2005年北京理工大学量子力学考研真题-考研真题资料
量子力学简答题题库
量子力学简答题题库1、什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下:① 每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
② 光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
③ 光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光的产生都几乎是瞬时的。
④ 入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：⑴电磁波能量被集中在光子身上，而不是像波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
⑵所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
⑶ 光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：hv =A +1mv 2，这就是爱因斯坦光电效应方2程。
其中，h是普朗克常数；f 是入射光子的频率。
2、写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式：E = =hvP = k =h3、简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
①波函数应满足归一化条件；②波函数应满足有限性、连续性、单值性。
北京理工大学(已有10试题)
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北京理工大学物理学院考研知识点
本资料由理硕教育整理，理硕教育是全国唯一专注于北理工考研辅导的学校，相对于其它机构理硕教育有得天独厚的优势。
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因为专一所以专业，理硕教育助您圆北理之梦。
详情请查阅理硕教育官网北京理工大学物理学院考研经验初试量子力学主要参考书目：曽谨言的量子力学教程，周世勋的量子力学教程，以及考试参考书钱伯初的量子力学习题与解答，真题以上材料如何利用：真题！真题！真题很重要。
我们发现，历年的量子力学真题，难度是逐渐加大的，而且涉及内容的越来越广。
在对教科书内容有一定把握后，先做一遍真题，然后依据每道题的类型，归纳涉及的知识点，找一些相似的题来做。
每一年的试卷都会出几道以前考过的类似题目，所以此方法复习效率高。
真题一定要反复做，每隔一段时间做一遍，会计算还要计算对。
钱伯初的量子力学习题与解答:难度太大，复习初期不要从这本下手，部分章节的题还是不错的,如角动量章节。
一定不要死抠这本书，要选择难度小或适中的题。
周世勋的量子力学教程：相比曽谨言那本，简单易懂，而且课后习题特别好。
例如：第一章，对量子力学产生过程的解释很清楚明了，1.1——1.5五节内容例题、推导、课后习题，一定要仔细看并且会推导。
卢瑟福散射（15真题），预测今年还会出第一章类似内容的题。
第二章：粒子数守恒定律的推导，一维无限深势阱计算波函数，线性谐振子（推导不用看）记结果公式，2.9节的计算题，课后习题。
以上要会计算，结果可以直接用。
第三章：3.1节，只需要看厄米算符，角动量算符。
3.2节重点。
3.3节，电子在库仑场中的运动看最后结果。
3.7节对不确定关系的推导，两种表示力学量的算符之间的关系。
【高等教育】北理工2005年《信号处理导论》考研真题
（3）
若输入
x[n]
=
(1)n u[n] ，则输出 2
y[n] |n=2 =
9 2
；
试确定：
（1）（7 分）系统函数 H (z) （表达式中允许带未知数）；
（2）（12 分）系统的单位抽样响应 h[n] （即确定 h[n] 中未知数的值）
（提示：先确定 k 的值及 a 与 c 的关系）
（3）（6 分）系统在如图 4（b）所示 x[n] 作用下的零状态响应 yx[n] ；
二．（25 分）已知系统的单位冲激响应 h(t) = u(t) − u(t − T ) ，求： （1）（9 分）系统函数 H (s) 及频率响应 H ( jω) ，并画出 H ( jω) 的幅频特性和相频特性；
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（2）（8 分）当输入为 h(t) = u(t) − u(t − T ) 时，求系统的零状态响应 yx (t) ，并画出其
2．（10 分）给出按时间抽取（DIT）基 2FFT 算法的蝶形运算公式（3 分），画出 N=8 时相应的算法流图（5 分），并说明其特点（2 分）。
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六．（20 分）设理想数字带通滤波器的幅频响应为
|
H
d
(e
jω
)
|=
⎧⎪⎪1 ⎨
⎪⎪⎩ 0
π ≤|ω | ≤ π
4
2
|ω|≤ π , π ≤|ω|≤π 42
2005 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目代码： 426 科目名称： 信号处理导论
一．（30 分）简述题（每小题 5 分） 1． 由差分方程 y[n] + 2 y[n −1] = x[n] 描述的系统在什么条件下是稳定的。 2． 已 知 LTI 系 统 ， 给 定 初 始 状 态 不 变 ， 当 输 入 为 x(t) = u(t) 时 ， 系 统 全 响 应 为 y(t) = (2e−2t − 3e−3t )u(t) ； 当 输 入 为 x(t) = 3u(t) 时 ， 系 统 全 响 应 为 y(t) = (4e−2t − 5e−3t )u(t) ；问给定初始状态下的零输入响应 y0 (t) 为何？ 3． 两个离散时间信号都是从 0 时刻开始取值为 1，长度为 4 的序列， 分别求它们的线 性卷积和 4 点圆周卷积。 4． 确定如下信号的奈奎斯特抽样率 x(t) = sin c(200t) + sin c(50t) 5． 一个连续时间信号的拉氏变换 X (s) 有两个极点 s1 = 2, s2 = −1 ，指出 X (s) 所有可能的 收敛域（ROC），并对每一种 ROC 指出其反变换 x(t) 可能是下述哪一种函数：右边； 左边；双边。 6． 已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过 5kHz，按 10kHz 进行抽样，得到离散 信号；对此离散信号作 DTFT，在 ω = 0.3π 处存在一个冲激串。 问：（1）在 ω 轴其它位置是否也有冲激，若有，写出其位置的值； （2）这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大？
2005中科院量子力学试题
1
试求该体系的能级。 五、（20 分）已知氢原子基态波函数为 r 1 100 exp ， 1 2 a0 a03 试对坐标 x 及动量 px ，求：
x
x 2 x , p
2
2 px px
2
. 由此验证不确定关系。
试题名称：2005 量子力学
试题名称：2005 量子力学
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ˆ 六、（20 分）考虑自旋 s 与角动量 L 的耦合，体系的哈密顿量为 2 ˆ ˆ ˆ 2 V (r ) L H S ， 2 ˆ ˆ ˆ L S 守恒。 是耦合常数，试证该体系的总角动量 J （公式提示：在球坐标系内， 2 1 L r 2 2 f (r ), t n e t dt n ! ） 2 r 2 , f ( r ) 0 r r r r r
试题名称：
量子力学
ˆ (r ) 1 m 2 r 2 中运 二、（20 分）质量为 m 、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势 V 2 动，同时受到一个沿 x 方向的均匀常电场 E E0 i 作用。求粒子的能量本征值和第一
激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的 表达式。 三、（40 分）一个质量为 m 的粒子在下面的无限深方势阱中运动， x 0, x a V ( x) 0 a x 0 开始时（ t 0 ） ，系统处于状态 x x ，其中 A 为常数。请求出 t 时刻系统： ( x) A sin cos3 2a 2a a. 处于基态的几率； b. 能量平均值； c. 动量平均值； d. 动量均方差根（不确定度） 。 四、 （30 分）两个具有相同质量 m 和频率 的谐振子，哈密顿量为 1 1 2 2 2 m 2 x1 a x2 a ， H0 p12 p2，受到微扰作用 H1 m 2 x1 x2 ,
北理849量子力学考研真题. 2006
2006 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：449科目名称：量子力学 一、（20 分）若粒子势能由 ()V x 变为 ()V x c +，其中 c 为常数。
试讨论能量本征值和相应的本征函数的变化情况。
二、（20 分）描述粒子状态的归一化波函数为0,0;(),01;e , 1.x x x Ax x B x ψ−< =≤≤ > 试求：（1）常数 A ；（2）在区域 01x ≤≤ 区域内发现粒子的概率。
三、（30 分）质量为 µ 的粒子在一维无限深势阱 ()V x 中运动， 0,;(),.x a V x x a ≤ = +∞> （1）求粒子的能量本征值和本征函数；（2）若粒子初始波函数为 3()cos cos 22x x x A a a ππψ =+求 t 时刻粒子归一化波函数。
四、（20 分）在角动量算符 ˆzL 的本征态下，试求： （1）角动量算符 ˆxL 和 ˆy L 的平均值； （2）角动量算符 ˆL沿矢量 (sin cos ,sin sin ,cos )θϕθϕθ=n 投影的平均值。
（3）若系统的 Hamilton 量为 222ˆˆˆˆˆ()2x y z zH L L AL L =+++，试求能量本征值。
五、（20 分）氢原子波函数为211121101()(,)2(,,,)()(,)z R r Y r S R r Y θϕψθϕθϕ = 试求：（1）自旋角动量的 z 分量 z S 的可能值和相应的概率；（2）轨道角动量的 z 分量 z L 的可能值和相应的概率；（3）2L 的可能值和相应的概率；（4）z S 和 z L 的平均值。
六、（20 分）系统 Hamilton 量为 ˆˆy Hωσ=，这里 ˆy σ 为 Pauli 算符。
系统初始时刻处于 ˆz σ的本征值为 1 的状态，试求 t 时刻 （1）系统波函数及测量 x σ 本征值为 1 的状态的概率；（2）力学量 z σ 和 x σ 的平均值。
2005年试题
浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿上均无效。
一．选择题（2×10＝20分）1．欲观察到定域条纹，则首选（）A.单色扩展光源B.白光扩展光源C.单色电光源D.白光电光源2．牛顿环装置中，若用平行光垂直照明，则当凸透镜与平板间距拉大时，条纹将（）A．外扩 B.向中心收缩 C.无影响3．平行平板干涉中，当平板表面反射率很高时（不考虑吸收），若相邻光束光程差为波长整数倍时，则（）A.反射光强等于入射光强B.投射光强等于入射光强C.反射光强随表面反射率增大而增大4．设线数为N1=600的光栅，其零级主极大光强为I1,在其他条件相同情况下，N2=1800的光栅其零级主极大光强为I2,则I2/I1为（）A.1/9B.1/3C.3D.95．一束自然光通过¼波片时，一般为（）A.线偏振光B.圆偏振光C.椭圆偏振光D.自然光6．以直径d的圆孔作衍射受限系统出瞳，在相干照明时，其截止频率为ρ1，而用非相干光照明时，其截止频率为ρ2，则ρ2/ρ1,为（）A.1/4B.1/2C.2D.4E.17.单轴双折射晶体中，一般情况下（）A. H,D,S相互垂直B. H,E,k相互垂直C. H,E,S相互垂直D. E,k,S相互垂直8,将一块光栅置于一相干成像系统中，若再其端面上只允许－1和＋2级频谱通过，则其光栅的空间频率是（）A.与原来相同B.是原来的两倍C.是原来的三倍9.为了观察原子光谱的超精细结构，应首选下列哪个分光系统（）A.棱镜B.典型的F-B干涉仪C.典型光栅10．根据菲涅尔衍射波带片理论，当衍射屏只允许中心第一个波带通过时，轴上考察点亮度为I1，而当衍射屏通光孔为无穷大时，轴上考察点亮度为I2,则I2/ I1为( )A.4B.2C.1/2D.1/4二．简答题（4×5＝20分）1．写出会聚球面波和发散球面波的波动公式。
2．用振幅为A的平面波垂直照射投射系数为t(x)=a sin(2えx/d)+t0的透明片，试写出紧靠透明片后的复振幅分布。
北京理工大学05年研究生入学考试量子力学试题及答案(4)
3. a = b时，写出第一激发态波函数，并求系统处于第一激 发态的量子涨落 ∆x。 2 nxπx nyπy a = b时 ψn (x, y) = sin sin
a a a
设沿x方向处于第一激发态，沿y方向处于基态， 2 2πx πy ψ1 (x, y) = sin sin a a a a a a a 4 2πx πy 1 4πx 2 2 )dx = x = 2 ∫ xsin dx∫sin dy = ∫ x(1− cos
久期方程 得到
cosθ − λ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ − cosθ − λ
=0
λ = ±1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
2
同理
sin 2 θ W(σn = −1) = 2(1+ cosθ)
3.在 σz 本征值为-1的态下，计算 σn 的平均值
σn = −1σn −1
cosθ sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ0 = (0 1) 1 − cosθ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
λ = +1
λ = +1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
1 1− cosθ ψ+1 = a sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ
北京理工大学04年研究生入学考试量子力学试题及答案(3)
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1,1 ( L2 L2 L L L L ) 1,1 4
1 1 2 2 ˆ ˆ 1,1 L L 1,1 2 4 4 2
(Lx ) 2 L2 Lx x
2
L 1,1 0
2 2
15
ˆ 1,1 1 1,1 L L 1,1 0 ˆ ˆ Lx 1,1 Lx 2
14
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5.在 Y11 态下，求 (Lx ) 2 的平均值。 L2x ( L2 L2 L L L L )
1 4
ˆ2 1,1 1 1,1 ( L L )( L L ) 1,1 ˆ ˆ ˆ ˆ L 1,1 Lx 4
4.证明 exp( i z ) cos i z
e
i z
sin
参考大连理工2004年题二（3）
(i z ) n (i ) n ( ) ( z ) n n! n! n 0 even odd
n
( ( z ) 2 1 ，所以 n 为偶数时， z ) n 1；n为奇数时， z ) z (
A
2 a
0
3 5 a5 a4 2 a 2 a x ( x a) dx A [ a 2a ] A 1 5 3 4 30 2 2 2
所以
( x)
a
30 x( x a) 5 a
60 a 2 x c1 ( x) 1 ( x) * dx ( x ax) sin dx 6 0 a a 0
a2 1 a2 1 1 2 a2 ( 2 ) 3 2 2 3 2
3
a x 2
1 1 x2 a2 ( 2 ) 3 2
北京理工大学08年研究生入学考试量子力学试题及答案(7)
(
1 2
2 2
2
)
x
2
2
V0
2
1 2
2 2
2
2V0
2(
2 2
2
2)
H V0e 2 (x1x2 )2
利用题给积分公式
ea2x2 dx
0
2a
7
四、（20分）一个沿x 轴作一维运动的自由电子，波函数满足 长度L(L足够大)的周期性边界条件。（1）试写出体系的定态波 函数和相应的能量本征值。（2）若再加上微扰 H cos kx ，
a>0）。
0
2a
解： 引入质心坐标
X
1 2 (x1
x2 ) 和相对坐标
x
x1
x2 ，则质心
质量 M 2 ，折合质量 m 2 。
2 2
X x 1 x1 X x1 x x1 2 X x
2 x12
(1 2 X
2Nx
L2
L
L 2
iNx
e L
cos
2Nx
e
L 2
L
iNx
e L dx
iNx
L dx
L
2
cos
L L 2
L
2
i
2Nx
eL
L L2
2Nx dx
L
cos 2Nx
L
0
dx
L
2 [cos 2Nx i sin 2Nx]cos 2Nx dx
k 2N（N是一个大的整数， 为一个小常数），请计算波矢为
2005年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
各高校量子力学考研试题汇总
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
2005年北师大量子力学真题及参考答案
（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波
函数。如果粒子间互作用势为
，计算基态能级到一级微扰项。（15 分）
。总角动量
，
是
的共同本征态 。现有一电子处于 态，且
。
（1） 在一基近似下， 可用 代替，请问电子的能量与
态差多少？
（2） 请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在 z 方向均匀磁场 B 中电子的能量改
变多少？（
）
，当，更多物理资料加云 应作如是观grh，当，
5．（20 分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋 1/2）处于 z 方向强磁场 中。自
） 提示：谐振子能量本征函数可以写成
求激发电子到
，
，
2.（30 分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为 ）。 （1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电下
3．（50 分）两个质量为 的粒子，被禁闭在特征频率为 的一维谐振子势场中，彼此无相 互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：
旋朝下（z 轴负方向）。此时加上一个 y 方向交变弱磁场
。其频率 可调。自
旋朝上与朝下态的能量差可写成 。在 间 后粒子自旋朝上的几率。
的条件下，用微扰方法求出很短时
参考解
一．由 在 态下
或：由维里定理： 即
二．（1）
（2）。二维中心力场（卷 I p347 ）,
守恒量完全集
，能量本征态为
其中 2005 年招收硕士研究生入学考试试题
2010年北京理工大学研究生入学考试
20
年北京理工大学研究生入学考
试 量子力学试题
1， 证明：一维束缚定态波函数可表示为实函数。
2， ˆˆ,A B 均为厄米算符，且ˆˆˆˆˆAB BA iC -=。
证明：()()2
224C A B ∆⋅∆≥。
3， 一氢原子在212p 态，总角动量沿z 轴向上，求，发现电子自旋向
下的几率。
4， 测量一个电子（自由空间）自旋的z 分量，发现是12
h 。
求，a.
接着测量x S 分量，可得结果？及几率。
b.若测自旋方向的轴与z 轴成θ角，各种可能测值及几率。
5， 设粒子自旋为1，电荷-e 。
处在沿z 轴，大小为B 的均匀磁场
中，即()00B B
ˆe H B S B mc μ=-⋅=-⋅ .式中S 的矩阵。
,,x y z S S S h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪===⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭
设在t=0时，自旋沿x 轴，投影为h ，即处在本征态x S h =的本征态。
求，（a ）任意时刻（t>0）系统中的自旋波函数？
（b ）<s>随时间的变化。
（注意，因使用的公式编辑器不是正版，其中个别符号编辑不是很规范，根据学习过程遇到的情况再斟酌一下。
祝，成功！）。
北京理工大学2005年《自动控制理论》考研真题、答案与解析
1−ζ 2
≤16.3% ，应有 ζ ≥0.5 。
5
网学天地（）
过坐标原点做与负实轴夹角为 60° 的直线，交根轨迹于 A 点。 设 A 点坐标为 (σ ，ω ) ，显然 ω = − 3σ 。代入特征方程 s 2 + 2 s + 10 + 10 K t s = 0 ，得：
移动。 三、解： （1）依题意得：
f ( s, λ ) = (1 − λ ) f1 ( s ) + λ f 2 ( s ) = (1 − λ ) ( s 3 + 6 s 2 + 12s + 8 ) + λ ( s 3 + 3s 2 + 4 s + 2 )
= s 3 + ( 6 − 3λ ) s 2 + (12 − 8λ ) s + 8 − 6λ
3
8 s2 + s + 2 3 s =0
=3
此时， λ = 1 ，当 0≤λ≤1 时，由根轨迹可知， f ( s, λ ) 均稳定。 四、解： （1）系统开环脉冲传递函数：
⎡1 − e −Ts 5 ⎤ −1 G(z) = Ζ ⎢ ⋅ ⎥ = 5 (1 − z ) Ζ 1 + s s s ( )⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎡ ⎤ 1 −1 ⎢ 2 ⎥ = 5 (1 − z ) Ζ 1 + s s )⎦ ⎢ ( ⎥ ⎣ 1 ⎤ ⎡1 1 ⎢ s 2 − s + s + 1⎥ ⎣ ⎦
ωc ω ω − arctan c − arctan c ω1 ω2 ω3
当 ωc /ω1 = 100 ， ωc /ω2 = 2 ， ωc /ω3 = 0.1 时， γ = 20.28° 此时闭环系统稳定。