实验2 单自由度系统模型参数和固有频率的测定
实验指导书及实验报告-自由衰减法测量单自由度系统的固有频率和阻尼比
实验报告1:自由衰减法测量单自由度系统的固有频率和阻尼比姓名:刘博恒学号:1252227专业:车辆工程(汽车) 班级:12级日期:2014年12月25日组内成员张天河、刘嘉锐、刘博恒、马力、孙贤超、唐鑫一、实验目的1.了解单自由度自由衰减振动的有关概念。
2.学会用数据采集仪记录单自由度系统自由衰减振动的波形。
3.学会根据自由衰减振动波形确定系统的固有频率和阻尼比。
二、实验原理由振动理论可知,一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统,其质量为m(kg),弹簧刚度为K(N m⁄),粘性阻尼系数为r(N∙m s⁄)。
当质量上承受初始条件(t=0时,位移x=x0,速度ẋ=ẋ0)激扰时,将作自由衰减振动。
在弱阻尼条件下其位移响应为:x=Ae−nt sin(√p2−n2t+φ)式中:n=r2m为衰减系数(rad/s)p=√Km为固有圆频率(rad/s)A=√ẋ02+2nẋ0x0+p2x02p2−n2为响应幅值(m)φ=tan−1x0√p2−n2ẋ0+nx0为响应的相位角(rad)引入:阻尼比ξ=np对数衰减比δ=ln A1A3则有:n=δT d而T d=1f d =√p2−n2f d=p d2π=√p2−n22π为衰减振动的频率,p d=√p2−n2为衰减振动的圆频率。
在计算对数衰减比时,考虑到传感器的误差及系统本身迟滞,振动的平衡点位置可能不为0,因此可以使用相邻周期的峰峰值来代替振幅值计算,即δ=ln A1+A2A3+A4。
从衰减振动的响应曲线上可直接测量出δ、T d,然后根据n=δT d 可计算出n;T d=1f d=√p2−n2计算出p;ξ=np可计算出ξ;n=r2m计算出r;f0=p2π=12π√Km计算出无阻尼时系统的固有频率f0;T0=1f =2π∙√mK计算出无阻尼时系统的固有周期T0。
三、实验方法1)将系统安装成单自由度无阻尼系统,在质量块的侧臂有一个“测量平面”,用于电涡流传感器拾振。
实验11:单自由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率及阻尼比的测定
2.5kg,上下都可以放,由于速度传感器不能倒置,只能把
质量块放到梁的下面,传感器安装在简支梁的中部。
2、 开机进入 DASP2000 标准版软件的主界面,选择单通道按
钮。进入单通道示波状态进行波形和波谱同时示波。
3、 把 ZJ-601A 型振动教学试验仪的频率按钮用手动搜索一下
梁当前的共振频率,调节放大倍数到“1”档,不要让共振
无量纲的加速度响应,将上式对时间 t 再微分一次,
������0���⁄���̈������=- ������������2 sin(������������ − ������)=- β∝ sin(������������ − ������)
振动幅度最大的频率叫共振频率������������、������������,有阻尼时共振频 率为
������������=������√1 − ������2 或������������ = ������√1 − ������2 ω、f— —固有频率; D——阻尼比。 由于阻尼比较小,所以一般认为:������������ = ω 根据幅频特性曲线:
在
D<1
时,共振处的动力放大系数|������������������������ |=2������√11−������2
有阻尼的强迫振动,当经过一定时间后,只剩下强迫振动部分,
有阻尼强迫振动的振幅特性:������
=
√(1−������2
1 )2+4������2
������2=������������������������
当干扰力确定后,由力产生的静态位移������������������就可随之确定,而强迫
振动的动态位移与频率比 u 和阻尼比 D 有关,这种关系即表现为幅
单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定
单自由度系统自由衰减振动 及固有频率、阻尼比的测定一、 实验目的1、了解单自由度系统模型的自由衰减的振动的有关概念;2、学习用频谱分析信号的频率。
3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。
二、 实验仪器实验仪器:INV1601B 型振动教学实验仪、INV1601T 型振动教学实验台、加速度传感器、调速电机或配重块、MSC-1力锤(橡胶头)。
软件:INV1601型DASP 软件。
三、 实验原理单自由度系统的阻尼计算常常通过衰减振动的过程曲线振幅的衰减比例来进行计算。
衰减振动波形示于图1。
用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比,或经过一个周期的两个同方向相邻振幅之比,这两种基准方式进行计算。
通常以相隔半个周期的相邻两个振幅绝对值之比为基准来计算的较多。
两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。
图1 衰减振动波形1、对经过半周期为基准的阻尼计算 每经过半周期的振幅的比值为一常量,2121)2(1D D TD TDt t K K eeAeAe A A -+--+====πεεεϕ这个比例系数ϕ 表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。
衰减系数 ϕ 常用来表示振幅的减小速率。
如果用衰减系数ϕ的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。
21121lnln D D T A A D K K -====+πεϕδδ称为振动的对数衰减率。
可以利用来求得阻尼比D 。
22δπδ+=D引入常用对数101010303.2lg ,4343.0lg lg ln lg lg δδδϕδϕδ======ee ee 便得22)(lg 862.1lg )lg 733.0(1lg 733.0ϕϕϕϕ+=+=D在实际阻尼波形振幅读数时,由于基线甚难处理,阻尼较大时,基线差一点, ϕ 就相差很大,所以往往读取相邻两个波形的峰峰值之比,211+++++K K K K A A A A在211+++=K K K K A A A A 时,2111++++++==K K K K K K A A A A A A ϕ这样,实际阻尼波形读取数值就大为方便,求得阻尼比也更加正确。
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
4、根据相频特性的测试数据,在同一图上绘出几条相位差频率( 特性曲线,由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线,试分析对于不同阻尼的振动系统,几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先,在水平振动台面上不加任何重物,测量系统在自由衰减振动时的固有频率;之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码,再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率,并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性:
撤去水平振动台面上的砝码,调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同,但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据,以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中,水平振动台面的等效质量为 ,系统的等效刚度为 ,在无阻尼或阻尼很小时,系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得,我们将其记作 ;此时在水平振动台面上加一个已知质量 ,测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到: 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说, 的值表示单位电流产生的激振力大小,称为力常数,由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备:
在计算机内部,插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求,进行专门编程,完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后,原始数据记录纸在实验课上提供,必须每人交一份,可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号,不得使用铅笔记录。
第2章单自由度系统计算固有频率的能量法
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统--阻尼自由振动 衰减振动
解:振动衰减曲线的包络线
方程为 x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值
为xP、xR ,则有
xP e nNTd r
xR
2π Nz ln r 1z 2
当z 2<<1时
e z n t1 ln ezn (t1 d )
ln ezn d
z n d
nTd
2πz 1z 2
2π z d 2 n 1 z 2
例 在欠阻尼(z <1)的系统中,
在振幅衰减曲线的包络线上,已测
得相隔N个周期的两点P、R的幅值
之比xP/xR=r,如图所示,试确定此 振动系统的阻尼比z。
由机械能守恒定律得:
1 2
m
J r2
2 2
sin(t
)
1 2
k
2
cos(t
)
mh
1 2
k
2
mh
T
1 2
m
r2 r2
J
2
U max
1 2
k
2
由瑞利商得:
2
Umax T
kr2 m r2 J
8
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
阻尼自由振动
9
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动 引言
• 什么是阻尼?
• 我们将着重讨论粘性阻尼,如果没有特殊说明,有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
Theory of Vibration with Applications
12
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第第2章2章 单单自自由由度度系统系-统-阻-尼-阻自尼由振自动由振动
单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法
单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法1.引言弹簧质量系统是工程、物理学中常见的一种简化模型,用于研究物体的振动特性。
在实际工程和物理应用中,求解弹簧质量系统的固有频率是非常重要的。
固有频率不仅能反映系统的振动特性,还能为系统设计和分析提供重要的依据。
本文将介绍单自由度弹簧质量系统求解固有频率的方法,并分析各种方法的优缺点。
2.理论背景单自由度弹簧-质量系统是一种简化的模型,由一个质点和一个弹簧组成。
该模型的振动特性可以用一个振动微分方程来描述。
具体而言,弹簧质量系统的振动微分方程可以表示为:m * d^2x(t)/dt^2 + c * dx(t)/dt + k * x(t) = 0其中,m是质量,c是阻尼系数,k是弹性系数,x(t)是质点位移关于时间的函数。
3.常见的求解方法3.1 模拟法模拟法是一种基于数值计算的方法,它通过数值解法求解振动微分方程并得到固有频率。
常见的模拟法有欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算模拟系统在不同时间步长上的位移值,并最终得到系统的振动频率。
模拟法的优点是简单易懂,适用于各种类型的弹簧质量系统。
然而,模拟法需要进行大量的计算,当系统复杂时计算量会非常大,并且对时间步长的选择较为敏感。
3.2 解析法解析法是一种基于解析推导的方法,它通过求解振动微分方程的解析解来得到固有频率。
常见的解析法有代数方法和微积分方法。
代数方法通常使用特征方程的求根公式求解固有频率,微积分方法则通过求解微分方程的特解和齐次方程的通解来得到系统的固有频率。
解析法的优点是计算速度快,对于简单的弹簧质量系统可以迅速得到准确的结果。
然而,解析法仅适用于特定的系统和初始条件,并且对于复杂的系统很难推导出解析解。
4.结论与讨论在单自由度弹簧质量系统中,求解固有频率的方法多种多样。
模拟法和解析法各有优缺点,可根据具体情况选择适宜的方法。
模拟法适用于各种类型的弹簧质量系统,但计算量较大;解析法在简单系统中计算速度快,但仅适用于特定的情况。
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
1
DC 输出:0~30V,2A
PAB 32~2A KIKUSUI(日本)
7
微型计算机
1
内部有 A/D、D/A 插卡
通用型
-3-
五.实验步骤
1. 打开微型计算机,运行进入“单自由度系统”程序。 2. 单击“设备虚拟连接”功能图标,进入设备连接状态,参照图六对显示试验设备进行联
线。连线完毕后,单击“连接完毕”,如连接正确,则显示“连接正确”,即可往下进 行,否则重新连接,直至连接正确。 3. 接通阻尼器励磁及功率放大器电源,调励磁电流为某一定值(分别为������ = 0.6A, 0.8A, 1.0A) 4. 测定自由衰减振动: 单击“自由衰减记录”功能图标,进入如图七显示界面。单击 (Start)键,开始测试。由 一电脉冲沿水平方向突然激励振动台,微机屏幕上显示自由衰减曲线。用鼠标调节光标 的位置,读出有关的数据。改变周期数 i 的数值,即可直接显示相应的周期和频率。 5. 测定幅频特性和相频特性: 单击“简谐激励振动”功能图标,按图八所示,单击“信号输入显示框中的频率,将弹、 出一个对话框,可以直接输入激励频率。也可单击频率的单步步进键进行激励调节。单 击 (Start)键,开始测试,开始强迫振动幅频特性和相频特性测量,其中2Hz~15Hz内大致 相隔1Hz设一个测点;15Hz~30Hz 内每隔5Hz设一个测点。 在显示检测框显示力信号和相应信号波形,以便观察信号的质量。幅值比显示振动位移
注:由于实验时间所限,加之读数难度较大,在������������ 附近没有加密测量相频点。这是实验中的失误。
-5-
七.实验数据处理
1. 根据自由衰减振动记录的有关数据,分析计算系统的固有圆频率������������及阻尼比ζ。
单自由度系统模型参量测试报告 .
班级10010741学号04\06\10\11\21\24\25\32\36\37\41\44单自由度系统振动参数测试报告一、实验目的:1.了解振动信号位移、速度、加速度之间的关系;2.学会用各种传感器测量简谐振动的位移、速度、加速度幅值;3.学习共振前后李萨如图形的变化规律和特点。
4.学习幅值判别法和相位判别法测试固有频率的原理和方法。
二、实验仪器1、ZJY-601T 型振动教学实验台;2、ZJY-601A 型振动教学实验放大仪、配重块、小弹性力锤及各种传感器;3、IVN303/306系列智能信号采集分析仪和DASP 大容量数据采集与信号处理分析软件。
三、实验装置连接示意图速度传感器位移传感器加速度传感器DH5923DH13011-11-21-31-4计算机系统及分析软件1394力传感器简支梁激振器四、实验结果和分析1. 幅值判别法所测频率及位移、速度和加速度的幅值进行验证。
对于一般简谐运动位移X 可表示为 x=Asin (ωt +ψ)其中A 为幅值,ω为角频率,ψ为振动初相位。
那么速度v和加速度a分别为:v=-Aωcos(ωt+ψ)a=Aω2sin(ωt+ψ)由此可知上述三者的幅值分别为 xmax =A vmax=Aω amax= Aω2 其中ω=2πf下面利用实验数据进行验证:f=21.5Hz时ω=135.02rad/s此时A=0.1mm 根据关系式vmax =13.50mm/s amax=1.76m/sf=23.3Hz时ω=146.32rad/s此时A=0.2mm 根据关系式vmax =29.26mm/s amax=4.28m/sf=27.2Hz时ω=170.82rad/s此时A=0.4mm 根据关系式vmax =68.33mm/s amax=11.67m/s实验数据跟理论数据相差不大,可以认为上述关系成立。
幅值判别法所测固有频率为26.9Hz2.相位判别法测系统固有频率的实验结果及分析1、当位移和加速度达到共振频率时测得系统固有频率为27.1Hz2、当速度达到共振频率时测得系统共振频率为27.4Hz。
单自由度系统固有频率和阻尼比的测定
单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验一、实验内容1、 学习分析系统自山衰减振动的波形;2、 验证固有频率的存在;3、 山衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比;二、实验设备(1)式中,a )= yi K/M 为系统固有频率,H = C/2M 为阻尼系数,g = (co 勿阻尼比。
3 W “ A M 一 +C 一 + Kx = O dr dt右〕〃 3 c d 兀 2 c 111 ——+ 2n 一 + a)x = 0 dr dt振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件(10)则:对于小俎尼情形M < 1,其方程有解如下:设t=0时,系统的位置和速度分别为xo 和切,则A = hV °少一卩I~T ⑷x( ^y/2 -ir tan (p = (5)其衰减振动有如下特点:1、 振动周期大于无阻尼时的自由振动周期,即TigT _ 2龙一 2礼2龙_T1①J/—询]一§2 J]_§2系统固有频率为:⑹fo = L =........ > • T 片口 (7)2、 振幅按指数函数衰减'设相邻两次振动的振幅分别为Ai 和Ai+i.则减幅系数为:“二字二严 4+1对数减幅系数 J = ln;; = n7; 另外,相隔•个周期的两次振动,城幅之比设为卩,则(8)⑼x = Ae ,,f,i sin (6?/ + A o ) (2)式中人■系统初始振il 喘,%・初相位,①■衰减振动圆频率°并且有:© = -jar -n 1 = (3)q = In 7 = j/z7]四、实验步骤1.试验1:采用1个质量块,施加较小的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
2.试验2:釆用1个质量块,施加较大的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
3.设定周期数j,此试验取30,读出j个波形所经历的时间t,记录其波形的幅值。
4.计算系统阻尼比纟和固定频率厶五、数据处理与实验结果分析表5-1原始数据记录试验2试验2XI10.36XI29.60Y1116.75Y1123.11X214.14X233.40Y2110.48Y211&04dX 3.78dX 3.80dYI-6.27dYI-5.09试验1(单个质量块,力F较小):山试验所测数据计算得到的周期为:7 = 3.78/30 = 0.126$,九二 * = 7.936H?振幅之比设为仍,则30} - In 〃 j = In(1.60) = 0.47q = In 行二In(1.28) = 0.25為则有㈠务X , =49.86 *1.60 」4+j10.48 0 47歸莎”124,则有7;.= ——=0.126$ 30x0.124沖+(洁)+2.487x,o_3试验2(单个质量块,力F 较大):山试验所测数据讣算得到的周期为:7 = 3.80/30 = 0.126$,九二丄=7.936 血 振幅之比设为〃门则A. 23.11_ ”厂石 18.04= 1,28III以上数据处理结果可以得到/试验2和试验2在不同大小的作用力下,悬3臂梁的固有频率一致,均为7.69HZO试验3 (两个质量块):【」」试验所测数据讣算得到的周期为:r = 3.94/ 30 = 0.1315,/o= 1 =7.6\4H 乙姑宀已严992+ (需)-7.96V 7;A -=£222 = 2.06x10- 〜e 47.96 六、试验思考1>试验过程较为简单,只是通过给悬臂杆一个外力后让其振动,测量到它的振 动波形图就行了。
单自由度系统固有频率的计算方法
单自由度系统固有频率的计算方法单自由度系统是指只有一个自由度的动力学系统,它可以用一个自由度变量来描述。
典型的单自由度系统包括弹簧质点振子、摆锤等。
固有频率是指在没有外界激励的情况下,系统自由振动的频率。
计算固有频率的方法有解析法和数值法两种。
1.解析法解析法是指通过解析求解系统的运动方程得到固有频率的方法。
以弹簧质点振子为例,其运动方程可以表示为:m*x''(t)+k*x(t)=0其中m是质量,k是弹簧的弹性系数,x(t)是质点的位移函数。
将位移函数假设为x(t) = A*sin(ωt + φ),代入运动方程,得到m*(-A*ω^2*sin(ωt + φ)) + k*(A*sin(ωt + φ)) = 0整理后得到m*ω^2=kω = sqrt(k/m)其中sqrt表示开方。
对于其他类型的单自由度系统,也可以通过类似的方式得到固有频率的计算方法。
关键是将系统的运动方程表示成形式简单的方程,然后通过求解得到固有频率。
2.数值法如果系统的运动方程较为复杂,无法通过解析的方式得到固有频率,可以采用数值法进行计算。
常见的数值法包括有限差分法和有限元法。
有限差分法是指将运动方程离散化,用差分近似替代微分,然后通过求解差分方程的特征根来得到固有频率。
通常需要将时间和空间进行离散化,然后使用数值求解方法(如迭代法)求解差分方程的特征根。
有限元法是指将连续的振动系统进行分割,将其近似为由离散的小单元组成的系统。
然后通过求解每个小单元的振动特性来得到整个系统的固有频率。
有限元法具有较好的适用性和灵活性,可以处理复杂的几何形状和材料性质分布。
总之,解析法和数值法是计算单自由度系统固有频率的两种常用方法。
根据具体系统的特点和需要,选择合适的方法来计算固有频率。
固有频率测量实验报告
固有频率测量实验报告固有频率测量实验报告引言固有频率是物体在没有外界干扰下自然振动的频率。
固有频率的测量对于许多领域都有重要意义,如结构工程、物理学和地震学等。
本实验旨在通过测量弹簧振子的固有频率,探究其与弹簧的刚度和质量的关系。
实验装置和步骤实验装置包括一个弹簧振子、一个质量盘和一个计时器。
首先,将质量盘挂在弹簧振子下方,并调整弹簧的位置,使得质量盘与地面保持平行。
然后,将质量盘抬至一定高度,释放并开始计时。
记录下质量盘振动的周期T。
实验数据处理根据实验数据,我们可以计算出弹簧振子的固有频率f。
固有频率与周期的关系为f=1/T。
将实验测得的周期代入公式,即可得到固有频率的数值。
实验结果分析在实验中,我们通过改变质量盘的质量和弹簧的刚度,分别测量了不同条件下的固有频率。
观察实验结果,我们可以得出以下几点结论:1. 弹簧刚度与固有频率成正比:当弹簧的刚度增加时,固有频率也随之增加。
这是因为弹簧的刚度决定了其回复力的大小,刚度越大,回复力越大,振子的振动周期越短,固有频率越高。
2. 质量与固有频率成反比:当质量增加时,固有频率减小。
这是因为质量的增加会增加振子的惯性,使得振子的振动周期变长,固有频率变低。
3. 弹簧的刚度对固有频率的影响更大:在实验中,改变弹簧的刚度对固有频率的影响更为显著。
这是因为弹簧的刚度直接决定了振子的回复力,而质量仅仅影响振子的惯性。
应用与展望固有频率测量在工程领域有着广泛的应用。
例如,在建筑结构设计中,需要考虑到结构的固有频率,以防止共振现象的发生。
此外,固有频率的测量还可以用于地震学研究,通过测量地震波的固有频率,可以推断地球内部的物质性质。
未来的研究可以进一步探究固有频率与其他因素的关系,如材料的特性和形状等。
同时,可以利用更精确的实验装置和测量方法,提高实验结果的准确性和可靠性。
结论通过本实验,我们成功测量了弹簧振子的固有频率,并探究了其与弹簧刚度和质量的关系。
实验结果表明,弹簧刚度与固有频率成正比,质量与固有频率成反比。
实验2 单自由度系统模型参数和固有频率的测定
实验一多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试验一、实验目的实际工程中的许多振动都可以简化抽象为由两个及两个以上的独立坐标来描述的振动模型。
这就是多自由度系统振动问题。
本实验对两个和三个自由度系统振动问题进行测试分析,主要目的:1、学会用共振法测定多自由度系统各阶固有频率的基本技术与方法。
2、了解和熟悉多自由度系统振动的各阶振型。
3、初步学会分析和处理理论解与实验结果之间误差的方法。
二、基本原理实验模型是将两个或三个集中质量钢块固定在钢丝绳上,用不同的重量的质量块G来调整钢丝绳的张力(见图1-1(a)所示),固定在钢丝绳上的集中质量钢块在铅垂平面内沿垂直方向运动时,钢丝绳的张力相当于一个弹簧,忽略钢丝绳的质量,则整个系统就可以简化为多自由度系统振动的力学模型(如图1-1(b)所示)。
( b)图1-1 多自由度系统振动及其简化力学模型振动系统有多少个自由度,从理论上讲就应当有同样多的固有频率。
如果振动系统受到简谐力的激励,系统发生振动,则振动响应是其主振型的叠加。
当激振力的频率与系统的某一阶固有频率相同时,系统就发生共振响应,这时候系统的振动响应就是这阶固有频率的主振型,而其它振型的影响可忽略不计。
因此,可以利用这种共振现象来判定多自由度系统的固有频率。
在测定系统振动的固有频率时,从低频到高频连续调整激振频率,当系统出现某阶振型且振幅最大时,此时的激振频率即为该阶固有频率,这样依此可找到系统的各阶固有频率。
n个自由度系统振动微分方程为(1-1)++FKXM =XCX式中:M为质量矩阵、C为阻尼矩阵、K为刚度矩阵、X为位移列向量、F为激振力列向量。
为了讨论n个自由度系统振动的固有频率和主振型,不考虑阻尼和外力,则其振动微分方程为(1-2)M =+XKX根据微分方程组和模态分析理论,假定系统的自由振动响应为),,2,1()sin(x i n i t i =+=θωφ (1-3)将(1-3)式代入(1-2)式得[]{}{}0 K M =+-φλ (1-4)式中:λ=2ω。
单自由度系统振动实验
5).相位差计算
相位差计算公式为
⎧ ⎛ϕ * ⎞ arcsin ⎜ ϕ ⎟ """"" (摆盘蓝指针与摇杆红指针同向) ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ε =⎨ ϕ* ⎞ ⎪π − arcsin⎛ (摆盘蓝指针与摇杆红指针反向) ⎜ ϕ ⎟ """ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩
(15)
五.实验结果处理
1.以表格形式处理实验结果,计算各表格中的参数值。 2.绘出以频率比 λ = ω ω n 为横坐标,幅值比 ϕ Φ 和相位差为纵坐标的幅频特 性曲线和相频特性曲线。
( 9) (10)
阻尼比为:
ξ=
n
ωn
测量三次填入表 2,并计算 n,ξ。 序号 Φ0 Φk
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
平均
n
ξ
tk k
4.阻尼受迫振动参数测定
1).保持所选的阻尼器位置不变,顺时针旋转调速旋钮使驱动盘开始转动,
记录激励(摇杆红指针)的最大幅值 Θ(指摇杆红指针的左侧摆幅) ,填 入表三。
2).自动/手动拨动开关拨向“自动” ,由低速到高速,在不同激励频率下测量
tgε = 2 nω
ωn2 − ω 2
(14)
式(14)表明相位差与激励频率ω有关,它们之间的关系可由相频 曲线来描述。
3).参数测量
为获得幅频曲线和相频曲线的参数,在每次调速待摆盘运动稳定(即
4
显示窗显示的周期基本不变)后,同时记录:
a.激励周期 T b.摆盘蓝指针左侧响应摆幅φ;
c. 按下放电按钮时, 摆盘蓝指针火花放电位置φ*及此时的摆动方向。 (放 电瞬时摇杆红指针由左向右通过零点) ; 将所测得的参数值填入表三。
系统模型参数测量及附加质量对系统频率的影响测定(精)
实验三系统模型参数测量及附加质量对系统频率的影响测定单自由度系统模型参数的测试一、实验目的:1、学习建立单自由度系统模型;2、学会用共振法测定单自由度系统模型的固有频率、刚度;3、学习简支梁等效质量的计算与测试.二、实验仪器安装示意图三、实验原理单自由度线性系统是最简单的振动系统,又是最基本的振动系统,这种系统在振动分中的重要性,一方面在于很多实际总是都可简化为单自由度线性系统来处理,从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题;另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性,实际上,它是多自由度系统、连续系统、甚至非线性系统进行振动分析的基础。
任何一个实际的振动系统都是无限复杂的,为了能对之进行分析,一定要加以简化,并在简化的基础上建立合格的力学模型。
在简化的模型中,振动体的位置或开头只需要用一个独立的坐标来描述的系统称为单自由度系统。
振动系统的力学模型是由三种理想化元件组成的,它们是:质量块、阻尼器和弹簧. 1、通过静变形法测量单自由度系统的固有频率ZJ—601T型振动教学试验台上的简支梁是一无限多自由度的梁,梁中部的配重看作质量块,使系统简化为单自由度系统.梁相当于一弹簧,则系统可简化为一个单自由度无阻尼系统,力学模型如图所示:在质量块的重力作用下,弹簧受到拉伸或压缩,其静变形与重力间的关系为则根据固有频率的定义,将上式代入则有由材料力学知梁中点的静变形为则系统的固有频率为简支梁中点处的刚度为2、简支梁等效质量的计算对于中部附有集中质量块的简支梁系统,若梁的均布质量为,线密度为,假定梁在自由振动时的动挠度曲线与简支梁中间有集中载荷作用下的静挠度曲线一样.由材料力学及振动理论可计算出均布质量梁的质量折合到梁中部的等效集中质量。
根据所测得频率,可计算出等效刚度四、实验步骤1、参考示意图连接好仪器和传感器。
2、开机进入DASP2000标准版软件的主界面,选择单通道按钮,进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波。
单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法
文章标题:深度探讨单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法在工程学和物理学中,单自由度弹簧质量系统是一个常见的模型,用于研究弹簧和质量之间的动力学关系。
其中,求解该系统的固有频率是非常重要的,因为固有频率反映了系统的动力学特性,对于系统的设计和分析具有重要意义。
在本篇文章中,我将从简单的概念和原理出发,逐步深入讨论单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法。
通过全面评估这一主题,我将向您展示如何以清晰的方式理解和计算固有频率,并反映我的个人观点和理解。
一、单自由度弹簧质量系统简介单自由度弹簧质量系统是由质量、弹簧和阻尼器组成的动力学系统。
质量可以假设为集中质量,弹簧用于储存和释放能量,而阻尼器用于减小系统振动的幅度。
在这一部分,我将简要介绍这一系统的基本原理和公式,以便后续讨论固有频率的计算方法有一个清晰的基础。
二、固有频率的定义和意义固有频率是指系统在没有外力作用下自由振动的频率。
它是描述系统动力学特性的重要参数,对于预测系统的振动行为以及进行结构设计和分析至关重要。
在这一部分,我将详细阐述固有频率的概念和意义,并展示固有频率与单自由度弹簧质量系统的关系。
三、固有频率的计算方法1. 静力平衡法在这一部分,我将介绍静力平衡法的原理和应用,说明如何通过平衡弹簧和质量之间的静力来计算固有频率。
我将分析该方法的适用范围和局限性,并阐明我对这一方法的个人见解。
2. 动力学方法除了静力平衡法,动力学方法也是计算固有频率的重要手段。
在这一部分,我将详细介绍动力学方法的原理和计算步骤,说明如何利用动力学方程求解系统的固有频率。
我还将探讨该方法与静力平衡法的异同,并共享我对动力学方法的理解。
四、总结与回顾通过本文的全面评估和讨论,我希望您能对单自由度弹簧质量系统求固有频率的方法有一个清晰的理解。
固有频率作为描述系统动力学特性的重要参数,对于工程设计和分析具有重要意义。
静力平衡法和动力学方法作为计算固有频率的两种常用方法,都有各自的优势和局限性。
阻尼和固有频率的测量
可识别出系统的固有频率。
图13频响函数的实部与虚部图
第二十二页,共23页。
8.3.2 Nyquist图
以频响函数的实部为横坐标,虚部 为纵坐标,绘出频响函数矢量随频率的 变化图,这些变化矢量的端点轨迹图称 为Nyquist图,图形方程为:
图14 频响函数的Nyquist图
图形如图14所示。在图中虚部与图的交点处的频率即为系统的固有频率 p ,实部达到极值的 两点即为半功率点,由此可确定系统的相对阻尼系数。
第十七页,共23页。
8.3 传递函数与频响函数
由振动理论可知,图11所示单自由
度粘性阻尼系统,阻尼力
,
系统运动的微分方程为:
对上式两边进行拉普拉斯变换,并假设初始 速度、位移值为0,有
图11单自由度粘性阻尼系统
式中s为拉氏变换因子,为复变量,也称复频率,其实部和虚部常用 和 表示,
即
; 为 的拉氏变换, 为 的拉氏变换。按照机械系统传递
时,
,而且与阻尼大小无关,系统处于
相位共振状态,可以方便的识别出系统的固有频率 ;在幅频图上,
当
时,
达到极大值,且
,故可以识别出阻尼系
数。
第二十一页,共23页。
8.3.2 实频图与虚频图
频响函数的实部和虚部分别为
其图形如图13所示。在实部图上,利用半功率点
法可以识别出系统的相对阻尼系数
,
时虚部达到极大值,实部为0,系统处于共振状态,
作用。其强迫振动的位移 响应为
图3 单自由度系统模型
第六页,共23页。
引入符号 则有
第七页,共23页。
上式中, 相当于激振力的最大幅值 静止地作用在弹簧上所引起 的弹簧静变形; 称为频率比; 称为放大因子,以 为横坐标, 为纵坐标,对于不同的 值所得到的一组曲线,称为幅频响应曲线, 如图4所示(图中只给出了一种 值); 为位移响应滞后力的相 位角,以 为横坐标, 为纵坐标,对于不同的 值所得到的一 组曲线,称为相频响应曲线,如图5所示。
实验二、用“利萨如图形法”测量单自由度系统的固有频率
可知,共振时振幅和相位都有明显变化,通过对这两个参数进行测量,我们可以判别系 统是否达到共振点。 其余部分原理看实验三的原理(必看)
四、实验方法
3
将测试系统连接好 将 DH1301 扫频信号源输出信号接到采集仪的 1‐1 通道。将速度传感器布置在激振电机 附近,速度传感器测得的信号接到数据采集的 1‐2 通道。 仪器设置 打开仪器电源,进入控制分析软件,新建一个项目(文件名自定) ,设置采样频率、量 程范围、工程单位和灵敏度等参数,在数据显示窗口内点击鼠标右键,选择信号,选择时间 波形 1‐1 和 1‐2,选择 X‐Y 记录仪显示方式。开始采集数据,数据同步采集显示在图形窗口 内。 用力锤轻敲电机,使梁产生振动,同时调节 DH1301 扫频信号源的输出频率,使屏幕上 出现一直线或椭(正)圆,此时,激振信号源显示的频率即为简支梁系统振动的频率 f。
我们把 0 称为基频,与之相应的振动分量称为基波;2 0 ,3 0 等称为基频的二倍频,三倍 频等,相应的振动分量称为二次谐波,三次谐波等。当级数的项数越多,各次谐波的合成越接近 于真实波形。如果以频率作横坐标,幅值或相位作为纵坐标,画出各次谐波的幅值或相位,就构 成了幅值或相位频谱图。 富利叶频谱法,就是用快速富利叶变换(FFT)的方法,将振动时域信号变换为频域中的频 谱,从而从频谱的谱线测得振动频率的方法。一般地,富利叶变换可由下列积分表示:
x(t )
其中
n a0 (a k cos k 0 t bk sin k 0 t ) 2 k 1
2 T 2 T x(t )dt ; a k x(t ) cos k 0 tdt ; T 0 T 0 2 T 2 bk x(t ) sin k 0 tdt ; 0 T T 0 a0
资料:实验2.单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定
实验二 单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定2016年9月一、实验目的1、掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法2、掌握常用振动仪器的正确使用方法二、实验内容1、根据单自由度系统固有频率公式,估算水平振动台面的等效质量2、记录水平振动台的自由衰减振动波形3、测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性4、 测定水平振动台在简谐激励下的相频特性5、 根据上面测得的数据,计算出水平振动台的固有频率、阻尼比三、实验原理单自由度振动系统是一种简单且常见的振动系统模型。
本实验中的振动系统由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台(见图四),可视为单自由度系统,它在瞬时或持续的干扰力作用下,台面可沿水平方向振动。
与之前常见的质量弹簧系统不同,本实验中单自由度振动系统的等效质量、刚度均属于未知量。
且通过观察不难发现,银白色的水平振动台面无法单独取出以测量质量。
这一系统反应了大多数实际振动系统的特性——即难以分别得到其准确的等效质量、刚度的数值,再通过理论计算得到固有频率。
因此通过实验的方式直接测量系统整体的固有频率成为一种非常重要而可靠的研究手段,同时系统的等效质量和刚度,也可以由测量结果推导得出。
假设实验使用的单自由度振动系统中,水平振动台面的等效质量为eq m ,系统的等效刚度为eq k ,在无阻尼或阻尼很小时,系统自由振动频率可以写作eq eqk m f π21=。
这一频率容易通过实验的方式测得,我们将其记作f ';此时在水平振动台面上加一个已知质量0m ,测得新系统的自由振动频率为f ''。
则水平振动台面的等效质量为eq m 可以通过以下关系得到:2eq 0eq f f m m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=+。
当单自由度振动系统具有粘滞阻尼时,自由振动微分方程的标准形式为022=++q p q n q,式中q 为广义坐标,n 为阻尼系数,eq eq m C n /2=,eq C 为广义阻力系数,eq m 为等效质量;p 为固有的圆频率,eq eq m K p /2=,eq K 为等效刚度。
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实验一多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试验
一、实验目的
实际工程中的许多振动都可以简化抽象为由两个及两个以上的独立坐标来描述的振动模型。
这就是多自由度系统振动问题。
本实验对两个和三个自由度系统振动问题进行测试分析,主要目的:
1、学会用共振法测定多自由度系统各阶固有频率的基本技术与方法。
2、了解和熟悉多自由度系统振动的各阶振型。
3、初步学会分析和处理理论解与实验结果之间误差的方法。
二、基本原理
实验模型是将两个或三个集中质量钢块固定在钢丝绳上,用不同的重量的质量块G来调整钢丝绳的张力(见图1-1(a)所示),固定在钢丝绳上的集中质量钢块在铅垂平面内沿垂直方向运动时,钢丝绳的张力相当于一个弹簧,忽略钢丝绳的质量,则整个系统就可以简化为多自由度系统振动的力学模型(如图1-1(b)所示)。
( b)
图1-1 多自由度系统振动及其简化力学模型
振动系统有多少个自由度,从理论上讲就应当有同样多的固有频率。
如果振动系统受到简谐力的激励,系统发生振动,则振动响应是其主振型的叠加。
当激振力的频率与系统的某一阶固有频率相同时,系统就发生共振响应,这时候系统的振动响应就是这阶固有频率的主振型,而其它振型的影响可忽略不计。
因此,可以利用这种共振现象来判定多自由度系统的固有频率。
在测定系统振动的固有频率时,从低频到高频连续调整激振频率,当系统出现某阶振型且振幅最大时,此时的激振频率即为该阶固有频率,这样依此可找到系统的各阶固有频率。
n个自由度系统振动微分方程为
(1-1)
+
+
F
KX
M =
X
C
X
式中:M为质量矩阵、C为阻尼矩阵、K为刚度矩阵、X为位移列向量、F为激振力列向量。
为了讨论n个自由度系统振动的固有频率和主振型,不考虑阻尼和外力,则其振动微分方程为
(1-2)
M =
+
X
KX
根据微分方程组和模态分析理论,假定系统的自由振动响应为
)
,,2,1()
sin(x i n i t i =+=θωφ (1-3)
将(1-3)式代入(1-2)式得
[]{}{}0 K M =+-φλ (1-4)
式中:λ=2
ω。
(1-4)式是关于列向量{
}φ的齐次代数方程,由此可得系统频率方程 0K M =+-λ (1-5)
上式即为系统的特征方程,其根称为特征值,它是无阻尼自由振动固有园频率的平方,将特征值i λ代入(1-4)式得相应的特征向量{}i φ
[]{}{} 0 K M =+-i i φλ (1-6)
或
{}{}
)
,,2,1( M K n i i i i ==φλφ (1-7)
特征向量在振动分析中就是系统的固有振型或主振型。
假定(1-5)式没有重根,存在
n 个特征值,相应有n 个特征向量,这n 个特征向量可组成一个矩阵,该矩阵称为振型矩阵。
即
Φ=[]n φφφφ,, ,21 (1-8)
若系统为图2-1所示的两自由度系统,则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=21
m 00m M (1-9) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=22211211k k k k K (1-10) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=21x x X (1-11)
根据(1-5)式,可得系统频率行列式
0 m k k k m k
2
2221
12111=--λλ
展开上式即得频率方程
0)k k k k ()k m k m (m m 21122211221112221=-++-λλ (1-12)
解之得系统的固有园频率
2121122
2221112
11
222112
1,22,1m m k
k m k m k 41m m 2m k m k +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
=
ωλ (1-13) 由上式可知,λ即2
ω的两个根都是实数,而且都是正数。
其中第一个根1ω较小,称
为第一固有频率;第二个根2ω较大,称为第二固有频率。
取m 1=m 2=m,钢丝绳的张力为T ,则系统的刚度矩阵
K =
6 336 L T ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-- (1-14) 从而可以求得系统的固有频率:
一阶固有园频率和频率
mL 3T 21=
ω mL T 21.7321π=
f (1-15)
二阶固有园频率和频率
mL
9T 22=
ω mL
T 232π
=
f (1-16)
系统的主振型i φ(i=1,2)
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=111φ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=112φ
各阶主振型见图1-2所示。
一阶主振型 二阶主振型 对于三自由度系统振动若取m 1= 图1-2 两自由度系统振动的主振型
m 2=m 3=m, A 、B 两点距离为L ,三个
质量钢块之间的距离为L / 4,则可得系统相应的质量矩阵、刚度矩阵和位移列向量
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=m 000m 000m M (1-17)
K =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---- 8 40 48 40 48 L T
(1-18)
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=321x x x X (1-19)
将(1-17)和(1-18)式代入(1-5)式,得系统的频率方程,由此可求得三自由度系统振动的固有频率:
一阶固有园频率和频率
m L
T 343
.221=ω mL T 21.5311π=
f (1-20)
二阶固有园频率和频率
mL
T 8
22=ω mL
T 22.8282π
=
f (1-21)
三阶固有园频率和频率
mL
T 656
.1323=ω mL
T 23.6953π
=
f (1-22)
系统的主振型i φ(i=1,2,3)
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1211φ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=1012φ ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=1213φ
各阶主振型见图1-3所示。
一阶主振型 二阶主振型 三阶主振型
图1-3 三自由度系统振动的主振型 多自由度系统在任意初始条件下的振动响应是其主振型的叠加,主振型与固有频率一样只取决于系统本身的物理性质,而与初始条件无关。
三、实验仪器和设备
(1)磁力表架一只;
(2)1kg 和2kg 的质量块各一个; (3)SJF-3型激振信号源一台;
(4)JZF-1型磁电式非接触激振器一个;
(5)带有两个固定质量钢块的钢丝绳和带有三个固定质量钢块的钢丝绳各一条; (6)机械振动实验台架基础一个。
四、数据处理
(一)、根据系统的已知参数计算系统的固有频率和相应的振型。
钢丝绳上固定质量钢块的质量0.0045m m m m 321====kg ,钢丝绳弦长AB = L = 0.625m ,钢丝绳的张力T 1= 9.8N 或T 2= 2×9.8N ,由前述公式可以计算出两个或三个自由度系统的固有频率和相应的振型。
(二)将理论计算结果和多次测出的数据填入下列纪录表(见表1-1)。
并且分析和比较系统理论值与实测值的误差。
(三)绘制出所观测到的两个或三个自由度系统的相应振型曲线图。