数字信号处理 详细分析 采样

离散傅里叶变换

一、问题的提出：前已经指出，时域里的周期性信号在频域里表现为离散的值，通常称为谱线；而时域里的离散信号(即采样数据)在频域里表现为周期性的谱。

推论：时域里的周期性的离散信号，在频域里对应为周期性的离散的谱线。

由于傅里叶变换和它的反变换的对称性，我们不妨对称地把前者称为时域的采样，后者称为频域的采样；这样，采用傅里叶变换，时域的采样可以变换成为频域的周期性离散函数，频域的采样也可以变换成列域的周期性离散函数，这样的变换被称为离散傅里叶变换，简称为ＤＦＴ。图３-1就是使用采样函数序列作离散傅里叶变换的简单示例。

（a ）时域的采样在频域产生的周期性

（b ）频域的采样在时域产生的周期性

图3-1 采样函数的离散傅里叶变换

上图就是使用采样函数序列作离散傅立叶变换的简单示例，在时域间隔为s t 的采样函数

序列的DFT 是频域里间隔为s s t f 1

=的采样函数序列；反之，频域里间隔为s f 的采样函数序列是时域里间隔为w W f T 1=的采样函数序列，如图3-1(b)所示。

由于在离散傅立叶变换中，时域和频域两边都是离散值，因此它才是真正能作为数字信号处理的变换，又由于变换的两边都表现出周期性，因此变换并不需要在),(+∞-∞区间进行，只需讨论一个有限周期里的采样作变换就可以保留全部信息。

表3-1为傅立叶变换和傅立叶级数的关系

二、DFT 的定义和性质

离散傅里叶变换（DFT ）的定义为：

1、非周期离散时间信号)(n x 的Fourier 变换定义为：ωωωd e n x e X n j j -∞

∞-∑

=)()( （1） 反变换：ωπωππωd e e X n x n j j ⎰-=

)(21)( )(ωj e X 的一个周期函数（周期为）π

2，上式得反变换是在)(ωj e X 的一个周期内求积分的。这里数字信号的频率用ω来表示，注意ω与Ω有所不同。设s f 为采样频率，则采样周期为

f T 1

=，采样角频率T s π2=Ω，数字域的频率s s f πω2=

式1又称为离散时间Fourier 变换（DTFT ）2、周期信号的离散Fourier 级数（DFS ）

三、窗函数和谱分析

1、谱泄露和栅栏效应

离散傅立叶变换是对于在有限的时间间隔（称时间窗）里的采样数据的变换，相当于对数据进行截断。这有限的时间窗既是DFT 的前提，同时又会在变换中引起某些不希望出现的结果，即谱泄露和栅栏效应。

1）谱泄露 以简单的正弦波的DFT 为例，正弦波具有单一的频率，因而在无限长的时间的正弦波，应该观察到单一δ函数峰，如下图示，但实际上都在有限的时间间隔里观察正弦波，或者在时间窗里作DFT ，结果所得的频谱就不再是单一的峰，而是分布在一个频率范围内，下图（b ）示。这样信号被时间窗截断后的频谱不再是它真正的频谱，称为谱泄露。

由卷积关系可以解释谱泄露的原因如下：

若时间窗的长度正好等于整数个信号周期，则称之为匹配，w Mf f =。这样，离散傅立

叶变换所得的各个离散频率值，除了在w Mf 一个点之外，其余全部落在0/)sin(=f f 的点上，因此，变换的结果没有产生普泄露。

实际这种匹配情况很难得到且很不稳定，通常情况都是时间窗不等于信号周期的整数倍，这样在窗的边缘产生不连续，变换所得的各个离散值，没有一个落在0/)sin(=f f 的点上，（b ）示。频谱中，除了中心值以外，还有以f

1（即-6dB 倍衰减的旁瓣。谱的幅度也是不确定的；同样的正弦波，因为采样发生在不同地方，所得的谱的峰的高度会完全不同。

2）栅栏效应

对于非周期的输入信号，它的频谱是连续的，但由于DFT 把输入信号强制成了以时间窗为周期的信号，结果变换得到的谱是一些离散的谱线，这如同通过栅栏观看连续的频谱，它的一些频率分量被栅栏所遮挡，因而成为栅栏效应。

3）时间窗的加权

为消除谱泄露，最简单的办法当然就是选择时间窗长度使它正好等于周期性新hoade 整数倍，然后作DFT ，但在实际上不可能做到。实用的办法是将时间窗用函数加权，加权函数成为窗函数或简称窗，使采样数据经过窗函数处理后再作变换。

在加权的概念下，前述的时间窗就可以看作一个加了权的窗函数，即时间窗本身的作用相当于宽度与它相等的一个矩形窗函数的加权。

选择窗函数的简单原则如下：

① 是信号在窗的边缘为0，这样可减小截断所产生的不连续的效应；

② 信号经过窗函数加权处理后，不应该丢失太多的信息。

③ 使时间窗足够宽，取得更多的周期信号，以改善谱的分辨率；这个方法要比选择合适

的窗函数更为有效。下图为两个相近的频率产生的拍频信号（调幅信号），若时间窗不够宽)/1(1w f ，不管选择什么样的窗函数，在谱中也无法分开这两个频率，而只要

选择时间窗函数足够宽)/1(2w f ，包含了拍（包络）的整个周期，就能分开两个峰。

如下图所示。

4) “分辨率(resolution)”是信号处理中的基本概念，它包括频率分辨率和时间分辨率。形象地说，频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察频谱时所看到的频率的宽度，时间分辨率是通过一个时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度。显然，这样的窗函数越窄，相应的分辨率就越好。

频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力。通常的做法是令待分析的信号x(t)由两个或多个频率相接近且幅度相同的正弦信号叠加产生。这里说的算法，包括了对x(t)的离散化、各种频谱分析方法等，显然，频率分辨率主要用来评价各种算法在谱分析方面的性能。在数据相同长度的情况下，使用不同的窗函数将在频谱的分辨率和频谱的泄露之间有着不同的取舍。

时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。因此，讨论 频率分辨率就一定要和傅里叶变换联系起来。频率分辨率是一个对各种算法都起支配作用的重要概念，频率分辨率和时间分辨率还存在相互制约的问题，如何根据信号的特点和信号处理的任务选择不同分辨率问题，即对快变得信号希望能给出好的时间分辨率尔忽略频率分辨率，而对于慢变得信号希望能给出好的频率分辨率而忽视时间分辨率等。如何根据信号的特点来选择不同的时间分辨率和频率分辨率，是小波变换的内容。

5）补零 在做DFT 时，人们常在有效数据后面补一些零以达到对频谱作某种改善的目的。但有人却误解为补零会提高分辨率。其理由是，原数据长度为N1，补零后数据长度为N2，由于11N f f s =∆，22N f f s =∆，以及N2〉N1，因此，12f f ∆<∆。实际上这是错把“计算分辨率”

当成了“物理分辨率”。需指出，补零没有对原信号增加任何新的信息，因此不可能提高分辨率。但补零可使数据N 为2的整次幂，以便于使用快速傅里叶变换算法(FFT)，而且补零还可对原x(k)做插值。已知数据截短必然要产生频谱的泄漏，数据过短时这些泄漏将严重影响对