2020高考数学 专题复习 轨迹方程

2015高考数学专题复习： 轨迹方程

一、直译法

求曲线方程（或动点轨迹方程）的一般步骤：

⑴建系设点：适当建立坐标系，设点),(y x M 为所求曲线上的任意一点 ⑵翻译条件：写出点M 所满足的条件

⑶列出方程：根据所给条件列出方程 ⑷化简方程：把所列的方程化为最简形式

求出动点的轨迹方程后，要注意检验变量的取值范围，如果有失根就要补充说明，如果有增根就要彻底删除

1.已知ABC ∆的两个顶点A 、B 的坐标分别是()()0,6,0,6-，若边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于94

-

，

求顶点C 的轨迹方程

2.已知ABC ∆的两个顶点A 、B 的坐标分别是()()4,0,4,0-，若边BC AC ,所在直线的斜率之积等于2，求顶点C 的轨迹方程

3.已知点P 到定点(

)

0,2F 的距离与点P 到定直线22:=x l 的距离之比为22

，求动点P 的轨迹C 的方程

4.已知)0,3(-P ,点R 在y 轴上，点Q 在x 的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且0=⋅RM 23

,-=.

当R 在y 轴上移动时，求M 点轨迹方程

以直接建立轨迹方程

两圆外切⇔ 两圆内切⇔ 直线与圆相切⇔

5.在ABC ∆中，)0,3(A 、)0,3(-B ，若三边AC 、AB 、BC 的长成等差数列，求顶点C 的轨迹方程

6.动点P 到定点

)

0,21(M 的距离比点P 到y 轴的距离大21,求点P 的轨迹方程

7.动圆与定圆9)5(:221=++y x O 和圆

1)5(:2

22=+-y x O 都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程

8.动圆M 恒过定点()02，-B ，且与定圆

4)2(:2

2=+-y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程

9.圆C 与两圆

2222

(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切，求圆C 的圆心轨迹方程

11.动圆P 与定圆()643:2

21=-+y x C 内切，和定圆

()43:2

2

2=++y x C 外切，求动圆圆心P 的轨迹方程

12.已知圆8)1(:2

2=++y x C ,定点(1,0)A ，点N 是线段AM 的中垂线与半径CM 的交点，求N 的的轨迹方程

13.已知定点()()()2,12,7,0,7,0C B A -，以C 为一个焦点作过B A ,的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程

三、转移代入法

如果已知一个动点的轨迹方程，要求另一个动点的轨迹方程，通常采用迁移的思想解题，先假设两个动点的坐标，建立所求动点与已知动点坐标之间的关系，代入已知动点所满足的曲线方程即得所求动点的轨迹方程。

14.已知点P 在直线032=+-y x 上运动，定点)2,1(-M ，Q 是线段PM 延长线上的一点，且MQ

PM =，

求点Q 的轨迹方程

15.设P 为双曲线1

422

=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程

16.已知ABC ∆的顶点B 、C 的坐标分别是)0,0(和)0,4(，若AB 边上中线的长为3，求顶点A 的轨迹方程

17.已知线段AB 的两个端点B A ,分别在x 轴、y 轴上滑动，3

=AB ，点P 是AB 上一点，且

1

=AP ，

求点P 的轨迹方程

18.定点)0,4(A 和圆

422=+y x 上的动点B ，若点P 满足PB AP 2=，求点P 的轨迹方程

19.从圆

2522=+y x 上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ，P '为垂足，且线段'PP 上一点M 满足关系式 3

:5:=''P M P P ，求点M 的轨迹方程

20.椭圆C 的方程为1

9182

2=+y x ，F 是它的左焦点，M 是椭圆上一个动点，O 为坐标原点，求OFM ∆

的重心G 的轨迹方程

21.设1F 、2F 是双曲线1

9162

2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上运动，求21F PF ∆的重心G 的轨迹方程

22.若ABC ∆的两个顶点B 、C 的坐标分别为)0,2(-、)2,0(-，而顶点A 在曲线

132

-=x y 上移动， 求ABC ∆的重心G 的轨迹方程

23.点P 是圆

1622=+y x 上个动点，A )0,12(，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程

代入消参法

24.已知椭圆14162

2=+y x ，求斜率为2的平行弦的中点M 的轨迹方程

25.过抛物线

x y 42=焦点的直线l 与抛物线交于B A ,两点，O 为坐标原点.求AOB ∆的重心G 的轨迹方程

26.倾斜角为π4的直线交椭圆2

21

4x y +=于B A ,两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程

27.P 是抛物线

221:x

y C =

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q .若直线l 与过点P 的切线垂直，

28.()A m

和(,)B n 分别在射线OT OS ,上移动，且

12OA OB ⋅=-，动点P 满足OP OA OB =+. （Ⅰ）求m n ⋅的值

（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？

29.已知直线l 过椭圆:C 22

22x y +=的右焦点F ，且与C 相交于,P Q 两点.设

1

()

2OR OP OQ =+，

求点R 的轨迹方程

30.ABC ∆中

,AC =,B ()2,0,直线l 方程是1y =-，当

AC

在直线l 上运动时,求ABC ∆外接圆的圆心

P 的轨迹方程

31.求过点()2,0A 的直线被椭圆

222

2=+y x 所截弦的中点的轨迹方程 .