根轨迹和根轨迹方程
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
根轨迹方程
证明：根轨迹方程
m
∏ (s − zi )
i =1
=−
1
n
∏ (s − pi )
K*
∏ i =1
n
s − pi
模值方程
K * = i=1 m ∏ s − zi
i =1
根轨迹起点： K*= 0(K = 0)
要使模值方程成立，则 s = p i 所以pi是根轨迹起点。
(i = 1, , n )
根轨迹终点 K* = ∞(K = ∞)
= −1
i =1
∏ ⎧
⎪
K
* G
m
s − zi
⎪
i =1
∏ ⎪⎪
⎨
n
s − pi
=1
⎪ i=1
⎪m
n
∑ ∑ ⎪
⎪⎩ i =1
∠(s −
zi ) −
i =1
∠(s −
p i ) = (2 k + 1)π
k = 0,±1,±2
模方程 相方程
（1）相方程是决定闭环根轨迹的充要条件；
（2）由模方程决定根轨迹上各点相应的 K * 值。
−
pi )
=
−K
*
d ds
m
(s − z j )
j =1
将式（1）除式（ 2）得
（2）
d ds
n
d
(s − pi ) ds
i =1
=
m
(s − z j )
j =1
n
m
(s − pi )
(s − z j )
i =1
j =1
n
m
d ln
( s − p i ) d ln
(s − z j )
根轨迹定义及根轨迹方程
第四章根轨迹法（第一讲）根轨迹定义及根轨迹方程引言•分析和设计系统时确定闭环极点（即特征根）在复平面的位置是十分有意义的:1）闭环系统的极点在复平面的位置决定了系统的稳定性；2）系统的性能指标也主要由闭环极点的位置决定；•通过求解高阶代数方程确定闭环极点是困难的；•闭环系统的极点与系统的参数有关，如开环增益等；•希望找到一种不用求解代数方程，就能确定当某个参数变化时极点的位置的方法。
•1948年伊文思（Walter R.Evans)提出了根轨迹法；•根轨迹方法能够确定当某个参数变化时，闭环极点在特征方程2220s s K ++=特征根1,2112s K =−±−120 0 2K s s ===−120.5 1K s s ===−1,21 11K s j ==−±∞±−=∞→j s K 1 2,1K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹K1(0.51)s s+根轨迹定义根轨迹是指当系统开环的某个参数（如开环增益）从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在复平面上移动的轨迹。
0 -21-1j-1根据所绘制的根轨迹图可知：K>0时，系统稳定；0<K<0.5时，过阻尼状态，阶跃响应为单调衰减过程；K=0.5时，临界阻尼状态，阶跃响应为单调衰减过程；K>0.5时，欠阻尼状态，K 1(0.51)s s +0-21-1j-1根轨迹方程)(s G ()H s )(s R )(s C 开环传递函数分别为开环零、极点；i p j z 0K *≤<∞n m ≥为开环根轨迹增益，并假设。
特征方程0)()(1=+s H s G 由于闭环极点就是特征方程的根，该方程又称为根轨迹方程。
11()()()()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−∏∏j=11||1||mj n i i s z K s p *=−=−∏∏π)12()()(11+=−∠−−∠∑∑==k p s z s ni i m j j )(s G ()H s )(s R )(s C 根轨迹方程可分解为模值方程和相角方程：11()()()=1()mj j ni i s z G s H s K s p =*=−=−−∏∏（1）由于，所以任何复数s 均满足模值方程；（2）相角方程是确定复数s 是否为根轨迹上的点的充分必要条件；0K *≤<∞例4-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2()(2)KG s s *=+试证明复平面上点是该系统的闭环极点。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
第4章 根轨迹
m
(s p
j 1
n
1
j
)
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。 幅值方程为
K r (s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
1 或
(s z )
i
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
j
)
1 Kr
相角方程为
(s z ) (s p ) (2k 1)
设p3的出射角为θ3，如图所示。
假设s1为根轨迹上的一点，则s1应 满足相角方程
(s
i 1
1
1
z i ) ( s1 p j ) (2k 1)
j 1
4
由此可推得出射角的一般表达式
l ( pl zi ) ( pl p j ) i j
例4-6 已知系统的开环传递函数为
K r (s 1.5)(s 2 4s 5) G( s) H ( s) s(s 2.5)(s 2 s 1.5)
试绘制系统的根轨迹图。
18
7. 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 状态，即输出呈衰减振荡形式。 特征根的实部σ为衰减系数，虚 部ω为振荡频率。
4
4.1.2 根轨迹方程
设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
开环传递函数的一般表达式为
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
第八章 根轨迹法
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
自控第四章
（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征 根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表 示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假 定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续曲线，对称于实轴
第4章 根轨迹法
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
第五章 ——MATLAB跟轨迹分析
K ( s + 5) ( s + 1)( s + 3)( s + 12) ，
绘制系统的跟轨迹,并在跟轨迹上任选一点 并在跟轨迹上任选一点， 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹 并在跟轨迹上任选一点， 计算该点的增益 K 及其所有极点的位置
4. 已知单位负反馈系统， 已知单位负反馈系统， 系统的开环传递函数为
第五章
5.1 5.2 5. 3 5. 4
MATLAB跟轨迹分析 MATLAB跟轨迹分析
根轨迹法基础 MATLAB根轨迹相关指令 MATLAB根轨迹相关指令 根轨迹分析与设计工具rltool 根轨迹分析与设计工具rltool 用根轨迹分析系统性能
5.1
跟轨迹法基础
一、根轨迹方程 二、基本条件
根轨迹的相角条件 根轨迹的幅值条件
已知单位负反馈系统， 2. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
GH ( s ) = K ( s + 1) ， s (0.5s + 1)(4 s + 1)
绘制系统的跟轨迹。 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹。
已知单位负反馈系统， 3. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
G ( s) =
阻尼比间隔0 阻尼比间隔0.1，范围：0-1； 范围： 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0 pi/10 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0-pi
（3）zgrid（z，wn） zgrid（ wn）
可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn 可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn。 wn。
5. 3
例5-2：绘制如下系统的根轨迹图
0.05s + 0.045 G(s) = 2 ( s − 1.8s + 0.9)( s 2 + 5s + 6)
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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3
闭环传递函数决定控制系统的性能：
稳定性（取决于闭环极点） 快速性（动态性能，取决于闭环极点和零点） 准确性（静态误差，取决于增益）
闭环极点难以计算，尤其对于高阶系统，因此需要探索不解 高次代数方程，也能求出系统闭环特征方程的根，进而求出 系统闭环动态特性的有效方法。
根轨迹分析法就是利用开环零、极点确定闭环极点的一 种图解方法。
K
*
K
1 2 L
T1 T2 L
m
Tnv
,
z1
1
1
,
p1
1 T1
,L
根轨迹增益 时常数增益
2
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
Go (s)
C(s) 开环传递函数为： Go (s) 闭环传递函数为： (s) Go (s)
1 Go (s)
将 Go (s)写成以下标准型：
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
☆充要条件11
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 K （* 当然也可以用其它变量）作为变化量
来讨论根轨迹。
[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。
j 1
根轨迹方程
根据复变函数的概念 Go (s) Go (s) Go (s) 1
m
K * | s zi |
Go
(
s
)
i 1 n
1
| s pj |
幅值条件
j 1
m
n
Go (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1) , k 0, 1, 2...
相角条件
i 1
j 1
180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨
迹方程，每一点对应一个K *。由于180度等相角根轨迹上的任意
一点都可通过幅值条件计算出相应的K *值，所以直接称180度等
相角根轨迹为根轨迹。
1948，美国, W. R. Evans, Control system synthesis by root locus method. Trans. Amer. Institute of Electrical Engineers, 69, pp.66-69, 1950
4
25 seminal papers in control (20c)
2K
闭环特征方程： s2 2s 2K 0
闭环极点（特征根）： s1,2 1 1 2K
6
特征根 s1,2 1 1 2K 随K的变化：
讨论：
① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
（也是开环传递函数的极点：开环极点）
② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6
③ 当K=0.5时，s1=s2=-1
j
-1
0
j
B
z p2 A p1
❖ [根轨迹定义]：开环系统传递函数中某个参数由零到无穷
大变化时，其闭环极点在s平面上移动的轨迹。
❖ 根轨迹图：s平面上由根轨迹形成的图。
❖ 根轨迹法：不用求解闭环特征方程的根，而利用开环零、
极点求出闭环极点的轨迹，研究系统性能的方法。
9
二、根轨迹方程
R(s) -
利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合
5
一、根轨迹的基本概念 例1：如图所示二阶系统，开环传递函数为：
Go (s)
K s(0.5s
1)
2K s(s 2)
R(s) -
K
C(s)
s(0.5s 1)
闭环传递函数：(s)
Go (s) 1 Go (s)
s2
2K 2s
j
K 5
K 1
K 0
2
1K 0
0
④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j
⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j
特征根的轨迹
⑥ 当K=∞时，s1=-1+j∞,s2=-1- j∞
7
二阶系统的根轨迹图
二阶系统的闭环瞬态响应曲线
显然，K变化时，s1,s2的位置不同，相应的闭环瞬态响应特性 也是不同的。
4.1 根轨迹和根轨迹方程
R(s) -
Go (s)
C(s) 闭环传递函数为：(s) Go (s)
1 Go (s)
R(s)
C(s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
R(s)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱG(s)H (s)
-
1 C(s) (s) G(s)H (s) 1
H (s)
1 G(s)H(s) H(s)
j 1
式中：K * 称为根轨迹增益；
zi，p j为开环零、极点。
10
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Go (s) 0 的根。
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
1
(s)
C(s) R(s)
Go (s) 1 Go (s)
sv (s
K *(s z1)(s p1)(s p2 )L
z2 )L (s K*(s
zm ) z1)(s
z2 )L
结论：对单位负反馈控制系统：
（1）闭环根增益＝开环根增益；
（2）闭环零点＝开环零点；
（3）闭环极点与开环零极点、及根轨迹增益均有关。
1
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
时常数形式（尾1）
零极点形式（首1）
闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的 零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文 思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭环极 点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比 如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示 在一张图上。