§2-2弯曲液面的附加压力

2 × 72.8 × 10 = 5 1.103 × 10
−3
=1.44×10 m
−6
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
−3
例2.4： 见图2-9，在内半径r=0.3mm的细玻璃管中注 水，一部分水在管的下端形成一凸液面，其半径 R=3mm，管中凹液面的曲率半径与毛细管的内半径相 同，求管中所悬水柱的长度h。设水的表面张力系数 α=73×10N/m
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
1、液面是平面
f A
p0
f'
B p B
因所受表面张力f的方 向与液面平行，所以，作 用在周线上的表面张力的 合力为0。
因此，表面层内外两侧无限靠近的A、B两 点的压强相等，设液面上大气压强P0 ，表 面层的液体压强PB，则
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
p1
dE = α ⋅ ds
= α ⋅ 8πRdR
dE = dW
2α ps = R
-------
R
拉普拉斯公式
图2—7 球形液面的附加压强 图2—7 球形液面的附加压强
第二章 液体的表面现象 拉普拉斯公式表明，附加压强 正比，与球半径 R成反比
§2-2 弯曲液面的附加压力
ps 与比表面能成 α
注意：拉普拉斯公式虽然是从整个球面导 出的，但对部分球面的情况也是适应的。
§2-2 弯曲液面的附加压力
例 温度为20℃时，一滴水珠内部的压强为外部压强的两 倍，求水珠的半径。设大气压强P0=1.013×105Pa，20℃ 时水的表面张力系数α=72.8×10-3N/m
解：水珠内外压强差
2α 2α 2α = = R= P内 − P0 2 P0 − P0 P0
2α P内 − P0 = R
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第二章 液体的表面现象 一 附加压强的产生
p0
A
§2-2 弯曲液面的附加压力
f
A
f' f
p0
f'
f
B p B
(a )
B ps pB (b)
图2—6弯曲曲面的附加压力
p0 A ps B pB (c )
f'
液体表面有收缩的趋势，犹如表面张紧的弹 性薄膜，取面积元dS研究。三种不同的液体表面 如图2-6所示
0
1
R
图2—7 球形液面的附加压强 图2—7 球形液面的附加压强
第二章 液体的表面现象 液滴的半径在外力用下 R R+dR
此过程外力作功为
§2-2 弯曲液面的附加压力
由于外力做功，使气 泡表面积增大了dS
因气泡表面积增大了 dS ，表面能增加
dW = F ⋅ dR = ps 4πR 2 dR
p0
p1
p0 A ps f B pB PB = Po − Ps (c )
f'
因为受力平衡，所以液面两侧的压强也平衡， 即：
PB + PS = P0
第二章 液体的表面现象 二、拉普拉斯公式
§2-2 弯曲液面的附加压力
p0
p1
p1
利用拉普拉斯公式可以定量 p 算出附加压强的大小。 设想液面下有一气泡，气泡靠 近液面，不考虑静压（即水 压），气泡外压强等于大气压强 P0。设想气泡在外力作用下膨 胀： p
2α 1 1 因而管中水柱长度为 h = ( + ) ρg R r −3 1 1 2 × 73×10 + ) ( = 3 −3 −4 3×10 10 × 9.8 3×10 −2 = 5.4 × 10 m = 5.4cm
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
4、应用
我们可以根据球形液面的附 加压强公式，导出肥皂泡薄膜内 外压强差。 A 肥皂泡与球形液滴不同之处 在于肥皂泡有内外两个表面膜 层，由于膜很薄，其半径可以看 作相等，都等于R。图中C为肥皂 泡内一点，A为泡外一点，B为薄 A 膜中一点。用PA、PB、PC分别表 示A、B、C各点压强，根据前面 的讨论可知
图2—8 肥皂泡内外 图2—8 肥皂泡内外 气体的压强差 气体的压强差
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
例 温度为20℃时，一滴水珠内部的压强为外部压强的两 倍，求水珠的半径。设大气压强P0=1.013×105Pa，20℃ 时水的表面张力系数α=72.8×10-3N/m
第二章 液体的表面现象
Po = PB = PA
f
A
p0
f'
B p B
第二章 液体的表面现象 2、液面是凸形(1)
f A
§2-2 弯曲液面的附加压力
p0
f'
B ps pB
（如液滴表面、细玻璃管中的水银面）所受表面 张力有拉平液面的趋势，其方向不与液面平行， 作用在 dS周线上的表面张力的合力不为0，产生 附加压强PS方向向下。
B
p1
A
C
O
图2—8 肥皂泡内外 图2—8 肥皂泡内外 气体的压强差 气体的压强差
第二章 液体的表面现象
液膜外表面是凸液面，所以
§2-2 弯曲液面的附加压力
2α PB = PA + R
液膜内表面是凹液面，所以
B
p1
A
C
2α PB = PC −R
4α P − PA = C R
O
由此可见，液体表面张力系数越大， 液泡的半径越小，则液泡内外压强差 越大。
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
f
2、液面是凸形(2)
p0 A ps B pB (c )
f'
因液面受力平衡，所以，液面两侧的压强也 平衡，即：
Po + PS = PB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
3、液面是凹形
（如水中气泡、细玻璃管中的水面等） 所受表面张力也有拉平液面的趋势，其 方向不与液面平行,作用在dS周线上的 表面张力的合力不为0，产生附加压强PS 向上。
p1
B
h
A
图2—9 例题2.4图 图2—9 例题2.4图
−3
§2-2 弯曲液面的附加压力 例2.4：见图2-9，在内半径r=0.3mm的细玻璃管中注水，一部分水 在管的下端形成一凸液面，其半径R=3mm，管中凹液面的曲率半径 与毛细管的内半径相同，求管中所悬水柱的长度h。设水的表面张 力系数α=73×10N/m 解：设B、A分别为上、下液体表面内的一点，A、B两点压强分别为 PA、PB，大气压强为P0，则
第二章 液体的表面现象
2α PA = P0 + R
两式相减得
2α PB = P0 − r
p1
B
2α 2α + PA − PB = R r
h
A
图2—9 例题2.4图 图2—9 例题2.4图
第二章 液体的表面现象 根据流体静力学原理，有
§2-2 弯曲液面的附加压力
PA − PB = ρgh
所以
2α 2α + = ρgh R r