2011年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.把答案填在横线上.

1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2010−S 1=1，则S 2011=.

2.已知复数z 的模为1，若z =z 1和z =z 2时|z +1+i |分别取得最大值和最

小值，则z 1−z 2=

.

3.若正实数a,b 满足1a +1b

⩽2√2,(a −b )2=4(ab )3，则log a b =.4.把扑克牌中的A,2,···,J,Q,K 分别看作数字1,2,···,11,12,13.现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为.5.若△ABC 的角A,C 满足5(cos A +cos C )+4(cos A cos C +1)=0，则

tan A 2·tan C 2=.6.已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，M,N 分别是BB 1,B 1C 1上的点，B 1M =B 1N =2，S,P 分别是线段AD,MN 的中点，则异面直线SP 与AC 1的距离为.

7.在△ABC 中，E,F 分别是AC,AB 的中点，AB =23AC .若BE CF

(p >0)上动点A 到点B (3,0)的距离的最小值记为d (p )，满足d (p )=2的所有实数p 的和为.

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.已知实数x,y,z 满足：x ⩾y ⩾z,x +y +z =1,x 2+y 2+z 2=3.求实数x 的取值范围.

10.已知数列{a n }满足：a 1=2t −2(t ∈R 且t =±1)，

a n +1=2(t n +1−1)a n a n +2t n −2

(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }

的通项公式；

2011年全国高中数学联合竞赛试题(B 卷)

(2)若t>0，试比较a n+1与a n的大小.

11.已知A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)是抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点，

△A1A2A3有两边所在的直线与抛物线x2=2qy(q>0)相切，证明：对不同的i,j∈{1,2,3},y i y j(y i+y j)为定值.