奈奎斯特准则

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t = nTb 处过零， 此即抽样 位置
4

只要系统等效传输函数Heq(ω)具有理想低通形式， 就能使冲激响应无码间干扰。这个结论被称作奈 奎斯特准则（第一准则）


等效传输函数的意思是：将H(ω)在ω轴上以2πRB 为间隔分段，然后把各分段沿ω轴平移到(-πRB， πRB)区间内进行叠加。 准则要求其叠加结果应当为一常数（不必一定是 Tb）。
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误码率与信噪比的关系： 对单极性不归零码(信源等概)： “1”码电平A1 = A ，平均功率为S1＝A2 。 “0”码电平A0 = 0 ，平均功率为S2 = 0 。 信号平均功率为S = P(1)· + P(0) · S1 S0＝A2/ 2 噪声平均功率为N = σn2 信噪比为γ= S / N =A2 / 2σn2, 则单极性不归零码误码率为：

上面移位寄存器的状态具有周期性，且周期长度为15。

设初始状态为0001，则得到的序列为：P212 表6-2
an4 0001001101 01111

n级线性反馈移位寄存器的输出是一周期序列，其周期长
短取决于移位寄存器的级数、线性反馈逻辑和初始状态，

若周期最长，则初始状态非全0即可，关键是线性反馈逻 辑。
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注意：对双极性不归零码，有时并不是以A/2 与-A/2来表示1和0的。 如果用A1=A 表示“1”码电平，平均功率为A2 。 用A0= -A 表示“0”码电平，平均功率也为A2 。 信号平均功率为S = P(1)· 1 + P(0) · 0＝A2。 S S 噪声平均功率为N =σn2 信噪比为γ= S / N =A2 /σn2， 这时双极性不归零码误码率仍为：


(1)信源等概： 将P(1)＝P(0)＝1/2代入上式

解得：Vb*= ( A1 +A0 ) / 2 对于双极性码：A1 =A/2 ，A0 = -A/2，则Vb*=0；

对于单极性码：A1 ＝A，A0 = 0，则Vb*= A/2 ；
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由图可知，只有Vb取在两曲线交点上时，误码 率（阴影）才会最小。 考虑到高斯分布曲线的对称性，此交点位置必 然在( A1 +A0 ) / 2。
判决规则为： x(kTb)＞Vb，判为“1”码 x(kTb)＜Vb，判为“0”码
14
15
图(a)是无噪声影响时的信号波形。 图(b)则是图(a)波形叠加上噪声后的混合波形。
16

噪声是引起误码的基本原因。
由于随机噪声叠加于信号波形上，造成波形畸形。当 噪声严重时，就会在抽样判决时，发生漏报（原“1” 错判成“0”）和虚报（原“0”错判成“1”）。见 上图*号的代码。 误码有两种来源。
复习
1
奈奎斯特准则：

实际系统的传输函数很难具有理想低通的形式。 有没有其它形式的传输函数也能满足：
t = nTb处过 零，此即抽 样位置

把上式的积分区间(-∞,∞)用分段积分代替，每 段长为2π/Tb，则上式可写成：
2

令ω′=ω-2mπ/Tb，变量代换后又可用ω代替 ω′，则有
引入等效系统传输函数:
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五、误码率计算

1、计算基带系统误码率有关的问题时，首先应明确 思路。从系统来分析：

计算信噪比与所采用的码型有关： 单极性γ=A2 / 2σn2,双极性γ=(A1-A0)2/ 4σn2 ； 而噪声功率σn2 =n0B，不归零B=Rb，归零B=2Rb；
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2、使用误码率公式有两种方法
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h(t)的主波峰跨越了3个Tb ；而拖尾每Tb过零一次。
h(t)
h(t)并不满足
h(t)满足
的条件
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以“111100”的响应波形为 例：



若用h(t)作为传送波形，码元间隔为Tb，显然每个Tb 并非都是过零点。在每个Tb时刻抽样，确有串扰。 然而，在(n+1/2)Tb时刻抽样，串扰只发生在相邻两码 元之间。每个抽样值等于该时刻本码元的值加上前一 码元的值。������ 相邻码元极性相反时贡献相抵消，相邻码元极性相同 时贡献相迭加。 10
扰码以线性反馈移位寄存器理论为基础。5级扰码及解 扰电路如下图所示。
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由图可见，扰码电路输出为 bn＝cn an3 an5 ， 而解扰输出为 c ＝b a a ，若传输无差错，则 ˆn ˆn n3 n5 设输入是周期为6的序列000111000111…，按上述关系扰 码后，变成了周期是186的序列。
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抽样电平: x(t)=s(t)+nR(t)=

A1+nR(t)，发送“1”码时 A0+nR(t)，发送“0”码时 其中，A1为“1”码电平值，A0 为“0”码电平值。

Байду номын сангаас
对单极性码，A1＝A，A0=0 。 对双极性码，A1＝A/2 ，A0= -A/2 。 设Vb为判决基准电平值（阈值电平），
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发送“0” 时
发送“1” 时 漏报概率
虚报概率
19
因此，误码率为：
以双极性二进制 基带信号为例， x(t)概率密度曲 线如图：
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三、最佳判决门限电平（最佳阈值）


在A1 、A0和σn2一定的条件下，可以找到一个 使误码率最小的判决门限电平Vb*，这个门限 电平称为最佳门限电平。 设
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6


[例1] 系统传输函数如图所示。问采用下列码率传输 数据时有无码间串扰？ (1)1000Baud；(2)2000Baud；(3)3000Baud。
解：首先判断它能平移迭加 得到理想低通形式；从而求 得到BN=1000Hz，进而得到 RBmax=2000B;


与各码率比较，判知(2)无码间串扰。(3)有码间串扰。 而(1)的码率1000Baud是RBmax的1/2倍，也无码间串 扰
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[例2] 要求以2/T波特的码率传输数据，问采用 下列系统传输函数时是否有码间串扰？


将H(ω)在ω轴上以4π/ T为间隔分段，然后把各分 段沿ω轴平移到(-2π/ T , 2π/ T)区间内进行叠加。 按准则要求，其叠加结果为一常数时则无码间干 扰，不是常数则存在码间干扰。 (1) (2) (4)存在码间干扰。(3)满足无码间干扰条件。
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(2)信源不等概

P(1)≠P(0) 时，对于双极性码
解得 对于单极性码（A1＝A ，A0 =0)
解得
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四、(信源等概时的)误码率公式：

无论单极性码还是双极性码，最佳门限电平公 式是一样的：Vb*= ( A1 +A0 ) / 2；将它代入 Pe公式，同时设
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利用误差函数 互补误差函数 则误码率公式
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6.6.1 m序列的产生和性质
m序列是一种最常见的伪随机序列，它是最长线性 反馈移位寄存器序列的简称，并具有最长周期。

反馈逻辑
图中示出了4级移位寄存器，其中有3,4级经模2加法器反馈 到第1级。符合下式：
an an3 an4
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任何一级寄存器的输出，在脉冲的触发下，都会产生一 寄存器序列。
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结论：（对于等概信源）
误码率公式统一表达为： 在用信噪比表达的情况下 单极性码为

双极性码为
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Pe与γ曲线 (1) 在信噪比γ相同条件下， 双极性误码率比单极性低， 抗干扰性能好。 (2) 在误码率相同条件下， 单极性信号需要的信噪功 率比要比双极性高3dB 。 (3) Pe~ γ曲线总的趋势是 γ↑，Pe↓，但当γ达到一定 值后，γ↑，Pe将大大降低。
（3） F(x)不能整除 x q 1 ，这里 q p 。
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例如，对4级移位寄存器，有 应能整除 x 1
15
p 24 1 15
，F ( x)
x15 1 可进行如下因式分解： ，而
x15 1 ( x 4 x 1) ( x 4 x3 1) ( x 4 x3 x 2 x 1) ( x 2 x 1) ( x 1)

m序列性质： （1）由n级移位寄存器产生的m序列，其周期为
2n 1
（2）n级移位寄存器输出的各种状态（全0除外）都在m序
列的一个周期内出现，而且只出现一次；m序列中1和0的出
现概率大致相同，1码只比0码多1个。
（3）在一个序列中连续出现的相同码称为一个游程，连码 的个数称为游程的长度。
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6.6.2 扰码与解扰原理


定义误码率Pe为发生漏报和虚报的概率之和


设P(S1)和P(S0)为发端发送“1”码和“0”码的概率, Vb为判 决门限电平值（阈值电平），则: P [x< Vb| S1 ] = P(0 | 1)

表示发出“1”码而错判为“0”码的概率（漏报概率）
表示发出“0”码而错判为“1”码的概率（虚报概率）
5

判断一个系统有无码间干扰，不仅要看它的传输 函数经分段、平移、叠加后的等效传输函数是否 具有理想低通形式，还要看等效传输函数的带宽 是否与所设定的码率匹配。
定义等效传输函数的带宽BN叫做奈奎斯特 带宽。它与所设定的码率的关系为： BN = 1/2Tb= RB/2 或RB = 2BN


BN是无码间串扰的理想系统带宽，或者说基带传 输的带宽最佳利用率为2波特/赫兹。

由于 x5 1 ( x 4 x3 x 2 x 1) ( x 1) ，所以
x x x x 1 不是本原多项式，而前两个 因子都是，且是互逆的，找到了一个，另一个可直
4 3 2
接写出来。
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本原多项式的计算结果已列在表6-3中，这里给出了只有三 项或项数最少的本原多项式。

①查表法：查附录C的《Q函数和误差函数》， 利用以下关系式：
对单极性码 对双极性码
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②近似法：（当x ≥3，即Pe≤10-5 时）

对单极性码

对双极性码
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6.6 扰码与解扰(简介)


在数字信号的传输中，发送端往往要加扰码 器，相对应的接收端要加解扰器。将二进制数 字信息先作“随机化”处理，变为伪随机序列， 限制连“0”码的长度。这种“随机化”处理称 为“扰码”。 这种“随机化”处理的目的主要有： 1) 便于提取比特定时信息； 2) 使信号频谱扩散，周期不长的数字基带信 号其频谱集中，并含有相当大的线谱，而易于 造成对其它系统的干扰。

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对双极性不归零码(信源等概) ：

“1”码电平A1 ＝A / 2 ，平均功率为A2 / 4 。 “0”码电平A0 = -A / 2 ，平均功率为A2 / 4 。

信号平均功率为 S = P(1)· 1 + P(0) · 0＝A2/ 4 S S 噪声平均功率为 N = σn2 信噪比为γ= S / N =A2 / 4σn2, 则双极性不归零码误码率为
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一般形式的n级线性反馈移位寄存器见下图。
其反馈逻辑表达式为：
an C1an 1 C2 an 2 Cn a0 Ci an i
n i 1
其中， i 1 表示连线贯通， Ci 0 表示连线断开。 C
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设 an C0 an (C0 1) ，则有 0
蓝色
红色 金色
11
6.5.1 二元码的误比特率



码间串扰和信道噪声是影响接收端 正确判决而造成误码的两个因素。 本节则在无码间串扰的条件下，讨 论噪声对基带信号传输的影响，即 计算噪声引起的误码
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一、误码的产生
只考虑噪声的基带信号传输模型如下图所示。
假设无噪声的基带信号为s(t)，混入信号中的噪 声为nR(t)，则接收滤波器的输出是信号加噪声 的混合(抽样电平): x(t)=s(t)+nR(t)

P [x> Vb| S0 ]= P(1 | 0)


总误码率为:

Pe= P(S1)· P(0| 1) + P(S0)· P(1| 0)
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信道加性噪声n(t)通常被假设为均值为0、方 差为σn2 的平稳高斯白噪声，kTb时刻的抽样 值服从高斯概率密度函数：


式中，x是噪声的瞬时取值nR(kTb)。 无噪声情况下，“1”码电平为A1，“0”码电 平为A0， 迭加上噪声后，抽样值x 的分布分别就应当是 以A1和A0为中心值的高斯概率密度函数。

C a
i 0
n
i n i
定义多项式 F ( x)


i 0
n
Ci x i ，其中i表示元素的位置。
该多项式称为线性反馈移位寄存器特征多项式。

可以证明，当F(x) 满足下列3个条件时，就一定能产生m序
列：
（1） F(x) 是不可约的，即不能再分解因式；
（2） F(x)可整除 x p 1，这里 p 2 n 1；