初中数学 中考复习专题-探究圆中角、线段的计算问题 (共28张ppt)
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中考复习--圆中求线段长课件
∴OC= 5，∴AB=10.∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90° .在Rt△ABE中， ∵sin∠EAB= ，∴BE=6.∴AE=8.
例1 解：连接OC交AE于点H，连接OE ，BE.
∴sin∠OCD= sin∠BAE= .在Rt△COD中， OD=3，
8
构造直角三角形解直角三角形直线型图形的问题
31
2
(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析：
H
27
∴AC是∠DAB的平分线.
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
证明：连接OC. ∵直线HC与⊙O相切于点C， ∴∠OCH=90°. ∵AD⊥DH， ∴∠ADH=90°. ∴∠OCH=∠ADH. ∴OC/AD.
如图，(2)若AB=10 ， 再探解法1： ∠1=∠2
连接EO∠EOC=∠BOC
，求AE的长.
例4
ED
H
33
矩形ONDCON=CD=4Rt△AON中 AO=5AN=3
例4 如图，(2)若AB=10，分析：
过点O作ON⊥AE于点N
，求AE的长.
解法2：
AE=2AN
AE
H
2
34
圆中求 转化成 线段长的问题
例1 反思：
解题关键:
9
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析： 已知 可知 OC=OE∠1=∠2 ∠2=∠3∠1=∠3OE//CD10
∴DF=4．∴sin∠2= ．在Rt△BOE中， sin∠BOE= sin∠2 = ，∴OB ．
例1 解：连接OC交AE于点H，连接OE ，BE.
∴sin∠OCD= sin∠BAE= .在Rt△COD中， OD=3，
8
构造直角三角形解直角三角形直线型图形的问题
31
2
(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
分析：
H
27
∴AC是∠DAB的平分线.
例4 如图， AB是⊙O的直径，直线HC与⊙O相切于点C.过 点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E.(1)求证： AC是∠DAB的平分线；
证明：连接OC. ∵直线HC与⊙O相切于点C， ∴∠OCH=90°. ∵AD⊥DH， ∴∠ADH=90°. ∴∠OCH=∠ADH. ∴OC/AD.
如图，(2)若AB=10 ， 再探解法1： ∠1=∠2
连接EO∠EOC=∠BOC
，求AE的长.
例4
ED
H
33
矩形ONDCON=CD=4Rt△AON中 AO=5AN=3
例4 如图，(2)若AB=10，分析：
过点O作ON⊥AE于点N
，求AE的长.
解法2：
AE=2AN
AE
H
2
34
圆中求 转化成 线段长的问题
例1 反思：
解题关键:
9
例2 已知：如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于 点D， E为 的中点.延长DE ，CB交于点P，若PB=BO ， DE=2，求PE的长.分析： 已知 可知 OC=OE∠1=∠2 ∠2=∠3∠1=∠3OE//CD10
∴DF=4．∴sin∠2= ．在Rt△BOE中， sin∠BOE= sin∠2 = ，∴OB ．
2020年年九年级数学中考复习课件：圆的有关计算(56张PPT)
第3页
3．(2019·广西梧州中考)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与 AB 交 于 点 D ， ∠ADO ＝ 85° ， ∠CAB ＝ 20° ， 则 阴 影 部 分 的 扇 形 OAC 的 面 积 是
5 __3_6_π___.
第4页
命题点二 与扇形有关的阴影面积计算
4．(2015·遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为
定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性
质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第 33 页
例5 (2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆 上 ， OC⊥AB ， 垂 足 为 点 O ， P 为 半 圆 上 任 意 一 点 ， 过 P 点 作 PE⊥OC 于 点 E ， 设 △OPE的内心为M，连接OM、PM.
解题技巧：本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质， 掌握弧长公式是解题的关键．
第 24 页
突破点二 与扇形有关的面积计算 例2 (2018·贵州安顺中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm, ∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C ′
(D)
A．3 C．32
B． 3 D． 2
第 28 页
思路分析：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝ 45°，BD＝ 2 AB．∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°.∵CB＝CD，∴△CBD为等边 三角形，∴BC＝BD＝ 2 AB．∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧 面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积为 2×1＝ 2.
3．(2019·广西梧州中考)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与 AB 交 于 点 D ， ∠ADO ＝ 85° ， ∠CAB ＝ 20° ， 则 阴 影 部 分 的 扇 形 OAC 的 面 积 是
5 __3_6_π___.
第4页
命题点二 与扇形有关的阴影面积计算
4．(2015·遵义中考)如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2 cm，C为
定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性
质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第 33 页
例5 (2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆 上 ， OC⊥AB ， 垂 足 为 点 O ， P 为 半 圆 上 任 意 一 点 ， 过 P 点 作 PE⊥OC 于 点 E ， 设 △OPE的内心为M，连接OM、PM.
解题技巧：本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质， 掌握弧长公式是解题的关键．
第 24 页
突破点二 与扇形有关的面积计算 例2 (2018·贵州安顺中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm, ∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C ′
(D)
A．3 C．32
B． 3 D． 2
第 28 页
思路分析：∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝ 45°，BD＝ 2 AB．∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°.∵CB＝CD，∴△CBD为等边 三角形，∴BC＝BD＝ 2 AB．∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧 面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积为 2×1＝ 2.
中考数学专题复习课件第28讲和圆有关的计算.ppt
【解析】设⊙O 半径为 R，则扇形的半径为(1＋ 2)R，则扇形 OAB 的面积与⊙P 的面积
比为14π(1＋
2)2R2：πR2＝3＋42
2 .
【答案】3＋42 2
17．(2010·黄冈)将半径为 4 cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)， 当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm.
【答案】B
7．(2009 中考变式题)如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分的包装纸的面积
(接缝忽略不计)是( )
A．20 cm2
B．40 cm2
C．20π cm2
D．40π cm2
【解析】∵S 包装纸＝S 侧＝π·r·l＝π·52×8＝20π(cm2)
【答案】C
8．(2011 中考预测题)如图，A 是半径为 2 的⊙O 外的一点，OA＝4，AB 是⊙O 的切线，
【解答】(1)∵12lr＝S 扇形，∴12×10π×r＝65π，∴r＝13，故选 D. (2)∵2πr＝19800π×8，∴r＝2，故选 C. (3)∵3n6π0×122＝π×5×12，∴n＝150 (4)设每个扇形大圆半径为 R，小圆半径为 r，则 R1＝3，R2＝7，R3＝11，……，Rn＝4n －1，r1＝1，r2＝5，r3＝9，……，rn＝4n－3. 则当 n＝50 时，S50＝33600π(R250－r250)＝1π2×[(4×50－1)2－(4×50－3)2]＝66π.
【答案】D
6．(2011 中考预测题)如图，已知点 A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD， ∠ADC ＝ 120°， 四 边 形 ABCD 的 周 长 为 10 cm ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为
人教版数学2018年中考专题复习 圆中线段和角的计算与证明高分技巧 (共18张PPT)
圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD， （2）若AC、BD为⊙O非直径，且AD=8，BC=6，求⊙O半径；
圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，
（3）若AB，CD是方程 求∠DAC． A
x
2
3 1 x
3 0
的两根，画图，
B C
D
如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于 C、D两点,点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F.当点E从点B出发顺时针 运动到点D时，点F所经过的路径长为( A．
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直， 垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB， 交AB于点F，连接BE. （2）求证：△PCF是等腰三角形；
证明：∵AD⊥PD， ∴∠DAC＋∠ACD＝90°． 又AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠PCB＋∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠PCB 又∠DAC＝∠CAO， ∴∠CAO＝∠PCB ∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF， ∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF， ∴∠PFC＝∠PCF， ∴PC＝PF，∴△PCF是等腰三角形．
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直， 垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB， 交AB于点F，连接BE. （3）若
ta n A B C 4 3 ,BE 7 2
，求线段PC的长．
解：连接AE．∵CE平分∠ACB，∴
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90° 在Rt△ABE中， A B
轴上，且OA=OB． (1)则k的值为_______； (2)若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、 PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，则点P的坐标为______．
中考数学复习专题9：线段、角、相交线与平行线1(共29张PPT)
例1：如果线段AB＝6cm，BC＝3cm，A、C两点的距离为d，那
么（ D ）
A．d＝9cm
B．d＝3cm
C．d＝9cm 或d＝3cm
D．d大小不确定
【易错点睛】本题没有交代A、B、C三点共线，所以本题除了 要考虑点C在线段AB的延长线上和点C在线段AB上之外，还要考 虑A、B、C三点不共线．
例2：如图，图中共有__9__个小于平角的角．
13．（2013湖南永州）如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（C ）
A．∠1＝∠2
B． ∠1＝∠5
C．∠1＋∠3＝180° D． ∠3＝∠5
14．（2013湖北黄冈）如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则
∠CDF＝（ A）．
Hale Waihona Puke A．60° B．120° C．150° D．180°
16 ． （ 2013 十 堰 ） 如 图 ， AB ∥ CD ， CE 平 分 ∠ BCD ，
∠DCE＝18°，则∠B等于（ B ）．
A．18°
B．36°
C．45°
D．54°
17．（2013北京）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，
∠1＝∠2，若∠3＝40°，则∠4等于（ C ）．
A．40° B．50° C．70°
射线___O__C__上．
考点2 互余、互补（考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）给定一个角的度数，求这个角的余角或补角；
（2）给出一些角，判断这些角是否互余或互补．
4．（2013玉林）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ D）．
A．60° B．90°
C．120° D．150°
5．（2013六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一
中考数学复习——线段、直线和角 PPT课件 通用
1.在平面内有n个点(n≥3),其中没有任何三 个点在一条直线上,如果过任意两点画一 条直线,这n个点可以画多少条直线?
2.一条直线将平面分成两部分,两条直线将平 面分成四部分,那么三条直线将平面 最多分成 几部分?四条直线将平面最多分成几部分?n 条直线呢?
•
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
（1）∠ABD与∠ABC
A
是同一个角吗？
（2）能用一个大写字
母表示的角有几个？
B
C
（3）以点A为顶点的角有哪几个？
D
以点为顶点的角呢？
（4）图中共有多少个角？是哪些角？
思考题：数一数下面一共有几个角？
一共有 6个角
⑵角的度量： 1周角 ＝360° 1平角 ＝180°
1直角 ＝90° 1°＝60’
1’=60”
⑶角平分线定义: 从角的顶点出发把角分成两个相等 的角的一条射线叫做角平分线。
OC是∠AOB 的平分线 <====> AOCBOC1AO
2
⑷互为余角: 两个角的和是一个直角,这两个角互 为余角。
∠A 、∠B 互为余角 <====> A B90
⑸互为补角: 两个角的和是一个平角,这两个角互 为补角。 ∠A 、∠B 互为补角 <====> A B180
•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
2.一条直线将平面分成两部分,两条直线将平 面分成四部分,那么三条直线将平面 最多分成 几部分?四条直线将平面最多分成几部分?n 条直线呢?
•
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
（1）∠ABD与∠ABC
A
是同一个角吗？
（2）能用一个大写字
母表示的角有几个？
B
C
（3）以点A为顶点的角有哪几个？
D
以点为顶点的角呢？
（4）图中共有多少个角？是哪些角？
思考题：数一数下面一共有几个角？
一共有 6个角
⑵角的度量： 1周角 ＝360° 1平角 ＝180°
1直角 ＝90° 1°＝60’
1’=60”
⑶角平分线定义: 从角的顶点出发把角分成两个相等 的角的一条射线叫做角平分线。
OC是∠AOB 的平分线 <====> AOCBOC1AO
2
⑷互为余角: 两个角的和是一个直角,这两个角互 为余角。
∠A 、∠B 互为余角 <====> A B90
⑸互为补角: 两个角的和是一个平角,这两个角互 为补角。 ∠A 、∠B 互为补角 <====> A B180
•
74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。
•
75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。
•
76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。
•
77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。
•
78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。
线段和角的有关计算复习课ppt课件
B
N
C
M
O
A
6.已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC 的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由。
7.如图，B、C是线段AD上任意两点，M是AB 的中点，N是CD的中点，若MN=a,BC=b.则线 段AD的长是（ ）
A、2（a－b） B、2a－b C、a+b D、a－b
A
M
B C ND
课堂总结： 1.中点定义、角平分线定义在解题中应用的 类比 2.体会应用由特殊到一般的思想方法探索图 形中的一般规律 3.符合题意的图形不唯一，要注意分类讨论
练习、：
1 （1）已知：如图，点C是线段AB上一点，AC=a，
BC=b，点M是AC的中点,点N是BC的中点，求线段
MN的长
AM
CN B
a
b
锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不
同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10 条不同射线，可得锐角 66 个，画n条不同射
线，可得锐角 (n1)(n2)
个。
2
B
B
B
C
C
C
O
A
O
D
O
A
D AE
类比拓展 知识升华 ——数学来源于生活，应用于生活
1、在一次宴会上有3个人，他们每两个人握一次手，一共 握了 3 次手,如果有4个人,则一共握了 6 次手. 如 果有n个人,则一共握了 n(n 1) 次手.
线段和角的有关计算
一、知识要点：
记法： ①线段AB ②线段a
线段
线段公理： 两点之间，线段最短
线段中点：
A PB
线 段 和 角
A
a
角
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
目录导航
9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
中考复习专题：求线段的长度课件(共19张PPT)
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB
的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为
10 3
.
类型二： 与四边形有关的线段长度的计算
例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M， EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为 44 5 ．
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20年 中考复 习专题 ：求线 段的长 度课件( 共19张 PPT)
【思路分析】
由题意可知，在点E运动的过程中，始终有△BCE≌△CDF，则∠CGB始 终是90°，所以可得到点G的运动路线是以BC为直径的半圆O，当点O，G，D 共线时，DG的值最小．
人教版九年级数学
中考复习专题
求线段长度
专题解读：线段长度的计算是中考的必考题．此类试题通常以三
角形、四边形或圆为背景，结合图形的变换构造出较复杂的图形，然后 计算其中某特定线段的长度. 此类试题通常为填空题的压轴题，考查的 是各种图形的性质，要求学生具有较强的分解复杂图形、整合利用条件、 合理添加辅助线、构造基本图形的能力，综合性较强，难度较大．解决 此类问题需要熟练掌握求线段长的基本方法，如利用勾股定理、相似三 角形的对应边成比例以及直角三角形的边角关系等，要注意总结添加辅 助线、构造基本图形的方法，积累分析求解此类问题的经验．
5．(2019·安徽)如图，△ABB于点D．若⊙O的半径为2，则CD的长为 2 ．
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20年 中考复 习专题 ：求线 段的长 度课件( 共19张 PPT)
2020年中考专题课件：线段,角,相交线,平行线(共25张PPT)
3. 角平分线及其性质定理(如图③) (1)OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ 1 _∠__A_O_B___．
2 (2)性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 __相__等___，即DE＝___D_F___． (3)逆定理：在角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
图③
考点三：相交线
考点二：角及角平分线
1．度、分、秒转换 度、分、秒是常用的角的度量单位.1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′， 1′＝60″，角的度、分、秒是60进制的． 2. 余角、补角 (1)概念：如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角．如果两个 角的和等于180°(平角)，那么这两个角互为补角． (2)性质：同角(等角)的余角___相__等____；同角(等角)的补角____相__等_____．
同位角 举例：∠1与__∠_5___，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与__∠_7___ 内错角 举例：∠2与∠8，∠3与_∠__5____
2. 垂线及垂直平分线的性质 (1)垂线的性质 ①在同一平面内，过一点有且只有__一____条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_垂__线__段___最短； ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_垂__线__段___的长度． (2)垂直平分线 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离_相__等___； 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_垂__直__平__分__线___上．
1. 三线八角
性质：对顶角___相__等___ 对顶角
举例：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8 性质：互为邻补角的两个角之和等于__1_8_0_°___ 邻补角 举例：∠1与∠2、∠4；∠2与∠1、∠3；∠8与∠5、 ∠7；∠7与∠6、∠8 同旁内角 举例：∠2与∠5，∠3与_∠_8__
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之 线段、角、相交线与平行线知识点学习PPT
3.线段的和差运算如图,点 是线段 上一点,则有:
<m></m> ①____ <m></m> ； <m></m> ②____ <m></m> ； <m></m> ③___ <m></m> .
－
+
4.两点之间的距离:两点间线段的长度叫做两点间的距离.
考点2 角及其平分线
1.度、分、秒的换算: , ,度、分、秒之间的进制是60.
（2）性质:对顶角⑨______.
相等
2.三线八角（如图（1））
（1） 同位角有: <m></m> 与⑩____, <m></m> 与 <m></m> , <m></m> 与⑪____, <m></m> 与 <m></m> .
（2） 内错角有: <m></m> 与⑫____, <m></m> 与 <m></m> .
初中数学中考知识点考点学习课件PPT 第四章 三角形
第一节 线段、角、相交线与平行线知识点学习
考点1 直线与线段
1.两个基本事实
（1）直线的基本事实:两点确定一条直线.
（2）线段的基本事实:两点之间,线段最短.
2.线段的中点及性质如图,点 把线段 分成相等的两条线段 与 ,点 叫做线段 的中点,即 .
（3） 同旁内角有: <m></m> 与 <m></m> , <m></m> 与⑬____.
<m></m> ①____ <m></m> ； <m></m> ②____ <m></m> ； <m></m> ③___ <m></m> .
－
+
4.两点之间的距离:两点间线段的长度叫做两点间的距离.
考点2 角及其平分线
1.度、分、秒的换算: , ,度、分、秒之间的进制是60.
（2）性质:对顶角⑨______.
相等
2.三线八角（如图（1））
（1） 同位角有: <m></m> 与⑩____, <m></m> 与 <m></m> , <m></m> 与⑪____, <m></m> 与 <m></m> .
（2） 内错角有: <m></m> 与⑫____, <m></m> 与 <m></m> .
初中数学中考知识点考点学习课件PPT 第四章 三角形
第一节 线段、角、相交线与平行线知识点学习
考点1 直线与线段
1.两个基本事实
（1）直线的基本事实:两点确定一条直线.
（2）线段的基本事实:两点之间,线段最短.
2.线段的中点及性质如图,点 把线段 分成相等的两条线段 与 ,点 叫做线段 的中点,即 .
（3） 同旁内角有: <m></m> 与 <m></m> , <m></m> 与⑬____.
中考圆的复习 ppt课件(1)
问 ∠则A题∠在=二A＿三∠=:角＿当55A00形=°＿点°1内8，＿O或0时-当为＿1 1,外∠∠3△＿0心BB°A＿OO在BCCC三==的2角13∠外形0°A外心，时时，，
2
你做对了吗？
2020/12/17
心动不如行动
2.已知，如图，OA、OB为⊙O的
两过条C作半C径D∥，O且A，OA交⊥AOBB于，DC，是求A⌒BA的D的中度点，
而∠知又2D=∵E与∠D圆E3⊥有，A公CD，共E⊥点A，C B ∴ ∠故∴用1O+D第∠⊥二D种4E=，证90所法°以DE为
∴ ∠⊙2O+的∠切线4=90 °
∴ DE为⊙O的切线
2020/12/17
C
D
.2
4 3
1
E
O
A
心动不如行动
4.已知：如图， AB、AC与⊙O相切于点B、
C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，
当 _r_=_4_._8__或__6_＜__r_≤_8 时,
⊙O与线段AB仅有一交点;
2020/12/17
C
6
A
D
8
B
10.如图甲,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求
阴影部分的面积.
C
B
C
B
O
A
O
A
甲 解:如图一: SABC SOBC
乙
点拨:图连中接的OB阴π、影是不规则图形,不易直接求 出,所以OC要. 将其转π化为与其面积相等的规则
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
2
你做对了吗？
2020/12/17
心动不如行动
2.已知，如图，OA、OB为⊙O的
两过条C作半C径D∥，O且A，OA交⊥AOBB于，DC，是求A⌒BA的D的中度点，
而∠知又2D=∵E与∠D圆E3⊥有，A公CD，共E⊥点A，C B ∴ ∠故∴用1O+D第∠⊥二D种4E=，证90所法°以DE为
∴ ∠⊙2O+的∠切线4=90 °
∴ DE为⊙O的切线
2020/12/17
C
D
.2
4 3
1
E
O
A
心动不如行动
4.已知：如图， AB、AC与⊙O相切于点B、
C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，
当 _r_=_4_._8__或__6_＜__r_≤_8 时,
⊙O与线段AB仅有一交点;
2020/12/17
C
6
A
D
8
B
10.如图甲,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求
阴影部分的面积.
C
B
C
B
O
A
O
A
甲 解:如图一: SABC SOBC
乙
点拨:图连中接的OB阴π、影是不规则图形,不易直接求 出,所以OC要. 将其转π化为与其面积相等的规则
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
2019年中考数学总复习课件：线段、角、相交线、平行线(共23张PPT)教育精品.ppt
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初中数学中考知识点考点学习课件PPT之与圆有关的计算知识点学习PPT
（第7题）
8.[2016河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点C.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ________.
（第8题）
9.[2015河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， <m></m> 交 <m></m> 于点E.以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点D.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ______.
考法2 阴影部分面积的计算（8年6考）
3.[2017河南,10] 如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
4.[2022河南,14] 如图,将扇形 <m></m> 沿 <m></m> 方向平移,使点 <m></m> 移到 <m></m> 的中点 <m></m> 处,得到扇形 <m></m> .若 <m></m> , <m></m> ,则阴影部分的面积为_ _______.
九年级下册数学课件(华师版)圆中的计算问题
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
初中数学 中考复习专题-探究圆中角、线段的计算问题 (共28张ppt)
连接BD ∠ADB=90°
»AD=C»D
B
设∠CAD =∠ABD =x°
Rt△ABD中，x+40+x=90 解得x=25°
所以∠CAD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
工具 勾股定理 三角函数
勾股定理 三角函数
比例线段
梳理：解直角三角形
概念：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
解直角三角形的基本类型吗？ 两直角边
类型一：两边型 斜边和直角边 直角边和一个锐角
类型二：一边一角型 斜边和一个锐角
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2 b2 c（2 勾股定理）
F DD
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40°
B
O
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
法3：连接BE
矩形EFCD
EF=CD=4 BE=2EF=（8 垂径定理）
AE=（6 勾股定理）
CD=4，AD=8
法4：利用勾股定理列方程求解
BC（勾股） OF（勾股：OB2 -OF 2 BC2 -CF 2 ）
52 x2 (2 5)2 (5 x)2 OF=3
AE=6（中位线定理）
中考数学专项提升复习——线段角度问题 (共25张PPT)
2.已知点A(-1, 1)、B(4, 6)在抛物线y=ax²+bx上 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点F的坐标为(0, m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH // AE；
(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为
每秒 2 个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长
度．点 M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．
3.已知抛物线y=ax²+bx+1经过点A(1, 3)和点B(2, 1)． (1)求此抛物线解析式； (2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值； (3)①在抛物线AB段上存在一点E使△ABE的面积最大，求E点的坐标； ②请直接写出以A、B和在满足①的条件中的E点为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标．
②证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=A边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P坐标．
谢谢观看
(3)连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
6.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1, 0)、C(0, 4)两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的 长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；
( 3)在(2)的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线上找点E（不与点A、 B、C重合），使得∠DBE=45°，求E点的坐标．
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BC=2 5
CD=4，AD=8
D
法1：连接CE，
E4
C
内接四边形ABCE
3
1
2
A
O
M B
△ABC∽△CDE
法2：连接CE， ∠1=∠2
∠4=∠B
DE 2
AE 6
C»E=C»B
AE=6 DE=（2 勾股定理） CE=CB=2 5 CD=4，AD=8
E
1 2
A
D C
3
F
O
M B
CD=4，AD=8
连接BD ∠ADB=90°
»AD=C»D
B
设∠CAD =∠ABD =x°
Rt△ABD中，x+40+x=90 解得x=25°
所以∠CAD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
F DD
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
°.
C D
A 40°
B
O
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
法3：连接BE
矩形EFCD
EF=CD=4 BE=2EF=（8 垂径定理）
AE=（6 勾股定理）
CD=4，AD=8
法4：利用勾股定理列方程求解
BC（勾股） OF（勾股：OB2 -OF 2 BC2 -CF 2 ）
52 x2 (2 5)2 (5 x)2 OF=3
AE=6（中位线定理）
3 1 2
工具 勾股定理 三角函数
勾股定理 三角函数
比例线段
梳理：解直角三角形
概念：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
解直角三角形的基本类型吗？ 两直角边
类型一：两边型 斜边和直角边 直角边和一个锐角
类型二：一边一角型 斜边和一个锐角
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2 b2 c（2 勾股定理）
BC=2,AD=3
△BCD △BAC 2 BD
3 BD 2 BD 1
梳理：圆中的计算常见的类型及方法
类型
条件特征
方法
已知条件与未知线段 满足可解条件 在同一直角三角形中
解直角三角形
条件可以转移到一个 解直角三角形
已知条件与未知线段 三角形，形成可解三角形
不在同一个三角形中 条件不方便转移
相似三角形
A
O
EB
∠BAC= ∠BDC=25° （共弧BC）
∠ACB=90° （直径AB）
∠OBC=65°
D
∠BCE=25°
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
CC AB⊥CF
弧BC=弧BF
A
OO
EE B B
∠BCE= ∠BDC=25° （圆周角定理）
B 圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角等于90°
总结：
圆的计算要回归圆的基本性质，关键在识别圆的性质定理图形， 补全基本定理图形，建立角之间的关系.还要形成几个意识：
1. 以弧定角，借助同弧或等弧建立角的关联.
2.以弦定轴，关注垂径定理等形成的等弧条件.
思考：
关于圆中求线段长度的问题，你遇到过哪些类型的情况？ 通常有什么方法呢？
M C
B
（3）ACB ADB 90
D
（4）DBE CAD
E
性质 轴对
归纳：圆中与角相关的定理
定理
图形
垂径定理
称性
切线长定理
结论 等弧，等角， 等线段 等角，等线段 (等弧)
旋转 不变性
圆心角、弧、 弦之间的关系
圆周角定理及
D
推论
A
C
O B
弧等，弦等， 角等
2 倍，等角， 直角，互补
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
BD//OC
C
∠CDB= ∠OCD=25°
A
O
EB
D
∠BOC=50° （共弧BC） ∠OBC=65° （等腰△OBC）
∠BCE=25°
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
BD//OC
C
∠CDB= ∠OCD=25°
(2)锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系: 锐角三角函数
B
sinA＝
a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
c a
A
bC
E
1 2
A
D C
3
O
M B
OC//AD， 等腰△AOC
直径AB， AD⊥CD
Rt△ABC
CD=4，AD=8
△ABC∽△ACD
∠1=∠2
∠ACB=∠ADC=90o
°.
C D
A 40° O
连接BC，BD ∠ADB=∠ACB=90° ∠ABC=50°
»AD=C»D
B
∠CAD =∠ABD=∠CBD =25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
初三年级数学学科
探究圆中角、线段的计算问题（上）
一、 圆中角的计算
圆中求角的度数问题，离不开角之间的数量关系， 圆中有哪些定理与角的数量关系有关呢？
慧眼识图 下图中的角都存在什么数量关系？为什么？
A
（1）BDC BAC BCD BAD 1 BOC 2
O
（2）ADC ABC ACD ABD 1 AOC 2
初三年级数学学科
探究圆中角、线段的计算问题（下）
二、 圆中线段的计算 关于圆中求线段的长度，你见过哪些类型的问题？有什么方法呢？
C
C
C
C
?
2
? 2
? 2
?
2
A
O
BA
O
BA
O
BA
B 3O D
r=2,BC=2
1 BC=2,sinA= 2
D1 BC=2,sinD= 2
BC=2,AD=3
C
?
2
A
B
3O D
CD=4，AD=8
法5：利用三角函数求解
sin∠2= 5 ，cos∠2= 2 5
5
5
sin∠1= sin∠2= sin∠3= 5 ， 5
cos∠1= cos∠2= cos∠3= 2 5 5
总结
类型
条件特征
已知条件与未知线段 满足可解条件 在同一个三角形中
方法 解直角三角形
工具 勾股定理 三角函数
条件可以转移到一个三角 解直角三角形
已知条件与未知线段 形，形成可解直角三角形
不在同一个三角形中 条件不方便转移
应用相似三角形
勾股定理 三角函数
比例线段
等腰△AOC
B
∠AOC=100°
»AD=C»D ∠AOD =∠COD=50°
等腰△AOD ∠OAD=65° ∠CAD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
不添加辅助线，你能解 释这个结果的合理性吗？
连接BC，CD ∠ACB=90° ∠ABC=50°
圆的内接四边形 ∠D=130°
B
»AD=C»D ∠CAD =∠ACD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
连接OC，OD
CD=4，AD=8
D
法1：连接CE，
E4
C
内接四边形ABCE
3
1
2
A
O
M B
△ABC∽△CDE
法2：连接CE， ∠1=∠2
∠4=∠B
DE 2
AE 6
C»E=C»B
AE=6 DE=（2 勾股定理） CE=CB=2 5 CD=4，AD=8
E
1 2
A
D C
3
F
O
M B
CD=4，AD=8
连接BD ∠ADB=90°
»AD=C»D
B
设∠CAD =∠ABD =x°
Rt△ABD中，x+40+x=90 解得x=25°
所以∠CAD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
F DD
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
°.
C D
A 40°
B
O
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
法3：连接BE
矩形EFCD
EF=CD=4 BE=2EF=（8 垂径定理）
AE=（6 勾股定理）
CD=4，AD=8
法4：利用勾股定理列方程求解
BC（勾股） OF（勾股：OB2 -OF 2 BC2 -CF 2 ）
52 x2 (2 5)2 (5 x)2 OF=3
AE=6（中位线定理）
3 1 2
工具 勾股定理 三角函数
勾股定理 三角函数
比例线段
梳理：解直角三角形
概念：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形
解直角三角形的基本类型吗？ 两直角边
类型一：两边型 斜边和直角边 直角边和一个锐角
类型二：一边一角型 斜边和一个锐角
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2 b2 c（2 勾股定理）
BC=2,AD=3
△BCD △BAC 2 BD
3 BD 2 BD 1
梳理：圆中的计算常见的类型及方法
类型
条件特征
方法
已知条件与未知线段 满足可解条件 在同一直角三角形中
解直角三角形
条件可以转移到一个 解直角三角形
已知条件与未知线段 三角形，形成可解三角形
不在同一个三角形中 条件不方便转移
相似三角形
A
O
EB
∠BAC= ∠BDC=25° （共弧BC）
∠ACB=90° （直径AB）
∠OBC=65°
D
∠BCE=25°
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
CC AB⊥CF
弧BC=弧BF
A
OO
EE B B
∠BCE= ∠BDC=25° （圆周角定理）
B 圆周角定理推论：半圆或直径所对的圆周角等于90°
总结：
圆的计算要回归圆的基本性质，关键在识别圆的性质定理图形， 补全基本定理图形，建立角之间的关系.还要形成几个意识：
1. 以弧定角，借助同弧或等弧建立角的关联.
2.以弦定轴，关注垂径定理等形成的等弧条件.
思考：
关于圆中求线段长度的问题，你遇到过哪些类型的情况？ 通常有什么方法呢？
M C
B
（3）ACB ADB 90
D
（4）DBE CAD
E
性质 轴对
归纳：圆中与角相关的定理
定理
图形
垂径定理
称性
切线长定理
结论 等弧，等角， 等线段 等角，等线段 (等弧)
旋转 不变性
圆心角、弧、 弦之间的关系
圆周角定理及
D
推论
A
C
O B
弧等，弦等， 角等
2 倍，等角， 直角，互补
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
BD//OC
C
∠CDB= ∠OCD=25°
A
O
EB
D
∠BOC=50° （共弧BC） ∠OBC=65° （等腰△OBC）
∠BCE=25°
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
BD//OC
C
∠CDB= ∠OCD=25°
(2)锐角之间的关系: ∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系: 锐角三角函数
B
sinA＝
a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
cotA＝
b a
c a
A
bC
E
1 2
A
D C
3
O
M B
OC//AD， 等腰△AOC
直径AB， AD⊥CD
Rt△ABC
CD=4，AD=8
△ABC∽△ACD
∠1=∠2
∠ACB=∠ADC=90o
°.
C D
A 40° O
连接BC，BD ∠ADB=∠ACB=90° ∠ABC=50°
»AD=C»D
B
∠CAD =∠ABD=∠CBD =25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
初三年级数学学科
探究圆中角、线段的计算问题（上）
一、 圆中角的计算
圆中求角的度数问题，离不开角之间的数量关系， 圆中有哪些定理与角的数量关系有关呢？
慧眼识图 下图中的角都存在什么数量关系？为什么？
A
（1）BDC BAC BCD BAD 1 BOC 2
O
（2）ADC ABC ACD ABD 1 AOC 2
初三年级数学学科
探究圆中角、线段的计算问题（下）
二、 圆中线段的计算 关于圆中求线段的长度，你见过哪些类型的问题？有什么方法呢？
C
C
C
C
?
2
? 2
? 2
?
2
A
O
BA
O
BA
O
BA
B 3O D
r=2,BC=2
1 BC=2,sinA= 2
D1 BC=2,sinD= 2
BC=2,AD=3
C
?
2
A
B
3O D
CD=4，AD=8
法5：利用三角函数求解
sin∠2= 5 ，cos∠2= 2 5
5
5
sin∠1= sin∠2= sin∠3= 5 ， 5
cos∠1= cos∠2= cos∠3= 2 5 5
总结
类型
条件特征
已知条件与未知线段 满足可解条件 在同一个三角形中
方法 解直角三角形
工具 勾股定理 三角函数
条件可以转移到一个三角 解直角三角形
已知条件与未知线段 形，形成可解直角三角形
不在同一个三角形中 条件不方便转移
应用相似三角形
勾股定理 三角函数
比例线段
等腰△AOC
B
∠AOC=100°
»AD=C»D ∠AOD =∠COD=50°
等腰△AOD ∠OAD=65° ∠CAD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
不添加辅助线，你能解 释这个结果的合理性吗？
连接BC，CD ∠ACB=90° ∠ABC=50°
圆的内接四边形 ∠D=130°
B
»AD=C»D ∠CAD =∠ACD=25°
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
连接OC，OD