离散数学重点难点复习提纲
离散数学重点难点
第一篇数理逻辑用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。
这里所指的数学方法，就是引进一套严格定义的符号体系的方法，即建立一套形式语言，来研究形式逻辑。
所以数理逻辑又称作符号逻辑，它是从量的侧面来研究思维规律的。
现代数理逻辑可分为逻辑演算，证明论，模型论，递归函数论，公理化集合论。
这里介绍的是数理逻辑基本的内容：逻辑演算中的命题逻辑和谓词逻辑。
数理逻辑与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切联系。
第一章命题逻辑(11学时)本章是以“命题”为中心，主要讨论：命题的表示、命题的演算；命题演算中的公式，及其应用；命题逻辑推理的方法。
本章要求1.逻辑联结词，要熟练掌握联结词的真值表定义以及它们在自然语言中的含义。
其中特别要注意“∨”和“→”的用法。
2.会命题符号化。
3.掌握永真式的证明方法：(1).真值表。
(2).等价变换，化简成Ｔ。
(3).主析取范式。
4.掌握永真蕴含式的证明方法，熟练记忆并会应用43页中表1-8.3中的永真蕴含式。
5.掌握等价公式的证明方法，熟练记忆并会应用43页表1-8.4中的等价公式。
6.熟练掌握范式的写法及其应用。
7.熟练掌握三种推理方法。
本章主要内容本章主要有以下章节：第一节．命题及其表示法第二节．联结词第三节．命题公式及命题符号化第四节．重言式与重言蕴含式第五节．等价公式第六节．范式第七节．命题逻辑推理本章重点、难点联结词在自然语言中的含义，命题符号化永真式、永真蕴含式、等价公式的证明方法，相关公式的熟练应用范式的写法及其应用命题逻辑的三种推理方法第二章谓词逻辑(9学时) 在第一章命题逻辑中，把命题作为演算的基本单位，一个原子命题只用一个字母表示，而不再对命题中的句子成分及其内部结构进行分析。
这样就无法研究命题的更深层次的结构与意义，鉴于上述局限性，使得我们对于一些常见而又简单的命题无法进行解释与推理。
所以就要考虑解决这个问题的方法：在表示命题时，既表示出主语（主词），也表示出谓语（谓词），就可以解决上述问题。
离散数学复习提纲
《离散数学》期末复习一、期末考试题型试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有15题，分数占60％；化简解答题与计算题及证明题，共占40％。
各章分数的比例大致与其所用课时比例相同。
单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。
单项选择题给出四个备选答案，其一正确。
填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。
化简解答题与计算题主要考核同学们的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
二、各章复习要求和重点第1章命题逻辑复习要求1. 命题及其联结词。
命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义，六个联结词。
2. 命题公式及分类。
在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；真值表3. 命题的判定及命题演算的推理理论。
推理方法有：真值表法；等值演算法；主析取范式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.。
第2章一阶逻辑复习要求1.谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词 量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”2. 2.公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材).命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式3. 解释(赋值)，谓词公式A的个体域D是非空集合，则(1) 每一个常项指定D中一个元素；(2) 每一个n元函数指定D n到D的一个函数；(3) 每一个n元谓词指定D n到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。
一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。
二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。
1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。
四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。
五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。
1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。
《离散数学》复习重难点
《离散数学》复习重点0000第一章命题逻辑的基本概念000一、命题公式的类型：重言式矛盾式可满足式0000二、给出公式的成真赋值、成假赋值0000例：p q 成真赋值为01 00 11000三、判断公式类型0000四、题目：P15 20 21 0000P13 6000第二章命题逻辑的基本概念000一、熟记等值演算判断公式的类型0000二、求公式的主析取范式和主合取范式00001 方法1 等值演算00002 方法2 真值表0003 主吸取范式和主合取范式的关系0000第三章命题逻辑的推理理论000一、推理定理P46000二、自然推理系统0000三、题目：P50 例3.5 例3.6 P53 14 15 180000第四章一阶逻辑的基本概念000一、在一阶逻辑中将命题符号化00001 注意：同一命题在不同个体域中符号化形式可能不一样000二、习题:P57 例4.2 P65 2 4 50000注意：例4.2中任意用蕴含，存在用合取0000第五章一阶逻辑等值演算与推理0000这章不是重点，不考0000第六章集合代数0000一、P85 定理6.1 定义6.50000二、运算：00001 相对补对称差00002 交并补0000第七章二元关系0000一、笛卡尔积A*B={<x，y>|x∈A∧y∈B}000二、二元关系P104 定义7.40000三、集合的表示方法：集合表达式关系图关系矩阵0000四、关系的运算00001 关系的定义域 domR = {x|∃y(<x，y>∈R)}0000关系的值域 ranR={y|∃x(<x，y>∈R)}00002 复合运算（右复合）0000错误！未找到引用源。
={<x，y>|∃t（<x，t>∈F∧<t，y>∈G）}000 03 关系的逆运算错误！未找到引用源。
0000错误！未找到引用源。
={<x，y>|<y，x>∈R}0004 恒等关系错误！未找到引用源。
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图的同构,(自)补图
2. 通路、回路(简单,初级(基本))、
连通性(可达性,割集,性,关联).
4.最短路径及关键路径.(单源问题的迪克 斯特拉Dijkstra算法,求最早(迟)完成时 间TE(TL),关键路径)
推论 I9：P∨Q，～ P∨R Q∨R 归结原理
基本等价式——命题定律 Equivalence
E1： P P 对合律、双重否定律
E2：P∨P P
等幂律
E3：P∧P P
E4：P∨Q Q∨P
交换律
E5：P∧Q Q∧P
E6：（P∨Q）∨R P∨（Q∨R）
结合律
E7：（P∧Q）∧R P∧（Q∧R）
恆等性(幺元),零元,逆元,等幂元,可约 性,可分配性----运算表判定; 2.子代数(运算封闭);积代数.
3. 同态与同构。 <S,*, ⊿,k> ,<S’,*’, ⊿’,k’>, f:S S’,a,b S,
f(a*b)=f(a)*’f(b), f(⊿a)=⊿f(a), f(k)=k’; f为单射,满射,双射时,分别为单一同态,满 同态,同构;S=S’时叫自同态自同构。
第3章 集合的基本概念和运算
一.集合:基本概念、并交补差对称差运 算、集合的幂集（幂集的基数定理）, 包含排斥原理(集合的计数)。(与)
集合:E,Φ,-,∩,U,=,
命题:T, F, , , , ,
IA1UA2U…UAnI=IAiI(i=1…n)IAi∩AjI(1≤i<j≤n)+IAi∩Aj∩AkI(1≤i <j<k≤n)-…+(-1)n-1IA1∩A2∩…∩AnI
2.命题公式的等价(,自,对,传) 、基本 等价式(E1—E24),p9
离散数学复习提纲(完整版)解析
《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）一、命题逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]1、公式类型的判定判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）解：（1） 真值表因此公式（1）为可满足。
离散数学复习提纲(1-457章)
离散数学复习提纲第一章 命题逻辑1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。
2．试求下列公式的主析取范式：（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（P ∧⌝P ）↔Q（2）⌝（P →Q ）∧Q（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）(an: 解：（1）真值表)（2因此公式（2）为恒假。
（3因此公式（3）为恒真。
4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。
）5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）（an: 1、证明：（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R= 1 ∨⌝P ∨R= 1（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））=1）6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →(an: 证明：2006年12月离散数学复习提纲 3（1）Q P ∨⌝ 规则P（2）Q P → 规则Q （1）（3）R Q ∨⌝ 规则P（4）R Q → 规则Q （3）（5）R P → 规则Q （2）（4）（6）R →S 规则P（7）P →S 规则Q （5）（6） )7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)（1）A 规则D（2）A ∨B 规则Q （1）（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）（5）D 规则Q （4）（6）F D ∨ 规则Q （5）（7）E F D →∨)( 规则P（8）E 规则Q （6）（7）（9）E A → 规则Q （1）（8））8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P（an: （1）┐Q ∨R（2）┐R（3）┐Q（4）┐（P ∧┐Q ）（5）┐P ∨Q（6）┐P ）9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。
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《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明)一、命题逻辑[复习知识点］1、命题与联结词(否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔）,复合命题2、命题公式与赋值(成真、成假）,真值表,公式类型（重言、矛盾、可满足),公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论本章重点内容:命题与联结词、公式与解释、(主)析取范式与（主)合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理［复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法.2、理解公式与赋值的概念;掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取(合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取)范式的方法.4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析］1、公式类型的判定判定公式的类型,包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。
具体方法有两种，一是真值表法,二是等值演算法。
2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律）,结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语(或子句）只保留一个.3、逻辑推理掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法(直接证明法、附加前提证明法和归谬法）. 例1.试求下列公式的主析取范式:(1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()())(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）2．用真值表判断下列公式是恒真?恒假？可满足？（1)（PP ）Q （2)（P Q)Q （3）（（P Q)(Q R ））（P R) 解：（1） 真值表 P QP P P （P P)Q 0 01 0 1 0 11 0 0 1 00 0 1 1 1 0 0 0因此公式(1)为可满足.（2） 真值表P Q P Q （P Q) （P Q）Q0 0 1 0 00 1 1 0 01 00 1 01 1 1 0 0因此公式（2）为恒假。
离散数学-复习提纲
第4.1节 代数系统
定义：设(A,*)是代数系统，如果对于A中任意 元素a和b，都有a*b = c∈A，则称二元运算*对 于A是封闭的，简称*为封闭运算。 例：
(R，＋)、(R，－)、(R，×)、(R，÷)是封闭 的 (Z，＋)、(Z，－)、(Z，×)是封闭的
(Z，÷)是不封闭的
第4.1节 代数系统
<R, × >, <Q, × > 是群?
第4.3节 群
对于(Nk,k)，情况特别。 ⑴(Nk,k)不是群。因为1是幺元，0没有逆 元。 ⑵k为偶数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=6，364=0。 ⑶k为奇数时，(Nk-{0},k)不一定是群。如 k=9，396=0。 ⑷k为素数时，(Nk-{0},k)一定是群。
第3.2节 特殊函数
定义：设f是A到B的映射， 若对任意的x,y∈A,x≠y时， 均有 f(x)≠ f(y)，则称f为A到B的单射。 若f(A)=B，则称f是A到B上的满射。 若f既是满射又是单射，则称f为A到B的双射, 或1––1映射，或一一对应。
例：设集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},那么在A 到B中，可以定义多少种不同的单射函数？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 第一行固定， 第二行从B中4个元素取3个做排列，P34。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是代数系统，且*满足： ⑴运算*对于A是封闭的 ⑵运算*是可结合的 ⑶(A,*)含有幺元 则称(A,*)为独异点。
例：代数系统(R,＋)、(Q,＋)、(Z,＋)都是独 异点，即含幺元0的半群。
第4.2节 半群与独异点
定义：设(A,*)是独异点，B是A的子集，如果 (B,*)也是独异点，且(A,*)中的幺元也属于 (B,*)。则称(B,*)为(A,*)的子独异点。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
离散数学期末复习要点与重点
离散数学期末复习要点与重点离散数学是计算机科学及其他相关学科中的一门重要的基础课程。
它主要研究离散的结构和对象，以及它们之间的关系和性质。
离散数学的核心内容包括集合论、关系、图论、布尔代数和逻辑等。
下面是离散数学期末复习的要点与重点。
一、集合论1.集合的基本概念，包括元素、子集、幂集、集合的运算等。
2.集合的性质，如交换律、结合律、分配律等。
3.集合的表示方法，包括列举法、描述法、特征函数法等。
4.集合的运算，如并、交、差、对称差等。
5.集合的关系，包括子集关系、相等关系、真子集关系等。
二、关系1.关系的基本概念，包括序偶、笛卡尔积、关系的定义等。
2.关系的性质，如自反性、对称性、传递性等。
3.关系的表示方法，包括关系矩阵、关系图、关系表等。
4.关系的运算，如复合、逆、幂等等。
5.等价关系和偏序关系的特性和性质。
6.关系的闭包，包括自反闭包、对称闭包、传递闭包等。
三、图论1.图的基本概念，包括顶点、边、路径、环等。
2.不同类型的图，包括无向图、有向图、简单图、多重图等。
3.图的表示方法，包括邻接矩阵、邻接表等。
4.图的遍历算法，包括深度优先（DFS）和广度优先（BFS）。
5. 最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。
6. 最短路径算法，包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
四、布尔代数1.布尔代数的基本运算，包括与、或、非等。
2.布尔函数的最小项和最大项表示方法。
3.布尔函数的化简，包括代数化简和卡诺图化简。
4.布尔函数的特性，包括恒等律、零律、单位律等。
5.布尔函数的逻辑门电路实现，包括与门、或门、非门等。
五、逻辑1.命题逻辑的基本概念，包括命题、命题变量、逻辑联结词等。
2.命题逻辑的语法，包括命题公式的形式化定义和语法规则。
3.命题逻辑的证明方法，包括直接证明、间接证明、反证法等。
4.谓词逻辑的基本概念，包括谓词、量词、合取范式等。
5.谓词逻辑的语义，包括赋值、满足关系等。
离散数学辅导大纲
离散数学期末复习提纲一、基本概念:1.数理逻辑中使用哪8条推理规则?其中哪几条规则的使用是有条件限制的?2.把实际问题符号化时,全称量词对应哪个逻辑连接词?存在量词对应哪个逻辑连接词?3.一个谓词公式一经量化就是一个确定的命题,假设个体域为S={1，2，3，⋯}如何确定(∀x)A(x)和（∃x）A(x)的真值？4.何为极小项(极大项)?极小项(极大项)一定是基本积(基本和)吗?5.何为判定问题?解决判定问题的途径是什麽?6.对偶式和对偶原理相同吗?7.一个谓词公式的前束范式具有什麽样的结构?8.⎨⌝,∧,∨⎬是最小功能完备集吗？为什麽？9.设A和B为任意两个集合，A⨯B一定是二元关系吗？10.一个关系可能具有哪些性质？每种性质的形式化描述如何？11.如何从一个关系的关系矩阵来判断其性质？在关系上可以进行哪些运算？12.R*和R+的意义各是什麽？13.我们都介绍了哪些特种关系？它们的形式化定义是什麽？14.划分和什麽关系相对应？覆盖和什麽关系相对应？15.盖复和覆盖是同一个概念吗？什麽关系使用哈斯图？画哈斯图时用到什麽概念？16.极大员、极小员、最大员、最小员和上界、下界、上确界、下确界定义的根本区别在哪里？17.是关系一定是函数，是函数一定是关系这两句话哪一句是正确的？18.一个关系若存在，则其逆关系一定存在；一个函数若存在，则其反函数一定存在这两句话哪一句是正确？19.我们介绍了哪些特种函数？20.当一个函数满足什麽条件时，就是运算？一个零元运算又叫集合X中的特异元素，我们介绍了哪些特异元素？21.两个无限集通过什麽方法比较大小？22.何为两个代数系统的同态，同构？23.何为同余关系？一个同余关系会造成一个集合的商集，一个商集一定是原集合的覆盖吗？24.何为群？寻找子群的Laglangre定理？25.何为格？何为布尔代数？一个元素的补元唯一吗？如果存在一个元素没有补元，还能构成格吗？26.何为图（指图的抽象数学定义）？图的度？d度正则图指的是有向图还是无向图?何为路径?从V i到Vj可达，从Vj到V i一定可达吗？强连通，单向连通，弱连通是指有向图还是指无向图而言？何为一个结点的可达集？设图的邻接矩阵为A，A中行上1的个数，列上1的个数各代表什麽含义？A²和A'²'中的元素含义各是什麽？何为欧拉图？何为哈密顿图？是哈密顿路一定是欧拉路，是欧拉路一定是哈密顿路，这两句话哪一句正确？二元树和二叉树的概念相同吗？什麽是叶加权最优二叉树？公式∑W(V)∙L(v)中各参数的含义是什麽？v∈V27.遍历二叉树有几种方法？二．能够熟练解决以下问题：1．命题逻辑中通过求主范式进行判定的问题。
离散数学复习提纲
离散数学复习提纲集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ? B且B ? A传递性，对全集、空集的?关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x?A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ?ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为称a为的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，={{a1},{a1,a2}}n>2时，=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = { | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。
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第一部分数理逻辑
第一章命题逻辑
重点：
●熟练掌握联结词的定义；
●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；
●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；
●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；
●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：
1.直接证法
2.反证法
3.CP规则
难点：
●如何正确地掌握对语言的翻译；
●如何利用推理方法正确的完成命题推理。
第二章谓词逻辑
重点：
●谓词、量词、个体域的概念；
●谓词逻辑中带量词命题的符号化；
●熟记基本的谓词等价公式；
●求公式的前束范式；
●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：
●谓词逻辑中带量词命题的符号化；
●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论
第三章集合与关系
重点：
●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；
●幂集的概念以及和子集的关系；
●序偶和笛卡尔积的概念；
●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；
●关系的复合；
●关系的五种性质及其判断和证明；
●关系的闭包；
●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；
●偏序关系的定义和证明，哈斯图；
●偏序关系中的特殊元素；
难点：
●如何正确证明集合之间包含和相等关系；
●如何正确地理解和判断关系的性质；
●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；
●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；
●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。
第四章函数
重点：
●能够判定某个二元关系是否是函数；
●几种特殊的函数：满射，单射，双射；
难点：
●如何正确地判断三种特殊函数。
第三部分代数结构
重点：
●理解代数结构的构成和研究方法；
●代数结构中运算的性质以及特殊元素；
●广群⇒半群⇒独异点⇒群；
●群的定义与性质；
●环与域的判断和证明；
●格的两种定义；
●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；
●有补分配格与布尔代数之间的联系；
难点：
●循环群的判断和证明；
●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系
和区别；
●如何正确理解布尔代数的概念。
第四部分图论
重点：
●掌握图论的基本定理：握手定理及其推论的内容，并且能灵活地应用
（如已知边数和一些结点的度数，求另一些结点的度数等），在图论
中的很多证明都要用到握手定理及推论。
●熟悉图的矩阵表示，在理解通路和回路相关概念的基础上，掌握可达
性及其判断；
●掌握欧拉图和哈密尔顿图的性质与判断；
●二部图概念及其应用；
●平面图及其着色问题在实际中的应用；
●树的概念和性质；
●树中有一个很重要的性质：m=n-1 。
此定理常与握手定理配合使用，
更显其重要性；
●最小生成树；
●M叉树相关概念和应用；
难点：
●实际问题如何抽象成恰当的图论模型；
●如何正确理解一些特殊图形（如哈密尔顿图）判定的必要条件，及其
逆否命题的应用。