北京大学量子力学课件 第1讲

2c n 2e
c 2 10 15 忒斯拉 米 2 e
扫描描隧穿穿显微镜镜
铀原子
扫描电子显微镜
பைடு நூலகம்
经典物理学的失效
§1.1 辐射的微粒性 （1）黑体辐射 所有落到（或照射到）某物体上的辐射完 全被吸收，则称该物体为黑体。 被吸收 则称该物体为黑体 G. Kirchhoff（基尔霍夫）证明，对任何一个 物体 辐射本领 E( , T ) 与吸收率 A( , T ) 之比 物体，辐射本领 是一个与组成该物体的物质无关的普适函数， 是 个与组成该物体的物质无关的普适函数，
2 hc 2 5 (e hc kT 1) 1 d
2 h kT 4 3 x ( ) x (e 1) 1 dx c2 h
2(kT)4 c 2h3
3 nx x e dx
n 1

2 k 4 c2h3
T4 6
2 k 4 T 4 2 3 15c h n 1 n
而一旦深入到分子、原子领域， 而 旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解。
（1） 为什么原子不坍塌； （2） 光谱线为什么是分立的； （3） 纳蒸汽为什么会发射黄光，即有标志谱 （4） 为什么重核会发生α衰变。
存在与经典物理学的概念 完全不相容的崭新的实验事实
a 辐射的微粒性； a. b. 物质粒子的波动性； c. 物理量的“量子化”，即测量 值取分立值或某些确定值。
这一非经典的辐射模式的假设，得到如此好的 结果 当然并非偶然 它含有很深的物理内容 结果，当然并非偶然，它含有很深的物理内容。 （3）光电效应： 这种分立能量模式的假设被 A. A Einstein接受 A. Einstein 对辐射与粒子的能量交换过程，认 为是以“微粒”形式出现，以解释使人们费解的 光电效应。 光电效应
①
当 kT hc h （高频区）
2hc hc kT E( , T) e 5
2
Wein公式
当 kT hc （低频区）
2c E( , T) 4 kT
Rayleigh–Jeans公式
② Stefan-Boltznmann law
R ( T ) E ( , T ) d
d E( , T )d E( , T ) d d c E ( , T ) d d d c E( , T ) d 2
2 E( , T ) E( , T ) c
焦耳 米 秒
3
A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领 E( , T ) 与 的 变化关系
1905年，A. Einstein假设一束单色光由辐射 能量大小为 h 的量子组成，即假设光与物质 的量子组成 即假设光与物质 粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种 粒子交换能量时 是以 微粒 形式出现 这种 h 。 “微粒”带有能量 电子要飞离金属 必须克服吸引而做功（克 电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克 服脱出功），所以飞出电子的动能
光电效应的主要现象：当单色光照射到金 光电效应的主要现象 当单色光照射到金 属表面上，有这样一些使人迷惑的现象 使 现 ： A．发射光电子依赖于频率，而与光强度 无关 要有光电子发射 光频率就必须大于某 无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某 一值，即有一最低频率。 值，即有 最低频率。 B．当照射光的频率 min 时，发射出的 光电子动能大小与光强度无关 而仅于光频率 光电子动能大小与光强度无关，而仅于光频率 有关。
D. P. A. M. Dirac
E. R. P. Feynman Lectures on Physics Vol.3 F. J. J. Sakurai Modern Quantum Mechanics (1995)
I L I. L. I I. S Schiff hiff J. A. Messiah
e
nh kT
n 0
e

nh kT
E nh e nh kT
n 0

n 0
nh kT e

d nx h e dx n 0
n 0
nx e

d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx
RJ
B．斯特藩－玻尔兹曼定律（StefanB lt Beltzmann l ） law 他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位 现 位 位 4 面积上发射的能量）是与绝对温度 T 成正比
E( ( , T)d ) T
4
（ 事实上， 事实上 ） 显然，维恩或瑞利 金斯公式都得不出这样 显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这样 的结果。
Cv 3nN0k 3nR
（R为气体常数 R 8.314 焦耳 克分子K ）
实验发现，对单原子固体，在室温下符合， 3 但在低温下 其比定容热容是以 T 0 。因而理论 但在低温下，其比定容热容是以 因而理论 与实验结果不符合。 与实验结果不符合
如何解决这些问题呢？ 普朗克（Planck, Pl k 1900） 大 假设 无 是 体辐 大胆假设：无论是黑体辐 射也好，还是固体中原子 振动也好 它们都是以分 振动也好，它们都是以分 立的能量显示，即能量模 式是不连续的。
可推出固体中原子振动能为
45k 4 4 2 1 T ( 3 3) 3 15h vT vL

低温下 固体比定容热容 T 3 低温下，固体比定容热容
这一公式只适用于低温，因固体中原子振动 有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于 v 晶格距离2倍，即 2a ）

v 2a
而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽 （推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频 推导辐射总能时高频是计及的 但低温下高频 影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。
1
5 4

③
维恩位移定律
2
2hc ( , T) ) 由 E( 5
E'( , T) T固定
( (e
hc kT
) 1) ，得 得
hc hc kT e 2 2 2hc h 1 1 kT )0 hc kT （ 5 6 5 hc kT e 1 e 1
在理论上 ① 维恩（Wein W i ）根据热力学第二定律及一模 ）根据热力学第二定律及 模 型可得出辐射本领
C1 4 C2 c T E( , T) 5 c e
② 瑞利 ― 金斯（Rayleigh-Jeans ay e g Jea s）根据电动力学 及统计力学严格导出辐射本领
2c E( , T) 4 kT
量子力学
北京大学 物理学院
程檀生
主要参考书
现代量子力学教程
程 檀 生（2006年）
参 考 书
A. 量子力学导论 B. 量子力学基础 曾 谨 言 （2003年） 关 洪 （1999 999年）
C. 量子力学
理论物理学教程 第三卷 朗道 上，下册 严肃 译 1977年
The Principles of Quantum Mechanics
23 1.38 10 焦耳 K ） （ k为Boltzmann常数：
对于瑞利-金斯的 E ( , T) ，仅当波长 足够长 温度足够高时符合 而在 很小， 很小 足够长，温度足够高时符合。而在 即 很高时，趋于无穷。这即紫外灾难。 w 而维恩的 E ( , T) 在低波长时符合，高 波长时不符合 所以，这两个公式并不完全符 波长时不符合。 所以 这两个公式并不完全符 合实验结果， 但理论给出的结论是肯定的。
总之，在用经典物理学去解释与黑体的辐射 本领相关的实验规律时，是完全失效了。
（2）固体低温比定容热容： 根据经典理论 如 分子有 n 个原子，则 根据经典理论，如一分子有 个原子 则 一克分子固体中有 克分子固体中有 3nN 0 个自由度 个自由度（ N 0 为阿伏 23 6 . 022 10 克分子 ） 伽德罗数， 固体比定容热容：
Q Quantum t M Mechanics h i Quantum Mechanics
第一章 经典物理学的失效 经典物理学的成就 牛顿力学 - 支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验 - 确定了光的波动性； 确定了光的波动性 Maxwell方程组的建立 - 把光和电磁现象 建立在牢固的基础上； 统计力学的建立。
hc (1 e hc kT ) 5 kT
于是 从而有
0T0 0.2898 10 K m
2
④
固体比定容热容 由总辐射能量密度（
焦耳 米3
）
4 85k 4 4 45k 4 4 2 W( T) u( , T)d E( , T)d T T ( 3) 3 3 3 c c 15c h 15h
α衰变 衰变
量子物理学不仅支配微观世 界，同样也支配宏观世界的运动
磁通量量子化
磁通量量子化 3 1 . 33 10 将一个用长0 将 个用长0.8厘米，截面直径为 8厘米 截面直径为 厘米的铜 线做成的外面镀锡（锡的临界温度为3.8 K ）的环置于 外磁场中 外磁场中。 实验发现，当 T Tc 时，磁场被排斥在环外 （meissner i 效应） 而陷于环中的磁通量是量子化的 效应），而陷于环中的磁通量是量子化的。
建立新的规律
据此建立起的新的完全不同于经典 物理学的量子力学（量子物理学）规律 已深入到物理学的各个领域，并正成功 地应用于天体 化学 生命 地球和制 地应用于天体、化学、生命、地球和制 药等其他领域 成为有力的 药等其他领域，成为有力的理论工具， 具 解决经典理论范围内无法解决的问题。
经典物理学的描述仅是 个近似 经典物理学的描述仅是一个近似
c E( , T) u( , T) ( u ( , T ) 单位为 4