虚功原理及其应用

这一约束,但其它约束必须是理想约束。
例2 半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀
棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内
的长度为c，试证棒的全长为 ：
4(c 2r ) c
2 2
o r


x mg
解：1个自由度
取q 设棒的质心坐标为:
(xD, yD)
y
yD (c l / 2)sin
b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，
c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力； 并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：将 ri 表示为广 义坐标qk (k=1,2,…s) 的函数，并求出：x , y , z
i i i
d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。
如果求某一约束力,则可把其划入主动力,不再考虑
保守力学系统处于平衡位形的充要条件：
势能函数对每个广义坐标的偏导数都等于零， 或者势能在平衡位置取驻值。
求力学系统平衡条件下广义力的几种方法
a、定义：
ri Qk Fi qk i
b、虚功原理： W Fi ri Qkqk 0
i k
Qk 0
V V V i j k) Fi iV (
i x W Fi ri
N i 1 N
yi
zi
V V V [ ( xi yi zi )] Vi V x i y i z i i i 1
Fix Fiy Fiz 0
不是独立的
x , y, z
W
i
Fi ri 0
不好用！！
3、广义坐标形式下的虚功原理
n个质点组成的力学体系，受k个几何约束，此体系自 由度为 3n-k, 其位形由 s=3n-k 个互相独立的广义坐标 qi (i=1,2,…s)来描述，即：
坐标的表示式为： s ri ri ri ri ri q1 q2 qs qk q1 q2 qs k 1 qk 代入虚功原理：
s ri W Fi qk i k 1 qk
ri ( Fi )qk 0 qk k 1 i 1
x i x i (q1 , q2 , , q s , t ) ri ri (q1 , q2 ,, qs , t ) yi yi (q1 , q2 , , q s , t ) z z (q , q , , q , t ) i 1 2 s i
体系的位形可表示为： i ri (q1 , q2 ,, q s , t ) ；虚位移用广义 r
(2Tl cos 4 pl sin ) 0
T 2 ptg
由定义求：广义力 xD l sin xB l sin
n
ri Q Fi i 1 y E x D x B 4P T T 4 P ( l sin ) Tl cos Tl cos 2Tl cos 4 Pl sin
结合： W Qk qk 0
k
由此得保守体系广义力：
V Qk qk
总结： 虚功原理——一个受理想、定常、完整（几何） 约束的力学体系，其平衡的充分必要条件是：作 用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的 虚功的和等于零。 虚功原理表示式：
W
i
Fi ri 0
①
因 在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须有：
3l r sin 2r sin 0
2r sin 3l r sin
②
x1 2r sin l r sin
又由 x1 2r cos l r cos 得：
重力是主动力
o

x
3
由虚功原理:
n i 1

1

2
Fi ri 0
P1y1 P2y 2 P3y3 0
y
题5.2.1图
l r sin l r sin l r sin 2r sin 0
引用广义坐标和定义广义力：
W Qk qk 0
k
对于保守力学体系：
W V 0
力学系统平衡条件
ri Qk Fi 0 qk i
(k 1, 2, , s)
质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。 保守力学系统：
V 0

（x1 ,y1）
1
y
x
p1 A
1 x1 l1 cos 2
B F p2 （x ,y ） 3 3
2
,y ） （x2 2
1 x2 l1 cos l2 cos 2
y3 l1 sin l2 sin
由虚功原理
P x1 P2 x2 F y3 0 1
a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；
b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，
c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力； 并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：将 ri 表示为广 义坐标qk (k=1,2,…s) 的函数，并求出：x , y , z
i i i
d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。
2r cos l r cos
③
由②③可得：
tan 3 tan
例4：如下图示，已知P、l，求：轻杆所受的力？
解：自由度为1，广义坐标取为 ,体系所受 主动力如图所示，有用坐标为：y l cos
E
A B
4P

E
x D TD
xD l sin xB l sin
x mg
Q
4(c 2 2r 2 ) l c
l [(2r cos )sin ] yD 2 mg mg l 2r cos2 cos 2 0
例3 解 ： 自由度数为1 q x1 2r sin l r sin
(k 1, 2, , s)
c、保守力学系统：
V Qk qk
例1:求套在铅直平面内光滑圆环上、质量为m的小珠的平衡位置。
解：自由度为1，取
q
y
R
方法一： 主动力： －mg F y

x
有用坐标： y R sin
ri Qk Fi qk i
x y z Q Fx Fy Fz
x2 2r sin l r sin x3 0
y1 l r cos
1
o

x
3


2
பைடு நூலகம்
y 2 l r cos
y
题5.2.1图
y3 l r cosa 2r cos
y1 l r sin y 2 l r sin y3 l r sin 2r sin
广义力Q1
1 1 2 P1l1 cos P2l1 cos Fl1 sin 2 P2l2 cos Fl2 sin 0
P1 2 P2 tg 2F P2 tg 2F
广义力Q2
应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤
W
Fi ri 0
( F x
ix i
i
Fiyyi Fizzi ) 0
i
虚功原理:
受有理想约束的力学体系，其平衡的充要条件是此力学 体系的所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 优点：消去约束反力，可由虚功原理求出主动力在 平衡时所满足的平衡条件。
.
正是虚位移的引入 消去这些约束反力
Ri ri 0对于理想约束体系
i
W
i 1
n
Fi ri 0
( F x
i 1 ix
n
i
Fiyyi Fizz i ) 0
如果是独立变化的， 但是体系受 k个几何约束
上式 则
x , y, z
yE l cos
由广义坐标表示的虚功原理可知， 体系平衡条件为：广义力为零.
所以：
T 2 ptg
o
解： 两个自由度 x

（x1 ,y1）
p1 A
1
y
q1 q2
B F p2 （x ,y ） 3 3
2
,y ） （x2 2
o
1 x1 l1 sin 2 1 x2 l1 sin l2 sin 2 y3 l1 cos l2 cos
mgR cos 0
∴


2
方法二：因体系是保守系，取原点势能为零，则体系势能函数为：
V mgy mgR sin
V Q mgR cos 0

2
应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤
a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；
如果求某一约束力,则可把其划入主动力,不再考虑
这一约束,但其它约束必须是理想约束。
例5: 图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，试 求:在图示位置平衡时主动力FA和FB之间的关系。 y 解： FA δ y A FB δ xB 0 FA
W V 0
保守力学体系平衡条件为：
V 0
如果用广义坐标来表示 V , 即： V (q1 , q2 ,qs ) V
s V V V V V q1 q2 qs qk q 1 q2 qs k 1 qk
V W V qk 0 k qk
W Q q 0 可知：
Q 0 Qk 0 正交，但由于虚位移是任意的，故和任意矢 量都正交的矢量一定是零矢量。即 Qk 0
②虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立; ③理想约束 理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象 出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。 此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。 ④对于保守力学系统：
s
定义
广义力：
ri Qk Fi qk i 1
N
W Qk qk 0
k
广义坐标下虚功原理的表达式
对于完整力学体系来说，由于 q k 是独立变分(互相独立的)，故:
Qk 0
(k 1, 2, , s)
平衡条件
说明： 广义力 Qk 是广义坐标 qk 的函数 ，由定义得： ① n n ri xi yi zi Qk Fi ( Fix Fiy Fiz ) q i 1 q q q i 1
由虚功原理：
W Fi ri
i
C y
T xB T xD 4P yE 0
T xB T xD 4P yE 0
xB l cos
xD l cos
yE l sin
Tl cos Tl cos 4 pl sin 0
c 2r cos
o

l mg(2r cos 2 cos ) 0 2
l 2r cos 2 cos 2
y D [(2r cos l / 2)sin ] r ( r sin 2 l / 2sin ) l (2r cos 2 cos ) y 2 ri W Fi ri mg yD 0 Q Fi i qk i