控制系统的性能指标

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响应的特点： ① 过渡过程时间
② 曲线斜率
初始斜率
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3. 一阶系统的单位斜坡响应
1 1 1 Y ( s ) G ( s ) R( s ) 2 2 Ts 1 s s Ts 1
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响应曲线由两部分组成： ① 稳态分量：（t -T）也是单位斜坡函数；
也是单位斜坡函数；有时间T 的延迟，即稳态误差。
控制系统的动态性能指标通常是根据在零初始条件下， 系统的单位阶跃响应曲线的特征来定义的。
在刻画控制系统的动态性能指标时，为什么选择 单位阶跃作为系统的输入？
62
系统的输出响应与输入信号有关，比较各种输入下
的系统的响应是不可能的，也是不必要的。 数学表达式简单，便于数学分析与理论计算。 信号简单，在实验中容易产生，便于实验分析与检 验。 阶跃信号比其他瞬变信号要严峻，能够反映出系统 在实际工作条件下的性能。 利用单位阶跃响应曲线，来定义的动态性能指标直 观，含义清楚。
当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输 出为原来输出的导数。
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同理，若系统的输入为 r
2
其拉氏变换为
系统的输出为
(t ) r (t )dt
即： 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入 信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时 间的积分。
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由上可以推知： ① 由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的 一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对 时间的一阶导数. ② 由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶 跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡 响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间 的一重和二重积分。
以 1/T 的系数衰减到零。 T 越小，稳态误差越小。
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4. 一阶系统的单位抛物线响应
1 1 1 Y ( s ) G ( s ) R( s ) 3 3 Ts 1 s s Ts 1
跟踪误差：
lim e(t ) 不能跟踪加速度输入
t
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一阶系统对典型输入信号的输出响应
系统的稳态误差为：
54
4.2.4扰动输入信号作用下稳态误差的计算
单位反馈系统：令R (s) = 0
55
（1） 用终值定理计算稳态误差：
当s E (s)在s右半平面及虚轴上解析时，可以用终 值定理来计算稳态误差：
控制系统在扰动输入信 扰动输入信号作用下稳态误差 号作用下稳态误差的终 值同样与控制系统的结 构、参数、和扰动输入 信号的形式有关。
30
1.系统类型
设系统的开环传函为：
r 是纯积分环节的次数——系统的型次。
31
K为开环增益
32
稳态误差与下列因数有关：
1）输入信号中（1／s）的阶次；
2）系统的型次与K；
系统的型次影响是决定系统的稳态误差是0 （或者） 。 K 在某些情况下有作用。
33
2.稳态误差系数:反映不同型次的系统跟踪不同典型输 入信号的能力（稳态跟踪精度）,与系统的型次、输入 信号形式有关 （1）单位阶跃函数输入作用下的稳态误差与稳态位 置误差系数Kp：
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4.动态误差系数 稳态误差系数 Kp，Kv，Ka 反映了t 时系统稳态误差 的品质，它们只取三种值：0，常数， ；
对应的稳态误差也只有三种值：
0，常数， 。
不能反映非典型输入信号下的稳态误差，及当t
随时间的变化的情况。
43
单位反馈控制系统在参考输入信号作用下，系统误差 传递函数为：
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例：设单位反馈系统如图，求稳态误差
K1 K2 G1 (s) , G2 (s) T1s 1 T2 s 1
解：误差传函
R( s ) G2 ( s) N ( s) E ( s) 1 G0 ( s) 1 G0 ( s)
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(T1s 1)(T2 s 1) 1 K 2 (T1s 1) 1 (T1s 1)(T2 s 1) K1 K 2 s (T1s 1)(T2 s 1) K1 K 2 s 1 K2 稳态误差 ess lim sE ( s) s 0 1 K1K 2 1 K1K 2
4.3.1一阶系统的动态响应
1. 一阶系统的数学模型 闭环传递函数
Y ( s) 1 G( s) R( s) Ts 1 s
T—时间常数，表示系统的惯性。 λ —系统闭环极点值。
一阶系统常称为惯性系统。
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1 1 1 Y ( s ) G ( s ) R( s ) Ts 1 s sTs 1
44
式中：
45
动态误差系数： 为区别于K p，K v，Ka 称c i 为动态误差系数。 c i 反映了当 t 时稳态误差随时间变化的情况。 求取c i 的方法 长除法。
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例4.2: 单位反馈系统开环传函
（2）当输入为：
其稳态误差又将如何？
47
解： （1） 用静态误差系数分析：
48
（2）用动态误差系数分析系统误差。
3
3. 抛物线函数 (等加速度信号)
当R=1时，为单位抛物线函数 拉氏变换： 4. 脉冲函数 当R=1时为单位脉冲函数,而ε→0为理想脉冲函数 拉氏变换：
4
5. 正弦函数 其中： A —幅值或振幅； w —角频率，w = 2p f =2p /T ； f —振荡频率；
T —振荡周期
拉氏变换：
5
4.1.2控制系统的输出响应
34
定义:
35
36
（2）单位斜坡函数输入作用下的稳态误差与稳态 速度误差系数 Kv ：
定义:
37
38
（3）单位抛物线函数输入作用下的稳态误差与稳态 加速度系数 Ka
定义:Ka：稳态加速度误差系数
39
40
输入信号作用下的稳态误差
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3. 稳态误差的物理解释 1）稳态误差与输入、系统结构有关. 2）减小或消除稳态误差的方法： ①增加开环放大系数K； ②提高系统的型次数; 3）利用稳态误差系数求稳态误差时，输入信号应为阶 跃函数、斜坡函数、抛物线函数以及这三种典型函数的 线性组合。
（4）调节时间ts：响应到达稳态的时间
ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts 越短，系统响应越快。
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（5）超调量σ%：阶跃响应曲线的最大值和稳态值的 偏差（响应曲线偏离稳态值的最大值）与稳态值之比 的百分数 超调量
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总结：
69
对于恒值控制系统的主要任务是维持恒值输出，这时 参考输入不变、输出的希望值不变，而扰动输入为主 要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的响应 特性来衡量瞬态性能。响应曲线围绕原来工作状态上 下波动
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（2） 用动态误差系数计算稳态误差： 同理也可用动态误差系数法，将误差的拉氏变换为 Taylor 级数来分析。
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扰动作用动态误差系数
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4.2.5减少或消除稳态误差的措施
1. 增大系统开环增益或扰动作用点之前的前向通道增益；
2. 在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；
3. 采用复合控制。
线性定常系统运动微分方程：
利用线性解析法得到的微分方程的通解：
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利用拉氏变换法得到的微分方程的通解：
利用传递函数求得的系统的输出响应，是由输入量 决定的零状态响应。
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系统输出响应的常用表达形式：
在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的零状 态响应，均由动态响应分量和稳态响应分量两部分 构成。
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系统输出响应的拉氏变换表达形式： Y ( s ) G ( s ) R( s )
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两者之间的关系：
单位反馈时：
H( s) 1, E( s) E(s)
利用从输入端定义的误差进行计算和分析。通过拉氏 变换法可得到：
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2.稳态误差的定义
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根据拉氏变换终值定理，稳定的控制系统的稳态误差为：
影响控制系统稳态误差的因素
输入信号的形式； 系统的结构； 当输入信号形式确定后， 描述的系统结构。
4.3 控制系统的瞬态响应及时域性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号 r(t) 作用时 刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析 系统的瞬态响应，可以考查系统的稳定性和过渡过 程的性能。
分析系统的瞬态响应方法： 1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法
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4.3.1控制系统的时域性能指标
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Y ( s ) G ( s ) R( s ) 若系统的输入为 r (t ) dr (t ) / dt 1 则系统的输出为 y1 (t ) dy (t ) / dt
线性定常系统的重要特性:初始条件为零的线性定常系 统，在r (t)的作用下，y (t)的拉氏变换为
Y1 (s) G(s) R1 (s) G(s) sR(s) sY (s)
解：用长除法可求得：
所以：
49
当 t 时随时间线性增长
当 t 时随时间抛物线增长。
50
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100 例4.3:单位反馈系统开环传递函数为： G0 ( s) s(0.1s 1) 若输入 r (t ) sin 5t ,试求稳态误差。
解：
（1）动态误差系数：
52
53
（2）根据频率特性的定义求：
24
25
例4.1：设单位反馈系统如图： 试求稳态误差。
解：误差传函
26
（ 1）
esr lim esr (t )
27
t
当s E (s) 满足求极值条件，可用公式：
稳态误差：
28
（ 2）
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当s E (s) 不满足只在 s 左半平面或原点上有极点，不能 利用终值定理来求稳态误差
2. 一阶系统的单位阶跃响应
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单位阶跃响应曲线：
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响应的特点： 1) 可用唯一的参数时间常数T 来度量输出：
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2) 单调上升。 t＝0 时，响应曲线的切线斜率为 1/T , 切 线与稳态值的交点处的 t = T
源自文库
初始斜率最大
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3) 性能指标 ①过渡过程时间
②上升时间
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③ 延迟时间
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4）特征根s = －1/T
T 越小，动、稳态特性越好，即为了提高一阶系统 的快速响应和跟踪能力，应该减少系统的时间常数 T
5）一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的不存在超 调量
可以用上升时间和调节时间来作为动态性能指标。
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2. 一阶系统的单位脉冲响应
1 Y ( s) G ( s) R( s) Ts 1
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为什么要研究典型系统的性能分析？

现实中大量的系统属于典型的一阶或二阶系统。 （温度计系统，单自由度机械振动系统等等） 大量的高阶、复杂系统可在一定范围内简化为 典型的系统，便于系统分析与设计。 在校正系统时，往往把系统设计成一个典型的 系统。 分析和理解高阶系统动态响应的基础
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取决于以开环传递函数
单位反馈系统误差传递函数：
H (s ) = 1
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利用线性系统的叠加性求误差 ①令N (s)=0
误差信号对参考输入信号的误差传函
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②令R (s) = 0
误差信号对干扰输入信号的误差传函
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误差的拉氏变换式
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4.2.3参考输入信号作用下稳态误差的计算
根据拉氏变换终值定理，稳定的控制系统的稳态误差 为：(应用终值定理的条件 s E (s) 全部极点位于 s 左半 平面或原点）
第四章 控制系统的性能指标
1
4.1 引言 4.2 控制系统的稳态响应及稳态误差 4.3 控制系统的瞬态响应及时域性能指标 4.4 控制系统的频域性能指标
2
4.1.1 典型输入信号
1. 阶跃函数
当R=1时，为单位阶跃函数 拉氏变换：
2. 斜坡函数 (等速度信号)
当R=1时，为单位斜坡函数 拉氏变换：
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3.单位抛物线函数输入的稳态响应
稳态响应：
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14
4.2.2误差与稳态误差
1.误差的定义
从输入端定义：系统输入信号与主反馈信号之差
e(t ) r (t ) b(t )
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从输出端定义：系统输出量的实际值与希望值之差 在性能指标提法中经常使用，在实际系统中有时无法 测量。一般只具有数学意义
在零状态输出响应中：
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4.2 控制系统的稳态响应及稳态误差
4.2.1 典型输入信号的稳态响应
稳态响应：当t→∞时，系统输出响应
输出响应通过反拉氏变换得到：
控制系统输出量的稳态响应与传递函数和输入信号 的形式有关
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1.单位阶跃函数输入的稳态响应
稳态响应：
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2. 单位斜坡函数输入的稳态响应 稳态响应：
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主要时域性能指标的定义 （1）上升时间tr ①振荡的过渡过程曲线： 第一次达到系统稳态值 所需的时间 ②非振荡的过渡过程曲线： 从稳态值的10％上升到 90％所需的时间
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（2）峰值时间tp
tp 愈小，表明控制系统反应愈灵敏。
（3）延迟时间td 响应曲线到达稳态值 50%所需的时间
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