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2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解

专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

专题9.5 抛物线(A)(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题

专专9.5抛物线专A专一、单选题1. 顶点在坐标原点，焦点是双曲线22145x y -=的左焦点的抛物线标准方程是( ) A. 212x y =B. 212y x =-C. 24y x =-D. 212y x =2. 设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 1B. 2C. 3D. 43. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为.l P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP4. 已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =( )A. 2B. 3C. 6D. 95. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A.B.C. (1,0)D. (2,0)6. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是( )A. 2y x =B. 22y x =C. 24y x =D. 28y x =7. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点 F 的直线l 交抛物线于A ， B 两点，延长 FB交准线于点C ，若||2||BC BF =，则||||BF AF 的值是( ) A.B.C.D.238. 已知点F 是抛物线24y x =焦点，M ，N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点到准线距离为( )A.52B. 2C. 3D. 49. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 作倾斜角为锐角的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的方程为 ( )A. 30y --=B. 330x --=C. 10x y --=D. 10x --=10. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为||MA ，若||3||MA AF =，则实数p 为( )A. 3B.C. 2D. 111. 如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆2C ：22+6+8=0x y x -，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |3|QM |+的最小值为( )A. B. C. D. 12. 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，且倾斜角为θ，则cos 2(sin 1)(sin 1)θθθ-+等于( )A. 1+B. 1C.D. 3二、多选题13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则( )A. 1214y y =B. 以AB 为直径的圆与直线12y =-相切C. ||||OA OB +的最小值D. 经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上14. 过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A. 以线段AB 为直径的圆与直线12x =-相交B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C. 当2AF FB =时，9||2AB = D. ||AB 的最小值为4三、填空题15. 已知抛物线C ：24y x =，焦点为F ，点 M 为抛物线C 上的点，且||6FM =，则M 的横坐标是__________，作MN x ⊥轴于点N ，则FMNS=__________.16. 已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的,A B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为__________.17. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则21p p =__________. 18. 已知F 是抛物线216y x =-的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上的一动点，点A 在抛物线上，且||8AF =，则||||PA PO +的最小值为__________.四、解答题19. 如图，过抛物线24y x=的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x 轴不垂直，且点A位于x轴上方，AB的垂直平分线与x轴交于D点.(1)若2,AF FB=求AB所在的直线方程；(2)求证：||||ABDF为定值.20. 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：22(2)1x y-+=外切，且圆P与直线1x=-相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线.C(1)求曲线C的轨迹方程；(2)设过定点(2,0)S-的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点(M与A，B两点相异)，当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B解：因为2459c =+=，3c ∴=，∴抛物线的焦点(3,0)F -，32p-=-，6p ∴=，212.y x ∴=- 故选.B2.【答案】C解：由于抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，故点P 的横坐标为2.再由抛物线24y x =的准线为1x =-，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，故点P 到该抛物线焦点的距离是2(1)3--=，故选：.C3.【答案】B解：根据抛物线的定义可得||||PF PQ =，故线段FQ 的垂直平分线必过点.P 故选.B4.【答案】C解：设点A 的坐标为(,)x y ，由点A 到y 轴的距离为9，可得9,x = 由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12，可得122px += 解得 6.p = 故选.C5.【答案】B解：将2x =代入抛物线22y px =，可得y =±OD OE ⊥，可得1OD OE k k ⋅=-，即1=-，解得1p =，所以抛物线方程为：22y x =，它的焦点坐标1(,0).2故选：.B6.【答案】C解：画出图形如图所示，作MD EG ⊥，垂足为D ，由题意得点0(,22)M x ，0()2px >在抛物线上，则082px =，① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-，因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||()332pDM MF x ==+，所以001()232p px x -=+，解得0x p =，② 由①②解得02(x p ==-舍去)或0 2.x p ==故抛物线C 的方程为24.y x =故选：.C解：由题意可知，2p =，则(1,0)F ，准线为直线1x =-，过A ，B 分别作AM ，BN 垂直准线于M ，N ，则有||||BF BN =，||||AF AM =，因为||2||BC BF =，所以||2||BC BN =，所以||2||3BC CF =，所以||23BN p =，所以4||||3BN BF ==，8||3BC =，所以||4CF =，因为||||||p CF AM CA =，所以2||44||||||4||4||CF AM CF AF AF AM ===+++，解得||4AM =，所以||4AF =，所以4||13||43BF AF ==，故选：.B解：F 是抛物线24y x =的焦点，(1,0)F ∴，准线方程1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 12||||116MF NF x x ∴+=+++=，解得124x x +=，∴线段MN 的中点横坐标为2，∴线段MN 的中点到该抛物线准线的距离为21 3.+=故选.C9.【答案】A解：抛物线C ：24y x =的焦点为(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，所以0∆>，212224k x x k ++=，又因为弦AB 的中点M 到抛物线的准线的距离为5，所以12152x x ++=，则然22224283k k k +=⇒=，又0k >，所以3k =30.y --= 故选：.A10.【答案】A解：将点M 的点坐标代入抛物线方程得0152px =，解得0152x p=，即15(,15)2M p ，设圆M 的半径为R ，则过点M 作直线2px =的垂线，垂足为B ，所以||3RMB ==，又因为||3||MA AF =，所以4||3RMF =，所以224()()1533R R -=，解得3R =，又因为115322p R p =-，解得3p =或5(p =-舍去). 故选.A11.【答案】C解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>，焦点为F ，则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-，圆2C ：22680x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：3my x =-，设P 、Q 坐标分别为，由联立，得 212360y my --=，21441440m ∆=+>恒成立，由韦达定理得：1212y y m +=，1236y y ⋅=-，，22121291212y y x x ⋅==⨯， 121111||||33PF QF x x ∴+=+++ ，则||3||||13(||1)PN QM PF QF +=+++||3||4PF QF =++当且仅当时等号成立，故选.C12.【答案】A解：将x c =代入双曲线22221x y a b -=中，解得2b y a=±，则，所以24222,4b c b a c a==，即，所以，令tan baθ=，即42tan 4tan 4θθ-=，解得2tan 222θ=+，故2222cos 2cos sin tan 112 2.(sin 1)(sin 1)cos θθθθθθθ-==-=+-+- 故选.A13.【答案】ABD解：由抛物线的方程可得焦点1(0,)2F ，显然过焦点F 的直线的斜率存在，设直线l 的方程为：12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210x kx --=，可得0∆>，122x x k +=，121x x =-，所以21212()121y y k x x k +=++=+，221212144x x y y ==；所以A 正确；以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1212(,)22x x y y ++，即21(,)2k k +，根据抛物线的定义，可知半径12211||22122y y AB k +++==+，所以圆心到直线12y =-的距离为：2211122k k ++=+等于半径，所以圆与直线相切，所以B 正确；当直线AB 与x轴平行时，||||OA OB ==，||||OA OB += 所以||||OA OB +的最小值不是C 不正确；直线OA 的方程为：1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为：122(,)2x x x ，因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y =-上，故D 正确；故选：.ABD14.【答案】ACD解：24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA ='，||||BF BB ='，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '='+'=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线1x =-相切，所以与直线12x =-相交，故选项A 正确；当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，可得12242x x k +=+，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221k +， MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k++，222||1|BM x k=--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故选项B 错；2AF FB =时，122y y =-，1212244()222y y k x x k k k y k k +=+-=+-==-，故24y k=-， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22224(121)42k y k =--+=-=-，将24y k =-代入得2162k=，则28k =，则1249||22282AB x x =++=++=，故选项C 正确；显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故选项D 正确．故选：.ACD15.【答案】5解：抛物线C ：24y x =，则焦点(1,0)F ，准线方程l 为1x =-，过点M 作ME l ⊥，垂足为E ，设00(,)M x y ，则||||6MF ME ==，所以016x +=，则05x =，所以点M 的横坐标为5；因为点M 在抛物线上，故204520y =⨯=，所以0||25y =，即||25MN =，所以11||||(51)254 5.22FMN S FN MN =⨯⨯=⨯-⨯= 故答案为：5；4 5.16.【答案】2解：如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==， 22422,945BE AE AB BE ∴=-==-=-=，∴直线AB 的斜率5tan .2AB AE k ABE BE =∠== 故答案为：5.217.【答案】18解：由题意，设点A 的坐标(,)m n ，OA 的斜率为2，2n m ∴=，又A 是抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点，212n p m ∴=与222m p n =，将2n m =代入得2142m p m =与224m p m =，12p m ∴=，24m p =，故2118p p =，故答案为1.818.【答案】解：点P 是抛物线216y x =-的准线上的一动点，P ∴点的横坐标为4，，由抛物线的定义得，A ∴到准线的距离为8，即A 点的横坐标为4-，又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标为或，∴坐标原点关于准线的对称点的坐标为，则当A ，P ，B 共线时，取得最小值，最小值为：，故答案为413. 19.【答案】解：(1)直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，A 点在x 轴上方，10y ∴>，20y <，由，可得2440y ty --=，0>，124y y t ∴+=，124y y =-，11222(1,)2(1,)AF FB x y x y =⇒--=-，122y y ∴-=，由，代入124y y =-，因为10y >，所以0t >，解得122t =，AB ∴所在直线方程为22220.x y --=(2)证明：设AB 中点为(,)N N N x y ，1222N y y y t +∴==，221N x t =+，2(21,2)N t t ∴+，所以AB 中垂线2:2(21)l y t t x t '-=---，2(23,0)D t ∴+，22|||231|22DF t t ∴=+-=+，||(AB=244t ==+，则22||442(||22AB t DF t +==+定值).20. 【答案】解：(1)设动圆圆心为(,)P x y ，动圆圆心P 到点(2,0)Q 的距离与到直线1x =-距离差为定圆半径1，即动点P 到顶点(2,0)的距离等于到定直线2x =-的距离，根据圆抛物线的定义，动点P 的轨迹是以定点(2,0)为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，圆心P 的轨迹为曲线C 的方程为：28y x =；(2))假设在曲线C 上存在点M 满足题设条件，不妨设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ； 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+； 120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，① 显然动直线l 的斜率非零，故可设其方程为2x ty =-，()t R ∈，联立28y x =，整理得28160y ty -+=，128y y t ∴+=，1216y y =，且12y y ≠，代入①式得020********MA MB t y k k y ty ++=++，显然00y ≠，于是2000[8()64]()(16)160MA MB MB MA y k k t k k y y +-+++-=，②，欲使②式对任意t R ∈成立，必有，020016816MA MB y k k y y ∴+==+，即2016y =，04y =±，将此代入抛物线C 的方程可求得满足条件的M 点坐标为(2,4)，(2,4)-，综上所述，存在点(M 与A ，B 两点相异)，其坐标为为(2,4)，(2,4)-，直线MA 、MB 的斜率之和为定值．。

抛物线专题(附答案)

抛物线专题考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ，求AB CD +的最小值。

高考数学专题复习：抛物线及其方程

高考数学专题复习：抛物线及其方程一、单选题 1．抛物线212y x =的焦点坐标是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)2．抛物线24y x =的焦点坐标为（） A ．(1,0) B ．(1,0)- C ．1(0,)16-D ．1(0,)163．抛物线28y x =的焦点坐标为（） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()2,04．已知抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于点,A B .若8AB =，则AB 中点的横坐标的值为（） A ．1B ．52C ．3D ．55．已知动点M 34125x y +-=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．在抛物线22(0)y px p =>上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p =（） A ．12B ．1C ．2D ．47．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（）．A B ．C ．D ．8．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H 两点，则||GH 的长为（）A ．12B C ．1D9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB =，则l 的斜率为（）A ．±1B ．C ．D ．±10．抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（） A ．14B ．12C ．2D ．411．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2102y x n n=＞上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（）A B C 2D ．112．已知P 为曲线:C x =90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,3A ，则PT PA +的最小值为（）A ．6B ．234C ．5D ．214二、填空题13．已知抛物线方程为214y x =-，则其焦点坐标为________．14．二次函数()20y axa =>图象上的A 、B 两点均在第一象限．设点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，当4AF =，2BF =，3AB =时，直线AB 的斜率为________．15．准线方程为1x =的抛物线标准方程为________.16．已知抛物线28y x =的焦点与2221x y a+=()0a >的右焦点重合，则a =________.三、解答题17．已知拋物线C ：28x y =，点F 是拋物线的焦点，直线l 与拋物线C 交于AB 两点．点M 的坐标为()2,2-．（1）若直线l 过抛物线的焦点F ，且1MA MB ⋅=，求直线l 的斜率；（2）分别过A ，B 两点作拋物线C 的切线，两切线的交点为M ，求直线l 的斜率．18．已知抛物线1C ：22y px =(0p >)的焦点与双曲线2C ：221412x y-=右顶点重合.（1）求抛物线1C 的标准方程；（2）设过点()0,1的直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A ，B ，F 是抛物线1C 的焦点，且1FA FB ⋅=，求直线l 的方程.19．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．20．已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，，(,)M x y 为曲线C 上任意一点，满足MA MB +()2OM OA OB =⋅++．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，,R S 为曲线C 上的不同两点，且PR PS ⊥，PD RS ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使||DQ 为定值．21．如图所示，已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.（1）当直线AB 的斜率为1时，求弦长AB 的长度；（2）点()0,0P x 在x 轴正半轴上，连接PA ，PB 分别交抛物线于C ，D ，若//AB CD 且3AB CD =，求0x .22．已知点(1,0)F ，直线:2l x =-，P 为y 轴右侧或y 轴上动点，且点P 到l 的距离比线段PF 的长度大1，记点P 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线1:1l x =交曲线E 于A ，B 两点（点A 在点B 的上方），C ，D 为曲线E 上两个动点，且CAB DAB ∠=∠，求证：直线CD 的斜率为定值.参考答案1．A 【分析】抛物线化为标准方程，即可求解【详解】将抛物线212y x =化为标准方程得： 22x y =，故1p =，焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：A 2．D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,)16，故选：D 3．D 【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果. 【详解】由抛物线28y x =的方程知其焦点在x 在正半轴上，且22p=，∴其焦点坐标为()2,0. 故选：D. 4．B 【分析】先求出抛物线3p =，再逆用焦点弦长公式即可得出答案. 【详解】由于抛物线26y x =，所以3p =，则过点3(,0)2F 作直线交抛物线于点,A B ，设点,A B 横坐标分别为12,x x ，则AB 中点的横坐标12015()222x x x AB p +==-=. 故选:B 5．C 【分析】(),x y 到坐标原点的距离，34125x y +-表示动点(),x y 到34120x y +-=的距离，再根据抛物线的定义判断即可；【详解】解 |3412|5x y +-，此式表示的是动点(,)M x y 到定点(0,0)与定直线34120x y +-=的距离相等且定点不在定直线上，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点()0,0为焦点，定直线34120x y +-=为准线的一条抛物线．故选：C ． 6．D 【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离. 【详解】由题知，抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则由抛物线的定义知，352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得4p =. 故选：D. 7．C 【分析】由题意可知焦准距为2，由直线的斜率为MAF △是以4为边长的正三角形，从而求出三角形的面积.设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF的斜率为60AFN ∠=︒，所以4AF =，由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以424= 故选C ． 8．D 【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用勾股定理求解即可【详解】易知抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，由点()001,02M y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，可知1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，||1MF =以M 为圆心，||MF 为半径的圆交y 轴于G ，H两点，则||GH =故选：D 9．D 【分析】由条件得到1p =，设l 的直线方程为12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得122y y m +=，121y y =-，然后结合2AF FB =解出12,y y 的值即可. 【详解】由题知1p =，抛物线方程为22y x =，设l 的直线方程为12x my =+，代入抛物线方程，得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，121y y =-.因为2AF FB =所以12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故m =，即l的斜率为±. 故选：D【分析】首先求出抛物线的准线方程，由题意得到方程，解得即可；【详解】解：抛物线()20y ax a =>即()201y ax a =>，可得准线方程14y a =-，抛物线()20y ax a =>上点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，可得：11124a+=，解得12a =. 故选：B . 11．D 【分析】利用坐标表示直线OM 的斜率00012112882y k x ny nny ==++，再利用基本不等式求最大值. 【详解】设()00,P x y ，,180F n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是线段PF 的中点，所以00,2218M n x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.直线OM 的斜率为：020000001211228821188y y y k x x ny ny nny nn====++++. 显然00y >时的斜率较大，此时0011128k ny ny =≤=+，当且仅当00128ny ny =，014y n=时，斜率最大为1. 故选：D. 12．D 【分析】利用抛物线的定义知||PT 等于P 到准线94y =-的距离，则PT PA +最小值为A 到准线94y =-的距离，即可求PT PA +的最小值.【详解】由题意知：曲线C 是抛物线29x y =的右半部分且90,4T ⎛⎫⎪⎝⎭是焦点，∵P 为曲线C 上一点，若P 到准线94y =-的距离为d ，则||d PT =，∴PT PA d PA +=+，要使其值最小，则d PA +即为A 到准线94y =-的距离，∴PT PA +的最小值为921344+=. 故选：D 13．()0,1- 【分析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式24x y =-，即可判断抛物线的焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而解得答案. 【详解】解：因为抛物线方程为214y x =-，即24x y =-，所以24p =-，12p=-，所以抛物线的焦点坐标为()0,1-，故答案为：()0,1-.14 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据抛物线的定义结合作差法可得出12y y -的值，再利用两点间的距离公式求出12x x -的值，再利用直线的斜率公式可求得结果. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，该抛物线的焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由抛物线的定义可得1144AF y a =+=，2124BF y a=+=，所以，122y y -=，因为A 、B均在第一象限，且12x x =>，因为3AB ==，所以，12x x -因此，直线AB的斜率为1212y y k x x -==-. . 15．24y x =- 【分析】由准线方程可得12p=，抛物线的焦点在x 的负半轴上，从而可求得抛物线的标准方程【详解】解：因为抛物线的准线方程为1x =，所以12p=，且抛物线的焦点在x 的负半轴上，得2p =，所以抛物线标准方程为24y x =-，故答案为：24y x =- 16【分析】求出抛物线的焦点坐标即为2221x y a+=()0a >的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为()2,0，由题意知2221x y a+=表示焦点在x 轴的椭圆，在椭圆中：2221,14b c a ==-=，所以25a =，因为0a >，所以a =17．（1）14k =或34；（2）12k =．【分析】（1）设直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，由韦达定理求出12x x +、12x x ⋅、12y y ⋅、12y y +，再根据()()1212121224241MA MB x x x x y y y y ⋅=-++++++=即可求解．（2）由导数的几何意义求出过点A ，B 的切线方程，将()2,2M -代入两切线方程，即可得直线AB 的方程，进而可得直线l 的斜率. 【详解】解：（1）由题知，焦点()0,2F ，设过点F 的直线l 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，1212816x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()2121212244y y k x x k x x ⋅=⋅+++=，所以()()11222,22,2MA MB x y x y ⋅=-+⋅-+()()121212122424x x x x y y y y =-++++++216164k k =-+1=，解得14k =或34．（2）由抛物线方程得28x y =，24x y '=，所以过点A ，B 的切线方程分别为()1114x y y x x -=-和()2224x y y x x -=-，因为()2,2M -为两切线的交点，所以()111224x y x --=-，()222224xy x --=- 所以过A ，B 的直线方程为()22224242x x x xy x y --=-=-=-，即240x y -+=，所以12k =． 18．（1）28y x =；（2）1y x =+或51y x =-+. 【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，由判别式､韦达定理得出12x x +，12x x ，结合已知条件求出k 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）由题设知，双曲线222:1412x y C -=的右顶点为()2,0， ∴22p=，解得4p =， ∴抛物线1C 的标准方程为28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为1y kx =+，联立218y kx y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得()222810k x k x +-+=，由0∆>得()222840k k -->，即2k <， ∴12228k x x k -+=-，1221x x k =. 又∵1FA FB ⋅=，()2,0F ，∴()()1212221FA FB x x y y ⋅=--+=，∴()()()()()()2121212121224111251x x x x kx kx k x x k x x -+++++=++-++=，即2450k k +-=，解得1k =或5k =-，∴直线l 的方程为1y x =+或51y x =-+.19．（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴=，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3)y x -=-，又131********A A y y k y x x y y -====∴=-+， 330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=， 12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A 的距离为：2123|2|y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示. 20．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，算出MA ，MB 的坐标，进而求出+MA MB ，再利用平面向量数量积的坐标表示求出()2OM OA OB ⋅++，根据已知即可求解.（2）若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x=+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，可得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -，进而在PDM △中，当(3,0)Q 为PM 中点时，DQ 为定值.【详解】解：（1）由(1,2)MA x y =--- ，(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--， +=2(1MA MB ∴，()2(,)(2,0)222OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+所以，由已知得2x +，化简得24y x =，所以，曲线C 方程为24y x =.（2）证明：若直线RS y ⊥轴，则直线RS 与曲线C 只有一个交点，不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+，联立24x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，则2=16160m n ∆+>，可得20m n +>，设1122(,)(,)R x y S x y ，，则12124,4y y m y y n +==-，21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为PR PS ⊥，所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016y y y y PR PS y y --++⋅=--，所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++，点(1,2)P 在曲线C 上，显然12y ≠且22y ≠，所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+，所以=25n m +，所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++，因此直线过定点(5,2)M -，所以PM =PDM △是以PM 为斜边的直角三角形，所以PM 中点(3,0)Q满足1=2DQ PM 所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值. 【点睛】关键点点睛：设直线RS 的方程为x my n =+，1122(,)(,)R x y S x y ，，联立24x my ny x =+⎧⎨=⎩，由韦达定理，根据0PR PS ⋅=，得=25n m +，从而得直线过定点(5,2)M -是解决本题的关键. 21．（1）8；（2【分析】(1)写出直线AB 方程，把它与抛物线方程联立消元，用弦长公式即可得解；(2)利用给定条件建立起关于A 、B 的横坐标与0x 的关系式，再利用直线AB 与抛物线相交时A 、B 的横坐标的关系即可得解. 【详解】（1）依题意得焦点(0,1)F ，所以直线AB 方程为1y x =+，把1y x =+与24x y =联立得2440x x --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，于是124x x +=，124x x ⋅=-，所以12||AB x =-=8=；（2）设()22,A t t，(,)CC C xy ，()0,0P x ，由 ||3||AB CD =，//AB CD ，可得||3||AP CP =，即200323()C C t y x t x x ⎧=⎨-=-⎩2013223C C y t t x x ⎧=⎪⎪⇔⎨+⎪=⎪⎩，而点C 在抛物线24x y =上，则有22022433t x t +⎛⎫= ⎪⎝⎭2200220t x t x ⇔--=，令()22,B s s ，同理2200 220s x s x --=，即t ，s 关于x 的方程2200220x x x x --=的两根，于是0s t x +=，202x st =-，直线AB 斜率k (k>0)，联立直线AB 方程：y =kx +1与抛物线方程24x y =得2440x kx --=，则2t ，2s 是此方程的两个根，即224t s ⋅=-，即1ts =-，2012x -=-，解得0x所以0x 【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB x x =-；直线l ：x =my +t 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB y y -. 22．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】(1)由题设条件分析讨论，再用抛物线定义即可得解；(2)求出点A 坐标，利用抛物线方程设出点C ，D 坐标，由条件探求出这两点纵坐标关系即可得解. 【详解】（1）依题意，线段PF 的长度等于P 到0:1l x =-的距离，由抛物线定义知，点P 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，0:1l x =-为准线的抛物线，所以E 的方程为24y x =；（2）将1x =代入24y x =得2y =±，则(1,2)A ，(1,2)B -，如图：设抛物线E 上动点221212(,),(,)44y y C y D y ，显然直线AC ，AD 斜率存在，121124214AC y k y y -==+-，同理242ADk y =+，因为CAB DAB ∠=∠，则0AC AD k k +=，121212440220422y y y y y y +=⇒+++=⇒+=-++，直线CD 的斜率122212124144y y k y y y y -===-+-，即直线CD 的斜率为定值-1.。

高考数学复习考点知识讲解与专题练习61---抛物线

高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0，所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。

高三数学抛物线试题答案及解析

高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。

【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________．【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。

专题21 抛物线(学生版)-【挑战压轴题】备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)

专题21抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明：①直线12Q Q 过定点；②12PQ PQ ⊥．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2的椭圆C 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率；（2）求三角形AMN 面积的最小值.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求实数t 的取值范围．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，若12512S S =，求抛物线的方程．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）求PAB ∆的面积的最大值．9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：PCA PCB ∠=∠.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y +=相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DODB的取值范围．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ).（1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=171．（1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且125G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习60---抛物线(二)

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题60 抛物线（二）一、单项选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN|＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－32．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点M(1，y 0)在抛物线C 上，|MF|＝5y04，则tan ∠FAM ＝( ) A.25 B.52 C.54 D.453．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，a (a>0)在C 上，|AF|＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．4.54．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0，0) C ．(1，2) D ．(1，4) 5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y1y2x1x2的值一定等于A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 26．已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，焦点为F ，则cos ∠AFB=A.45B.35 C ．－35 D ．－457．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3 9．(2021·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的点，则y 12＋y 22的最小值为( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 10．(2021·石家庄市模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M(3，0)．若△MAB 的面积为42，则|AB|＝( )A ．2B ．4C ．2 3D ．8 二、多项选择题11．(2021·山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，以下四个结论中正确的是( ) A ．x 1x 2＝－4B ．|AB|＝y 1＋y 2＋1C ．∠A 1FB 1＝π2D ．AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为212．(2021·山东高考统一模拟)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM|＋|ON|≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2，0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 三、填空题与解答题 13．(2021·山东高考统一模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线l ：4x －3y －2p ＝0在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF →|＝λ|FB →|，则λ＝________． 14．(2020·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 15．(2021·四川遂宁市高三三诊)已知点M(0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若AM →·FM→＝0，则点B 的纵坐标为________． 16．(2021·广西柳州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝3FB →，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为点C ，求四边形OACB 面积的最小值．17．(2021·八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A(2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 18．(2019·课标全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．参考答案1．答案 D 解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线C 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，知AF ，BF 的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y22－y12＝12|y 2－y 1|＝43，所以|y 2－y 1|＝8 3.由题意知直线AB 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x ，得y ＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫y22p －p 2，即3y 2＋2py －3p 2＝0，所以y 1＋y 2＝－2p 3，y 1y 2＝－p 2，于是由|y 2－y 1|＝83，得(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝192，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2p 32＋4p 2＝192，解得p ＝6，p 2＝3，所以抛物线C 的准线方程为x ＝－3.故选D.2．答案 D 解析过点M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则|MN|＝y 0＋p2＝5y04，故y 0＝2p.又M(1，y 0)在抛物线上，故y 0＝12p ，于是2p ＝12p ，解得p ＝12， ∴|MN|＝54，∴tan ∠FAM ＝tan ∠AMN ＝|AN||MN|＝45.故选D.3．答案 C 解析结合抛物线的性质可得p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以点A 的坐标为(1，22)，所以直线AB 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线方程，计算B 的坐标为(4，－42)，所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝9.故选C.4．答案 A 解析设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选A.5．答案 A 解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋p2k24＝0，则x 1x 2＝p24.∵y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.6．答案 D 解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－810＝－45.故选D.7．答案 D 解析过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F(1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.8．答案 A 解析方法一：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A.方法二：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF|∶|MF|＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2.故选A. 方法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A. 9．答案 D 解析当直线的斜率不存在时，方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 12＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上可知，y 12＋y 22≥32. ∴y 12＋y 22的最小值为32.故选D. 10．答案 D解析抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1，0)，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，可得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，则|AB|＝1＋t2·|y 1－y 2|＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋t2·16t2＋16， △MAB 的面积为12|MF|·|y 1－y 2|＝12×2|y 1－y 2|＝42，即16t2＋16＝42，解得t ＝±1，则|AB|＝1＋1·16＋16＝8.故选D. 11．答案 ACD解析抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，A 正确； |AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2，B 不正确；FA1→＝(x 1，－2)，FB1→＝(x 2，－2)，∴FA1→·FB1→＝x 1x 2＋4＝0，∴FA1→⊥FB1→，∠A 1FB 1＝π2，C 正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(y 1＋y 2＋2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1＋2)＝12(4k 2＋4)≥2.当k ＝0时取得最小值2，D 正确．故选ACD. 12．答案 CD 解析不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON ＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为：y ＝22x 和y ＝－22x.与抛物线方程联立，得M(2，2)，N(2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM|＋|ON|＝26，以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k ，因为k OM ·k ON ＝－12，所以y1x1·y2x2＝－12，则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 22y 12，则y 1y 2＝－2，所以mk ＝－2，即m ＝－2k ，所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k(x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q(2，0)的动直线，故C 正确；易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2，即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故D 正确．故选CD. 13．答案 4解析直线l ：当y ＝0时，x ＝p2，∴直线l 过抛物线的焦点，A ，F ，B 三点共线，联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y2＝2px ，4x －3y －2p ＝0，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，解得：x A ＝2p ，x B ＝p 8，∴|AF|＝x A ＋p 2＝52p ，|BF|＝x B ＋p 2＝58p ，λ＝|AF→||FB →|＝4.14．答案 15解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.15．答案－1解析因为点M(0，2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2，由AM →·FM →＝0可得AM ⊥FM ，所以直线AM 的斜率k AM ＝12，所以直线AM 的方程为y －2＝12x ，即y ＝12x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y2＝4x 化简得x 2－8x ＋16＝0，解得x ＝4，可得点A(4，4)，所以直线AF 的斜率k AF ＝44－1＝43，所以直线AF 的方程为：y ＝43(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝43（x －1），消去x 可得：y 2－3y －4＝0，解得y ＝－1或y ＝4，所以点B 的纵坐标为－1. 16．答案 (1)3或－ 3 (2)4解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1，将直线AB 与抛物线联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ⇒y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∵AF →＝3FB →⇒y 1＝－3y 2⇒m 2＝13，∴斜率为1m＝3或－ 3. (2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12|OF|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝16m2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 17．答案 B解析方法一(设而要求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p ，∴p ＝1，∴y 2＝2x ，过A(2，2)作圆C 的切线，设切线斜率为k.则切线方程为：y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴|2k －0－2k ＋2|k2＋1＝1，∴k ＝±3.当k ＝3时，切线方程为：y －2＝3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8－433，y ＝233－2，则B ⎝⎛⎭⎪⎫8－433，23－63，当k ＝－3时，切线方程为：y－2＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝－3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋433，y ＝－233－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋433，－23＋63， ∴k BC ＝－12，y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0，故选B. 方法二(设而不求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p.∴p ＝1.∴y 2＝2x.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c22，c ，则BC ：2x －(b ＋c)y ＋bc ＝0，AC ：2x －(2＋c)y ＋2c ＝0，可得：|4＋2c|4＋（2＋c ）2＝1，化简，得：3c 2＋12c ＋8＝0.同理，3b 2＋12b ＋8＝0，于是b ，c 是方程3t 2＋12t ＋8＝0的两个根，∴b ＋c ＝－4，bc ＝83，BC ：2x ＋4y ＋83＝0，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B.18．答案 (1)证明略 (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2 解析 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A(x 1，y 1)，则x 12＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y1＋12x1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B(x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t2＋12. 由于EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t)平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.。

2022年高考数学一轮复习专题专题41抛物线基础巩固检测题解析版.docx

专题41抛物线基础巩固检测题(解析版)一、单选题1.过抛物线十=4》的焦点F 的直线交抛物线于AB 两点，若F 是线段AB 的中点,则 |AB |=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径所以|AB| = 4 故选：D2. F 为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则P=()【答案】D 【分析】由抛物线：/=2px(p>0)可得准线/的方程为：x = --|,设点P(x,y),再由点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,可得x + ^ = 10, y = ±6,再与抛物线方 2 程y2=2px(p 〉0),联立解方程组，即可求解.【详解】解：由题意可得：抛物线V=2px(p>0)的准线/的方程为：x =-宣设点P(x, y),又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6, 即。

的值分别为18或2.故选：D. 【点睛】B. 4C. 4 或9D. 2或18所以有，》+农102y = ±6 ,解得＜y 2 =2 pxx = l 、或＜ [p = 18|x = 9[P = 2‘A. 2本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3.已知抛物线方程为必=4>,则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1)B. ^-―C.D. (0,1)【答案】D【分析】根据抛物线方程求出。

=2，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】由抛物线方程x2=4y可知2p = 4,所以p = 2,又抛物线的焦点在V轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选：D4.已知抛物线C:x2=2py(p〉0)的焦点在直线x+y-1 = 0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60。

的直线交抛物线C于A、8两点，则|仙|=( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【分析】直线x+y-l =。

历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ，则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1，作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ，则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上，且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ，即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ，代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ，则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ，可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)，则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4，所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0，解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2，由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22，又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0，所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2，所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

「精选」人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案-精选文档

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y024＋1＝3，解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8，令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，精选文档可编辑修改11 直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.精选文档可编辑修改12法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

2024高考数学常考题型抛物线定义及性质常考5种题型(解析版)

第21讲抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一：抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．考点二：抛物线焦点弦焦半径公式图1-3-1图1-3-2焦半径：21p x AF +=，22p x BF +=，||||1cos 1cos p p AF BF αα==-+；．焦点弦：1222||sin pAB x x p a=++=．三角形面积：22sin AOB p S △α=．【题型目录】题型一：抛物线的定义及方程题型二：抛物线的性质题型三：抛物线焦点弦焦半径题型四：有关三角形面积问题题型五：抛物线中的最值问题【典型例题】题型一：抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点)0M y 满足3||2MF p =，则p =（）A ．1B ．2C ．12D ．32【例2】抛物线218y x =-的准线方程是（）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-【例3】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM△的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为81π，则p =（）A ．6B ．8C ．10D ．12【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【例5】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=而圆心C 是线段11A B 的中点，又1AA ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 则4,4y y t y y +==-，||(y y -=【题型专练】1.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，准线为l ，则下列说法正确的是（）A ．焦点F 到准线l 的距离为1B ．焦点F 的坐标为(1,0)C ．准线l 的方程为116y =-D ．对称轴为x 轴2.抛物线2:16C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，12MF =，则M 到y 轴的距离是（）A ．4B ．8C ．10D ．123.已知抛物线2:2C y x =的焦点为,(,)F A m n 是抛物线C 上的一点，若52AF =，则OAF △(O 为坐标原点)的面积是（）A ．12B ．1C ．2D ．44．（2022·广东广州·高二期末）已知圆()2214x y -+=与抛物线()220x py p =>的准线相切，则p =（）A ．1B ．2C ．4D ．85.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185##3.6【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，因为抛物线过点()6,5-，所以36所以抛物线的焦点到准线的距离为题型二：抛物线的性质【例1】抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则p =（）A ．2B ．12C ．6D ．16【例2】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，PQ 垂直l 于点Q ，QF 与y 轴交于点T ，O 为坐标原点，且1OT =，则PF =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知P ，Q 是抛物线2:4C x y =上位于不同象限的两点，分别过P ，Q 作C 的切线，两条切线相交于点T ，F 为C 的焦点，若2=FP ，5FQ =，则F T =（）A ．5B C ．D ．4【答案】B根据抛物线的定义，可知1P FP y =+=所以P 的纵坐标为1，Q 的纵坐标为4，则由24x y =得24x y =，得2x y '=，所以抛物线在得到两条切线方程并联立124y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得所以()2212110FT =+--=．故选：B【例4】已知点A 是抛物线C ：22x y =上一点，F 为焦点，O 为坐标原点，若以点O 为圆心，以OA 的长为半径的圆与抛物线C 的另一个交点为B ，且π3AOB ∠=，则AF 的值是（）A ．112B ．6C ．132D ．7【例5】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【题型专练】1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若3AF FB =，4BD = ，则p =（）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B【分析】作出辅助线，由抛物线定义得到则11BB FK AA ∥∥．根据抛物线定义知又3AF FB = ，4BD = ，所以设1DBB θ∠=，因为1BB ∥则11cos BB AA DBDAAB θ===2.已知抛物线()2:20C y px p =>过点()1,2B ，过点()1,0A -的直线交抛物线于M ，N 两点，点N 在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF ，MF 分别交抛物线于P ，Q 两点，则（）A ．4MF NF ⋅>B ．2OM ON OB ⋅=C ．A ，P ，Q 三点共线D ．4AMP π∠≤3.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，O 为原点，若OAF △为等腰三角形，则点A 的横坐标可能为（）A ．2B 1C 2D ．24.设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若90ABD ∠=︒，且ABF 的面积为）A ．3BF =B ．ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为212y x=因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |所以ABF 是等边三角形，故B 正确；所以∠FBD ＝30°.因为ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.故A 错误；5.已知C ：()220y px p =>的焦点为FF 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则（）A ．2p =B ．F 为线段AD 的中点C ．2BD BF =D ．2BF =6.已知点F 是抛物线2:8E y x =的焦点，A ，B ，C 为E 上三点，且0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=___________．【答案】12【分析】根据题意可得F 为△ABC 的重心，根据重心坐标公式再结合抛物线定义1||2FA x =+代入整理计算．题型三：抛物线焦点弦焦半径【例1】过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，若2,AF FB =若直线l 的斜率为k ，则k =（）A ．B ．-C ．-D 或【例2】已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的倾斜角为45 ，则8AB =B ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±C ．若O 为坐标原点，则,,B O C 三点共线^ D．CF DF消x 可得222440,Δ(4)1616160,y m y m m --==-+=+>121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，()()122,,2,FC y FD y =-=-，所以()()12122,2,40FC FD y y y y ⋅=-⋅-=+=，即CF DF ^，故D 正确.故选：ACD.【例3】已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为（）A ．32B ．2C ．3D ．5【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B2.设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）A ．3B ．8C ．12D ．3．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>4.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，过F 分别作直线1l 与C 交于A ，B 两点，作直线2l 与C 交于D ，E 两点，若直线1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为_________题型四：有关三角形面积问题【例1】经过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AOB S =△O 为坐标原点），则直线l 的斜率为______．【例2】抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，直线20l y --=与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在第一象限），则AOF AOBS S 的值等于________.【答案】34【题型专练】1.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则三角形AOB 的面积是（O 为坐标原点）（）A B C ．3D ．1632.已知斜率为()0k k >的直线过抛物线C ：24y x =的焦点F 且与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若1ABB △与1ABA △的面积之比为2，则k 的值为（）A B ．12C ．2D ．由抛物线C ：24y x =，得(1,0F题型五：抛物线中的最值问题【例1】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D 【例2】已知P 为抛物线24y x =上任意一点，F 为抛物线的焦点，()4,2M 为平面内一定点，则PF PM+的最小值为__________．当,,P M A 共线时，和最小；过点最小值为5.故答案为：5.【例3】已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，【例4】已知抛物线2:8C y x =及圆22():21M x y -+=，过()2,0的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为___________.圆心()2,0M 即为抛物线C 的焦点F .所以()(414AP BQ AF BF +=-+-【题型专练】1.已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x=的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．52B ．2C ．2D ()1,0F - ，则1210452d d --==++故选：B ．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点距离．牢记它对解题非常有益．2.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________.3.（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知P 为抛物线24y x =上的一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上的一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是______.14．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆。

专题23--抛物线(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

(1)若1l 过抛物线C 的焦点，且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =，且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点，求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出【答案】(1)22；λ=，理由见解析(2)存在2（1）由已知可得DN为抛物线的准线．（2）λ=，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点，求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q，交抛物线2C于点M（Q，M值，并求当p取最大时直线l的斜率．(1)证明：以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围；(2)设D是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆PCD的面积存在最大值．【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；32⎛⎫(1)当k 取不同数值时，求直线l 与抛物线公共点的个数；(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值，若有，找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在，()0,0M （1）420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：1x 、0x 、2x 成等差数列，(3)若A ，F ，B 三点共线，求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ，准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-，4（1）(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ，且AM MB =，求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540，此时直线(1)求抛物线的方程；(2)若||||AB CD =，求凹四边形OEBC 面积的最小值．【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤，2(22)S m =++②若0m >，((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述，凹四边形OEBC 面积的最小值是。

高考数学考点过关检测37__抛物线

考点过关检测37__抛物线一、单项选择题1．[2022·湖南常德一中月考]在平面直角坐标系中，已知点M (2,0)，点B 为直线l ：x ＝－2上的动点，点A 在线段MB 的垂直平分线上，且AB ⊥l ，则动点A 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．x 2＝4y2．[2022·福建福州模拟]若抛物线y ＝mx 2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3，则( )A ．m ＝14B ．m ＝12C ．m ＝2D ．m ＝43．[2022·辽宁沈阳模拟]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 为C 在第一象限上一点，若PF 的中点到y 轴的距离为3，则直线PF 的斜率为( )A. 2 B ．22C ．2D ．44．已知△ABC 的三个顶点都在抛物线T ：y 2＝2px (p >0)，且C (2，－8)，抛物线T 的焦点F 为△ABC 的重心，则|AF |＋|BF |＝( )A ．40B ．38C ．36D ．345．[2022·湖北襄阳模拟]过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l 的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是( )A.12B ．2C ．4D ．36．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若CB →＝4BF →，则|AF ||BF |＝( ) A.53 B.52C ．3D ．27．[2022·山东济南模拟]已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．若直线AB 的斜率为33，点A 的纵坐标为32，则p 的值为( ) A.14 B.12C ．1D ．28．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52，若点M 的坐标为(0,1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x二、多项选择题9．[2022·江苏海安高级中学月考]下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y ＝12x 2＋x D ．x 2＝－2y 10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则下列结论正确的是( )A ．准线方程为x ＝－3B ．焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0C ．点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33 D ．PF 的长为311．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则下列结论正确的是( )A ．若直线l ⊥x 轴，则|AB |＝2B ．x 1·x 2＝12C ．y 1·y 2＝－4D ．∠A 1FB 1＝π212．[2022·河北沧州模拟]已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线C 交于A ，B两点，抛物线C 的准线上一点M (－1，－1)，满足MA →·MB →＝0，则( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．|AB |＝5D ．△MAB 的面积为552三、填空题13. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如图所示，沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝2px (p >0)反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则p ＝________.14．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．15．[2022·广东深圳模拟]设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 作倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，若|AF |－|BF |＝4，则|AB |＝________.16．[2022·湖北武汉模拟]已知M (a,4)是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为6，则p ＝________；若过点P (4,1)向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则|AF |·|BF |＝________.四、解答题17．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l ：2x －y ＋m ＝0与C 相交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，已知点A 到y 轴的距离为2，到点F 的距离为52. (1)求C 的方程；(2)求△ABF 的面积．18．已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离为1，且到y 轴的距离是38. (1)求抛物线的标准方程；(2)假设直线l 通过点M (3,1)，与抛物线相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．。

考点44 抛物线——2021年高考数学专题复习真题附解析

考点44 抛物线(练习)【题组一抛物线的定义及运用】1．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是。

【答案】74【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4F ，准线方程为14x =-，设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017||2,44MF x x =+=∴=. 2．若点A 为抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，5AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则PA PF +的最小值为。

【解析】由题意可知，2p =，()1,0F ，由抛物线的定义可知，152A A pAF x x =+=+=， ∴4A x =，代入抛物线方程，得216A y =，不妨取点A 为()4,4，设点F 关于1x =-的对称点为E ，则()3,0E -，∴PA PF PA PE AE +=+≥==3．抛物线216x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为。

【答案】6【解析】拋物线216x y =的焦点为()0,4F ，圆22680x y x +-+=的圆心为()3,0C ，半径1r =， F 到圆C 上点的距离的最大值为||6FC r +=.4．F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为。

【答案】72【解析】F 是抛物线22y x =的焦点,1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,准线方程12x =-,设()()1122,,A x y B x y ,1211||||822AF BF x x ∴+=+++=, 127x x ∴+=,∴线段AB 的中点横坐标为72, ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为725．已知定点(3,4)M ,F 为抛物线28y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,当PM PF +取最小值时,点P 的坐标为____________. 【答案】(2,4) 【解析】由抛物线方程可知焦点()20F ，，准线方程为2x =-，设P 在抛物线准线方程上射影为P '，∵点P 到准线的距离与P 到焦点距离相等，∴PM PF PM PP +=+'，当3x =，代入抛物线方程求得y =±∴M 点抛物线的内部，当P '，P ，M 三点共线时，PM PP +'的值最小，此时5PM PP MP +='='，此时P 的纵坐标为4，2x =，即P 的坐标为()2,4，故答案为()2,4.6．已知点P 为抛物线24y x =上的动点，过点P 作圆()2231x y +-=的切线，切点为A ，则P A 的最小值为_________. 【答案】1【解析】圆()2231x y +-=的圆心()0,3C ，半径1r =，由切线的性质可得PA ==，若要使PA 最小，则PC 取最小值，设200,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PC == 令()426916x f x x x =+-+，则()3264x f x x '=+-，易知()f x '单调递增，且()20f '=，所以()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()22f x f ≥=，所以420006916y y y +-+的最小值为2即PC ，所以min 1PA ==.故答案为：1.【题组二抛物线的标准方程】1．已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为p ，则p = 。

2023届新高考数学：抛物线及其性质(B卷)

2023届新高考数学高频考点专项练习：专题十四考点39 抛物线及其性质（B 卷）1.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( )A.2B.3C.4D.82.抛物线22y x =上的一点P 到原点的距离为22P 到抛物线准线的距离为( ) A.222 C.52D.323.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线3y =与抛物线交于A ，B 两点，||4AF =，则抛物线C 的方程为( )A.24x y =B.22x y =C.2x y =D.212x y =4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为( )A.43B.4C.3D.25.已知抛物线22(0)y px p =>过点122A ⎛ ⎝，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ=( )A.13B.12C.2D.36.已知拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0,22M x 02x p ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2x p =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是( ) A.2y x =B.22y x =C.24y x =D.28y x =7.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，交其准线于点C ，且,A C 位于x 轴同侧.若||2||AC AF =，则||BF =( ) A.2B.3C.4D.58. (多选)在平面直角坐标系xOy 中，点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是( )A.抛物线的准线方程为1x =-B.17||4MN =C.OMN △的面积为72D.||||||||MF NF MF NF +=⋅9. (多选)已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y px =上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，以下说法正确的是( ) A.当MAF △为正三角形时，p 的值为2 B.存在点M ，使得MA MF -=0 C.若3MF FA =，则3p =D.若||||OM MA +的最小值为213，则4p =或1210.一条光线从抛物线22(0)y px p =>的焦点F 射出，经抛物线上一点B 反射后，反射光线经过点(5,4)A ，若||||6AB FB +=，则抛物线的标准方程为__________.11.已知l 为拋物线28y x =的准线，拋物线上的点M 到直线l 的距离为d ，点A 的坐标为(1,4)，则AM d +的最小值是______________.12.已知点(1,0)A -是抛物线22y px =的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则||||PF PA 的最小值为_______. 13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为C ，D ，若||4||AF BF =，则p =_____.三角形CDF 的面积为________.14.已知抛物线2:2(1)C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54. (1)求抛物线C 的方程；(2)点(,4)E t 在抛物线C 上，过点(0,2)D 的直线l 与抛物线C 交于()()()112212,,,0,0A x y B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE ，OB 交于点M ，N (O 为坐标原点)，求证：||||AM MN =.15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m -为抛物线上一点，||2MF =. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)过M 的两直线交抛物线于A ，B ，且AMB ∠的平分线平行于y 轴，试判断AMB △的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴椭圆2213x y pp+=的一个焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，234p p p ∴-=，又0p >，8p ∴=. 2.答案：C解析：设()()000,0P x y x >，则2002y x =，22200(22)8x y +==，即200280x x +-=，解得02x =或-4（舍去）.抛物线的准线方程为12x =-，所以点P 到准线的距离为15222+=.故选C. 3.答案：A解析：法一抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为2py =-.因为||4AF =，所以由抛物线的定义得342p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.故选A. 法二设直线3y =与y 轴的交点为D ，()1,3A x ，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，216x p =，当点D与点F 重合时，则32p=，6p =，1||||6AF AD x ===，与题意不符，所以点D 与点F 不重合.则由勾股定理得222||||||AF AD DF -=，即216632p p ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，解得2p =（负值舍去），所以抛物线C 的方程为24x y =.故选A. 4.答案：A解析：法一由题意可知，2p =，则(1,0)F ，抛物线的准线方程为直线1x =-，||||BF BN =，||||AF AM =.因为||2||BC BN =，所以||2||BC BF =，所以||2||3BC CF =，所以||23BN p =，所以4||||3BN BF ==，8||3BC =，所以||4CF =.因为||||||p CF AM CA =，所以2||44||||||4||4||CF AM CF AF AF AM ===+++，解得||4AM =，所以||4AF =，点F 到AM 的224223-，所以1423432AFM S =⨯⨯△，故选A.法二因为||2||BC BN =，所以||2||BC BF =，所以30BCN ∠=︒，即60CAM ∠=︒.连接FM ，又AM AF =，所以AFM △为等边三角形.易得||4AM =，所以23443AFM S ==△，故选A. 5.答案：C解析：把122⎛ ⎝代入抛物线的方程，得122p ⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，则(1,0)B -，设2,4M M y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,22AB ⎛=-- ⎝，21,4M M y MB y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.由MB AB λ=，得231, 422,M My y λλ⎧--=-⎪⎨⎪-=⎩解得2λ=或1λ=（舍去），故选C. 6.答案：C解析：过M 作MD EG ⊥，垂足为D .由点0(,22)M x 在抛物线上，得082px =，所以04px =①由题意得0||,2p DM x =-0||,2p MF x =+因为1sin ,3MFG ∠=所以1||||3DM MF =. 所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即0x p =.② 由①②解得02x p ==-（舍去）或02x p ==，故抛物线C 的方程是24y x =.故选C. 7.答案：C解析：设抛物线24y x =的准线为l ，准线l 与x 轴交于点H ，则(1,0)F ，:1l x =-，||2HF p ==，过A 作AD l ⊥，垂足为D ，由抛物线的定义可知||||AF AD =，||2||AC AF =，||2||AC AD ∴=，||||2||||3AD AC HF CF ==，则1216||3AB x x p =++=， π6ACD ∠=，16||||3AF BF ∴+=，||4BF ∴=，故选C.8.答案：AD解析：点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，24242p p ∴=⨯⇒=，24y x ∴=，焦点F 为(1,0)，准线为直线1x =-，A 正确.(4,4)M ，404413MF k -∴==-，故直线MF 的方程为4(1)3y x =-.联立224,14174044(1)3y x x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⇒=⎨=-⎪⎩或4x =，4M x =，1,14N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，||452p MF ∴=+=，15||424p NF =+=，525||544MN ∴=+=，B 错误.25||||||||||4MF NF MN MF NF +===⋅，D 正确.OMN △的面积为()115||15222M N OF y y ⋅-=⨯⨯=，C 错误.故选AD.快解由上解析知抛物线24y x =，直线MN 的斜率为43，设直线MN 的倾斜角为α，则4tan 3α=，4sin 5α=.所以2225||sin 4p MN α==，252sin 2OMNp S α==△，1121||||MF NF p+==，所以||||||||MF NF MF NF +=⋅. 9.答案：AC解析：对于A ，当MAF △为正三角形时，4AF AM MF ===，如图所示，设抛物线C 的准线交x 轴于点N ，则由抛物线的定义知AM 与准线垂直，在正三角形MAF 中，60AMF ∠=︒，所以30FMN ∠=︒，所以1|||2|NF MF =，而||NF p =，所以1||22p MF ==，故A 正确；对于B ，假设存在点M ，使得MA MF -=0，即MA MF =，则点A ，F 重合，与已知条件矛盾，所以B 不正确；对于C ，若3MF FA =，则||:||3:4MF MA =，如图，过点A 作抛物线C 的准线的垂线并交准线于点E ，设准线交x 轴于点B ，由抛物线的定义可知||||4AE AF ==，易知~MFB MAE △△，则||||||||MF FB MA AE =，即344p =，解得3p =，所以C 正确；对于D ，如图，作O 关于抛物线C 的准线的对称点(,0)O p '-，连接AO '交准线于点M ，过点A 作抛物线C 的准线的垂线并交准线于点D ，由对称性知，min (||||)OM MA AO '+=，由抛物线的定义可知||||42A p AD AF x ==+=，则42A px =-，代入抛物线C 的方程，得2242A p y p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()222242422A O A p p AO x x y p '⎛⎫⎛⎫'=-+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2231216(213)4p p -++=，化简可得216480p p -+=，解得4p =或12p =.当12p =时，||6||42pOF AF ==>=，所以12p =不符合题意，所以4p =，所以D 不正确.故选AC.10.答案：24y x =解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，||||6AB FB +=，562p∴+=，2p ∴=，∴抛物线的标准方程为24y x =. 11.17解析：抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，准线方程为2x =-，连接FM ，MA .由拋物线定义，得MF d =，所以22(12)(40)17AM d AM MF AF +=+≥-+-A ，M ，F三点共线时，取等号，所以AM d +1712.2 解析：依题意知12p =，所以2p =，因此抛物线方程为24y x =，(1,0)F .设()00,P x y ，则()()22200002220000121||||611x y x x PF PA x x x y -+++==++++200022000046112121x x x x x x x ==+++++++004112x x =+++，因为00x >，所以00001122x x x x +≥⋅=，当且仅当001x x =，即01x =是等号成立，因此00124x x ++≥，004112x x ≤++0041212x x +++0024112x x ≥+++，即当01x =时，||||PF PA 2. 13.答案：2；5解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =. 如图所示，过点B 作BMl ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，又||4||AF BF =，所以||3||AM BF =，||5||AB BF =，所以||4||BM BF =，因为AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率||4tan ||3BM k BAM AM =∠===，则直线AB 的方程为4(1)3y x =-，设点()11,A x y ，()2,B x y ，由24(1), 34,yx y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理，得241740x x -+=，所以12174x x +=，所以1225||4AB x x p =++=，所以254||||||sin 545CD BM AB BAM ==∠=⨯=，所以CDF 的面积为15252⨯⨯=.14.答案：(1)方程为24y x =. (2)证明过程见解析.解析：(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=. 由抛物线的定义可得015||2224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =(舍去). 故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(,4)E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以(4,4)E ，直线OE 的方程为y x =. 易知()11,H x y -，12,x x 均不为0. 由题意知直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+>，联立，得22,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y ，得22(44)40k x k x +-+=.则22(44)1616320k k k ∆=--=->，得102k <<，所以12244k x x k -+=，1224x x k =. 由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x =，故1212,x y N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 数形结合可知，要证||||AM MN =，即证12M N y y y =+，即证121122x y y x x +=，即证1221122x y x y x x +=，即证()1212(22)20k x x x x -++=，则22488(22)0k k k k--⨯+=，此等式显然成立，所以||||AM MN =. 15.答案：(1)标准方程为24y x =.(2)有最大值，最大值为6.解析：(1)因为(,2)M m -为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，所以422m p p==. 因为||2MF =，所以22p m =+，即222p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.(2)由(1)得，(1,2)M -.设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为AMB ∠的平分线平行于y 轴，所以MA MB k k =-，得122212221144y y y y ++=---，即()()()()121122222222y y y y y y ++=-+-+-，整理得124y y +=，所以212221144AB y y k y y -==-. 设直线211:4AB y l y y x -=-，即21104y x y y -+-=，点M 到直线AB l 的距离211342y y d +-=，2221121||22244y y AB y y y =-=-=-，所以()2112111341122|216||2242ABM y y S y y y +-=-=---∣△. 令12y t -=，由124y y +=，120,0y y ≥≥得22t -≤≤，所以31164ABM S t t =-△. 因为31()164f t t t =-是偶函数，所以只需讨论02t ≤≤的情况.当02t ≤≤时，令3()16g t t t =-，则2()1630g t t '=->，所以3()16g t t t =-在[0,2]上单调递增，所以3()16g t t t =-的最大值为(2)24g =，即31164ABM S t t =-△的最大值为1(2)(2)64f g ==. 综上可知，AMB △的面积有最大值，最大值为6.。

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推荐学习年高考数学-个必考点－专题-抛物线检测————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：专题2１抛物线一、基础过关题1.(2０１8全国卷III)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点．若,则_＿＿_____．【答案】【解析】依题意得，抛物线的焦点为,故可设直线，联立消去得,设,，则，，∴,.又，,∴,∴．２.(2０１7·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过Ｆ的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·＝-1２,那么抛物线C的方程为( )A.x2＝8yＢ．x2=4yC．y2=8x D.y2=４x【答案】 C３．已知抛物线y 2=2ｐx (p >０），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段ＡＢ的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A.x =１B.ｘ＝－1C.x =2 D ．x =-2 【答案】 B【解析】 ∵ｙ２=２px (p ＞0)的焦点坐标为（2p,0), ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －2p，即x ＝y +2p ,将其代入y 2=2ｐx ,得y ２=2ｐy ＋p 2,即y 2－2py －ｐ2＝０.设A (ｘ１,ｙ1），B (x 2,y ２), 则y １+y ２＝2ｐ,∴2y1＋y2＝p =2, ∴抛物线的方程为y 2=4x ，其准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线y 2＝２px (p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A （ｘ1，y １)，B (x 2，y ２)，则x1x2y1y2的值一定等于( )A ．-4 B.4 C.p 2 D ．－p ２【答案】 A5.如图,过抛物线y2=2px(p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC｜＝2｜BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为( )Ａ．y2=9xB．y２=6xC.y2=３xD．y2=x【答案】 C【解析】如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于Ｂ1，6.抛物线y 2=4x 的焦点为Ｆ，点P (x ，y ）为该抛物线上的动点,若点A (-1,0），则|PA||PF|的最小值是( ) A ．21 Ｂ．22 C.23 Ｄ.32【答案】 B【解析】抛物线ｙ２＝4x 的准线方程为x =－1,如图，过Ｐ作P Ｎ垂直直线ｘ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|ＰF |=|ＰＮ｜，连接P Ａ，在Ｒt△PAN 中,s ｉｎ∠P ＡN ＝|PA||PN|，当|PA||PN|＝|PA||PF|最小时，s ｉn ∠PAN 最小，即∠PAN 最小,即∠PAF 最大,此时,PA 为抛物线的切线,设PA 的方程为y =ｋ(x ＋1)，联立y2＝4x ，y ＝k(x ＋1，得k 2ｘ2＋（2k 2-4)x +k 2＝0，所以Δ=(２k 2－4)2-4k 4=0,解得k =±１，所以∠ＰA Ｆ＝∠NPA =45°,|PA||PF|=|PA||PN|＝ｃｏs ∠ＮＰA ＝22,故选B.7．设F 为抛物线Ｃ:y 2=３x 的焦点，过Ｆ且倾斜角为30°的直线交C 于Ａ，Ｂ两点，则｜AB |=_______＿.【答案】１2８.已知抛物线Ｃ:ｙ2=2px (p >0）的准线为l ，过M (1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ,若=,则p ＝___＿____.【答案】２【解析】如图，由ＡＢ的斜率为,知∠α=６0°,又=，∴M 为ＡＢ的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝6０°,∴∠BA Ｐ=3０°,∴|BP |＝21｜AB ｜＝|BM |. ∴M 为焦点,即2p＝1,∴ｐ＝2. 9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：ｙ２=8x 的焦点重合，Ａ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|ＡB |=______＿_.【答案】 6【解析】抛物线ｙ2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为a2x2+b2y2=1（a >b ＞０），由题意,c =2，a c =21,可得a =４,b 2＝1６-４＝12. 故椭圆方程为16x2＋12y2＝１．把x =－2代入椭圆方程，解得y ＝±３.从而｜AB |＝６.1０．(20１6·沈阳模拟）已知过抛物线y 2＝2ｐx (ｐ＞0)的焦点，斜率为２的直线交抛物线于Ａ(x 1，y １),B (x 2,y 2)(ｘ1＜x ２)两点，且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程为y 2＝8x ;(２)Ｏ为坐标原点，Ｃ为抛物线上一点,若＝+λ,求λ的值.【答案】(1）该抛物线的方程；(２) λ=０或λ=2.二、能力提高题1.（2０16·上饶四校联考)设抛物线Ｃ：y2=3px（ｐ>0）的焦点为Ｆ，点M在C上,|ＭF|＝5，若以MF为直径的圆过点(０,２),则抛物线C的方程为( )A．y2＝4x或y2=8xﻩＢ．ｙ2=2x或y２=８xC．y2＝４x或y２＝16ｘﻩD.y2=2x或ｙ２＝１6x【答案】 C2.设直线l 与抛物线y ２=4ｘ相交于Ａ，B 两点，与圆(ｘ－5)2＋ｙ２=r 2(r ＞０）相切于点M ，且M 为线段A Ｂ的中点．若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是_____＿＿＿____＿___．【答案】 (2,4)【解析】如图,设A (x 1，y １），Ｂ(x 2，y 2),M (ｘ0，y ０)，则＝4x2，2两式相减得，(ｙ１＋ｙ2）(y １-y 2)＝４(ｘ1-ｘ2).当ｌ的斜率ｋ不存在时,符合条件的直线l 必有两条．3．设Ｐ，Ｑ是抛物线y 2=2ｐx (p >0）上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为４,且·=0.（１)求该抛物线的标准方程;(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点,试求弦ＰR 长度的最小值．【答案】（1）该抛物线的方程为ｙ2＝2ｘ；(2) |PR |最小值为４．【解析】(１)设P (x 1，ｙ1)，Q （x 2，ｙ2)，∵·=0，则x 1ｘ2+y 1y ２＝0.又点Ｐ,Ｑ在抛物线上,∴y 12=２px 1，y 22=2ｐx 2，代入得1·2＋y 1y ２=0,y １y ２＝-4p 2,∴|x 1ｘ2|＝4p2(y1y22=４p ２．又｜ｘ１x 2|=4，∴4ｐ2=４，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y ２=２x . (2)设直线ＰＱ过点Ｅ（a ，0)且方程为x =ｍy +ａ，联立方程组y2＝2x ，x ＝my ＋a ，消去x 得y 2－２ｍy －2a ＝0，∴y1y2＝－2a ，y1＋y2＝2m ，①设直线ＰR 与x 轴交于点Ｍ（b,0)，则可设直线PR 的方程为ｘ=ｎy +b ,并设Ｒ(x ３，y 3),同理可知，y1y3＝－2b ，y1＋y3＝2n ，②由①②可得y2y3＝a b.由题意得，Ｑ为线段ＲＴ的中点，∴y 3＝２ｙ2,∴b ＝2a ．又由(1)知,y 1ｙ2＝-4,代入①,可得-2ａ＝-４，∴ａ=2,∴b ＝4，y 1y 3=-8， ∴|P Ｒ|＝|ｙ1-y 3|=·＝２·≥4.当ｎ＝0，即直线ＰR 垂直于ｘ轴时,|PR |取最小值4.4．如图，由部分抛物线：y 2=m ｘ+１(ｍ>０，x ≥0)和半圆x 2＋ｙ２=ｒ２(ｘ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和（-21，23).（1)求“黄金抛物线C ”的方程;(2)设P (0,1)和Q (0,-1）,过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ,P ，B 三点,问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ?若存在,求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 黄金抛物线C 的方程为y ２＝x ＋1(ｘ≥０)和x 2+ｙ2＝１(x ≤０)；（2) 存在直线l ：ｙ＝(－１)x +1,使得Q Ｐ平分∠ＡQB .（2)假设存在这样的直线ｌ，使得QP 平分∠AQ Ｂ，显然直线l 的斜率存在且不为０,设直线l :ｙ＝ｋｘ+1，联立y2＝x ＋1，y ＝kx ＋1，消去y ，得k ２ｘ2+(2k －1)ｘ=0，∴x B ＝k21－2k ，ｙB =k 1－k ，即B (k21－2k ,k 1－k ),∴k BQ =1－2k k，联立x2＋y2＝1，y ＝kx ＋1，消去y ,得(ｋ2＋1)ｘ２＋2kx ＝0，∴x A ＝-k2＋12k ，ｙA =k2＋11－k2，即A (－k2＋12k ，k2＋11－k2)，∴ｋAQ =－k 1, ∵Q Ｐ平分∠AQ Ｂ，∴k ＡＱ+k BQ =0，∴1－2k k －k 1＝0,解得k ＝－1±，由图形可得ｋ=-１－应舍去,∴k ＝－1,∴存在直线l ：y =(-1）x ＋1,使得ＱP 平分∠AQB ．５. (2018高考北京卷19)已知抛物线C :=２px 经过点（１,2)．过点Ｑ(0,1)的直线l与抛物线C 有两个不同的交点Ａ，B ,且直线ＰA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．(Ⅱ）设A(x1,y1）,Ｂ（ｘ2,y2）.由（Ｉ)知，.直线PA的方程为ｙ–2=.令x=0,得点Ｍ的纵坐标为.同理得点Ｎ的纵坐标为．由，得，．所以. 所以为定值.6.（2018高考浙江卷21）如图,已知点P是y轴左侧（不含y轴)一点，抛物线Ｃ:y2＝4x 上存在不同的两点A,B满足PＡ,ＰB的中点均在C上.（Ⅰ)设AB中点为M,证明:ＰＭ垂直于y轴;（Ⅱ）若P是半椭圆ｘ2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围．(Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以,.因此,的面积.因为，所以．因此，面积的取值范围是.点评.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。