线面平行与垂直关系的转化

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平行关系、垂直关系

有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直（1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系相交直线平行直线共面情况在同一平面内在同一平面内公共点个数有且只有一个没有没有
异面直线不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何（方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.

线面平行垂直关系

辨析：
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互相垂直（）

l
C
2. a , b a b

B
()
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线
建构数学
线面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
l m
l l ∥m m

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
β
a a 面

α
a
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
两个平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
β
a l α A
l a a al
4.面面平行性质定理
/ / a a / /b b
5.利用平行四边形的性质等。
面面平行的判定方法
1.定义 2.判定定理
平面与平面没有交点
a, b a b A / / a / / b / /
3.判定定理
l m l n l n m 五推一 nm A
线不在多，相交就行
l
A

m
n
记忆：线线垂直，则线面垂直
推论1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
a
b
a b a / /b

推论2：如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行
b

线面平行垂直知识点

立体几何知识点总结一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；b)l⊂α—直线l在平面α内；c)a⊄α—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法四、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点五、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a ∥β④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法（ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 八.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

线面、面面的平行与垂直

1线面、面面的平行与垂直一、构造模型法解题：判断空间点、线、面的位置关系是比较抽象的，我们可以借助特殊的几何模型，如长方体（正方体）、三棱锥（正四面体）来判断，因为这些几何体中的点线面的位置关系非常丰富，这样可以化繁为简，化抽象为具体。

当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。

[例1] （1）对于直线m 、n 和平面α，下面问题中的真命题（）A.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果,a m ⊂n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α,n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n 分析：构造正方体，如图1.对于选项A ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为C 1C ，则n ⊥a ，故A 错。

对于选项B ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1D 1，则n ∥a ，故答案B 错。

对于选项D,设a 为平面AC ，m 为A 1B 1，n 为B 1C 1，此时m 与n 相交于B 1，故答案D 错。

∴正确答案为C ，事实上，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1B 1，∵AB ∥A 1B 1，∴m ∥n.（2）．空间A 、B 、C 、D 四点不共面，平面α与A 、B 、C 、D 四点的距离相等，这样的平面α有( )A ．0个B ．4个C ．3个D ．7个 [答案] D[解析] 三个点在一侧，另一点在α的另一侧(A ，B ，C )与D ，(A ，B ，D )与C ，(A ，C ，D )与B ，(B ，C ，D )与A ；两个点在α的一侧，另两点在α的另一侧，(A ，B )与(C ，D )，(A ，C )与(B ，D )，(A ，D )与(B ，C )如图所示：一类如：B ，C ，D 所在平面β与α平行，A ，B 到α距离AA ′＝BB ′，另一类如：AB ∥α，CD ∥α，B ，D 到α距离BB ′＝DD ′. 二、转化的思想①解决空间线线、线面、面面平行或垂直关系的问题关键是作好下列转化线∥线线∥面面∥面线⊥线线⊥面面⊥面②等积转化；③立几向平几转化。

空间的平行与垂直关系(思维导图)高考资料高考复习资料中考资料

面面平行面面垂直
平行与垂直的相互转化关系 1
平行
线线平行
线面平行
平几知识垂直
线线垂直
线面垂直
三垂线定理及逆定理
射影
注：虚线部分为考试大纲中不要求的部分！
面面平行
面面垂直斜线段定理
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
空间的平行与垂直关系
高二数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上
知识结构
第1页共1页
平行与垂直相互转化关系 3
平行
平几知识
垂直
线线平行线线平行线面平行面面平行线线线线垂垂直直
线面平行线面垂直
面面平行面面垂直
平行与垂直相互转化关系 2
平行
平几知识
垂直
线线平行线线平行线面平行面面平行线线线线垂垂直直
线面平行线面垂直

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系在几何学中，平行线和垂直线是基本概念，它们之间存在着一定的关系。

本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。

一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

它们的定义可以表述为：两条直线在同一平面上，如果它们的任意一对内部点与这两直线的距离之差都相等，那么这两条直线就是平行的。

平行线具有以下性质：1. 平行线的夹角相等：对于平行线上的两个相交线段，与这两个线段相交的另一条平行线上的两个相交线段与前两个线段的夹角一定相等。

2. 平行线之间的距离相等：平行线之间的任意两个线段之间的距离都是相等的。

3. 平行线的延长线也是平行的：平行线延长后仍然保持平行。

二、垂直线的定义与性质垂直线是指两条线段、直线或平面相互交于90度的关系。

两条直线垂直的定义可以表述为：直线L和直线M如果相交，且相交产生的两个相邻角度之和为90°，则称直线L和直线M互相垂直。

垂直线的性质如下：1. 垂直线上的两个相交线段的夹角为90°。

2. 垂直线与水平线的关系：水平线与垂直线互相垂直。

3. 垂直线与平行线的关系：如果两条平行线中的一条直线与第三条线垂直，那么第三条线也必与另外一条平行线垂直。

三、平行线与垂直线的关系平行线和垂直线之间存在一些重要的关系：1. 平行线的特殊情况：如果两条线段之间既不相交也不平行，那么它们一定是相交的，并且相交产生的夹角不是90度，则可以推断出这两条线段是倾斜于彼此的。

2. 平行线与垂直线的关系：如果两条直线中的一条直线与第三条线垂直，那么第三条线也一定与另外一条直线垂直。

反之亦然，如果两条直线中的一条直线与第三条线平行，那么第三条线也一定与另外一条直线平行。

3. 平行线与垂直线的组合：如果一条直线与另外一条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线一定相互平行。

同样地，如果一条直线与另外一条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相互垂直。

平行线和垂直线认识平行线和垂直线的关系

平行线和垂直线认识平行线和垂直线的关系平行线和垂直线是几何学中常见的概念，它们在几何图形的研究和解题中起着重要的作用。

本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系。

一、平行线的定义和性质在平面几何中，如果两条直线在同一平面内，且永远不相交，我们称这两条直线为平行线。

常用符号表示平行线的关系为“∥”。

平行线具有以下重要性质：1. 两条平行线之间的距离始终相等。

2. 平行线之间不存在交点，即它们永远不会相交。

3. 平行线与同一条直线的交线之间的对应角相等，并且同位角互补。

二、垂直线的定义和性质在平面几何中，如果两条直线的交角为90度，则称这两条直线为垂直线。

常用符号表示垂直线的关系为“⊥”。

垂直线具有以下重要性质：1. 两条垂直线之间无论相交于何处，其交角始终为90度。

2. 垂直线与同一平面内的任意一条平行线的交角为90度。

3. 垂直线与同一条直线的交线之间的对应角相等，并且同位角互补。

三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线是几何学中两种特殊的线性关系，它们之间存在一定的关系。

1. 平行线与垂直线的关系：如果两条直线分别与一条第三条直线垂直，则这两条直线必定平行。

即如果两条直线中一条与第三条直线垂直，那么这两条直线必定平行。

2. 平行线间的垂直关系：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，则这两条直线必定垂直。

即如果两条直线中一条与第三条直线平行，那么这两条直线必定垂直。

思考一下，如果两条直线既不平行也不垂直，它们之间的关系会是怎样的呢？答案是，两条既不平行也不垂直的直线将会有一个交点，它们将在该交点处相交。

综上所述，平行线和垂直线是几何学中基本的线性关系，它们在解题和几何图形的研究中发挥着重要作用。

熟练掌握平行线和垂直线的定义、性质以及它们之间的关系，能够帮助我们更好地理解和解决与几何相关的问题。

通过学习平行线和垂直线的相关知识，我们可以应用到实际生活中，例如在建筑设计中，需要确保墙壁或地板之间的线条是平行或垂直的，以保证建筑物的结构和美感。

立体几何中的平行与垂直

立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析（1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。

高中数学—空间几何体的垂直关系转化三种途径

例1如图1，该几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形.若AA1= 2AC，AC⊥AB，M为CC1的中点.求证：A1M⊥平面ABM.分析：要证A1M⊥平面ABM，只需证A1M垂直于平面ABM内两条相交直线.证明：因为四边形AA1B1B是矩形，所以A1A⊥AB.又AC⊥AB，A1A∩AC=A，所以AB⊥平面AA1C1C.因为A1M⊂平面AA1C1C，所以AB⊥A1M.因为四边形CC1A1A是矩形，所以AA1=CC1，AC=A1C1，∠ACM=∠A1C1M= 90°.因为AA1= 2AC，M为CC1的中点，所以AC=CM=C1M=A1C1.所以△ACM，△A1C1M都是等腰直角三角形.所以∠AMC=∠A1MC1= 45°，所以∠A1MA= 90°，所以A1M⊥AM.又AB∩AM=A，所以A1M⊥平面ABM.【点评】利用线线垂直证明线面垂直，要证明两次垂直来实现，往往一次垂直是通过平面几何性质来证明，一次垂直是利用线面垂直来实现。

例2如图2，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD= 2CE，点F为AD的中点，连接EF.（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AED⊥平面ABD.分析：（1）取AB的中点O，连接OF，OC，可证得EF∥OC，由线面平行的判定定理即可证出EF∥平面ABC；（2）先证出OC⊥平面ABD，再由（1）可证得EF⊥平面ABD，根据面面垂直的判定定理证出平面AED⊥平面ABD.证明：（1）取AB的中点O，连接OF，OC.因为F为AD的中点，所以OF∥BD，且OF=½BD又CE∥BD，且CE=½BD.所以OF∥CE，且OF=CE.所以四边形OCEF是平行四边形，所以EF∥OC.又EF⊄平面ABC，OC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）由（1）知点O为AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CO⊥AB.因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面ABD.又OC∥EF，所以EF⊥平面ABD.因为EF⊂平面AED，所以平面AED⊥平面ABD.【点评】本题直接证明EF⊥平面ABD比较烦琐，而是利用线线平行来证明线面垂直，继而由线面垂直证得面面垂直.途径三：线面垂直转化为线线垂直例3如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BB1=BC，B1C∩BC1=M.求证：BC1⊥A1C.分析：通过证明BC1垂直于A1C所在的平面A1B1C，进而证出BC1⊥A1C.证明：因为BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.又AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1.因为BB1∩B1C1=B1，所以A1B1⊥平面B1BCC1.又BC1⊂平面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1.因为BB1=BC，且四边形B1BCC1是矩形，所以四边形B1BCC1为正方形.所以B1C⊥BC1.又A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C.因为A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥A1C.【点评】线面垂直是沟通线线垂直与面面垂直的桥梁，线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间可以互相转化，解题时需要灵活选用.。

线面垂直与平行关系的判定和计算方法

线面垂直与平行关系的判定和计算方法线面垂直与平行关系是几何学中的基本概念之一，它在建筑、机械、工程等领域具有重要的应用价值。

本文将介绍线面垂直与平行关系的判定和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、线面垂直关系的判定和计算方法线面垂直关系是指一条直线与一平面相互垂直的情况。

在判定线面垂直关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线的斜率判断：若直线的斜率存在且为零，则该直线与水平面垂直；当直线的斜率为正无穷或负无穷时，则该直线与竖直面垂直。

2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。

3. 以直线上两点确定的向量判断：设直线上两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，平面的法向量为n(a, b, c)，则向量AB与平面的法向量垂直的条件是AB·n=0（其中·代表向量的点乘运算）。

二、线面平行关系的判定和计算方法线面平行关系是指一条直线与一平面相互平行的情况。

在判定线面平行关系时，可以采用以下几种方法：1. 以直线斜率的倒数判断：若直线的斜率存在且与平面的法向量的斜率的倒数相等，则该直线与平面平行。

2. 以直线的方向向量判断：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面平行。

3. 以直线上一点与平面的垂直距离判断：设直线上一点为A(x₀,y₀, z₀)，平面的法向量为n(a, b, c)，平面上一点为P(x, y, z)，则垂直距离d=|AP·n|/|n|（其中·代表向量的点乘运算，|n|表示向量n的模），若垂直距离d=0，则直线与平面平行。

三、线面垂直与平行关系的应用线面垂直与平行关系的应用广泛，以下列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计中的水平线和垂直线的确定：在建筑设计中，水平线和垂直线的确定是非常重要的，它们决定了建筑物的稳定性和美观性。

通过线面垂直关系的计算方法，可以准确地确定建筑物中各个部分的水平线和垂直线。

立体几何3直线与平面的位置关系(平行、垂直、异面)-高考数学专题复习

立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面）知识精要1、证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

3、证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。

4、空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.6、异面直线间的距离：||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).7、点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习：1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2、对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（ B ）（1和4）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么（ A ）()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ）（A ）共线（B ）共面（C ）不共面（D ）可作为空间基向量正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。

线面平行、垂直的判定与性质

线面平行、垂直的判定与性质作者：刘长柏来源：《数学金刊·高中版》2011年第12期线面平行、垂直的判定与性质，一直是高考重点考查的对象，其解题方法一般有两种以上，并且都能用空间向量求解．在空间元素位置关系的判断与证明中，通常利用线线、线面、面面的平行（垂直）的性质或判定定理，将线线、线面、面面的平行（垂直）相互转换．１．线面平行、垂直的判定与性质的重点熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直．２．线面平行、垂直的判定与性质的难点①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用．②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题．1．传统法证明线面平行、垂直证明线面平行，依据直线和平面平行的判定定理，找“平面内的一条线”与已知直线平行；证明线面垂直，依据线面垂直的判定定理，找到所需的“平面内两条相交直线”．而有时证明线线平行、垂直时，又转化为证明线面平行、垂直，如此反复，直到证得结论．2．向量法证明线面平行、垂直（1）证明线面平行◆证明直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行．◆证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．（2）证明线面垂直◆若要证直线l与平面α垂直，只要在α内找到两个不共线向量a，b，在l上取向量p，证得p•a=0且p•b=0即可．◆证明直线的方向向量与平面的法向量平行．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明：EF∥平面SAD．图1 图2思索立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法．几何法：证明EF与平面SAD内的某条线平行；向量法：利用向量平行转化为两直线平行，从而线面平行．破解法1：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连结AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG为平行四边形． EF∥AG，又AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD．所以EF∥平面SAD．法2：如图2，建立空间直角坐标系D－xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B （a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，．取SD的中点G0，0，，则=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD．另解，=（0，a，0）显然为平面SAD的一条法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD．点评两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在传统法中注意用分析法寻找思路．如图2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．证明：SD⊥平面SAB．思索几何法：只需要证明SD垂直于平面中的两条相交直线；向量法：利用向量的数量积为零证明线线垂直，从而证得线面垂直．图4 图5破解法1：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则SE⊥AB，SE=．又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE为直角．由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD． SD与两条相交直线AB，SE都垂直，所以SD⊥平面SAB．?摇法2：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系C-xyz．设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）．又设S（x，y，z），则x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）．由=得=，故x=1．由=1得y2+z2=1．又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=．于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，•=0，•=0．故DS⊥AD，DS⊥BS，又AS∩BS=S，所以SD⊥平面SAB．点评立体几何的解答通常都能用两种方法解决，尽管试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则．用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归为几何问题）．?摇如图6，△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否在线段BD上找到一点F，使AF⊥平面BDE？思索探究问题的设问方式可以先假设结论成立，然后进一步分析研究需要满足什么条件，从而确定它的存在与否；也可假设满足某个条件，从而推出结论成立来说明它的存在性．破解法1：取BD中点F，AB中点G，连EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AF⊥DB．因为AD⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC．因为EC⊥平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CE⊥CG，故四边形EFGC为矩形．因为△ABC是正三角形，所以GC⊥AB，所以GC⊥平面ABD，GC⊥AF，所以EF⊥AF，又△ABD为等腰直角三角形，所以AF⊥DB，所以AF⊥平面BDE，结论成立．法2：建立如图7所示的坐标系，则有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）．令DF=x•DB，则=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）．若AF⊥平面BDE，则•=0，•=0，故x=，此时F为BD中点．点评本题采用一题两法的设计，既重视传统解法，也彰显向量解法的魅力．高考重在考查数学中普遍运用的常规方法，侧重通性通法，适当淡化技巧；不要为解题而解题，要学会举一反三；由一题带动多题，要从不同角度思考问题，当不满足已有的解法时，从其他角度考虑，这种做法对解决难题尤其有好处．解题时，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉，从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理，从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念，注重化归、转化思想，掌握常见的化归转化方法，如：立几问题向平面问题转化，符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等；注重模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地解决问题．要把握常见图形及常见题型，关注新题型的考查，比如：存在性问题、与代数结合的最值问题等等．对于一些特殊的技巧要能理解并灵活运用，比如求线面角时，可能转化为斜线段外端点到平面的距离与斜线段的长度的比得线面角的正弦值；距离问题可以用等体积法转化，用这种方法能简化作图、证明与计算的过程．。

直线、平面平行与垂直的判定与性质

与此平面的交线与该直线
平行(线面平行⇒线线平行)
符号语言
因为
l∥a
______，
______，
a⊂α
l⊄α
__
______，
l⊂β
α∩
＝b
______，
所以l∥b
[提醒] 应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件
必须都具备，缺一不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另
一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
[提醒] 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另
一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意
“平面内的直线”．
6.（综合题）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比
西方早1 000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直
于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面
的四棱锥，鳖臑(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图，三棱
柱ABC- A1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱锥B-A1C1CA为阳马，且E，F分别
2.垂直关系中的两个常用结论
(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直．
(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直．
走进高考
1．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
题3图
题4图
4.( 线面垂直 ) 如图，多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，

高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)

l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以

平行与垂直知识点总结

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a 的垂面。

直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。

基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。

CC1推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都垂直相交，交点分别为E,F ，求证：EF//BD 12、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点求证：BCD EF 平面//2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点求证：EFG AC 平面//直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG .四、两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线。

线、面平行和垂直关系的证明

3．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直是常用方法，而其需要证明线面垂直．在证明线线垂直时，要注意特殊图形中的隐含垂直关系，如直棱柱和正棱柱的条件，菱形对角线相互垂直平分，圆中直径所对的圆周角为 90°等．
【针对训练】 1．如图，平面 ABB1A1 为圆柱的轴截面，点 C 为底面圆周上异于 A，B 的任意一点．
热点2 向量法证明平行和垂直
【方法结论】
设空间两条直线 l1，l2 的方向向量分别为 e1，e2，两个
平面 α1，α2 的法向量分别为 n1，n2，则有如下结论：
直线、平面
平行
垂直
l1 与 l2 l1 与 α1 α1 与 α2
e1＝λe2 el11⊄·nα11＝0
n1＝λn2
e1·e2＝0 e1＝λn1 n1·n2＝0
解答题规范踩点多得分
立体几何
线、面平行和垂直关系的证明
[考情分析] 立体几何的解答题着重考查线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
热点题型分析
热点1 综合法证明平行和垂直【方法结论】 1．线、面平行问题解题策略 (1)证明线面平行：利用线面平行的定义、判定定理，面面平行的性质定理、性质等； (2)证明面面平行：利用面面平行的定义、判定定理、垂直于同一直线的两个平面平行、平行于同一平面的两个平面平行； (3)利用线线、线面、面面平行的相互转化．
解 (1)证明：如图所示，连接 BC1.因为 BB1C1C 为菱形，所以 BC1⊥B1C.又因为 AA1B1B 为正方形，所以 AB⊥BB1，因为平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C，平面 AA1B1B∩平面 BB1C1C ＝BB1，AB⊂平面 AA1B1B，所以 AB⊥平面 BB1C1C.又 B1C ⊂平面 BB1C1C，于是 AB⊥B1C.又因为 AB∩BC1＝B，所以 B1C⊥平面 ABC1.因为 AC1⊂平面 ABC1，所以 B1C⊥AC1.

线线平行、线面平行、面面平行的判定方法

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系平行线与垂直线是几何学中十分重要的概念，它们在我们的日常生活中起着重要的作用。

了解平行线和垂直线之间的关系是理解几何学的基础，也是解决各种几何问题的关键。

本文将详细介绍平行线和垂直线的概念以及它们之间的关系。

一、平行线的概念平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

换句话说，平行线之间的距离始终保持相等，可以永远保持平行关系。

平行线的符号表示为“||”。

二、垂直线的概念垂直线是指两条直线相交且相交处的角度为90度的线。

两条直线相交的点称为垂足。

垂直线的符号表示为“⊥”。

三、平行线和垂直线的关系1. 平行线和平行线之间的关系平行线之间不存在任何夹角，它们始终保持固定的平行距离。

通过这一特点，我们可以得到平行线的一些性质：（1）平行线具有相等的斜率。

斜率是指直线上各点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

因此，如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。

（2）平行线具有相等的倾斜角。

倾斜角是指与水平线之间的夹角，因此如果两条直线的倾斜角相等，则它们是平行线。

（3）平行线具有相同的方向。

根据线的方向，我们可以判断两条线是否平行。

如果两条线沿着相同的方向延伸，则它们是平行线。

2. 平行线和垂直线之间的关系垂直线是指两条直线相交且相交处的角度为90度的线。

根据垂直线的性质，我们可以得到平行线和垂直线之间的关系：（1）如果两条直线互相垂直，则它们不能同时是平行线。

换句话说，如果两条直线中有一条直线是平行线，那么它们之间不可能存在垂直关系。

（2）若一条直线与平行线中的一条相交而另一条垂直于这条直线，则这两条直线互相垂直。

这就是垂直线的定义。

（3）如果两条直线互相垂直，并且一条直线与平行线中的一条相交，那么它与另一条平行线也垂直。

通过上述论述，我们可以看出平行线和垂直线之间存在着一种相互排斥的关系。

平行线不会相交，垂直线则是会相交的，相交的角度为90度。

了解平行线和垂直线的关系对于解决几何学问题十分重要。

平行线与垂直直线的关系

平行线与垂直直线的关系在几何学中，平行线与垂直直线是两个重要的概念。

它们之间存在着密切的关系，相互补充和相互影响。

本文将探讨这两种直线之间的关系，以及它们在几何学中的应用。

首先，让我们来回顾一下平行线和垂直直线的定义。

平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

而垂直直线则是指两条直线相交时，交点的两个相邻角度为90度，即形成直角。

这两个概念在几何学中起着重要的作用，为我们理解空间关系提供了基础。

平行线和垂直直线之间的关系可以通过几何证明来说明。

首先，我们可以利用平行线的性质来证明垂直直线的存在。

假设有两条平行线AB和CD，我们可以通过作一条垂直于AB的直线EF，使得EF与CD相交于点G。

根据平行线的性质，角AEG和角CGD是对应角，它们相等。

另一方面，根据垂直直线的定义，角AEG和角CGD是相邻角，它们之和为90度。

因此，我们可以得出结论：如果两条平行线AB和CD存在，那么必然存在一条垂直于AB的直线EF。

反过来，我们也可以利用垂直直线的性质来证明平行线的存在。

假设有一条垂直于平面上的直线EF，我们可以通过作两条与EF垂直的直线AB和CD，使得AB与CD之间的距离保持不变。

根据垂直直线的性质，角AEG和角CGD是相邻角，它们之和为90度。

另一方面，根据平行线的定义，如果两条直线与一条平面上的直线平行，那么它们与该平面上其他直线的交角也相等。

因此，我们可以得出结论：如果存在一条垂直于平面上的直线EF，那么必然存在两条平行线AB和CD。

平行线和垂直直线在几何学中有着广泛的应用。

首先，它们在平面几何中用于构建各种图形和形状。

例如，在绘制矩形时，我们需要确保相对边是平行的，而相邻边是垂直的。

这样才能保证矩形的各个角度都是直角。

此外，在建筑和工程设计中，平行线和垂直直线也被广泛应用于测量和定位。

其次，平行线和垂直直线在解决几何问题时也发挥着重要的作用。

通过利用这些直线的性质，我们可以推导出一些几何定理和定律。