数据结构第七章图
数据结构第七章-图
*
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
若图的存储结构为邻接表,则 访问邻接点的顺序不唯一, 深度优先序列不是唯一的
V0
V1
V3
V2
V7
V6
V5
V4
V0,V1,V3,V4,V7,V2,V5,V6,
※求图G以V0为起点的的深度优先序列(设存储结构为邻接矩阵)
void DFSAL(ALGraph G, int i) {/*从第v个顶点出发,递归地深度优先遍历图G*/ /* v是顶点的序号,假设G是用邻接表存储*/ EdgeNode *p; int w; visited[i] =1; Visit(i); /*访问第v个顶点*/ for (p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc) {w=p->adjvex; /*w是v的邻接顶点的序号*/ if (!visited[w]) DFSAL(G, w); /*若w尚未访问, 递归调用DFS*/ } }/*DFSAL*/
在邻接表存储结构上的广度优先搜索
*
Q
V0
V1
V2
V3
V4
V7
V5
V6
V1
V2
V3
V0
V4
V7
V5
V6
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
7.3 图的遍历
7
0
1
2
V0
V2
V3
V1
data
firstarc
0
1
^
^
adjvex
next
3
第7章图_数据结构
v4
11
2013-8-7
图的概念(3)
子图——如果图G(V,E)和图G’(V’,E’),满足:V’V,E’E 则称G’为G的子图
2 1 4 3 5 6 3 5 6 1 2
v1 v2 v4 v3 v2
v1 v3 v4
v3
2013-8-7
12
图的概念(4)
路径——是顶点的序列V={Vp,Vi1,……Vin,Vq},满足(Vp,Vi1),
2013-8-7 5
本章目录
7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构
7.2.1 数组表示法 7.2.2 邻接表 ( *7.2.3 十字链表 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4.1 图的连通分量和生成树 7.4.2 最小生成树
*7.2.4 邻接多重表 )
7.3 图的遍历
连通树或无根树
无回路的图称为树或自由树 或无根树
2013-8-7
18
图的概念(8)
有向树:只有一个顶点的入度为0,其余 顶点的入度为1的有向图。
V1 V2
有向树是弱 连通的
V3
V4
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19
自测题
7. 下列关于无向连通图特性的叙述中,正确的是
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29
图的存贮结构:邻接矩阵
若顶点只是编号信息,边上信息只是有无(边),则 数组表示法可以简化为如下的邻接矩阵表示法: typedef int AdjMatrix[MAXNODE][MAXNODE];
*有n个顶点的图G=(V,{R})的邻接矩阵为n阶方阵A,其定 义如下:
1 A[i ][ j ] 0
【北方交通大学 2001 一.24 (2分)】
数据结构课后习题答案第七章
第七章图(参考答案)7.1(1)邻接矩阵中非零元素的个数的一半为无向图的边数;(2)A[i][j]= =0为顶点,I 和j无边,否则j和j有边相通;(3)任一顶点I的度是第I行非0元素的个数。
7.2(1)任一顶点间均有通路,故是强连通;(2)简单路径V4 V3 V1 V2;(3)0 1 ∞ 1∞ 0 1 ∞1 ∞ 0 ∞∞∞ 1 0邻接矩阵邻接表(2)从顶点4开始的DFS序列:V5,V3,V4,V6,V2,V1(3)从顶点4开始的BFS序列:V4,V5,V3,V6,V1,V27.4(1)①adjlisttp g; vtxptr i,j; //全程变量② void dfs(vtxptr x)//从顶点x开始深度优先遍历图g。
在遍历中若发现顶点j,则说明顶点i和j间有路径。
{ visited[x]=1; //置访问标记if (y= =j){ found=1;exit(0);}//有通路,退出else { p=g[x].firstarc;//找x的第一邻接点while (p!=null){ k=p->adjvex;if (!visited[k])dfs(k);p=p->nextarc;//下一邻接点}}③ void connect_DFS (adjlisttp g)//基于图的深度优先遍历策略,本算法判断一邻接表为存储结构的图g种,是否存在顶点i //到顶点j的路径。
设 1<=i ,j<=n,i<>j.{ visited[1..n]=0;found=0;scanf (&i,&j);dfs (i);if (found) printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”有路径”);else printf (” 顶点”,i,”和顶点”,j,”无路径”);}// void connect_DFS(2)宽度优先遍历全程变量,调用函数与(1)相同,下面仅写宽度优先遍历部分。
王道数据结构 第七章 查找思维导图-高清脑图模板
每次调整的对象都是“最小不平衡子树”
插入操作
在插入操作,只要将最小不平衡子树调整平衡,则其他祖先结点都会恢复平衡
在A的左孩子的左子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子(L)的左子树(L)上插入了新结点,A的平衡因子由1增
至2,导致以A为根的子树失去平衡,需要一次向右的旋转操作。
LL
将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根节点 将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点
RR平衡旋转(左单旋转)
而B的原左子树则作为A结点的右子树
在A的左孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的左孩子(L)的右子树(R)上插入了新结点,A的平衡因子由1增
LR
至2,导致以A为根的子树失去平衡,需要两次旋转操作,先左旋转再右旋转。
将A的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升至B结点的位置
本质:永远保证 子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<...
当左兄弟很宽裕时,用当前结点的前驱、前驱的前驱来填补空缺 当右兄弟很宽裕时,用当前结点的后继、后继的后继来填补空缺
兄弟够借。若被删除关键字所在结点删除前的关键字个数低于下限,且与此结点 右(或左)兄弟结点的关键字还很宽裕,则需要调整该结点、右(或左)兄弟结 点及其双亲结点及其双亲结点(父子换位法)
LL平衡旋转(右单旋转)
而B的原右子树则作为A结点的左子树
在A的右孩子的右子树中插入导致不平衡
由于在结点A的右孩子(R)的右子树(R)上插入了新结点,A的平衡因子由-1
减至-2,导致以A为根的子树失去平衡,需要一次向左的旋转操作。
RR
将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根节点 将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点
《数据结构图论部分》PPT课件
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2020/11/24
哥尼斯堡七桥问题
能否从某个地方出发,穿过所有的桥仅一次 后再回到出发点?
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七桥问题的图模型
欧拉回路的判定规则:
1.如果通奇数桥的地方多于
C
两个,则不存在欧拉回路;
2.如果只有两个地方通奇数
桥,可以从这两个地方之一
A
B 出发,找到欧拉回路;
V4 是有向边,则称该图为有向图。
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简单图:在图中,若不存在顶点到其自身的边,且同 一条边不重复出现。
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
非简单图
V1
V2
V3
V4
V5
简单图
❖ 数据结构中讨论的都是简单图。
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图的基本术语
邻接、依附
DeleteVex(&G, v); 初始条件:图 G 存在,v 是 G 中某个顶点。 操作结果:删除 G 中顶点 v 及其相关的弧。
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InsertArc(&G, v, w); 初始条件:图 G 存在,v 和 w 是 G 中两个顶点。 操作结果:在 G 中增添弧<v,w>,若 G 是无向的,则还
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• 知识点
– 图的类型定义 – 图的存储表示 – 图的深度优先搜索遍历和广度优先搜索遍历 – 无向网的最小生成树 – 拓扑排序 – 关键路径 – 最短路径
Page 3
数据结构第七章:图
例
a c G1
b d
vexdata firstarc adjvex next 1 4 ^ a 2 3 4 b c d 1 1 3 ^ ^ ^
19
7.3 图的遍历
深度优先遍历(DFS) 深度优先遍历
方法:从图的某一顶点 出发,访问此顶点; 方法:从图的某一顶点V0出发,访问此顶点;然后依 次从V 的未被访问的邻接点出发,深度优先遍历图, 次从 0的未被访问的邻接点出发,深度优先遍历图, 直至图中所有和V 相通的顶点都被访问到; 直至图中所有和 0相通的顶点都被访问到;若此时图 中尚有顶点未被访问, 中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未被访问的顶 点作起点,重复上述过程, 点作起点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访 问为止。 问为止。
ω ij , 若(v i , v j )或 < v i , v j >∈ E(G) A[i, j ] = 0,其它
11
例
1 3
5
2
8 4 7 5 1 6 3 4 2
0 5 7 0 3
5 0 0 4 8
7 0 0 2 1
0 4 2 0 6
3 8 1 6 0
12
关联矩阵——表示顶点与边的关联关系的矩阵 表示顶点与边的关联关系的矩阵 关联矩阵
1
7.1 图的定义和术语
是由两个集合V(G)和E(G)组成的 组成的, 图(Graph)——图G是由两个集合 图 是由两个集合 和 组成的 记为G=(V,E) 记为
其中: 其中:V(G)是顶点的非空有限集 是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合,边是顶点的无序对或有序对 是边的有限集合, 是边的有限集合
有向图——有向图 是由两个集合 有向图G是由两个集合 有向图 有向图 是由两个集合V(G)和E(G)组成的 和 组成的
数据结构(C语言版)_第7章 图及其应用
实现代码详见教材P208
7.4 图的遍历
图的遍历是对具有图状结构的数据线性化的过程。从图中任 一顶点出发,访问输出图中各个顶点,并且使每个顶点仅被访 问一次,这样得到顶点的一个线性序列,这一过程叫做图的遍 历。
图的遍历是个很重要的算法,图的连通性和拓扑排序等算法 都是以图的遍历算法为基础的。
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V4
V5
图9.1(a)
图7-2 图的逻辑结构示意图
7.2.2 图的相关术语
1.有向图与无向图 2.完全图 (1)有向完全图 (2)无向完全图 3.顶点的度 4.路径、路径长度、回路、简单路径 5.子图 6.连通、连通图、连通分量 7.边的权和网 8.生成树
2. while(U≠V) { (u,v)=min(wuv;u∈U,v∈V-U); U=U+{v}; T=T+{(u,v)}; }
3.结束
7.5.1 普里姆(prim)算法
【例7-10】采用Prim方法从顶点v1出发构造图7-11中网所对 应的最小生成树。
构造过程如图7-12所示。
16
V1
V1
V2
7.4.2 广度优先遍历
【例7-9】对于图7-10所示的有向图G4,写出从顶点A出发 进行广度优先遍历的过程。
访问过程如下:首先访问起始顶点A,再访问与A相邻的未被 访问过的顶点E、F,再依次访问与E、F相邻未被访问过的顶 点D、C,最后访问与D相邻的未被访问过的顶点B。由此得到 的搜索序列AEFDCB。此时所有顶点均已访问过, 遍历过程结束。
【例7-1】有向图G1的逻辑结构为:G1=(V1,E1) V1={v1,v2,v3,v4},E1={<v1,v2>,<v2,v3>,<v2,v4>,<v3,v4>,<v4,v1>,<v4,v3>}
数据结构-第7章图答案
7.3 图的遍历 从图中某个顶点出发游历图,访遍图中其余顶点, 并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。 一、深度优先搜索 从图中某个顶点V0 出发,访问此顶点,然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍 历图,直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访 问到,若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中 一个未曾被访问的顶点作起始点,重复上述过程, 直至图中所有顶点都被访问到为止。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { // 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组 visited。 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q
4。邻接多重表
边结点
mark ivex
顶点结点
ilink
jvex
jlink
info
data
firstedge
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef emnu {unvisited, visited} VisitIf; typedef struct Ebox { VisitIf mark; // 访问标记 int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条 边 InfoType *info; // 该边信息指针 } EBox; typedef struct VexBox { VertexType data; EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 } VexBox; typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum, edgenum; // 无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;
《数据结构》第 7 章 图
v3
v4 v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5
注
一个图可以有许多棵不同的生成树。 所有生成树具有以下共同特点: 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同; 生成树是图的极小连通子图; 一个有 n 个顶点的连通图的生成树有 n-1 条边; 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的; 在生成树中再加一条边必然形成回路。 含 n 个顶点 n-1 条边的图不一定是生成树。
A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>} v1 v2
有向图
v3
v4
制作:计算机科学与技术学院 徐振中
数据结构 边:若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR,则以 无序对 (v, w) 代表这两个有序对,表示 v 和 w 之 间的一条边,此时的图称为无向图。 G2 = (V2, E2) V2 = {v1, v2, v3, v4, v5}
第七章 图
E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)} v1
G2
v3
v2
无向图
v4
v5
制作:计算机科学与技术学院 徐振中
数据结构
第七章 图
例:两个城市 A 和 B ,如果 A 和 B 之间的连线的涵义是 表示两个城市的距离,则<A, B> 和 <B, A> 是相同的, 用 (A, B) 表示。 如果 A 和 B 之间的连线的涵义是表示两城市之 间人口流动的情况,则 <A, B> 和 <B, A> 是不同的。 北京 <北京,上海> (北京,上海) <上海,北京> <北京,上海> 北京 上海 上海
数据结构第七章--图(严蔚敏版)
8个顶点的无向图最多有 条边且该图为连通图 个顶点的无向图最多有28条边且该图为连通图 个顶点的无向图最多有 连通无向图构成条件:边 顶点数 顶点数-1)/2 顶点数*(顶点数 连通无向图构成条件 边=顶点数 顶点数 顶点数>=1,所以该函数存在单调递增的单值反 顶点数 所以该函数存在单调递增的单值反 函数,所以边与顶点为增函数关系 所以28个条边 函数 所以边与顶点为增函数关系 所以 个条边 的连通无向图顶点数最少为8个 所以28条边的 的连通无向图顶点数最少为 个 所以 条边的 非连通无向图为9个 加入一个孤立点 加入一个孤立点) 非连通无向图为 个(加入一个孤立点
28
无向图的邻接矩阵为对称矩阵
2011-10-13
7.2
图的存储结构
Wij 若< vi,vj > 或<vj,v i > ∈E(G)
若G是网(有权图),邻接矩阵定义为 是网(有权图), ),邻接矩阵定义为
A [ i,j ] = , 0或 ∞
如图: 如图:
V1
若其它
V2
3 4
2
V3
2011-10-13
C
A
B
D 2011-10-13 (a )
3
Königsberg七桥问题
• Königsberg七桥问题就是说,能否从某点出发 通过每桥恰好一次回到原地?
C
C
A B
.
A D
B
D (a)
2011-10-13
(b)
4
第七章 图
7.1 图的定义 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历 7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
2011-10-13
第7章图(Graphs)
7.1 图的概念及术语
v1 v3 有向边<v3, v4> V3:始点, v4: 终点 v2 v4
图的构成: • 结点集:V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集:E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}
7.1 图的概念及术语
v1 v3 v2 v4 v1 v2
v3
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 –非带权图的路径长度是指此路径上的边数。 –带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
7.1 图的概念及术语
• 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重 复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量 在无向图中, 若从顶点v1到顶 点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连 通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量.
7.1 图的概念及术语
v1
v2
v4Βιβλιοθήκη v3路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径)
(2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环)
(3) <v3, v4>
7.1 图的概念及术语
• 路径: 在图 G=(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )
v4 v5
数据结构:第7章 图3-最小生成树
• 按照生成树的定义,n 个顶点的连通网络的生成树有 n
个顶点、n-1 条边。
即有权图
目标:
在网络的多个生成树中,寻找一个各边权值之和最小的
生成树。
构造最小生成树的准则 ❖ 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树;
❖ 必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点;
❖ 不能使用产生回路的边。
典型用途:
(b) u={1} w={2,3,4,5,6}
0 6 1 5
6
0
5
3
1 5 0 7 5 4
5
7
0
2
3 5 0 6
4 2 6 0
i
1234
closest[i] 1 1 1 1
lowcost[i] 0 6 1 5
56 11 ∞∞
closest用于存放顶点序号 lowest存放权值
15 4 6
1 25
3
54
5
6
(c ) u={1,3} w={2,4,5,6}
1
1
4
25
6
32
54
5
6
(d) u={1,3,6} w={2,4,5}
i
1234 5 6
closest[i] 1 3 1 1 3 3
lowcost[i] 0 5 0 5 5 4
i
1234 5 6
closest[i] 1 3 1 6 3 3
生
v3 v1
成
树 v4 v2
v1
0^ 1^ 0^ 1^
2.生成森林
若一个图是非连通图或非强连通图,但有若 干个连通分量或若干个强连通分量,则通过 深度优先搜索遍历或广度优先搜索遍历,不 可以得到生成树,但可以得到生成森林,且 若非连通图有 n 个顶点,m 个连通分量或强 连通分量,则可以遍历得到m棵生成树,合 起来为生成森林,森林中包含n-m条树边。
数据结构 C语言版(严蔚敏版)第7章 图
1
2
4
1
e6 2 4
2016/11/7
29
7.3 图的遍历
从已给的连通图中某一顶点出发,沿着一 些边访遍图中所有的顶点,且使每个顶点 仅被访问一次,就叫做图的遍历 ( Graph Traversal )。 图中可能存在回路,且图的任一顶点都可 能与其它顶点相通,在访问完某个顶点之 后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过 的顶点。 为了避免重复访问,可设置一个标志顶点 是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
2
1 2
V2
V4
17
结论:
无向图的邻接矩阵是对称的; 有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度,统计第 j 行 1 的个数可得顶点 j 的入度。 在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得 顶点i 的度。
2016/11/7
18
2
邻接表 (出度表)
adjvex nextarc
data firstarc
0 A 1 B 2 C
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1 0 1
逆邻接表 (入度表)
21
网络 (带权图) 的邻接表
6 9 0 2 1 C 2 8 3 D
data firstarc Adjvex info nextarc
2016/11/7
9
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径 上边的条数。带权图的路径长度是指路径 上各边的权之和。 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个 顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
数据结构章节练习题-答案第7章图
7.1 选择题1. 对于一个具有n个顶点和e条边的有向图,在用邻接表表示图时,拓扑排序算法时间复杂度为()A) O(n)B)O(n+e)C) O(n*n)D)O(n*n*n)【答案】B2. 设无向图的顶点个数为n,则该图最多有()条边。
A) n-1B)n(n-1)/2C)n(n+1)/2【答案】B3. 连通分量指的是()A) 无向图中的极小连通子图B) 无向图中的极大连通子图C) 有向图中的极小连通子图D) 有向图中的极大连通子图【答案】B4. n 个结点的完全有向图含有边的数目()A) n*n B) n(n+1) C) n/2【答案】D5. 关键路径是()A) AOE网中从源点到汇点的最长路径B) AOE网中从源点到汇点的最短路径C) AOV网中从源点到汇点的最长路径D) n2D) n* (n-1)D) AOV网中从源点到汇点的最短路径【答案】 A 6.有向图中一个顶点的度是该顶点的()A)入度B)出度C)入度与出度之和D)(入度+出度)12【答案】C7.有e 条边的无向图,若用邻接表存储,表中有()边结点。
A) e B) 2eC) e-1D) 2(e-1)【答案】B8.实现图的广度优先搜索算法需使用的辅助数据结构为()A)栈B)队列C)二叉树D)树【答案】B9.实现图的非递归深度优先搜索算法需使用的辅助数据结构为()A)栈B)队列C)二叉树D)树【答案】 A 10.存储无向图的邻接矩阵一定是一个()A)上三角矩阵B)稀疏矩阵C)对称矩阵D)对角矩阵【答案】C11.在一个有向图中所有顶点的入度之和等于出度之和的()倍A) B) 1C) 2D) 4答案】B12.在图采用邻接表存储时,求最小生成树的Prim 算法的时间复杂度为( A) O(n)B) O(n+e)C 0(n2)D) 0(n3))【答案】B13 .下列关于AOE网的叙述中,不正确的是()A) 关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间B) 任何一个关键活动提前完成,那么整个工程将会提前完成C) 所有的关键活动提前完成,那么整个工程将会提前完成D) 某些关键活动提前完成,那么整个工程将会提前完成【答案】B14. 具有10 个顶点的无向图至少有多少条边才能保证连通()A ) 9B) 10C) 11D) 12【答案】A15. 在含n 个顶点和e 条边的无向图的邻接矩阵中,零元素的个数为()A)e B)2eC)n2-e D)n2-2e【答案】D7.2 填空题1 .无向图中所有顶点的度数之和等于所有边数的 _______________ 倍。
数据结构:第7章 图4-拓扑排序和关键路径
拓扑排序算法
拓扑排序方法: (1)在AOV网中选一个入度为0的顶点(没有前驱) 且输出之; (2)从AOV网中删除此顶点及该顶点发出来的所 有有向边; (3)重复(1)、(2)两步,直到AOV网中所有 顶点都被输出或网中不存在入度为0的顶点。
从拓扑排序步骤可知,若在第3步中,网中所有顶 点都被输出,则表明网中无有向环,拓扑排序成功。 若仅输出部分顶点,网中已不存在入度为0的顶点, 则表明网中有有向环,拓扑排序不成功。
拓扑序列:C1--C2--C3 (3)
C12 C9 C10
C7 C8 C6
C11
拓扑序列:C1--C2--C3--C4 (4)
C7
C12
C12
C8
C8 C9 C10
C6
C9 C10
C6
C11
C11 拓扑序列:C1--C2--C3--C4--C5
(5)
拓扑序列:C1--C2--C3--C4--C5--C7 (6)
在 (b)中,我们用一种有向图来表示课程开设
拓扑排序
1.定义 给出有向图G=(V,E),对于V中的顶点的线性序列 (vi1,vi2,...,vin),如果满足如下条件:若在G中从 顶点 vi 到vj有一条路径,则在序列中顶点vi必在 顶点 vj之前;则称该序列为 G的一个拓扑序列。 构造有向图的一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。 2.说明 (1)在AOV网中,若不存在回路,则所有活动可排成 一个线性序列,使得每个活动的所有前驱活动都排 在该活动的前面,那么该序列为拓扑序列. (2)拓扑序列不是唯一的.
2.AOV网实际意义
现代化管理中, 通常我们把计划、施工过程、生产流程、 程序流程等都当成一个工程,一个大的工程常常被划分 成许多较小的子工程,这些子工程称为活动。在整个工 程实施过程中,有些活动开始是以它的所有前序活动的 结束为先决条件的,必须在其它有关活动完成之后才能 开始,有些活动没有先决条件,可以 安排在任意时间开 始。AOV网就是一种可以形象地反映出整个工程中各个 活动之间前后关系的有向图。例如,计算机专业学生的 课程开设可看成是一个工程,每一门课程就是工程中的 活动,下页图给出了若干门所开设的课程,其中有些课 程的开设有先后关系,有些则没有先后关系,有先后关 系的课程必须按先后关系开设,如开设数据结构课程之 前必须先学完程序设计基础及离散数学,而开设离散数 学则必须先并行学完数学、程序设计基础课程。
数据结构课件
while (i>0)
{
/*读入顶点对号,建立边表*/
e++;
/*合计边数 */
p = (pointer)malloc(size(struct node));/*生成新旳邻接点序号为j旳表结点*/
p-> vertex = j;
p->next = ga->adlist[i].first;
ga->adlist[i].first = p;
三个强连通分量
第七章 图
权:图旳边具有与它有关旳数, 称之为权。这种带 权图叫做网络。
10
1
6
15
27 5
12
3 76
9
8
6 3
4
16
7
有向权图
60
AB 40 80 C源自307535
D
E
45
无向权图
第七章 图
生成树:连通图G旳一种子图假如是一棵包 括G旳全部顶点旳树,则该子图称为G旳生成
树;显然,n个顶点旳生成树具有n-1条边
scanf (“%d”, &(ga->n));
for (i =1; i<= ga->n; i++)
{
/*读入顶点信息,建立顶点表*/
scanf (“ \n %c”, &( ga->adlist[i].data) )
;
ga->adlist[i].first = NULL; }
e = 0; /*开始建邻接表时,边数为0*/
ga->edges[i][j] = 0;
for (k = 0;k<ga->e;k++) /*读入边旳顶点编号和权值,建立邻接矩阵*/
数据结构-图
第七章 图一、写出如下有向图的邻接矩阵及图中各顶点的入度、出度和度。
【分析】有向图中顶点的度=顶点的入度+顶点的出度。
【参考答案】邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******010101000000110 顶点a;入度1,出度2,度3;顶点b;入度2,出度1,度3;顶点c;入度1,出度2,度3;顶点d;入度2,出度1,度3;顶点e;入度1,出度1,度2。
二、设如下有向网以邻接表形式存储,画出其存储结构示意图。
【分析】表结点中应含三个域:邻接到顶点的下标域、权值域和指向下一表结点的指针域。
【参考答案】三、写出对如下无向图从顶点a出发进行广度优先遍历可能得到的所有遍历序列。
【分析】广度优先遍历中应保证先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点处理。
图中各顶点间并无必然的先后顺序。
各顶点的邻接点间也并无必然的先后顺序。
【参考答案】abcdefgabdcegfacbdfegacdbfgeadbcgefadcbgfe四、设有无向网如下,写出其邻接矩阵,并在此基础上按普里姆算法求最小生成树。
【分析】【参考答案】邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞6456252363794567555553955434最小生成树:五、写出对如下有向无环图进行拓扑排序可能得到的所有拓扑序列。
【分析】每次输出一个入度为0的顶点。
【参考答案】abcdefgabcdfegabcfdeg六、设有AOE网如下,试求关键路径。
【分析】【参考答案】关键路径1:v1→v2→v5→v7关键路径2:v1→v3→v6→v7七、设有向网如下,用迪杰斯特拉算法求从顶点a出发到其余各顶点的最短路径。
【分析】【参考答案】ab:3af:5afe:7afec:8afecd:10八、编写算法,由依次输入的顶点数、弧数、各顶点信息和各条弧信息建立有向图的邻接表。
算法与数据结构答案第7章图
第7 章图一、基础知识题7.1设无向图的顶点个数为n,则该图最多有多少条边?【解答】n(n-1)/27.2一个n个顶点的连通无向图,其边的个数至少为多少?【解答】n-17.3要连通具有n个顶点的有向图,至少需要多少条弧?【解答】n7.4 n个顶点的完全有向图含有弧的数目是多少?【解答】n(n-1)7.5一个有n个顶点的无向图,最少有多少个连通分量,最多有多少个连通分量。
【解答】1, n7.6图的BFS生成树的树高要小于等于同图DFS生成树的树高,对吗?【解答】对7.7无向图G=(V,E),其中:V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)},写出对该图从顶点a出发进行深度优先遍历可能得到的全部顶点序列。
【解答】abedfc, acfdeb, aebdfc, aedfcb7.8 在图采用邻接表存储时,求最小生成树的 Prim 算法的时间复杂度是多少?【解答】O(n+e)7.9若一个具有n个顶点,e条边的无向图是一个森林,则该森林中必有多少棵树?【解答】n-e7.10 n个顶点的无向图的邻接矩阵至少有多少非零元素?【解答】07.11证明:具有n个顶点和多于n-1条边的无向连通图G一定不是树。
【证明】具有n个顶点n-1条边的无向连通图是自由树,即没有确定根结点的树,每个结点均可当根。
若边数多于n-1条,因一条边要连接两个结点,则必因加上这一条边而使两个结点多了一条通路,即形成回路。
形成回路的连通图不再是树。
7.12证明对有向图顶点适当编号,使其邻接矩阵为下三角形且主对角线为全零的充要条件是该图是无环图。
【证明】该有向图顶点编号的规律是让弧尾顶点的编号大于弧头顶点的编号。
由于不允许从某顶点发出并回到自身顶点的弧,所以邻接矩阵主对角元素均为0。
先证明该命题的充分条件。
由于弧尾顶点的编号均大于弧头顶点的编号,在邻接矩阵中,非零元素(A[i][j]=1)自然是落到下三角矩阵中;命题的必要条件是要使上三角为0,则不允许出现弧头顶点编号大于弧尾顶点编号的弧,否则,就必然存在环路。
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数据结构习题(图)一、选择题1.设完全无向图的顶点个数为n,则该图有( B )条边。
A. n-lB. n(n-l)/2C.n(n+l)/2D. n(n-l)2.在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于所有边数的( )倍。
A.3B.2C.1D.1/23.有向图的一个顶点的度为该顶点的( )。
A.入度B. 出度C.入度与出度之和D.(入度+出度)/24.在无向图G (V,E)中,如果图中任意两个顶点vi、vj (vi、vj∈V,vi≠vj)都的,则称该图是( )。
A.强连通图B.连通图C.非连通图D.非强连通图5.若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个无向图,则该邻接矩阵是一个( )。
A.上三角矩阵B.稀疏矩阵C.对角矩阵D.对称矩阵6.若采用邻接矩阵存储具有n个顶点的一个有向图,顶点vi的出度等于邻接矩阵A.第i列元素之和B.第i行元素之和减去第i列元素之和C.第i行元素之和D.第i行元素之和加上第i列元素之和7.对于具有e条边的无向图,它的邻接表中有( )个边结点。
A.e-lB.eC.2(e-l)D. 2e8.对于含有n个顶点和e条边的无向连通图,利用普里姆Prim算法产生最小生成时间复杂性为( ),利用克鲁斯卡尔Kruskal算法产生最小生成树(假设边已经按权的次序排序),其时间复杂性为( )。
A. O(n2)B. O(n*e)C. O(n*logn)D.O(e)9.对于一个具有n个顶点和e条边的有向图,拓扑排序总的时间花费为O( )A.nB.n+lC.n-lD.n+e10.在一个带权连通图G中,权值最小的边一定包含在G的( )生成树中。
A.最小B.任何C.广度优先D.深度优先二、填空题1.在一个具有n个顶点的无向完全图中,包含有____条边;在一个具有n个有向完全图中,包含有____条边。
2.对于无向图,顶点vi的度等于其邻接矩阵____ 的元素之和。
3.对于一个具有n个顶点和e条边的无向图,在其邻接表中,含有____个边对于一个具有n个顶点和e条边的有向图,在其邻接表中,含有_______个弧结点。
4.十字链表是有向图的另一种链式存储结构,实际上是将_______和_______结合起来的一种链表。
5.在构造最小生成树时,克鲁斯卡尔算法是一种按_______的次序选择合适的边来构造最小生成树的方法;普里姆算法是按逐个将_______的方式来构造最小生成树的另一种方法。
6.对用邻接表表示的图进行深度优先遍历时,其时间复杂度为一;对用邻接表表示的图进行广度优先遍历时,其时间复杂度为_______。
7.对于一个具有n个顶点和e条边的连通图,其生成树中的顶点数为_______ ,边数为_______。
8.在执行拓扑排序的过程中,当某个顶点的入度为零时,就将此顶点输出,同时将该顶点的所有后继顶点的入度减1。
为了避免重复检测顶点的入度是否为零,需要设立一个____来存放入度为零的顶点。
三、简答题l.回答以下问题:(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边?最少需要多少条边?(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素?有多少非零元素?是否为稀疏矩阵?2.题图7-1为一有向图,按要求回答问题:(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
(4)给出该图的十字链表。
3.题图7-2为一无向图,请按要求回答问题:(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点1出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索遍历算法得到的顶点序列。
4.题图7-3为一带权无向图,请按要求回答问题。
(1)画出该图的邻接矩阵,并按普里姆算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表,并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
5.题图7-4是一带权有向图,试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点1到其他各项点的最短路径,要求给出整个计算过程。
6.题图7-5为一个带权有向图(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度,要求写出其相应的矩阵序列。
7.对于有向无环图,(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图,写出它的4个不同的拓扑有序序列。
8.题图7-7是一个AOE网,试求:(1)每项活动的最早开始时间和最迟开始时间。
(2)完成整个工程至少需要多少天。
(3)哪些是关键活动。
(4)是否存在某些活动,当提高其速度后能使整个工期缩短。
四、算法设计题1.编写一个算法,判断图G中是否存在从顶点v i到v j的长度为k的简单路径。
2.以邻接表作为图的存储结构,编写实现连通图G的深度优先搜索遍历(从顶点v 出发)的非递归函数。
3.给定n个村庄之间的交通图。
若村庄i与村庄j之间有路可通,则将顶点i与顶点j之间用边连接,边上的权值Wij表示这条道路的长度。
现打算在这n个村庄中选定一个村庄建一所医院。
试编写一个算法,求出该医院应建在哪个村庄,才能使距离医院最远的村庄到医院的路程最短。
4.编写一个函数,计算给定的有向图的邻接矩阵的每对顶点之间的最短路径。
第七章图第7章图一、选择题(参考答案):1.B 2.B 3.C 4.B 5.D6. C 7.D 8.A,D 9.D 10.A二、填空题(参考答案)1.n(n-l)/2, n(n-l)。
2.第i行。
3. 2e, e0 4.邻接表,逆邻接表。
5.权值递增,顶点连通。
6.O(e),O(e)。
7.n,n-l。
8.栈。
三、简答题1.回答以下问题:(1)有n个顶点的无向连通图最多需要多少条边?最少需要多少条边?(2)表示一个具有1000个顶点、1000条边的无向图的邻接矩阵有多少个矩阵元素?有多少非零元素?是否为稀疏矩阵?【解答】(l)有n个顶点的无向连通图最多有n(n-l)/2条边(构成一个无向完全图的情况);最少有n-l条边(n个顶点是连通的)。
(2)这样的矩阵共有lOOO*1000=1000000个矩阵元素,因为有1000条边,所以有2000非零元素,因此该矩阵是稀疏矩阵。
2.题图7-1为一有向图,按要求回答问题:题图7-1(1)写出各顶点的入度、出度和度。
(2)给出该图的邻接矩阵。
(3)给出该图的邻接表。
(4)给出该图的十字链表。
【解答】(l)各顶点入度、出度和度如下表所示。
(2)邻接矩阵如下所示。
0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 00 1 0 0 0 10 0 1 0 1 11 0 0 0 0 01 1 0 0 1 0(3)邻接表如下所示。
(4)十字接表如下所示。
3.题图7-2为一无向图,请按要求回答问题:(1)画出该图的邻接表。
(2)画出该图的邻接多重表。
(3)分别写出从顶点l出发按深度优先搜索遍历算法得到的顶点序列和按广度优先搜索遍历算法得到的顶点序列。
题图7-2【解答】(1)邻接表如下所示。
(2)多重邻接表如下所示。
(3)从顶点1出发,深度优先搜索遍历序列为:123456;广度优先搜索遍历序列为:123 564。
4.题图7-3为一带权无向图,请按要求回答问题:(1)画出该图的邻接矩阵,并按普里姆算法求其最小生成树。
(2)画出该图的邻接表,并按克鲁斯卡尔算法求其最小生成树。
【解答】(1)按普里姆算法其最小生成树如下所示。
(2)按克鲁斯卡尔算法其最小生成树如下所示。
5.题图7-4是一带权有向图,试采用狄杰斯特拉Dijkstra算法求从顶点l到其他各顶点的最短路径,要求给出整个计算过程。
【解答】(1)初值:s[]={1),dist[]={0,20,15,∞,∞,∞}(顶点1到其他各项点的权值),path[]={1,1,1,-l,-1,-1)(顶点l到其他各项点有弧存在时为1,否则为-1)。
(2)在V-S中找最近(dist[]最小)的顶点3,加入S中,即s[]={l,3),并重新计算顶点l到达顶点2,4,5和6的距离,修改相应的dist值:dist[2]=min{dist[2], dist[3]+cost[3][2]}=min{20, 15+4}=19;dist[6l=min{dist[6], dist[3]+cost[3][6]}==Inin{∞,15+10}=25;则有dist[]={0,19,15,∞,∞,25},path[]={l,3,1,-l,-l,3}。
(3)在V-S中找出最近的顶点4,加入S中,即s[]={1,3,2},并重新计算顶点1到达顶点4,5和6的距离,修改相应的dist值:dist[5]-min{dist[5], dist[2]+ cost[2][5])-min{∞,19+10}=29,则有dist[]={0,19,15, ∞,29,25),path[]={l,3,l,-1,2,3}.(4)在V-S中找出最近的顶点6,加入S中,即s[].{1,3,2,6),并重新计算顶点l 到达顶点4和5的距离,修改相应的dist值:dist[4]=min{dist[4], dist[6]+cost[6][4])=min{∞..,25+4}=29,则有dist[]={0, 19, 15, 29, 29, 25}, path[]={l,3,1,6,2,3}。
(5)在V-S中找出最近的顶点4,加入S中,即s[]:{l,3,2,6,4},并重新计算顶点l到达顶点5的距离,此时不需要修改dist值,则有dist[]={0,19,15,29,29,25),path[]={l,3, l,6,2, 3}。
(6)在V-S中找出最近的顶点5,加入S中,即s口={l,3,2,6,4,5}。
此时S中包含了图的所有顶点,算法结束。
最终dist[]={0,19,15,29,29,25),path[]={1,3,l,6,2, 3}。
由此得到:从顶点1到顶点2的最短路径长度为:19 最短路径为:2<-3<-1从顶点l到顶点3的最短路径长度为:15 最短路径为:3<-1从顶点l到顶点4的最短路径长度为:29 最短路径为:4<-6<-3<-1从顶点l到顶点5的最短路径长度为:29 最短路径为:5<-2<-3<-l从顶点l到顶点6的最短路径长度为:25 最短路径为:6<-3<-16.题图7-5为一个带权有向图,(1)给出该图的邻接矩阵。
(2)请用弗洛伊德算法求出各顶点对之间的最短路径长度,要求写出其相应的矩阵序列。
【解答】(1)邻接矩阵如下:0 10 ∞∞15 0 6 ∞3 ∞ 0 4∞ 8 2 0(2)采用弗洛伊德算法求最短路径的过程如下:7.对于有向无环图,(1)叙述求拓扑有序序列的步骤。
(2)对于题图7-6所示的有向图,写出它的4个不同的拓扑有序序列。