北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

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北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)

北京市昌平区2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（150分，120分钟）2018.1考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第一部分（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）直线50x y +-=的倾斜角等于 A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π4（2）命题“,sin 1x x R ∀∈≤”的否定为A. ,sin 1x x R ∃∈≤B. ,sin >1x x R ∃∈C. ,sin >1x x R ∀∈D. ,sin 1x x R ∀∈≥（3）已知圆22:430C x y x +-+=，直线:3420l x y --=，则直线l 被圆C 所截得的弦长为A.65 B. 35 C.85 D. 45（4）下面向量中，与向量(0,1,1),=m (1,0,1)=n 共面的向量是A.(1,1,0)=aB. (1,1,0)=-bC. (1,0,0)=cD. (1,0,1)=-d（5）已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β∥”是“αβ∥”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）在ABC ∆中，点(1,2),(2,1)A B -,点C 与点A 关于y 轴对称，则AB 边上的高所在的直线方程为A. 370x y +-=B. 20x y +-=C. 310x y --=D. 310x y -+=（7）右图是抛物线形拱桥，当水面在AB 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水位上升0.5m 后，水面宽A.m m C.m D.m（8）已知直线,,a b c 是不同的直线，平面γβα，，是不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若,,a b a c ⊥⊥则b ∥c B. 若,,αβαγ⊥⊥则β∥γ C. 若,,a b αα⊂∥则a b∥ D. 若,,a a b b ，∥∥αβ⊥则αβ⊥（9）已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，124sin =5F PF Ð，则椭圆的离心率为A ．12 B. 35 D. 2 （10）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，已知平面α经过点1A ，且平行于平面11B D E ，平面α与平面ABCD 交于直线m , 与平面11ABB A 交于直线n ,则直线,m n 所成角的余弦值为A．5B. 10 C．2D. 2 第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）若命题p ,q 都是真命题，则命题“p q ⌝∧”是____命题(填“真”或 “假”). （12）已知直线0ax y a -+=与直线220x y +-=平行，则实数a 的值为 . （13）《九章算术》是我国古代数学经典名著.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为_______.俯视图侧（左）视图正（主）视图（14）已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的焦距为10，则a 的值为______;此双曲线的渐近线方程是________.（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦为(2,0)F ，则抛物线C 的方程是_______;若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则||=FN __________．（16）在平面直角坐标系中，动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2.记动点P 的轨迹为曲线C ，下面对于曲线C 的描述正确的是_______.（把所有正确的命题的序号填在横线上）①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则1y ≤； ④若点(,)P x y 在曲线C 上，则12PO ≤≤.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （17）（本小题满分14分）已知两点(3,2),(3,6)A B .(I) 求以线段AB 为直径的圆的方程;(II) 若直线l 过点(1,0)M ，且与(I)中的圆相切，求直线l 的方程.（18）（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，AB AP =，AD DE ^，︒=∠90ABC ，E D ,分别为BC PB ,的中点．(I) 求证：DE ∥平面PAC ； (II) 求证：平面⊥PAB 平面ABC ．EDPCBA（19）（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，1AD AD ⊥，底面ABCD 为边长为1的正方形，1 2.AA =(I) 求直线AB 与平面1BCD 所成角的大小；(II) 在线段1AA 上是否存在一点P ，使得二面角1A BC P --的大小为30°？若存在，求出1APAA 的值；若不存在，说明理由.A 1D 1C 1B 1DCBA(20) （本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为F 且与x轴不垂直的直线l 交椭圆于, P Q 两点.(I) 求椭圆C 的方程； (II) 当直线lPOQ ∆的面积；(III)在x 轴上是否存在点(,0)M m ，满足PM QM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.(21) （本小题满分14分）对于曲线C 上一点T ，若在曲线C 上存在异于T 的两点，满足TM TN =，且TM TN ⊥，则称点T 为曲线C 的“T 点”，TMN ∆是点T 的一个“特征三角形”.已知椭圆222:1(1)x G y a a+=>的一个顶点为(0,1)B ，12,A A 分别为椭圆G 的左、右顶点.(I) 证明：12BA A D 不是点B 的“特征三角形”； (II) 当2a =时，已知点2A 是椭圆G 的“T 点”，且2A MN ∆是点2A 的 “特征三角形”，求出点M N ，的一组坐标；(III) 试判断点B 是否为椭圆G 的“T 点”，若是，求出其“特征三角形”的个数;若不是，请说明理由.参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 假 12. 12-13. 8 14. 3；43y x =?15. 28y x =；6 16. ①③④ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解： (I) 设所求圆的圆心为(,)C x y ,半径r .则263,4, 2.2x y r +==== 所求圆C 的方程为22(3)(4)4x y -+-=……………………………………….6分 (II) ①若直线l 的斜率不存在，即直线1=x ，符合题意; …………………..7分 ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx . 由题意知，圆心)4,3(到直线l 的距离等于半径2，即21432=+--k k k ，解得43=k . 所求直线l 的方程是1=x 或0343=--y x . ………………………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 因为,D E 分别为,PB BC 的中点，所以DE PC ∥.…2分又DE Ë平面PAC ，PC Ì平面PAC ，故DE ∥平面PAC ．……………5分EDPCBA(II) 因为AB AP =, D 为PB 的中点,所以AD PB ^. ………………………………6分因为AD DE ⊥,,,PB DE D PB DE =⊂ 平面,PBC 所以AD ⊥平面PBC .又BC Ì平面PBC ,所以AD BC ^.…………10分因为︒=∠90ABC ,即,,,AB BC AB AD A AB AD ⊥=⊂ 平面,PAB 所以BC ⊥平面PAB .……………………………………12分因为BC Ì平面ABC ，所以平面PAB ^平面ABC .……14分（19）（本小题满分14分）解： (I) 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为平面11ADD A ^平面,ABCD 平面11ADD A I 平面=,ABCD AD 1111,AD ADD A AD AD 蘜平面，所以1AD ⊥平面ABCD . ……….1分以点A 为坐标原点，1,,AB AD AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz - ，如图所示.yx A 1则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),A B C D1(1,0,0),(0,1,0),(AB BC BD ===-uu u r uu u r uuu r…………….3分设平面1BCD 的法向量为,,,x y z =（）m由10,0,0.0.y BC x BD ìïì=ï?ï镲眄镲-+=?镲îïîuu u r uuu r 即m m取）=m ………5分设直线AB 与平面1BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|2||||AB AB AB q ×=<>==uu u ruu u r uuu rm m m 因为π[0,],2q Î 所以π=.3q 即直线AB 与平面1BCD 所成角的大小为π3.…………8分 (II) 假设在线段1AA 上存在点P ，使得二面角1A BC P --的大小为30︒.设1([0,1])AP AA λλ=∈，由1(0,1A -得(0,).P λ-…………….9分(0,1,0),(1,),BC BP λ==--设平面BCP 的法向量为111(,,)x y z =n ，由11110,0,0.0.y BC x λy z BP ììï=ï?ï镲眄镲--+=?镲îïîuu u r uu r 得n n取,0,1.=）n ……….11分由（I ）知，平面11BCD A的法向量,=）m ………………………12分所以1cos30[0,1].||||3解得λ⋅︒====∈m n m n所以在线段1AA 上存在一点P ，且113AP AA =，使得二面角1A BC P --的大小为30.︒ …………14分（20）（本小题满分14分）解：(I)根据题意，2221,2.b c e a a b c ìï=ïïïï==íïïïï=+ïïî解得2,1.a b c ì=ïïïï=íïï=ïïî故椭圆C 的方程为22143x y +=…………………………5分 (II) 根据题意，直线l的方程为1)y x =-.设1122(,),(,)P x y Q x y .由223412,1)x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得215240.x x -=解得8(0,(5P Q .法一：212111122255POQ S OF y y y y ∆=⋅-=-=⨯=法二：165PQ ==,原点O 到直线l的距离d ==.所以1116225POQ S PQ d ∆=⋅=⨯=10分 (III) ① 当直线l 的斜率为0时，0m =………………………………11分 ② 设直线l 的方程为(1) (0)y k x k =-≠.设1122(,),(,)P x y Q x y ,由223412(1)x y y k x ，⎧+=⎨=-⎩ 得2222(34)84120.k x k x k +-+-= 由韦达定理得2122834k x x k +=+, 212122286(2)(2)3434k ky y k x x k k k -+=+-=-=++. 所以PQ 的中点22243(,)3434k kN k k -++ . 若PM QM =，则MN PQ ⊥, 所以 1.MN PQk k ⋅=-即22230341434kk k kmk --+⋅=--+. 解得22213344k m k k==++ .所以104m <<.综上，在x 轴上存在点(,0)M m ，满足PM QM =，且m 的取值范围是1[0,).4…14分（21）（本小题满分14分）解：(I) 证明：12121211(,0),(,0),,,A B A B A a A a A B A B k k a a-====- 1221A B A B k k a ，⋅=-因为1a >，所以121A B A B k k ，⋅≠-即1A B 与2A B 不垂直. 所以12BA A D 不是点B 的“特征三角形”.……………………………………4分(II)当2a =时，椭圆222:1,(2,0).4x G y A += 因为点2A 是椭圆G 的“T 点”，且2A MN ∆是点2A 的一个“特征三角形”，不妨设(,)M m n ,(,)N m n -(22).m -<<由题意得：221,2214n n m m m n -⎧⋅=-⎪⎪--⎨⎪+=⎪⎩解得6,545m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩或2,0m n =⎧⎨=⎩（舍）所以6464(,),(5555M N -（或6464(,),(,)5555M N -）……………………………………….8分（III ）点B 是椭圆G 的“T 点”. 不妨设点B 的“特征三角形”为BPQ ∆. 设直线BP 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BQ 的方程为11(0)y x k k=-+>，由222+1,1y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(1)20a k x a kx ++=.因为(0,1)B ，所以222222221(,)11a k a k P a k a k --++.所以||BP ==22221a a k =+同理可得||BQ =因为||BP BQ ==，即22(1)[(1)1]0k k a k -+-+=.（1）所以1k =或22(1)10k a k +-+=（2）.由（2）式可得2222(1)4(1)(3)a a a ∆=--=+-.当a =（2）式有两个相等的正根1，所以（1）式有三个相等的正根为1k =；当a >（2）式有两个不等于1 的正根，所以（1）式有三个不相等的正根；当1a <<（2）式无实根，所以（1）式只有一个正根为1k =.综上：当1a <≤1个.当a >3个. …………………….14分。

北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

北京临川学校2017-2018学年下学期期末考试高二数学试题一.选择题：（每题5分,共12题，共60分）1. 下列各函数中，与表示同一函数的是（）A. B. C. y=（）2 D.【答案】D【解析】分析：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．详解：函数y=x的定义域为R，对于A：：，定义域为{x∈R|x≠0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数；对于B：=|x|，定义域为R，但对于关系不相同，∴不是同一函数；对于C：，定义域为{x|x≥0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数；对于D：，定义域为R，对于关系也相同，∴是同一函数；故选：D．点睛：本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.2. 设集合（）A. B.C. D.【答案】A........................则，故选A.3. 已知命题（）A. B.C. D.【答案】A考点：命题的否定．4. 已知集合则的真子集个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：画出两函数的图象，找出交点个数，即可确定出两交集的真子集个数．详解：集合A中x2+y2=1，表示原点为圆心，1为半径的圆，集合B中，表示一条直线，在同一个坐标系中画出图象，得到两函数有两个交点，则A∩B真子集的个数是22-1=3．故选：D．点睛：.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．5. 设，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．详解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，∴a＞b＞c，故选：C．点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．6. 已知p:那么命题p的一个必要不充分条件是（）A. 0<x<1B. -1<x<1C.D.【答案】B【解析】试题分析：由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件。

北京昌平临川育人学校2016-2017学年高二3月月考数学(理)试题

北京临川学校 2016~2017学年下学期3月月考高二数学试卷班姓名考试范围：北师大版选修2-2第二三四章；考试时间120分钟；总分150分。

一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）1．下列导数公式错误的是 ( ) A. (sin )cos x 'x =- B. 1(ln )x '=x C. 211()'xx =- D. (e )e x x '=2．下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（） A.x y 2sin = B.x xe y =C.x x y -=3D. x x y -+=)1ln(3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=（） A. 12B.1C. 2D. 04．设函数()223+++=cx bx ax x f 的导函数为()x f '，如果()x f '为偶函数，则一定有（） A. 0≠a ，0=c B. 0,0≠=c a C. 0,0==c b 0=b5．函数()xx f 1=的图象在点（2，()2f ）处的切线方程是（） A. 044=-+y x B. 024=--y x C. 012=--y x D.04=-y x6．⎰1dx ex的值为（）A. e +1B. e -1C. 1-eD. e7．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（）A ()f x =()g xB ()f x =()0g x =C ()f x -()g x 为常数函数D ()f x +()g x 为常数函数8．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为 ( )A. 6πB. 3πC. 4πD. 34π9．函数()x f y =定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数()x f y =在区间（-3，7）上极小值的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个10．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ( )A. （1-，1）B. （1-，+∞）C.（∞-，1-）D.（∞-，+∞）11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.①④12．已知函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论： ① 函数()f x 在区间π(,0)2-上单调递增，在区间π(0,)2上单调递减；② 函数()f x 没有最大值，而有最小值；③ 函数()f x 在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点. 其中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①②B. ①③C.②③D. ①②③二、填空题（每题4分，共5小题，共20分, 将答案填在答题卡的横线上）13．已知函数()2f x x =，则()()0limx f x f x∆→∆-=∆ .14．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 .15．已知函数3()=23f x x x -, 则在()f x 的切线中，斜率最小的一条切线方程为 .16．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(',1)2(x f f = 为)(x f 的导函数。

北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案

昌平区2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知抛物线的方程是22=y x ，则它的焦点坐标是（A ）1(,0)2（B ）1(,0)2-（C ）1(0,)2（D ）1(0,)2-命题意图：考查抛物线的定义。

基础题（2）已知平面α的法向量为(2,4,2)--，平面β的法向量为(1,2,)-k ，若αβ//，则=k﹙A ﹚2- （B ）1- ﹙C ﹚1（D ﹚2命题意图：考查两个平行平面的法向量的关系。

知道空间向量平行的条件就可得出答案。

基础题（3）圆224+=x y 与圆22430+-+=x y y 的位置关系是（A ）相离（B ）相交（C ）外切（D ）内切命题意图：考查圆的一般方程与标准方程，圆与圆的位置关系。

用画图或者两圆心间的距离判断可知答案。

（4）如图，在四面体ABCD 中，设G 是CD 的中点，则1()2++AB BD BC 等于GDACB（A ） AD （B ） BG （C ） CD（D ） AG命题意图：考查空间向量的加法。

熟悉三角形法则平行四边形法则就可得出答案。

（5）“直线l 与平面α无公共点”是“直线l 与平面α平行”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件命题意图：考查直线与平面平行的定义，充要条件。

理解直线与平面平行的定义，理解充要条件才不会错选。

（6）若方程224+=y x m表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（A ）(01), （B ）(02), （C ）(12),（D ）(1)+∞,命题意图：考查椭圆的定义，标准方程，性质。

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二(上)12月月考数学试卷(理科)

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，则k 的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣2．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．3．（5分）若=（1，λ，﹣1），=（2，﹣1，2），且与的夹角的余弦为，则||=（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量=（1，﹣3，2），=（﹣2，1，1），则|2+|=（）A．50 B．14 C．5D．5．（5分）已知空间向量，满足||=4，||=2，与的夹角是120°则|﹣2 |=（）A．4B．2C．2D．66．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1 C．2 D．48．（5分）点P是抛物线y2=4x上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±2x 11．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．112．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为．14．（5分）抛物线y2=4x下列抛物线的焦点坐标．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x=．16．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|MN|+|PQ|的最小值为．三、.解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）17．（10分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．18．（12分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求△OAB的面积．21．（12分）直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．22．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，则k 的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，求得k的值．【解答】解：∵已知向量=（1，，2），=（2，﹣1，k），且与互相垂直，∴1×2+（﹣1）+2k=0，解得k=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．2．（5分）已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α⊥β，则λ的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．【分析】由题意可得平面的法向量垂直，由数量积为0可解λ．【解答】解：由题意可知：平面α和β的法向量分别是（2，3，﹣1）和（4，λ，﹣2），由平面α⊥β，可得它们的法向量垂直，故（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）=8+3λ+2=0，解得λ=，故选：C．【点评】本题考查向量的数量积和向量垂直的关系，属基础题．3．（5分）若=（1，λ，﹣1），=（2，﹣1，2），且与的夹角的余弦为，则||=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：==，化简解出即可得出．【解答】解：由题意可得：==，化为：λ2=，∴||==．故选：C．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）已知向量=（1，﹣3，2），=（﹣2，1，1），则|2+|=（）A．50 B．14 C．5D．【分析】利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出．【解答】解：∵2+=2（1，﹣3，2）+（﹣2，1，1）=（0，﹣5，5）．∴|2+|==5．故选：C．【点评】本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题．5．（5分）已知空间向量，满足||=4，||=2，与的夹角是120°则|﹣2 |=（）A．4B．2C．2D．6【分析】计算（）2，再开方即可得出答案．【解答】解：=4×2×cos120°=﹣4，∴（）2=﹣4+4=16+16+16=48，∴||=4．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（5分）椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7．（5分）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1 C．2 D．4【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON=MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到|ON|的值．【解答】解：∵双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1=2×5，∴MF1=8．∴ON=4，故选：D．【点评】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．8．（5分）点P是抛物线y2=4x上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M到准线的距离也为2，即点M的横坐标x+=4，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴P到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x+=4，∴x=3，故选：B．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±2x【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】解：双曲线x2﹣=1的焦点在x轴上，其中a=1，b=，则其渐近线方程为y=±x；故选：A．【点评】考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．11．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．1【分析】把椭圆的方程化为标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即，∴a=，b=，c=．△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．12．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为x2﹣y2=1．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）抛物线y2=4x下列抛物线的焦点坐标（1，0）．【分析】根据题意，由抛物线的方程分析抛物线的开口方向以及p的值，进而可得其焦点坐标．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其中p=2，则其焦点坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式．15．（5分）已知向量=（2，4，10），=（3，x，15）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x=6．【分析】l1∥l2，可得存在实数k使得=k，即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，则存在实数k使得=k，∴，解得x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，则|MN|+|PQ|的最小值为16．【分析】根据题意可判断当P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，|MN|+|PQ|的最小值，根据弦长公式计算即可．【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于M、N两点，直线l2与C交于P、Q两点，要使|MN|+|PQ|最小，则P与M，N与Q关于x轴对称，即直线MN的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|MN|=•|y1﹣y2|=×=8，P与M，N与Q关于x轴对称时，|MN|=|PQ|∴|MN|+|PQ|的最小值为16．故答案为：16【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍，属于中档题．三、.解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）17．（10分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MN OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算，证明AC⊥B1D．（Ⅱ）求出平面ACD1的法向量，设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，求出，利用向量的数量积求解直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．∴，∴，∴AC⊥B1D…（4分）的法向量为，，（Ⅱ）解：设平面ACD则，∴…（8分）设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，∵，∴，∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考查利用向量法证明直线与直线的垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF ﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，∴△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴，设平面AEF的一个法向量为，则取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴为平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），长轴长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C与A、B两点，求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c=，由长轴长可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，求出直线AB的方程，与椭圆方程联立可得4x2+12x+3=0，由弦长公式以及根与系数的关系分析可得|AB|的值，由点到直线的距离公式可得O 到直线AB的距离，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的两焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），则椭圆的焦点在x轴上，且c=，又由椭圆的长轴长为6，即2a=6，则a=3，则b2=a2﹣c2=3，则椭圆C的方程为+=1，（2）根据题意，直线AB过点（0，2）且斜率为1，则直线AB的方程为y=x+2，椭圆的方程变形可得x2+3y2﹣9=0与椭圆的方程联立可得4x2+12x+3=0，则有O到直线AB的距离d==，则△OAB的面积S=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．21．（12分）直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．【分析】根据题意，求出抛物线的焦点坐标，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），若l与x轴垂直，则|AB|=4，不符合题意，∴可设所求直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由根与系数的关系，得x1+x2=．又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=+2=8，∴=6，解得k=±1．∴所求直线l的方程为y+x﹣1=0或x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在，分情况讨论．22．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1，可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m，又椭圆的左焦点F（﹣1，0），•=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt=3+3m﹣3﹣3m=0，则⊥，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案

北京临川学校2017—2018学年上学期期中考试高二数学理科试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1。

一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ）A ．12，24,15,9B ．9,12,12，7C ．8,15,12，5D ．8,16，10，6 2。

如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件)。

若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为 A. 3，5 B. 5,5 C 。

3，7 D. 5，7 3．某入伍新兵的打靶练习中,连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶4.在区间［－1，2］上随机取一个数x ，则|x ｜≤1的概率为密封线内不要答题学校_____________班级_______________座号________________姓名______________A ．21B ．101C ．203 D ．错误! 5。

为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n块地的亩产量(单位： kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…,x n的标准差C ．x 1,x 2,…，x n 的最大值D ．x 1,x 2,…，x n 的中位数6。

阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出s 的值为（ )A ．－1B ．0C ．1D ．37. 从分别写有1,2，3,4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B. 15 C 。

北京市临川育人学校2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，M ={2，3，5}，N ={4，5}，则集合{1，6}=（）A. B. C. D. 2. 已知角θ为第二象限角，则点M （sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，点M 是△ABC 的重心，则为（） A. B. C.D. 4. 下列向量中不是单位向量的是（）A. B. C.D.5. 已知向量=（-1，2）， =（2，m ），若 ∥ ，则m =（） A. B. 4 C. D. 16. 已知点A （0，1），B （3，2），C （a ，0），若A ，B ，C 三点共线，则a =（）A.B. C. D.7. 设x ∈R ，向量 =（3，x ）， =（-1，1），若 ⊥ ，则||=（） A. 6 B. 4 C. D. 3 8. 在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A. B. C. D.9. 函数 y =5sin （2x +）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y =5sin2x 的图象？（）A. 向右平移B. 向左平移C. 向右平移D. 向左平移10. 计算sin=（）A.B.C.D.11. 与-60°角的终边相同的角是（）A. B.C. D.12. 已知集合{α|2k π+≤α≤2k π+，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 比较大小：sin1______cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14. 已知向量=（1，1）， =（2，0），则向量，的夹角的余弦值为______． 15. 已知函数f （x ）=cos x （x ∈[0，2π]）与函数g （x ）=tan x 的图象交于M ，N 两点，则| +|=______．16.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=lg(x+1)-lg(1-x)．（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数f(x)的奇偶性．18.已知集合A={x|2sin x-1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合A和B；（2）求A∩B．19.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．20.已知（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈时，求f(x)的最大值与最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，点A（，），B（，），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=-时，求α的值．22.如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X-函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x-3是否为“X-函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sin x+cos x+a是“X-函数”，求实数a的取值范围；∈ 是“X-函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．（Ⅲ）已知f（x）=∈答案和解析1.【答案】C【解析】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．先求出集合M和集合N的补集，然后根据交集的定义和并集的定义进行逐一进行判定即可．本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．由角θ的范围得到sinθ，cosθ的符号，则答案可求．本题考查三角函数的象限符号，是基础题3.【答案】C【解析】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．考查向量加法法则及三角形重心的性质．4.【答案】B【解析】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．利用单位向量的模为1即可判断出．本题考查了单位向量的模为1的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵向量=（-1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=-4．故选：A．利用向量平行的性质能求出m．本题考查与已知实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，-1）∴3×（-1）=a解得，a=-3，故选：D．由A、B、C三点共线，得，共线；利用向量的知识求出a的值．本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答．7.【答案】C【解析】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（-1，1），⊥，∴=-3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．8.【答案】C【解析】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．根据三角函数的奇偶性和周期公式判断．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：sin=sin（π+）=-sin=-，故选：B．由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与-60°终边相同，故选：A．与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．本题考查终边相同的角的特征，凡是与α 终边相同的角，一定能写成k×360°+α，k∈z的形式．12.【答案】B【解析】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用13.【答案】＞【解析】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．利用在上的单位圆中的三角函数线及，即可得出sin1与cos1的大小关系．熟练掌握正弦、余弦、正切函数的单调性是解题的关键．14.【答案】【解析】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．利用两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角的余弦值．本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．15.【答案】π【解析】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．由题意，M，N关于点（，0）对称，即可求出|+|．本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M，N关于点（，0）对称是关键．16.【答案】（0，2）【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．17.【答案】解：（1）依题意有解得-1＜x＜1故函数的定义域为（-1，1）（2）∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）∴f（x）为奇函数．【解析】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；18.【答案】解：（1）集合A={x|2sin x -1＞0，0＜x＜2π}={x|sin x＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2-x＞2}={x|x＜-1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．【解析】（1）解不等式求得集合A、B；（2）根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．19.【答案】解：由题意A=1，，∴ω=1，易知点在函数图象上，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．【解析】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．20.【答案】解：（Ⅰ）因为，由，∈，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，，k∈Z．由，∈，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（Ⅱ）因为，所以，故有故当即x=0时，f（x）的最小值为-1，当即时，f（x）的最大值为2．【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．（Ⅰ）利用正弦函数的单调性、以及图象的对称性，求得函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程．（Ⅱ）当x∈[0，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值与最小值．21.【答案】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），，，，因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意∈，成立，所以，所以m=-2．M点的横坐标为-2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2-2m cosα-4cosα-4=0，（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=-2，M点的横坐标为-2．…10分．【解析】（I）利用三角函数的定义写出P（cosα，sinα）．（II）求出向量，利用，求出，即可得到，（Ⅲ）法一：设M（m，0），利用向量的平方，通过，求出m=-2．即可得到M点的横坐标．法二：设M（m，0），利用向量的平方，通过，推出α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，然后求解m，得到M点的横坐标为-2．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）①、②是“X-函数”，③不是“X-函数”；----（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0；因为f（x）=sin x+cos x+a，所以f（-x）=-sin x+cos x+a，故f（x）+f（-x）=2cos x+2a；由题意，对任意的x∈R，2cos x+2a≠0，即a≠-cos x；---（4分）又cos x∈[-1，1]，所以实数a的取值范围为（-∞，-1）（1，+∞）；---（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且-x∈B，则f（-x）=-x=-f（x），这与y=f（x）是“X-函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（-∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（-∞，0），符合题意．---（8分）【解析】（Ⅰ）根据“X-函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X-函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（-x）≠-f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。

北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二下学期期末数学(文)试题(含答案)

(2)指出函数 f(x)的单调区间； (3)求函数的值域．
北京临川学校 2017--2018 学年第二学期第三次考试高二文科数学参考答案
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分）题号选项 1 C 2 B 3 C 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B 9 B 10 D 11 A 12 A
20．求值：
18．已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围．
21．（1）若函数 f ( x)
2x 1 是奇函数，求 a 的值，并求使（ f x） 3 成立的 x 的取值范围 2x a
3 x b, x 1 5 （2）设函数 f ( x) x ，若 f ( f ( )) 4 ，求 b． 6 2 , x 1
19．已知 f(x)=
(x≠a)．
22．已知函数 f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3． (1)证明：f(x)是偶函数；
(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0,且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围．
北京临川学校 2017--2018 学年第二学期期末考试高二文科数学
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分） 1．设集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( A．{4,8} B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} ) D．{0,2,4,6,8,10} )
10．函数 f(x)＝log2(1－2x)＋ 1 A．0，2 1 C．(－1,0)∪0，2
1 的定义域为( x＋1

北京市昌平临川育人学校2017届高三数学上学期期末考试试题理

北京临川育人学校2016—2017学年上学期期末考试高三理科数学试卷一、选择题1．设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）2．把复数z的共轭复数记作，已知（3﹣4i）=1+2i，则z=（）A． +i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣3．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（）A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnxC．∃x0＞0，x0＞lnx0D．∃x0＞0，x0≤lnx04．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是（）A．B．C． D．π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．26．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或37．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A．8 B．13 C．21 D．348．如图，在多面体ABC﹣DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AC∥GF，且△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为4的正方形，M，N分别是AD，BE的中点，则MN=（）A．B．4 C． D．59．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），则f（x）的最大值为（）A．1 B．C．2 D．210．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．12811．设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（）A．B．C．D．12．已知f′（x）是函数f（x），（x∈R）的导数，满足f′（x）=﹣f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（）A．x0∈（﹣4，﹣3）B．x0∈（﹣3，﹣2）C．x0∈（﹣2，﹣1）D．x0∈（﹣1，0）二、填空题13．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m= ．14．二项式（﹣）n的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为．15．已知{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有a n=a1+log a b n，则常数a= ．16．已知△ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BM∥x轴，|BM|=2，则△ABC 的面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．18．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BE⊥B1F．（1）求证：B1F⊥平面BEC1；（2）求二面角A﹣BC1﹣E的平面角的余弦值．19．某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：30，27，9，14，33，25，21，12，36，23，乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（1）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（2）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上的一点P（x0，y0）（x0，y0＞0）处的切线l分别交x轴，y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N 两点．（1）若椭圆C的离心率为，求P点的坐标（2）证明四边形AMBN的面积S＞8．21．已知函数f（x）=ae x+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2ex﹣e．（Ⅰ）求实数a和b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）﹣ex2的最小值．选考题（二选一）[选修4-1：几何证明选讲][选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，直线，（t为参数）与抛物线y2=2px（p＞0）相交于横坐标分别为x1，x2的A，B两点（1）求证：x02=x1x2；（2）若OA⊥OB，求x0的值．[选修4-5：不等式选讲]024．已知a，b∈R+，设x=，y=，求证：（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．北京临川育人学校2016—2017学年上学期期末考试高三理科数学答案命题——李永刚一、选择题1．设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，再求A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．2．把复数z的共轭复数记作，已知（3﹣4i）=1+2i，则z=（）A． +i B．﹣+i C．﹣﹣i D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求得，则z可求．【解答】解：∵，∴．故选：C．3．设命题p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（）A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnxC．∃x0＞0，x0＞lnx0D．∃x0＞0，x0≤lnx0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：x0≤lnx0故选：D．4．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是（）A．B．C． D．π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由（﹣）⊥，则（）=0，即有=，再由向量的数量积的定义和性质，即可得到夹角．【解答】解：由于||=，||=2，且（﹣）⊥，则（）=0，即有=，则2=×＞，则有cos＜＞=，即有向量和的夹角为．故选A．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥P﹣ABC，且PD⊥平面ABD，AD⊥BD，C是AD的中点，PD=AD=BD=2，所以其体积，故选：A．6．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A．8 B．13 C．21 D．34【考点】程序框图．【分析】框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，然后执行一次运算k=k+1，判断k ＜6是否成立，成立则执行用a+b替换c，用b替换a，用c替换b，用k+1替换k，不成立输出c的值，然后再判断k＜6是否成立，依次判断执行．【解答】解：框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，执行k=0+1=1；判断1＜6成立，执行c=1+1=2，a=1，b=2，k=1+1=2；判断2＜6成立，执行c=1+2=3，a=2，b=3，k=2+1=3；判断3＜6成立，执行c=2+3=5，a=3，b=5，k=3+1=4；判断4＜6成立，执行c=3+5=8，a=5，b=8，k=4+1=5；判断5＜6成立，执行c=5+8=13，a=8，b=13，k=5+1=6；判断6＜6不成立，跳出循环，输出c=13．故选B．8．如图，在多面体ABC﹣DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AC∥GF，且△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为4的正方形，M，N分别是AD，BE的中点，则MN=（）A．B．4 C． D．5【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取BD中点P，连结MP，NP，利用余弦定理，求出MN．【解答】解：如图，取BD中点P，连结MP，NP，则MP∥AB，NP∥DE，，，又∵AC∥GF，∴AC∥NP，∵∠CAB=60°，∴∠MPN=120°，∴．故选A．9．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），则f（x）的最大值为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意得f（x）的对称轴为，及f（x）=sin（x+α），由此得到f （x）的最值的关系式，得到a=1，由此得到f（x）的最大值．【解答】选B．解：由题意得f（x）的对称轴为，f（x）=asinx+cosx=sin（x+α）当时，f（x）取得最值即，得a=1，∴f（x）的最大值为．故选B．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2=﹣2a n+1，从而得到{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，∴由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1，∴{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C．11．设双曲线=1的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，若PF1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得两焦点的坐标和渐近线方程，可设PF1与直线平行，求得平行线的方程代入双曲线的方程，求得P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F1（﹣2，0），F2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B．12．已知f′（x）是函数f（x），（x∈R）的导数，满足f′（x）=﹣f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（）A．x0∈（﹣4，﹣3）B．x0∈（﹣3，﹣2）C．x0∈（﹣2，﹣1）D．x0∈（﹣1，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，设h（x）=f（x）﹣g（x），求出h （0）和h（﹣1）的值，从而求出x0的范围．【解答】解：设f（x）=ke﹣x，则f（x）满足f′（x）=﹣f（x），而f（0）=2，∴k=2，∴f（x）=2e﹣x，∴g（x）=3lnf（x）=3（﹣x+ln2）=﹣3x+3ln2，设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=2e﹣x+3x﹣3ln2，∴h（0）=2﹣3ln2＜0，h（﹣1）=2e﹣3﹣3ln2＞0，即在（﹣1，0）上存在零点，故选：D．二、填空题13．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m= 8 ．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．故答案为：8．14．二项式（﹣）n的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】先x=1，求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：令x=1，根据题意有，解得n=6；（﹣）6展开式的通项公式为：，令，解得r=3；所以，展开式的常数项为：．故答案为：﹣．15．已知{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}为等比数列，满足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若对于每一个正整数n，均有a n=a1+log a b n，则常数a= ．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意列式求得d，q的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入a n=a1+log a b n，求解即可得到a值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，∴，解得d=6，q=9，∴a n=3+6（n﹣1）=6n﹣3，，代入a n=a1+log a b n得，，即log a9=6，∴．故答案为：．16．已知△ABC的三个顶点均在抛物线y2=x上，边AC的中线BM∥x轴，|BM|=2，则△ABC的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a2，a），B（b2，b），C（c2，c），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴，又BM∥x轴，则，故，∴（a﹣c）2=8，即，作AH⊥BM交BM的延长线于H．故．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，又A∈（0，π），∴sinA≠0，∴．（2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴．∵sinA==，∴△ABC的面积，（时取等号）∴．18．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA1，CC1的中点，且BE⊥B1F．（1）求证：B1F⊥平面BEC1；（2）求二面角A﹣BC1﹣E的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取BC1，BC中点D，G，连结ED，AG，推导出AG⊥面BCC1B1，从而ED⊥B1F，BE⊥B1F，由此能证明B1F⊥面BEC1．（Ⅱ）以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取BC1，BC中点D，G，连结ED，AG，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，∴AG⊥面BCC1B1，又∵E，D都是中点，由题意ED∥AG，∴ED⊥面BCC1B1，∴ED⊥B1F，已知BE⊥B1F，BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1；…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1，∴B1F⊥BC1，由题意∽，∴，设BB1=a，则，代入得，以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立如图坐标系O﹣xyz，得A（0，﹣1，0），，，，，，则，，，∵B1F⊥面BEC1，∴平面 BEC1的法向量为==（﹣，1，﹣），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则，得，取x=1，得=（1，﹣，），设二面角A﹣BC1﹣E的平面角为θ，∴cosθ==，∴二面角A﹣BC1﹣E的余弦值为．…19．某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：30，27，9，14，33，25，21，12，36，23，乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（1）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（2）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2个得分，记选出的得分超过23分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图，由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．（Ⅱ）根据题意ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图：由茎叶图得，乙的平均值大于甲的平均数，甲比乙稳定．…（Ⅱ）根据题意ξ的所有可能取值为0，1，2，则，，，E（ξ）==1…20．在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上的一点P（x0，y0）（x0，y0＞0）处的切线l分别交x轴，y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N 两点．（1）若椭圆C的离心率为，求P点的坐标（2）证明四边形AMBN的面积S＞8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用直线的斜率公式，可得直线l的方程，求得A，B的坐标，可得椭圆的方程，讨论焦点位置，运用离心率公式可得P的坐标；（2）直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，，求得A，B的坐标，椭圆方程，代入直线y=kx，求得M，N的坐标，可得|OM|，|AB|，运用四边形的面积公式和基本不等式，化简整理，即可得到结论．【解答】解：（1）依题意，，直线l方程为，令x=0，得，令y=0，得，即有，椭圆C的方程为，①若x0＞y0，则椭圆的离心率，由，得，而，解得，则；②若x0＜y0，同理可得；综上可得P点坐标为，；（2）证明：直线OP的斜率为k，依题意有k＞0且k≠1，直线OP的方程为y=kx，直线l的方程为，令x=0，得，令y=0，得x=ky0+x0，可得，椭圆C的方程，联立，解出，可得，，即有===，即有，|AB|====，可得S=|AB|•|MN|=4（k+）•，令t=k+（t＞2），则f（t）=t2（1+）=（t2﹣2）++4＞2+4=8，即有f（t）＞8，故．21．已知函数f（x）=ae x+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2ex﹣e．（Ⅰ）求实数a和b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）﹣ex2的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求实数a和b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）﹣ex2的导数，研究函数的单调性，判断函数的极值和最值关系即可求g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=ae x+blnx+bx=ae x+blnx+b，则f′（1）=ae+b，∵f（x）=ae x+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2ex﹣e．∴当x=1时，y=2e﹣e=e，即切点坐标为（1，e），则切线斜率k=f′（1）=ae+b=2e，f（1）=ae+bln1=ae=e，得a=1，b=e；（Ⅱ）∵a=1，b=e，∴f（x）=e x+exlnx则函数g（x）=f（x）﹣ex2=e x+exlnx﹣ex2，函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数g′（x）=e x+elnx+e﹣2e=e x+elnx﹣e则g′（x）=e x+elnx﹣e在（0，+∞）上为增函数，∵g′（1）=e+eln1+e=e﹣e=0，∴当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，即当x=1时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（1）=e﹣e=0，即g（x）=f（x）﹣ex2的最小值是0．选考题（二选一）[选修4-1：几何证明选讲]2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，直线，（t为参数）与抛物线y2=2px（p＞0）相交于横坐标分别为x1，x2的A，B两点（1）求证：x02=x1x2；（2）若OA⊥OB，求x0的值．【考点】抛物线的简单性质；参数方程化成普通方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程的方程组，利用参数的几何意义化简求解即可．（2）通过向量垂直的充要条件，化简求解即可．【解答】解：（1）设直线…①与抛物线y2=2px（p＞0）…②交于点A（x1，y1），B（x2，y2），∴α≠0把①代入②，得关于t的一元二次方程 t2sin2α﹣2tpcosα﹣2px0=0，设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则，…③∴…④把③代入④得…．（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，由（Ⅰ）知，又y1=t1sinα，y2=t2sinα，∴，由③知，∴x0=2p．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b∈R+，设x=，y=，求证：（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．【解答】证明：（1）∵a，b∈R+，x=，y=，∴xy=≥=ab，当且仅当a=b时取等号．（2）∵a，b∈R+，x+y=+，则（a+b）2﹣（x+y）2=（a+b）2﹣=﹣，而（a+b）4﹣（a﹣b）4=8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）=（a﹣b）4，∴（a+b）2≥，∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，∴a+b≥x+y．。

北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期期末考试英语试题

北京临川学校2017—2018学年上学期期末考试高二英语试卷第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题，每小题1.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the woman think of cloning?A.It has no side effect at all.B.It should be strictly forbidden.C.It may cause trouble for humans.2.What’s the possible relationship between the two speakers?A.Friends.B.Husband and wife.C.Teacher and student.3.What do they hope to do?A.Stop cigarette production.B.Advise people not to smoke.C.Stop young people smoking.4.What teacher are they talking about?A.Their Chinese teacher.B.Their history teacher.C.Their politics teacher.5.What does the man think the weather will be like in April?A.Cool.B.Hot.C.Windy.第二节（共15小题，每小题1.5分）听下面5段对话,每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

北京市北京昌平临川育人学校2017-2018学年高二上学期

北京临川学校2017-2018学年上学期第一次月考高二数学时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15、5、25 B．15、15、15 C．10、5、30 D．15、10、202．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．233．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．324．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（）A． B．C．D．5.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是（）A．B．C．D．978．如右图所示的程序框图的运行结果是（）A．B．C．D．39．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．1010．设x∈R，则“1＜x＜2”是“1＜x＜3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 12．中秋节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的．14．如图所示，在边长为2的正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为．15．若a2+b2=0，则a=0b=0；（用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”）．16．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（1）抛掷一个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记出现奇数点为事件A，求P(A)；（2）同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，求向上的数相同的概率．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数.19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．20．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（a）用所给编号列出所有可能的结果；（b）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．21．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}，m∈R（1）若m=3，求A∩B；（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数m的取值范围．22．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．北京临川学校2017-2018学年高二上学期第一次月考数学参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13.概率 14.1－π4 15.且16.12三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.（1）21；（2）16. 18.解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a ，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a ﹣220）=0.5可得a=224， ∴月平均用电量的中位数为224；19.解：（1）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx ==720﹣10×82=80，l xy ==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（2）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．20.解：（1）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（2）（a）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（b）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==21.解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}，若m=3，则B={x|0≤x≤6}，则A∩B={x|0≤x≤3}；（2）若q是p的必要条件，则A⊆B，即，即，解得0≤m≤2．22.解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分）由得解得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，则¬p：x≤a或x≥3a，（8分）q：2＜x≤3，则¬q：x≤2或x＞3，（10分）¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，∴解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是（1，2]．。

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一(上)数学期末试卷及解析

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．∁U（M∪N）D．∁U（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x9．（5分）函数y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．18．（12分）已知集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和B；（2）求A∩B．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．∁U（M∪N）D．∁U（M∩N）【解答】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故选：C．4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x【解答】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x 的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜x＜1故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）∴f（x）为奇函数．18．（12分）已知集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合 A 和B；（2）求A∩B．【解答】解：（1）集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}={x|sinx＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2﹣x＞2}={x|x＜﹣1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为﹣1，当即时，f（x）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mc osα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m ﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣（4分）又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x 0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。

北京市临川育人学校2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(含精品解析)

2017-2018学年北京市昌平区临川育人学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，M ={2，3，5}，N ={4，5}，则集合{1，6}=（）A. B. C. D. M ∪NM ∩N ∁U (M ∪N)∁U (M ∩N)2.已知角θ为第二象限角，则点M （sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，点M 是△ABC 的重心，则为（）⃗MA+⃗MB‒⃗MC A. ⃗O B. 4⃗MEC.4⃗MFD.4⃗MD4.下列向量中不是单位向量的是（）A. B. C. D. (‒1,0)(1,1)(cosa,sina)⃗a|⃗a|(|⃗a|≠0)5.已知向量=（-1，2），=（2，m ），若∥，则m =（）⃗a ⃗b ⃗a ⃗b A. B. 4 C. D. 1‒4‒16.已知点A （0，1），B （3，2），C （a ，0），若A ，B ，C 三点共线，则a =（）A.B. C. D. 12‒1‒2‒37.设x ∈R ，向量=（3，x ），=（-1，1），若⊥，则||=（）⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a A. 6 B. 4C. D. 3328.在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A. B. C. D. y =sinx y =cosx y =tanx y =tan2x9.函数 y =5sin （2x +）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y =5sin2x 的图象？（）π6A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移 π6π6π12π1210.计算sin =（）7π6A.B.C. D.12‒1232‒3211.与-60°角的终边相同的角是（）A. B. C. D. 300∘240∘120∘60∘12.已知集合{α|2k π+≤α≤2k π+，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）π4π2A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.比较大小：sin1______cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14.已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为______．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 15.已知函数f （x ）=cos x （x ∈[0，2π]）与函数g （x ）=tan x 的图象交于M ，N 两点，则|+|=______．⃗OM ⃗ON 16.定义：如果函数y =f （x ）在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足f （x 0）=，f(b)‒f(a)b ‒a 则称函数y =f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y =|x |是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f （x ）=x 2-mx -1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f (x )=lg(x +1)-lg(1-x )．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域；（Ⅱ）判断函数f (x )的奇偶性．18.已知集合 A ={x |2sin x -1＞0，0＜x ＜2π}，B ={x |2＞4}．x2‒x（1）求集合 A 和 B ；（2）求 A ∩B ．19.已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）的图象如图所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f （x ）的解析π2式．20.已知f(x)=2sin(2x ‒π6)（Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当时，求f (x )的最大值与最小值．x ∈[0,π2]21.如图，在平面直角坐标系中，点A （），B （），锐角α的终边‒12，032，0与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P 的坐标；（Ⅱ）当=-时，求α的值．⃗AP⋅⃗BP 1422.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X -函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y =2x ；②y =x +1； ③y =x 2+2x -3是否为“X -函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f （x ）=sin x +cos x +a 是“X -函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知f （x ）=是“X -函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．{x 2+1,x ∈Ax,x ∈B答案和解析1.【答案】C【解析】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．先求出集合M和集合N的补集，然后根据交集的定义和并集的定义进行逐一进行判定即可．本题主要考查了集合的交、并、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．由角θ的范围得到sinθ，cosθ的符号，则答案可求．本题考查三角函数的象限符号，是基础题3.【答案】C【解析】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．考查向量加法法则及三角形重心的性质．4.【答案】B【解析】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．利用单位向量的模为1即可判断出．本题考查了单位向量的模为1的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵向量=（-1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=-4．故选：A．利用向量平行的性质能求出m．本题考查与已知实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，-1）∴3×（-1）=a解得，a=-3，故选：D．由A、B、C三点共线，得，共线；利用向量的知识求出a的值．本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答．7.【答案】C【解析】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（-1，1），⊥，∴=-3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．由⊥，求出x=3，从而=（3，3），由此能求出||．本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．8.【答案】C【解析】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．根据三角函数的奇偶性和周期公式判断．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：sin=sin（π+）=-sin=-，故选：B．由条件应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与-60°终边相同，故选：A．与-60°终边相同的角一定可以写成k×360°-60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．本题考查终边相同的角的特征，凡是与α终边相同的角，一定能写成k×360°+α，k∈z的形式．12.【答案】B【解析】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用13.【答案】＞【解析】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．利用在上的单位圆中的三角函数线及，即可得出sin1与cos1的大小关系．熟练掌握正弦、余弦、正切函数的单调性是解题的关键．14.【答案】2 2【解析】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．利用两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角的余弦值．本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．15.【答案】π【解析】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．由题意，M，N关于点（，0）对称，即可求出|+|．本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M，N关于点（，0）对称是关键．16.【答案】（0，2）【解析】解：∵函数f（x）=x2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2-mx-1=在（-1，1）内有实数根．即x2-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．即x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．又1∉（-1，1）∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）函数f （x ）=x 2-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x 2-mx-1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m 的取值范围．本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．17.【答案】解：（1）依题意有{x +1>01‒x >0解得-1＜x ＜1故函数的定义域为（-1，1）（2）∵f （-x ）=lg （1-x ）-lg （1+x ）=-f （x ）∴f （x ）为奇函数．【解析】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．（1）欲使f （x ）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；18.【答案】解：（1）集合A ={x |2sin x -1＞0，0＜x ＜2π}={x |sin x ＞，0＜x ＜2π}12={x |＜x ＜}，π65π6B ={x |2＞4}x 2‒x ={x |x 2-x ＞2}={x |x ＜-1或x ＞2}；（2）根据交集的定义知，A ∩B ={x |2＜x ＜}．5π6【解析】（1）解不等式求得集合A 、B ；（2）根据交集的定义写出A∩B ．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．19.【答案】解：由题意A =1，，2πω=2|5π6‒(‒π6)|∴ω=1，易知点在函数图象上，将（，1）代入f （x ）=sin （x +φ），可得sin （+φ）=1，(‒π6+5π62,1)2π62π6∵|φ|＜，∴φ=，π2π6∴f （x ）=sin （x +）．π6【解析】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．20.【答案】解：（Ⅰ）因为，由，f(x)=2sin(2x ‒π6)‒π2+2kπ≤2x ‒π6≤π2+2kπ，k ∈Z 求得，‒π6+kπ≤x ≤π3+kπ可得函数f （x ）的单调递增区间为，k ∈Z ．[‒π6+kπ，π3+kπ]由，求得．2x ‒π6=π2+kπ，k ∈Z x =π3+kπ2故f （x ）的对称轴方程为，其中k ∈Z ．x =π3+kπ2（Ⅱ）因为，所以，0≤x ≤π2‒π6≤2x ‒π6≤5π6故有‒12≤sin(2x ‒π6)≤1故当即x =0时，f （x ）的最小值为-1，2x ‒π6=‒π6当即时，f （x ）的最大值为2．2x ‒π6=π2x =π3【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、以及图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．（Ⅰ）利用正弦函数的单调性、以及图象的对称性，求得函数f （x ）的单调递增区间与对称轴方程．（Ⅱ）当x ∈[0，]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f （x ）的最大值与最小值．21.【答案】解：（I ）P （cosα，sinα）．…2分（II ），⃗AP =(cosα+12，sinα)，⃗BP =(cosα‒32，sinα)⃗AP ⋅⃗BP=(cosα+12)(cosα‒32)+sin 2α=cos 2α‒cosα‒34+sin 2α=14‒cosα因为，所以，即，⃗AP ⋅⃗BP =‒1414‒cosα=‒14cosα=12因为α为锐角，所以．…6分α=π3（Ⅲ）法一：设M （m ，0），则，|⃗AP |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54，|⃗MP |2=(cosα‒m )2+sin 2α=1‒2mcosα+m 2因为，所以，|⃗AP |=12|⃗AP |cosα+54=14(1‒2mcosα+m 2)所以对任意成立，(1+m 2)cosα+(1‒m 24)=0α∈(0，π2)所以，所以m =-2．M 点的横坐标为-2．…10分{1+m 2=01‒m 24=0法二：设M （m ，0），则，|⃗AP |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54，|⃗MP |2=(cosα‒m )2+sin 2α=1‒2mcosα+m 2因为，|⃗AP |=12|⃗AP |所以，即m 2-2m cosα-4cosα-4=0，（m +2）[（m -2）-2cosα]=0，cosα+54=14(1‒2mcosα+m 2)因为α可以为任意的锐角，（m -2）-2cosα=0不能总成立，所以m +2=0，即m =-2，M 点的横坐标为-2．…10分．【解析】（ I ）利用三角函数的定义写出P （cosα，sinα）．（II）求出向量，利用，求出，即可得到，（Ⅲ）法一：设M （m ，0），利用向量的平方，通过，求出m=-2．即可得到M 点的横坐标．法二：设M （m ，0），利用向量的平方，通过，推出α可以为任意的锐角，（m-2）-2cosα=0不能总成立，然后求解m ，得到M 点的横坐标为-2．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）①、②是“X -函数”，③不是“X -函数”；----（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （-x ）≠-f （x ），即f （-x ）+f （x ）≠0；因为f （x ）=sin x +cos x +a ，所以f （-x ）=-sin x +cos x +a ，故f （x ）+f （-x ）=2cos x +2a ；由题意，对任意的x ∈R ，2cos x +2a ≠0，即a ≠-cos x ；---（4分）又cos x ∈[-1，1]，所以实数a 的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；---（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，（i ）若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），这与y =f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），（ii ）若x ∈B 且-x ∈B ，则f （-x ）=-x =-f （x ），这与y =f （x ）是“X -函数”矛盾，（舍去）；此时，由y =f （x ）的定义域为R ，故对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；x 02x 02（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，x 02x 02x 204x 20（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾；x 02x 02x 02x 20综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（-∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ；（3）假设0∈B ，则f （-0）=-f （0）=0，矛盾，故0∈A ；故A =[0，+∞），B =（-∞，0]；经检验A =[0，+∞），B =（-∞，0），符合题意．---（8分）【解析】（Ⅰ）根据“X-函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X-函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x ∈R ，f （-x ）≠-f （x ），利用不等式求出a 的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）用反证法说明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。

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北京临川学校2017--2018学年上学期期末考试高二理科数学一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．若命题p:∃x0>0,|x0|≤1,则命题p的否定是（）A. ∀x>0,|x|>1B. ∀x>0,|x|≥1C. ∀x≤0,|x|<1D. ∀x≤0,|x|≤12．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A.62B.63C. 64D.65x-≤”的3.设x∈R，则“20-≥”是“|1|1xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A .56B .60C .120D .1405.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s 的值为（）.10A .17B .19C .36D6.已知椭圆2241mx y +=的离心率为2，则实数m 等于（） A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或87.函数x x x f -=ln )(的单调递增区间是（）A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞) 8.函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的范围是（）A ．),23[+∞-B ． ),23[+∞C ．]23,(--∞D ．]23,(-∞9.若函数x x x f ln )(-=，则（）A ．)6()5()7(f f f >>B ．）9()7()6(f f f >>C ．)6()7()9(f f f >>D ．)6()9()7(f f f >>10.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0x f x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(0,1)(1,)+∞B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(,1)(0,1)-∞-11.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（）A ．9B ．4C ．3D ．212.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A B ． 2 C D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13.双曲线x 2－22y ＝1的渐近线方程为 .14.求曲线()e cos x f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程．15.已知向量a =(2,4,10),b =(3,x ,15)分别是直线12,l l 的方向向量,若1l ⊥2l ,则=x .16.设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分） 17.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（2）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.18.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点F （﹣，0），右顶点A （2，0）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求弦长|AB |的最大值及此时l 的直线方程．19.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．20.如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.21. 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.22. 已知函数()1ln1xf x x+=-．（1）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．北京临川学校2017--2018学年第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. y ＝±2x 14.y=1 15.-39 16. 12三、解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分） 17.（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 18.解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=1．∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为：．（2）设直线l 的方程为y=x +b ，由，可得x 2+2bx +2b 2﹣2=0， ∵l 与椭圆C 交于A 、B 两点，∴△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）≥0，即b 2≤2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2b ，x 1x 2=2b 2﹣2．∴弦长|AB |==，∵0≤b 2≤2，∴|AB |=≤，∴当b=0，即l 的直线方程为y=x 时，弦长|AB |的最大值为．19. 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20.解：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得A，P，B，(C .所以(PC =，CB =，PA = ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则00PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即00x y z ⎧+=⎪=，可取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m，即00x z y ==⎩，可取(1,0,1)=m .则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --的余弦值为21.入2212x y +=，化简得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，则1224(1)12k k x x k -+=+○1，1222(2)12k k x x k -=+○2，由已知0∆>，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121211AP AQ y y k k x x +++=+化简得12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-，把○1○2式代入方程得2AP AQ k k +=. 试题解析：(I)由题意知1c b a ==，综合222a b c =+，解得a =，所以，椭圆的方程为2212x y +=.(II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+-⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.22.解：（1）212()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（2）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.- 11 -。