线面平行与垂直关系的转化

三垂线定理

一、温故

1.线面平行的判定及性质定理

2.线面垂直的判定及性质定理

3.求线面所成角步骤

二、探究

思考1：面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？

例1：已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,

a α⊂a AO ⊥。

求证：a PO ⊥；

例2.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。

P

B

例3.已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥

例4.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。

例5.在正方体1AC 中，求证：1111

1,AC B D AC BC ⊥⊥；

例6．已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,

a α⊂a PO ⊥。

求证：a AO ⊥；

P

B

1

A C

O D

A

C

B

P

例7．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥；

（2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心；

线面平行与垂直关系的转化

1.对于命题：①b a a b b a ⊥⇒⊥,//； ②αα//,b a b a ⇒⊥⊥； ③

c

a b a c b a ////,,,⇒=⋂⊂⊂βαβα；④

c b a c a b ////,,,⇒=⋂=⋂=⋂ααγγββα，其中正确的命题个数是

2.若直线a ，b 没有公共点，则下列命题：①存在与a ，b 平行的直线；②存在与a ，b 垂直的平面；③存在经过a 而与b 垂直的平面；④存在经过a 而与b 平行的平面. 其中正确的命题序号是

3.已知a ，b 和平面α，下列推理：①α⊥a 且b a a b ⊥⇒⊂；②αα⊥⇒⊥b a b a 且//；③b a a //b //⇒⊂αα且；④ααα⊂⇒⊥⊥a a b a 或且//b ，其中正确的命题序号是

4.下列说法：①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一组平行线垂直，该直线必在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线，其中正确的个数是

5.空间四边形ABCD 的四条边相等，则它的对角线AD 、BC 的关系是

6.对于命题：①

αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a //；②αα////a b b a ⇒⎭⎬⎫⊂；③αα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊥a b b a //；④

αα//b b a a ⇒⎭

⎬⎫

⊥⊥其中正确的命题是 7.在正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中，边对角线BD ₁的一个平面交AA ₁于E ，交CC ₁于F ，

D

A

B

C

则：

①四边形BFD₁E一定是平行四边形；②四边形BFD₁E有可能是正方形；

③四边形BFD₁E在底面ABCD上的投影一定是正方形；

④平面BED₁F一定与B₁F垂直，

以上结论正确的是___________.

8.如图，PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，则当PC⊥_________时，AC⊥BD；当DC⊥________时，PD⊥DC。

9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能构成的图形是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。其中正确的是___________.

10.如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH形状是___________.

11.四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90º，AB=2CD ，在A₁B₁上是否存在一点P，使得DO与平面BCB₁和平面ACB₁都平行？证明你的结论。

12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF。BF=FC，H为BC的中点。求证：（1）FH∥平面EDB；（2）AC⊥平面EDB。