幂级数练习题
幂级数展开式例题
幂级数展开式是一个重要的数学概念，下面是一个例题，用1500字回答：【例题】利用幂级数展开式求下列函数的近似值（取$n = 20$）：$f(x) = \frac{1}{1 + x} \approx \frac{1}{2} + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{3x^{3}}{3} + \frac{6x^{4}}{4} + \ldots$【解答】首先我们要理解题目中提到的幂级数展开式：$f(x) = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty}(- 1)^{n + 1} \cdot x^{n}$在求解近似值时，我们可以利用这个公式进行近似计算。
为了求解函数的近似值，我们需要先计算幂级数的和函数。
将式子变形，可以得到：$\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \ldots$即：$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$其中，$a_{n}$是第$n$项的系数。
接下来，我们根据题目要求，取$n = 20$，即取幂级数的第$20$项及其以后的项。
根据幂级数展开式，可以得到第$n$项的系数为：$a_{n} = (- 1)^{n + 1}$而幂级数的和函数为：$f(x) = \sum_{n = 0}^{20}a_{n}x^{n}$根据题目要求，我们可以直接代入计算：$f(x) \approx 1 - x + x^{2} - \frac{5}{3}x^{3} + \frac{46}{7}x^{4}$为了求出更精确的近似值，我们可以通过插值法求出第$n$项的值，再将其代入到和函数中。
具体方法为：令幂级数的第$n$项等于一个已知值（例如$x = 0.5$），再求出该项的系数，即可得到近似值。
在求解近似值时，我们需要注意以下几点：1. 幂级数展开式是一个重要的数学概念，需要熟练掌握其性质和公式。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。
2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为nn n a x∞=∑11(1)n nn na x ∞+=-∑。
2、幂级数的收敛域为 。
0(21)nn n x∞=+∑3、幂级数的收敛半径 。
211(3)2n n nn n ∞-=-+∑R =4、幂级数的收敛域是 。
n ∞=5、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-∑6、级数的和为 。
(ln 3)2nnn ∞=∑7、。
111()2n n n ∞-==∑8、设函数 的傅里叶级数展开式为2()f x x x π=+()x ππ-<<，则其系数的值为。
1(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b 9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩0,0,x x ππ-<≤<≤2πx π=敛于。
10、级数的和 。
11(1)(2)n n n n ∞=++∑11、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑参考答案：1、 2、 3、 4、 5、(2,4)-(1,1)-R =[1,1)-(0,4)6、7、8、9、10、11、22ln 3-423π212π14(0,4)二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。
0λ>21n n a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与有关λ2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
2n n n a a p +=2n nn a a q -= 1.2n = （A ）若条件收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（B ）若绝对收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（C ）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。
1nn a ∞=∑1nn p ∞=∑1nn q∞=∑（D ）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
无穷级数练习题
无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。
2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。
3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。
4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。
2) \cup (2.\infty)$。
5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。
6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。
7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。
8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。
9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。
& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。
习题课2幂级数
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
第十四章幂级数练习题(2021
第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。
幂级数测试题
幂级数测试题第十四章幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。
（B）在内某些点处非绝对收敛。
（C）的收敛半径大于。
（D）对任意的，在上一致收敛。
．2。
若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为; (D)当时发散。
3．幂级数级数的收敛域是(A) (B)(C) (D)4．若幂级数的收敛半径为R,那么(A), (B) ,(C), (D)不一定存在 .5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
6. 如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；(C) 当时,发散；(D) 当时,发散7..设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处A 全是发散的. B. 全是收敛的C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散9. 函数展开成的幂级数的方法是.10. 幂级数的收敛域为答案: 1—10 DDBDA ADDDA填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间为__________.3.级数的和函数为_________.4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛域是__________.5. 与有相同的___________.6. 的幂级数展开式_________________.7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.9. 的幂级数表达式____________.10. 级数在区间_________收敛.答案： 1. .4. ( -1, 1)5. 收敛区间.. 6.7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数.2. 求幂级数的收敛域及和函数.3. 求幂级数的收敛半径与收敛域( 1)4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.5. 求函数在x=1处泰勒展开式.6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.7. 将展成x的幂级数.8. 求幂级数的和函数.9. 试求幂级数的收敛区域及和函数10. 设，确定的连续区间，并求积分的值答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域为( -1, 1 ), 令, 则,.2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,3. ( 1 ) 解记, 由于, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .( 2 ) 解记因为所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].4. 解而而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时5. 解因.6. 设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程, 得.7. 解易看出, 而两边求导, 得.8.级数的和函数为9. 由于级数在上收敛，所以当时，有10. 因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，且可逐项积分。
幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。
⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。
13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。
7.4 幂级数-习题
1．求下列级数的收敛域： ⑴1()nn nx ∞=-∑；【解】将级数1()nn nx ∞=-∑化为幂级数，得1()nn nx ∞=-∑1(1)nnnn n x∞==-∑，即由1lim n n na a +→∞11(1)(1)lim (1)n n n n n n n ++→∞-+=-(1)lim (1)n n n n n n →∞+=+ 1lim(1)(1)n n n n→∞=++=∞， 得级数1()nn nx ∞=-∑的收敛半径0R =,可知级数1()nn nx ∞=-∑的收敛域为{}0。
⑵124(2)nn x n ∞=⋅∑L ；【解】由1limn n na a +→∞124(2)(22)lim 124(2)n n n n →∞⋅+=⋅L L 24(2)lim 24(2)(22)n n n n →∞⋅=⋅+L L 1lim022n n →∞==+得级数124(2)nn x n ∞=⋅∑L 的收敛半径R =∞,可知级数124(2)nn x n ∞=⋅∑L 的收敛域为(,)-∞+∞。
⑶21(1)nnn x n ∞=-∑；【解】由1limn n na a +→∞1221(1)(1)lim 1(1)n n n n n+→∞-+=-21lim 1(1)n n →∞=+1=，得级数21(1)nnn x n ∞=-∑的收敛半径1R =，当1x =-时，幂级数为211n n∞=∑，为收敛的P 级数（21P =>）， 当1x =时，幂级数为211(1)nn n ∞=-∑，由于211n n ∞=∑为收敛的P 级数，知211(1)n n n ∞=-∑是绝对收敛的交错级数，可知级数21(1)nnn x n ∞=-∑的收敛域为[1,1]-。
⑷21(2)1nn x n ∞=+∑；【解】将级数21(2)1n n x n ∞=+∑化为标准幂级数，得21(2)1n n x n ∞=+∑2121n nn x n ∞==+∑由1limn n na a +→∞1222(1)1lim 21n n n n n +→∞++=+221lim 2(1)1n n n →∞+=++22211lim 211(1)n n n n →∞+=++2=， 得级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径12R =，当12x =-时，级数为21(1)1nn n ∞=-+∑，绝对收敛；当12x =时，级数为2111n n ∞=+∑，收敛，可知级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛域为11[,]22-。
幂的运算专项练习50题(有答案)
幂的运算专项练习50题（有答案）1．2. （4ab2）2×（﹣a2b）33．（1）；（2）（3x3）2•（﹣x）；（3） m2•7mp2÷（﹣7mp）；（4）（2a﹣3）（3a+1）．4．已知a x=2，a y=3求：a x+y与a2x﹣y的值．5．已知3m=x，3n=y，用x，y表示33m+2n．6．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d 的大小．7．计算：（﹣2 m2）3+m7÷m．8．计算：（2m2n﹣3）3•（﹣mn﹣2）﹣29．计算：．10．（﹣）2÷（﹣2）﹣3+2×（﹣）0．11．已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．12．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．13．已知3×9m×27m=316，求m的值．14．若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值．15．计算：（x2•x3）2÷x6．16．计算：（a2n）2÷a3n+2•a2．17．若a m=8，a n =，试求a2m﹣3n的值．18．已知9n+1﹣32n=72，求n的值．19．已知x m=3，x n=5，求x2m+n的值．20．已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n+1的值．21．（x﹣y）5[（y﹣x）4]3（用幂的形式表示）22．若x m+2n=16，x n=2，（x≠0），求x m+n，x m﹣n的值．23．计算：（5a﹣3b4）2•（a2b）﹣2．24．已知：3m•9m•27m•81m=330，求m的值．25．已知x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，求a+b的值．26．若2x+3y﹣4=0，求9x﹣1•27y．27．计算：（3a2x4）3﹣（2a3x6）2．28．计算：．29．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．30．已知162×43×26=22m﹣2，（102）n=1012．求m+n的值．31．（﹣a）5•（﹣a3）4÷（﹣a）2．32．（a﹣2b﹣1）﹣3•（2ab2）﹣2．33．已知x a+b•x2b﹣a=x9，求（﹣3）b+（﹣3）3的值．34．a4•a4+（a2）4﹣（﹣3x4）235．已知（x5m+n y2m﹣n）3=x6y15，求n m的值．36．已知a m=2，a n=7，求a3m+2n﹣a2n﹣3m的值．37．计算：（﹣3x2n+2y n）3÷[（﹣x3y）2]n38．计算：（x﹣2y﹣3）﹣1•（x2y﹣3）2．39．已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n的值40．已知n为正整数，且x3n=7，求（3x2n）3﹣4（x2）3n 的值．41．若n为正整数，且x2n=5，求（3x3n）2﹣34（x2）3n 的值．42．计算：（a2b6）n+5（﹣a n b3n）2﹣3[（﹣ab3）2]n．43．．44．计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）45．已知x a=2，x b=6．（1）求x a﹣b的值．（2）求x2a﹣b 的值．46．已知2a•27b•37c=1998，其中a，b，c为整数，求（a﹣b﹣c）1998的值．47．﹣（﹣0.25）1998×（﹣4）1999．48．（1）（2a+b）2n+1•（2a+b）3•（2a+b）n﹣4（2）（x﹣y）2•（y﹣x）5．49.（1）（3x2y2z﹣1）﹣2•（5xy﹣2z3）2．（2）（4x2yz﹣1）2•（2xyz）﹣4÷（yz3）﹣2．50．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．（1）a2b3（2a﹣1b3）；（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．幂的运算50题参考答案：1．解：原式=4﹣1﹣4=﹣1；2. 原式=16a2b4×（﹣a6b3）=﹣2a8b73．解：（1）原式=（﹣5）×3=﹣15；（2）原式=9x6•（﹣x）=﹣9x7；（3）原式=7m3p2÷（﹣7mp）=﹣m2p；（4）原式=6a2+2a﹣9a﹣3=6a2﹣7a﹣3．故答案为﹣15、﹣9x7、﹣m2p、6a2﹣7a﹣3 4．解：a x+y=a x•a y=2×3=6；a2x﹣y=a2x÷a y=22÷3=5．解：原式=33m×32n，=（3m）3×（3n）2，=x3y26．解：a=（25）11=3211；b=（34）11=8111；c=（43）11=4811；d=（52）11=2511；可见，b＞c＞a＞d7．解：（﹣2m2）3+m7÷m，=（﹣2）3×（m2）3+m6，=﹣8m6+m6，=﹣7m68．解：（2m2n﹣3）3•（﹣mn﹣2）﹣2=8m6n﹣9•m﹣2n4= 9．解：原式=（﹣4）+4×1=010．解：原式=÷（﹣）+2×1=﹣2+2=011．解：∵2x=4y+1，∴2x=22y+2，∴x=2y+2 ①又∵27y=3x﹣1，∴33y=3x﹣1，∴3y=x﹣1②联立①②组成方程组并求解得，∴x﹣y=312．解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=813．解：∵3×9m×27m，=3×32m×33m，=31+5m，∴31+5m=316，∴1+5m=16，解得m=314．解：∵（a n b m b）3=（a n）3（b m）3b3=a3n b3m+3，∴3n=9，3m+3=15，解得：m=4，n=3，∴2m+n=27=12815．解：原式=（x5）2÷x6=x10÷x6=x10﹣6=x416．解：（a2n）2÷a3n+2•a2=a4n÷a 3n+2•a2=a4n﹣3n﹣2•a2=a n﹣2•a2=a n﹣2+2=a n17．解：a2m﹣3n=（a m）2÷（a n）3，∵a m=8，a n =，∴原式=64÷=512．故答案为51218．解：∵9n+1﹣32n=9n+1﹣9n=9n（9﹣1）=9n×8，而72=9×8，∴当9n+1﹣32n=72时，9n×8=9×8，∴9n=9，∴n=119．解：原式=（x m）2•x n=32×5=9×5=4520．解：由题意得，9n=32n=2，32m=62=36，故32m﹣4n+1=32m×3÷34n=36×3÷4=2721．解：（x﹣y）5[（y﹣x）4]3=（x﹣y）5[（x﹣y）4]3=（x﹣y）5•（x﹣y）12=（x﹣y）1722．解：∵x m+2n=16，x n=2，∴x m+2n÷x n=x m+n=16÷2=8，x m+2n÷x3n=x m﹣n=16÷23=223．解：（5a﹣3b4）2•（a2b）﹣2=25a﹣6b8•a﹣4b﹣2=25a﹣10b6=24．解：由题意知，3m•9m•27m•81m，=3m•32m•33m•34m，=3m+2m+3m+4m，=330，∴m+2m+3m+4m=30，整理，得10m=30，解得m=325．解：∵x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，∴，解得：，则a+b=1026．解：∵2x+3y﹣4=0，∴2x+3y=4，∴9x﹣1•27y=32x﹣2•33y=32x+3y﹣2=32=927．解：（3a2x4）3﹣（2a3x6）2=27a6x12﹣4a6x12=23a6x12 28．解：原式=•a2b3=29．解：∵16m=4×22n﹣2，∴（24）m=22×22n﹣2，∴24m=22n﹣2+2，∴2n﹣2+2=4m，∴n=2m①，∵（33）n27n=9×3m+3，∴（33）n=32×3m+3，∴33n=3m+5，∴3n=m+5②，由①②得：解得：m=1，n=2，∴（n﹣m）2010=（2﹣1）2010=130．解：∵162×43×26=28×26×26=220=22m﹣2，（102）n=102n=1012．∴2m﹣2=20，2n=12，解得：m=11，n=6，∴m+n=11+6=1731．原式=（﹣a）5•a12÷（﹣a）2=﹣a5+12÷（﹣a）2=﹣a17÷a2=﹣a15．32．解：（a﹣2b﹣1）﹣3•（2ab2）﹣2=（a6b3）•（a﹣2b﹣4）=a4b﹣1=33．解：∵x a+b•x2b﹣a=x9，∴a+b+2b﹣a=9，解得：b=3，∴（﹣3）b+（﹣3）3=（﹣3）3+（﹣3）3=2×（﹣3）3=2×（﹣27）=﹣54 34．解：原式=a8+a8﹣9x8，=2a8﹣9x835．解：（x5m+n y2m﹣n）3=x15m+3n y6m﹣3n，∵（x5m+n y2m﹣n）3=x6y15，∴，解得：，则n m=（﹣9）3=﹣24336．解：∵a m=2，a n=7，∴a3m+2n﹣a2n﹣3m=（a m）3•（a n）2﹣（a n）2÷（a m）3=8×49﹣49÷8=37．解：（﹣3x2n+2y n）3÷[（﹣x3y）2]n，=﹣27x6n+6y3n÷（﹣x3y）2n，=﹣27x6n+6y3n÷x6n y2n，=﹣27x6y n38．解：（x﹣2•y﹣3）﹣1•（x2•y﹣3）2，=x2y3•x4y﹣6，=x6y﹣3，=39．解：（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n，=（a2m）3﹣（b3n）2+a2m•b3n，=23﹣32+2×3，=540．解：原式=27x6n﹣4x6n=23x6n=23（x3n）2=23×7×7=112741．解：∵x2n=5，∴（3x3n）2﹣34（x2）3n=9x6n﹣34x6n=﹣25（x2n）3=﹣25×53=﹣312542．解：原式=a2n b6n+5a2n b6n﹣3（a2b6）n=6a2n b6n﹣3a2n b6n=3a2n b6n43．解：原式=（）50x50•（）50x100=x15044．解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），=a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，=045．解：（1）∵x a=2，x b=6，∴x a﹣b=x a÷x b=2÷6=；=（2）∵x a=2，x b=6，∴x2a﹣b=（x a）2÷x b=22÷6=46．解：∵2a•33b⋅37c=2×33×37，∴a=1，b=1，c=1，∴原式=（1﹣1﹣1）1998=147．解：原式=﹣（）1998×（﹣4）1998×（﹣4），=﹣（）1998×41998×（﹣4），=﹣（×4）1998×（﹣4），=﹣1×（﹣4），=448．解：（1）原式=（2a+b）（2n+1）+3+（n﹣4）=（2a+b）3n；（2）原式=﹣（x﹣y）2•（x﹣y）5=﹣（x﹣y）749．解：（1）原式=（）﹣2•（）2=•=；（2）原式=•÷=•y2z6=150．解：（1）a2b3（2a﹣1b3）=2a2﹣1b3+3=2ab6；（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，=a6b3c﹣3，=；（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，=2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），=8a4b6c﹣6，。
幂级数测试题
上一致收敛。
2。
若幕级数 在T 二-处收敛，在L 二-弓处发散，则该级数(A)在芜二上处发散; (B)在2 处收敛;(C)收敛区间为(D)当＞3时发散。
3 •幕级数级数的收敛域是(A)-(B)lim 也(D) -•”不一定存在第十四章幕级数工皿£{X单选题：1设幕级数二的收敛半径为 R 1则下列断语中正确的是「：1内某些点处非绝对收敛。
(B)卜(D)--2＞用 4.若幕级数 的收敛半径为 R,那么(C )的收敛半径大于r > 0,(D )对任意的 -上一致收敛。
a(A)'—R«-SO(A)是」''的麦克劳林级数; (B)不一定是」•—的麦克劳林级数; 5•如果-「，能展开成7的幕级数，那么该幕级数6.如果，则幕级数7(A)当''：时,收敛; (B)当y、时,收敛;X (C)当£-时，发散;^|>1(D)当 /时，发散『⑴二9.函数的幕级数的方法是工10.幕级数■-■的收敛域为E偽G +鸾7..设级数在':二一-处是收敛的，则此级数在二=-处(A)发散；(C)条件收敛；(B)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。
8幕级数二■“」—'在其收敛区间的两个端点处A全是发散的• B.全是收敛的C.左端点发散，右端点收敛. D左端点收敛，右端点发散1 « , *J M-01 1 1 1 g fj■ —兀3 1九Q 331 1心f畫_ 3寸⑹丄二£丫(一1珂琴(-3<z<3) 3H_0 < 3 )(D)一二二-们(0<A<6)A J B-0 \ /(&[-2,2] ⑻(-2.2) (O (-2,2] (2?) [-2,2)(_g叔)答案：1 —10 DDBDA ADDDAB1填空题：1.若幕级数：」(a >0)在I C l - tJ ：-内收敛,则戈应满足是一等差数列「「：则幕级数收敛收敛.(0 3 <]). 答案：1. '2.(-3弋1)3. E (x)-1 —工十士务肆士血念+ 1），2.设幕级数―-的收敛半径为2,则级数的收敛区间为 __________ .3•级数1+丸17）+“（1-対4”.+ /（1-期*"・的和函数为域是 __________VDv V VM-1乙私沁 L 叫工 5. 41 与池-1有相同的 ____________6. -二工的幕级数展开式7. 幕级数只有在 __________ 区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幕级数 _____________ 不变. △•I9. 如-* *的幕级数表达式 __________________ . 10. 级数■- ■' ■■- ■■' - '" ' 1■-在区间4. ( -1, 1)5.收敛区间.: * j1.求幕级数’i 的收敛域及和函数2. 求幕级数.Ll'--的收敛域及和函数3. 求幕级数的收敛半径与收敛域6.(-00 <x < +00)7.收敛.8.收敛半径. 计算题Z 9. 用-1申丄---- X w!S咗 1 1 Q工於迟（1+£ +…+5 ⑵工才5. 求函数’八 -■ —'' -■■'-、在x=1处泰勒展开式.22禺己6. 设幕级数匚’’ 当；•、1时有|lx. 1且＜1求该幕级数的函数•7•将-''_ 1■' ■展成x的幕级数.口7 叫愛8. 求幕级数的和函数.Z 加+9. 试求幕级数的收敛区域及和函数lim答案：1.解因1 且当?. - 时级数都发散，故该级数的收敛域10.设'「,确定-“的连续区间，并求积分的值(1^1<为(-1, 1 ),令「_/ (◎盈=：甘(IM v 1)恥恤心+ \二12.解：收敛半径’'1''1,当v=±-时,原级数发散，故原级数的收敛域为(-1, 1 ).设其和函数为J 1'也X)=工/心+ 口尹=J为城总+ 1)才7 = X工仗+ 1)护JE-1CD-lim帛T ■讐lim2B +lim —20 12-H 30W>1所以收敛半径 R=1,收敛域为［-1, 1 ].ln(l — =-d1 Ia* = 1 + — + ■■■-!■—3. ( 1 )解记，由于=1,故收敛半径R=1,收敛区间为（-1, 1 ）当'1时,由于'；w ■-：1,故级数发散,所以该级数的收敛域为（-1, 1 ）.血=9（2 ）解记 二 因为•J /(r) = lii(l+ z+? + ?+x 4) = lnt 匕二 0丰1)4.解 1一 •'•-Infl- x 5) - lnfl- x)疋 工Xln(l — 2C)=— 盂 1 - - ----- - -I 2 3 用 (,?°0 尹〕z H — H 1d —2 3甘 丿耳盅pi 丄乙一2,-乳,.而级数与 的收敛域都是［-1, 1 ］,故当-•时ln(l + x+?+^ + /) = lnfl-z 3) - x)5卍X + ----- -- ------ --- \「3H兀X2 n2 «5.解因炖皿 AD=(2-8Z -F21?)|^=15rW = (-3+42^) |^=34F 广〔1)=42. 严(l)"g4)../(x) =£ + 15(Z -1) + U(^-1)3+ 7(X -1)\ X e (-00,400)E（沪Z轴F=瓦叫产' 6.设和函数则II 21II 2!两边求导，得8.级数的和函数为畑十洽斗+，吃字—心也卫功=£（一1）叫片=北刀（一1）沖/右1=X 送(_1)林%JC鼻! S!"l3即^）-;?w = o?^（o）= ^=<住（0）= ^ = 1.屯、E㈤二？才十3尸解上述关于」」的二阶微分方程，得二 - .7. 解易看出• f ，r',而2 2Jx* - r（l+—+ —+ …）=r+—--1--—丰…9.由于级数在一「上收敛,所以当’L 一时，有=22 ②+ 1)疋=2迟Mr1+ 迟F(Tio.因为幕级数的收敛域是一•••，所以/W 在一・上的连续,4.设©二如=1.% =比+碍M◎二23严匚证明当5. N-0的收敛半径分别为-'4'Z仏+編片幕级数绝对收严、- 1丿+貞）且可逐项积分。
4函数展开成幂级数 练习题没有做
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为 利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
高等数学幂级数专项练习
幂级数专题训练解题策略4 利用幂级数的求和公式利用幂级数的求和公式求数列的极限，其原理是： 设有幂级数n n nx a∑∞=1，我们想办法求出其和函数)(x S （怎样求和函数见注解），则)(1x S x ann n=∑∞=，即)( (2211)x S x a x a x a x a n n n n n =++++=∑∞=，令0x x =，则有)(......0020201x S x a x a x a nn =++++，而 )...(lim ......020*********nn n n n x a x a x a x a x a x a +++=++++∞→，于是 )()...(lim 0020201x S x a x a x a nn n =+++∞→，即无穷多项相加的数列的极限求出了。
注解 怎样求幂级数n n nx a∑∞=1的和函数)(x S 呢？一般来说，有这几种情况：（1）若n n nx a∑∞=1是等比级数，则利用等比数列的求和公式即可；例如：级数.....12642++++++n x x x x 是公比为2x q =的等比级数，因此其和为2264211 (1x)x x x x n -=++++++，且12<=x q ； 注意求等比级数的和时，一定要注明公比属于1-和1+之间。
（2）若n n nx a∑∞=1不是等比级数，但将其逐项求导后是等比级数，则先求导变成等比级数求出和函数，再通过积分变回原级数的和函数。
例如，级数 (1)2)1( (7531)21753+--++-+--+n x x x x x n n 不是等比级数，但将其求导后有...)1( (1221)642+-++-+--+n n x x x x 是一个公比为2x q -=的等比级数，于是依据等比级数的求和公式有222164211...)1( (1x)x x x x n n +=+-++-+--+，且12<-=x q （即1<x ）， 于是两边积分有⎰⎰+=+-++-+--+xxn n dx x dx xx x x 0222164211]...)1(...1[，即有x x dx x n x x x x x xx n n arctan arctan 11 (1)2)1( (7530021)21753==+=+--++-+-⎰-+，且1<x 。
幂级数求和问题
当 时，级数可能绝对收敛,可能条件收敛，也可能发散.
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
注:
求幂级数的收敛域,应先求出收敛半径和收敛区间,再考虑区间端点的敛散性,而区间端点的敛散性可转化为数项级数敛散性的判别.
３. 利用幂级数的性质,可以求一些幂级数的和函数.
注:
• 求部分和式极限
三、幂级数和函数的求法
求和
• 映射变换法
逐项求导或求积分
对和函数求积或求导
难
直接求和: 直接变换,
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
求部分和等
• 初等变换法: 分解、套用公式
（在收敛区间内）
• 数项级数 求和
将所给函数展开成 幂级数.
2. 间接展开法
(2) 展成 的幂级数,也就是在点 处展开.
将g (t) 展成t的幂级数,
然后将展开式中的t再换成
例8.
解:
定理2.
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
设 f (x) 所展成的幂级数为
即是此种情形.
的情形, 即
称
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
时该幂级数发散 ,
则对满足不等式
发 散
发 散
收 敛
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;