3.5.2简单线性规划-王后雄学案

张喜林制

3.5.2 简单线性规划

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考点知识清单

1．线性规划问题：

(1)线性约束条件： .

(2)线性目标函数： .

(3)线性规划问题： .

(4)可行解： .

(5)可行域： .

(6)最优解： .

2．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行： (1) ； (2) ; (3) ;

要点核心解读

1．线性规划问题

(1)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式形成的约束条件．

(2)线性目标函数：由关于两个变量x ，y 的一次式形成的函数．

(3)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．

(4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y).

(5)可行域：占所有可行解组成的集合．

(6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

2．目标函数B A C By Ax Z ,{++=不全为零）的理解

0=/B 时，由,C By Ax Z ++=得⋅-+-

=B C Z x B A y 这样，二元一次函数就可视为斜率为,B A -在y 轴上截距为,B

C Z -且随Z 变化的一簇平行线，于是，把求Z 的最大值和最小值的问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当0>B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当0

3．用图解法解决线性规划的一般步骤

(1)分析并将已知数据列成表格；

(2)确定线性约束条件；

(3)确定线性目标函数；

(4)画出可行域；

(5)利用线性目标函数（直线）求出最优解；

(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．

4．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行

(1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；

(2)明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示；

(3)明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．

5．利用线性规划的知识解决

(1)数学中关于求给定区域上的最值问题；

(2)求区域的面积等；

(3)仿线性规划法、解决其他目标函数的最值问题．

6．可行域可以是一封闭的多边形，也可以是一侧开放的平面区域

而目标函数的最优解一般在边界直线的交点处．其判定方法通常有两种：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的交点便是；二是利用围成可行域的直线斜率来判定．

若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率分别为<<< 21k k ,n k 目标函数的直线的斜率为k ，则当 1+<

特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条直线平行时),(i k k =其最优解一般有无数个．

7．实际问题中的线性规划问题

(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．

(2)用图镪珐解决线性规划的一般步骤：

①分析并将已知数据列成表格；

②确定线性约束条件；

③确定线性目标函数；

④画出可行域；

⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；

⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．

(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找，

如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可，

典例分类剖析

考点1 求目标函数的最值

命题规律

(1)利用线性规划知识求线性目标函数在约束条件下的最值．

(2)利用线性规划知识求非线性目标函数的最值．

(3)利用线性规划知识求线性目标函数取得最值时所对应的点的坐标， ．

[例1] 设,2y x z +=且y x ,满足下列条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求它的最值．

[答案] 首先画出不等式组形成的区域，由图3 -5 -2 -1知，(0，0)不在区域内．当,0,0==y x ,02=+=y x z 点(0，O)在直线02=+y x 上作一组平行线t t y x ,2=+是直线2x+y=t 的纵截距，这里 ⋅)2,5(),1,1(B A 显然当直线x 2t y =+过A 点时，t 为最小，过B 点时t 为最大．

.3.12min max ==∴z z

应注意几点：

①线性约束条件除用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示，

②最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．如把上述问题中的目标函数改为,53y x z +=那么线段BC 上每一点的坐标都是最优解，因此，最优解有无穷多个，而它们所对应的目标函数值都是25.

③对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使+ax by 达到最大或最小的点，那么最值一定在该区域的顶点或边界上达到，

④此类问题的讨论，实际上给出了求解线性规划问题的图解方法．

母题迁移 1．（2010年东北八校联考题）(1)已知⎪⎩

⎪⎨⎧≤--≤+-≥,022,01,1y x y x x 则22y x +的最小值是

(2)平面内满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0

,0,62,4y x y x y x 的所有点中，使目标函数y x z 45+=取得最大值的点的坐标 是