第16章量子力学基本原理例题和练习题

2
x2
1
1
1 ix 1 x2
3. 令：
d x2 0
dx
得： x 0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
p mv m0v
h
1 v2 c2 1 1
1 v2 c2
v
v2 c2
练习3：P546例1 计算动能为1KeV的电子的德布罗意波长
解：由相对论: E E E
0
k
E 2 E 2 c2 p2 0
1
1
得：p c
E2 E2 0c
(E E )2 E 2
0
k
0
1
1
2E E E2 2E m c2 E2
练习2. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中确 定粒子动量精确度最高的是哪一个？
x x x x
由不确定关系： x px ; x , px
练习：P574 已知:电1子7.处14于某能级 t 108 s, E E0 3.39eV,
求：(1)该能级能量的最小不确定量 E
(2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 及
c
0k
kc
k0
k
h
hc
p
2E m c2 E2
k
0
k
h
p
两种特例：
hc
2E m c2 E2
k
0
k
(1) 若 Ek m0c2 ( 0.51Mev)
则 E22E m c2
k
k0
hc h
2E m c2
k
0
2E m
k
0
(2) 若 Ek m0c2 ( 0.51Mev)
则 E22E m c2
k
k
0
hc hc
E2
E
k
k
本题：Ek 1KeV(0.51MeV) 时：
h
0.39( A)
2E m
k0
练习
戴维孙—革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发射
出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶体上，
在掠射角
时 2，0测得电子流强度出现第二次
极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体的晶格常
例题3
设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 1. 将此波函数归一化；
x
A 1 ix
2. 求出粒子按坐标的概率分布函数；
3. 在何处找到粒子的概率最大？
解： 1. 由归一化条件 得：
A 1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx＝A2arctgx] ＝A2
1
A 1
x
1
1 ix
2.概率密度为：
第十六章 量子力学基本原理 第一节 物质波假设及其实验验证
练习1：设光子与电子的德布罗意波长均为λ，试比较
其动量和能量大小是否相同。
h
解: 动量 p光
h
p光 pe
能量
pe
E光
h
hc
Ee
mc 2
mvc 2 v
pc2 v
c v
hc
c v
E光
Ee E光
结论：当电子的德布罗意波长与光子的波长相等时，
练习
将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒 子在空间的分布概率将
1）增大D2 倍， 3）增大D倍，
2）增大2D倍， 4）不变。
第四节 薛定谔方程应用举例 (一维问题)
例题1 一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子 物质波波长是否一致？
Ψ x,t
E4 16E1
x2
n= 4
n= 4
E3 9E1
解:(1) 由题得：
概率密度
|
|2
2 s in2
n
x
L
L
W
L 4
|
0
|2 d x
Baidu NhomakorabeaL 4
2
s in2
0L
n x d x
L
L 4
0
2 L
L
n
s in2
nx
L
d(
n x
L
)
＝1 4
1
2n
s in
n
2
当n=1时：Ｗ
＝1 4
1
2
9%
当n=∞时：Ｗ＝1/4
(2) 在Ｌ/4处，概率密度为：
| ( L / 4) |2 2 sin2 n ( L ) 2 sin2 n
2dsin k
得晶格常数：
d k 0.161(nm) 2sin
第二节 不确定关系
练习1：P574 17. 13 o
已知： 光 子 3000 A,
106
求：光子位置的不确定量
解：设光子沿 x 方向运动
由
h
px
|
px
|
h 2
又 x px
x h 2 2
px 2 h 2
3 107 106 0.048(m) 2 2
它们动量相等，能量不等，电子的能量较大。
注意：电子运动速率v小于c, 电子物质波波速u大于c, 即：v u c ;而光子运动速率c等于光波波速 c。
练习2.
静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其物质波
波长 与速度 有v 如下关系
A v
B 1 v
C
11 v2 c2
D c2 v2
解： h h
E2 4E1
E1
o
n= 3 n= 2 n= 1
ax o
n= 3
n= 2 n= 1
ax
驻波波长：
n 2a n, n 1,2,3,......
由
E
k 22 2m
n2 22
2ma 2
n2 E1
E p2 2m
p 2mE n nh
a 2a
h 2a
pn
(n 1,2,3,...)
二者是一致的。
数。
已知： me 9.111031kg
e 1.601019C
晶体
h 6.6341034 J s
解： 先求电子动量
Ek eU 500eV m0c2( 0.51Mev )
p2
Ek 2m eU
p 2meU
晶体
由德布罗意公式：
h h 5.491011(m)
p 2meU
由布喇开公式：
L
L4 L
4
| (L / 4) |2为最大值时： sin n 1
4
n (2k 1)
4
2
(k 0,1,2......)
n 2(2k 1) (k 0,1,2......)
n 2,6,10......时概率密度最大
n 2 2 2 6 1038 (3) n=1时： E 2mL2 L2
解:(1) E t
E
1.055 1034
1.055 1026 (J) 6.59106(eV)
t
108
(2)
E
E 0
h
hc
hc 6.631034 3108 3.67107 (m)
E E 3.391.61019 0
(E
hc E0
)2
E
7.13 1015 (m)
第三节 波函数 薛定谔方程
(n 1,2,3,...)
E n= 4
n= 3
n= 2
n= 1
o
ax
例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限深势 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并
求粒子处于n=1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上，
Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量(补充)。