__2_a_b_+__b_2_-2_a_b__+_a_2________ ＝__a_2_+_b_2_________________
b
a
证
A
c
B
明
又∵S大正方形＝C2
∴_____a_2+____b__2=______c_2
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分 别为a,b,斜边为c，那么a²+b²=c²
弦c 股b
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
┏
勾a
a2+b2=c2
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)
图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是
人教版八年级下册《17.1勾股定理》第一课时公开课教学课件 (共28张PPT)
B
A C
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1 9
25 34
图2
C
图2 4 9 13
A
图1
B
每个小方格的面积均为1 图18.1-2
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SASBSC
a²+b²=c²
1
2
补全
分割
勾股定理
由上面的例子，我们猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
合作 & 交流☞
a2 c2 b2, b2 c2 a2;
bc a
3.作用：已知直角三角形任意两边长，
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
学以致用
巩固
提高
拓展
x 看图求出正方形的面积 的值。
144 x
81
36 x
100
返回主界面
学以致用
巩固
提高
拓展
.求下列直角三角形中未知边的长: 5
8
17
x
x
16
20
x 12
我知道了… … c2=a2+b2
知识延伸
神 奇 的 毕 达 哥 拉 斯 树ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
新人教版17.1勾股定理1课件
c a
b
大正方形的面积可以表示为：
1 (2). ab 4 (a b) 2 2 2 所以：c 2ab (a b) 2
(1).c 2
化简得： a 2
b c
2
2
2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图 本网站版权所有 案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
17.1勾股定理
藤县太平四中 莫素芳
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、
天文学家。相传2500多年前，有一次他在朋友家做客时，发现朋 友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系， 进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
正方形A、B、C面积之间有 什么数量关系吗？
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 弦 c 勾a 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ b
股
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第 三条边长.
2 2 2 c =a +b 2 2 2 a =c -b 2 2 2 b =c -a
A
b c
C
a
B
本网站版权所有
用四个全等三角形拼图证明。
证法一： 用 拼 图 法 证 明b
.a、b、c 之间的关系 2 a 2 +b 2 =c
a c b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab
bS大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a=4·1 ab+c2
c a
=c2+2ab b ∴a2+b2+2ab=c2+2ab 2 2 2 ∴a +b =c
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
新人教版勾股定理第一课时课件
c
b a
1 ab 4 (b a)2 c2 2
c
∴a²+ b²= c²
b
两直角边的平方和 = 斜边的平方 a
美国总统证法： D
（美国第二十任总统伽菲尔德)
C
bc
梯形的面积=3个直角三角形的面积
c
a
Aa
bB
1 (a b)(a b) 1 ab 2 1 c2
2
2
2
∴a²+ b²= c²
c
弦 勾
勾股
股
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代 是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期 西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。 "什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的 手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。商高那段 话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 （短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后 人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五"。由于勾股 定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定 理叫作"商高定理"。
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪
华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟 不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解 的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥 拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系， 于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB 为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的 面积和。他很好奇.... 于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另 一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就 是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假 设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。 那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。
17.1.1 勾股定理(1) 公开课获奖课件
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2＋b2＝c2.
(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般 的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之 多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示． ②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你 能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证 法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边 有关，我国把它称为勾股定理．
拼图实验，探求新知 1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生 观察思考． 2．组织学生小组合作学习． 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法． 引导学生用拼图法初步体验结论． 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面 积和． 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明． 归纳验证，得出定理
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
人教版八下17.1.1勾股定理(第一课时公开课课件)
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么
a2 b2 c2.
1.成立条件： 在直角三角形中；
2.公式变形: a2 c2 b2 , b2 c2 a2;
b
c
3.作用：已知直角三角形任意两边长， a
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=2， c=5，求b.
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A a
SA+SB=SC
Bb c
C
a2+b2=c2
命题（猜想）：
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
弦
c
股
b
a2+b2=c2
┏
勾a
四、勾股定理的证明
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？
看
发们映友 现，直家
一
什我角作 相 么们三客 传
看
？ 也 角 ， 25 来 形 发 00
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图2
C
A
B
图3
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
图2
4
9
13
图3
9 25
34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
猜想：
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股 命题定1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两直 的角两边直长角分边长分
C C
bC a
C
a
b
它们的面积和 : a2 b2 它的面积为 : c2
a2 b2 c2
伽菲尔德证法:
a
bc
c a
b
s梯形=
1 (a+b)(a+b)=
2
1 (a2+2ab+b2)
2
= 1 a2+ab+ 1 b2
2
2
s梯形=2×
1 ab+ 1 c2=ab+ 1 c2
2
2
2
∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2
17.1 勾股定理
勾股定理——千古第一定理
c a
b
情景1：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到 每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果云梯 的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三 楼灭火?
情景2：小明的妈妈买了一台29英寸（74厘米）的电 视机，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了， 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理: 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b, 斜边长为c, 那么a2 b2 c2.
勾 股
勾 a c弦
股b
部分称在为中“国∵勾古在”代，R，下人t∆半们A部把B分弯C称曲中为成“直,∠股角”的C．手=9我臂0国的0 古上代半 学者把直角∴三a角2+形b较2=短c的2 直角边称为“勾”，较长
勾股定理——千古第一定理
c a
b
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家 的地砖铺成的地面上找到了答案，同学们看看图中有没有直 角三角形，从中你能找到答案吗？
A
B
ab
c
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
B
A C
试一试:
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12
米,则AB为
(A)
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
2
2
2
∴a2+b2=c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．
还有其他证明方法吗？
c
a
b
1、证明: ∵ss大 s大大正正正方方方形形形===(sac大+2+b正4)×方2=形12aa2+b2=acb2++2ba2 b ∴a2+2ab+b2=c2+2ab ∴a2+b2=c2
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年希 年腊希曾腊经曾经发发行行了了一一枚枚纪念纪票念。邮票。
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
别为 别为 a,ba,,b斜, 斜边边长长为为cc,,那那么么aa22 bb22 cc22..
大正方形面积: c2
还可看作四个直角三角形和一个小正方形
a
c 之和: 4 1 ab (b a)2 c2
b
2Байду номын сангаас
cb
a 2ab (b2 2ab a2) c2
即： a2 b2 c2
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC .
6?
B 3D C
练一练 已知:如图,等边△ABC的高AD是 3 .
(1)求边长;
A
(2)求S△ABC .
2x 3
B xD C
图1-1
图1-2
例题分析
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
A
13
?
C 12 B
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续
偶数,则它的三边长分别为
( B)
A 2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
试一试:
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为 5 或 7 . B
B
4
4
C3 A
A3 C
例题分析
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .