3.5.2简单线性规划-王后雄学案

张喜林制
3.5.2 简单线性规划
教材知识检索
考点知识清单
1．线性规划问题：
(1)线性约束条件： .
(2)线性目标函数： .
(3)线性规划问题： .
(4)可行解： .
(5)可行域： .
(6)最优解： .
2．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行： (1) ； (2) ; (3) ;
要点核心解读
1．线性规划问题
(1)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式形成的约束条件．
(2)线性目标函数：由关于两个变量x ，y 的一次式形成的函数．
(3)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y).
(5)可行域：占所有可行解组成的集合．
(6)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
2．目标函数B A C By Ax Z ,{++=不全为零）的理解
0=/B 时，由,C By Ax Z ++=得⋅-+-
=B C Z x B A y 这样，二元一次函数就可视为斜率为,B A -在y 轴上截距为,B
C Z -且随Z 变化的一簇平行线，于是，把求Z 的最大值和最小值的问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当0>B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当0<B 时，Z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．
3．用图解法解决线性规划的一般步骤
(1)分析并将已知数据列成表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数（直线）求出最优解；
(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
4．建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤进行
(1)明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；
(2)明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示；
(3)明确问题的目标，并用线性函数（目标函数）表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．
5．利用线性规划的知识解决
(1)数学中关于求给定区域上的最值问题；
(2)求区域的面积等；
(3)仿线性规划法、解决其他目标函数的最值问题．
6．可行域可以是一封闭的多边形，也可以是一侧开放的平面区域
而目标函数的最优解一般在边界直线的交点处．其判定方法通常有两种：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的交点便是；二是利用围成可行域的直线斜率来判定．
若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率分别为<<< 21k k ,n k 目标函数的直线的斜率为k ，则当 1+<<i i k k k 时，直线i l 和1+i l 的交点一般是最优解．
特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条直线平行时),(i k k =其最优解一般有无数个．
7．实际问题中的线性规划问题
(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
(2)用图镪珐解决线性规划的一般步骤：
①分析并将已知数据列成表格；
②确定线性约束条件；
③确定线性目标函数；
④画出可行域；
⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找，
如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可，
典例分类剖析
考点1 求目标函数的最值
命题规律
(1)利用线性规划知识求线性目标函数在约束条件下的最值．
(2)利用线性规划知识求非线性目标函数的最值．
(3)利用线性规划知识求线性目标函数取得最值时所对应的点的坐标， ．
[例1] 设,2y x z +=且y x ,满足下列条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求它的最值．
[答案] 首先画出不等式组形成的区域，由图3 -5 -2 -1知，(0，0)不在区域内．当,0,0==y x ,02=+=y x z 点(0，O)在直线02=+y x 上作一组平行线t t y x ,2=+是直线2x+y=t 的纵截距，这里 ⋅)2,5(),1,1(B A 显然当直线x 2t y =+过A 点时，t 为最小，过B 点时t 为最大．
.3.12min max ==∴z z
应注意几点：
①线性约束条件除用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示，
②最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．如把上述问题中的目标函数改为,53y x z +=那么线段BC 上每一点的坐标都是最优解，因此，最优解有无穷多个，而它们所对应的目标函数值都是25.
③对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使+ax by 达到最大或最小的点，那么最值一定在该区域的顶点或边界上达到，
④此类问题的讨论，实际上给出了求解线性规划问题的图解方法．
母题迁移 1．（2010年东北八校联考题）(1)已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≤+-≥,022,01,1y x y x x 则22y x +的最小值是
(2)平面内满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
,0,62,4y x y x y x 的所有点中，使目标函数y x z 45+=取得最大值的点的坐标 是
考点2 利用线性规划求范围
命题规律
(1)利用线性规划知识求函数的取值范围．
(2)利用线性规划知识确定参数的取值范围．
[例2] 已知变量x ，y 满足约束条件≤-≤+≤2,41y x .2≤-y x 若目标函数y ax z +=（其中a>0）仅在点(3，1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ．
[解析] 由约束条件画出可行域（如图3 -5 -2 -3所示），为矩形ABCD(包括边界)．点C 的坐标 为(3，1)，z 最大时，即平移ax y -=时使直线在y 轴上的截距最大，
,1,-<-<-∴a k a CD 即
.1>∴a
[答案] 1>a
[规律方法] 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行或的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系．
母题迁移 2．若二次函数)(x f y =的图象过原点，且.4)1(3,2)1(1≤≤≤-≤f f 求)2(-f 的范围． 考点3 寻找整点最优解的方法
命题规律
(1)利用打网格，描整点，平移直线找整点寻找最优解．
(2)借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
[例3]求y x z 300600+=的最大值，式中的x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,
0,
0,2522,3003y x y x y x 且x 、y 为整数．
[解析] 画出约束条件表示的平面区域即可行域再分析求解．
[答案] 如图3 -5 -2 -4，可行域为四边形AOBC 内的区域
由题意可求得),0,100(),126,0(B A 由方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+5191,53692522,3003y x y x y x 得C 点坐标为),5191,5369(因题设要求整点（x ，y ），使y x z 300600+=取得最大值，而整点(69，91)，(70，90)都在可行城内，
将两点坐标代入y x z 300600+=可知：
当⎩⎨⎧==90
,70y x 时z 取得最大值为=⨯+⨯=9030070600z .69000
[启示] 如果0l 经过的多边形顶点坐标不是整数，则在这个点附近找出可行域内的整点代入目标函数求出最大值．
母题迁移 3．医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，应使甲、乙两种药片各几片才能既满足营养需求又使费用最省？
考点4 实际问题
命题规律
(1)利用线性规划知识解决在给定一定数量的人力、物力资源安排如何运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.
(2)对于给定一项任务，利用线性规划的知识进行统：筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
[例4] 某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现把刁吨、8吨和5吨货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
[答案] (1)模型建立
将实际问题的一般语言翻译成数学语言，可得下表（即运费表，单位：元）．
设仓库A 运给甲、乙商店的货物分别为x 吨、y 吨，则仓库A 运给丙商店的货物为)12(y x --吨：而从仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为)7(x -吨、)8(y -吨、)]12(5[y x ---吨=)7(-+y x 吨，于是总运费为
+-+-+--++=)8(4)7(3)12(968y x y x y x z )7(5-+y x
.1262+-=y x
从而得到本题的数学模型是
求总运费1262+-=y x z 在约束条件
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+≥-≥-≥--,
0,0,07,08,07,012y x y x y x y x 即在 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+≤≤≤≤,12,7,80,70y x y x y x 下的最小值． (2)模型求解
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图3 -5 -2 -5．
作出直线,02:=-y x l 把直线L 作平行移动，显然当直线2移动到过点A(O ，8)时，在可行城内， 1262+-=y x z 取得最小值=min z .110126820=+⨯-即,0=x 8=y 时，总运费最少．
(3)模型应用
安排的调运方案如下：
仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
[规律方法] 对于线性规划图解法，可概括为如下几道程序．
母题迁移 4．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元／分钟和200元／分钟，已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
优化分层测讯
学业水平测试
1．能表示图3 -5-2-9中阴影部分的二元一次不等式组是( )：
⎩⎨⎧≤+-≤≤022,10.y x y A ⎩⎨⎧≥+-≤022,1.y x y B ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≤≤0,022,10.x y x y C ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤022,0,1.y x x y D
2．目标函数,23y x z -=将其看成直线方程时，z 的意义为( )．
A ．该直线的横截距
B ．该直线的纵截距
C ．该直线纵截距的2
1的相反数 D ．该直线纵截距的2倍的相反数 3．若⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤≤,2,2,2y x y x 则目标函数y x z 2+=的取值范围是( )．
]6,2.[A ]5,2.[B ]6,3[⋅C ]5,3.[D
4．已知目标函数,2y x z +=且变量x ，y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥<+-≤-,1,2553,34x y x y x 则( )．
3,12.min max ==z z A z z B ,12.max =无最小值
z z C m ,3.=ω 无最大值 D.Z 无最大值，也无最小值
5．给出平面区域如图3 -5 -2 -10所示，若使目标函数)0(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多
个，则a 的值为( )．
41.A 53.B 4.C 3
5.D
6．如图3 -5 -2 -11，阴影部分的点满足不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.
0,0,62,5y x y x y x 在这些点中，使目标函数y x z 86+=
取得最大值的点的坐标是
7．可行域D:⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,0,
04,
01y x y x y x 与可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤250,40:y x E 对应的点集之间的关系是
8．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,
05x y x y x 则y x z 42+=的最小值为
9．有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比大于3
1 配套，怎样截最合理？
高考能力测试
（测试时间：90分钟测试满分：100分）
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年山东省模拟题）已知平面区域D 由以A(l ，3)，B(5，2)，C(3，1)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数my x z +=取得最小值，则m 等于( )．
2.-A 1.-B 1.C 4.D
2．（2010年黄冈调考题）在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
2,,0,0x y s x y y x 下当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变
化范围是( )．
]15,6.[A ]15,7.[B ]8,6.[C ]8,7[⋅D
3．（2009年宁夏、海南高考题）设x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+22,1,
42y x y x y x 则=z y x +( )．
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
4．（2009年天津高考题）设变量x ，y ，满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+,32,1,3y x y x y x 则目标函数y x z 32+=的最小值为
( )．
6.A
7.B
8.C 23.D
5．（2008年北京高考题）若实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则=z y
x 23+的最小值是( )．
0.A 1.B 3.C 9.D
6．（2009年山东高考题）设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的
最大值为12，则
b
a 3
2+的最小值为( )． 625.A 38.B 3
11
.C 4.D 7．已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,04,
022y x y x y x 则22y x z +=的最小值为( )．
13.A 54.B 1.C 5
6
.D
8．（2011年四川高考题）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7
辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1、名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( )． A.4650元 B.4700元 C ．4900元 D.5000元 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
9．（2010年山东高考题）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+1
,40,32,102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P(x ，y)到直线
10=+y x 距离的最大值是
10.设实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--032,0420
2y y x y x 则x 的最大值是
11.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花 费 元．
12．(2010年南京市模拟题)若由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥->+≤0,03),0(y y x n n m y x 确定的平面区域的边界为三角形，且它
的外接，圆的圆心在x 轴上，则实数m=
三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（13分）（2010年黄冈模拟题）
已知x ，y 满足⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≥--≤--≤-+≤-+,
30,068
2,0632,082,
06y x x y y x y x y x 求的最大值和最小值．
14. (13分)甲、乙两公司生产同一种商品，但由于设备陈旧，需要更新．经测算，对于函数)()(x g x f 、
及任意的,0≥x 当甲公司投入x 万元改造设备时，若乙公司投入改造设备费用小于)(x f 万元，则乙有倒闭的风险，否则无倒闭风险；同样，当乙公司投入x 万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于)(x g 万元，则甲公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险． (1)请解释)0(),0(g f 的实际意义； (2)设,102
1
)(,5)(+=
+=x x g x x f 甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元？
15.（14分）已知a ，b 都是正数，△ABC 是平面直角坐标系xOy 内，以两点A （a ，0）和B(O ，b)为顶点
的正三角形，且它的第三个顶点e 在第一象限内，如图3 -5 -2 -12．(1)若△ABC 能含于正方形
,10|),{(≤≤=x y x D |10≤≤y 内，试求变量a ，b 的约束条件，并在直角坐标系aOb 内画出这个
约束条件表示的平面区域；(2)当(a ，b)在(1)所得的约束条件内移动时，求△ABC 面积S 的最大值，并求此时的（a ，b ）的值．
单元知识整合
二、本章知识整合
1．不等式的性质．
⎪⎩⎪
⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0,0,0)1(b a b a b a b a b a b a .)2(a b b a <⇔> .,)3(c a c b b a >⇔>> .)4(c b c a b a +>+⇒> .)5(b c a c b a ->⇒>+
.0,;0,)6(bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>
.00)7(bd ac d c b a >⇔⎭
⎬⎫>>>> ⋅>⇒<<>>d
b c a d c b a 0,0)8( ⋅<⇒
>>b
a a
b b a 110,)9( ⋅∈>⇒>>)(0)10(N n b a b a n n
⋅∈>⇒>>)(0)11(N n b a b a n n .)12(d b c a d c b a +>+⇒⎭
⎬⎫>>
2．重要公式．
,,,2)1(22R b a ab b a ∈≥+当且仅当b a =时取“=”．
,2,,)2(*ab b a R b a ≥+∈当且仅当b a =时取“=”．
3．常用结论．
.0)1(2≥a
.0||)2(≥a
,112
2
2*,,)3(22b
a a
b b a b a R b a +≥≥+≥+∈当且仅当b a =时取“=”．
.,,,)4(222ca bc ab c b a R c b a ++≥++∈
.)3
(,,,)5(3
*c b a abc R c b a ++≤∈ .2
)6(22ab b a ≥+
.,)]([),()7(max D x x f a D x x f a ∈≥⇒∈≥ .,)]([),()8(min D x x f a D x x f a ∈≤⇒∈≤
4．一元二次不等式的解法，
对于含有参数的一元二次不等式，在解答时，应对参数进行合理的分类讨论． 5．不等式的应用
不等式的应用主要体现在两个大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题的应用；二是解决现实生活中、生产及科学技术领域内的实际问题．
（l)不等式在研究解答数学学科本身有关问题中的应用，不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质． ①利用不等式求函数的定义域、值域．
a.求函数定义域，首先要判断好函数类型，依各种不同函数的要求写出含有x 的不等式，如由几部分经加、减、乘、除等构成的函数，需求不等式组的解．
b ．求函数值域，可以从)(x f y =解出)(1
y f
x -=来，
然后由这个函数的定义域来确定原函数的值域；也可以由函数单调性确定值域：还可以将)(x f y =化为关于x 的二次方程形式，即
,0)()()(3221=++y f x y f x y f 利用).(4)()(122y f y f y -=∆,0)(3≥y f 解这个不等式来求函数值域.
②利用不等式求函数最大值、最小值.
函数的最大值和最小值问题是中学数学中一个重要问题，解决函数最大值、最小值问题主要依据实数的有关性质、重要不等式及定理、函数单调性、有界性等．
求函数最大值、最小值的主要方法有公式法（利用重要不等式和算术平均数与几何平均数定理）、配方法、判别式法、换元法等，求函数的最大值、最小值一定要注意函数定义域.
③利用不等式讨论方程根及有关性质．
对于二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有⇔>∆0方程有两个不相等的实根；
⇔=∆0方程有两个相等的实根； ⇔<∆0方程没有实根．
(2)不等式在解实际应用问题中的应用，
不等式在解决生产、科研及日常生活的实际问题中有着广泛的应用．
近些年来，随着高考对实际应用题考查的力度加大，越来越被人们所重视，一大批以实际问题为背景的应用题陆续问世，从而也推动了对应用题的学习与研究．
不等式在实际中的应用主要体现在利用不等式的有关知识求函数的最小值、最大值、范围等． 6．简单的线性规划．
(1)二元一次不等式表示平面区域，
在平面直角坐标系中，已知直线,0=++C By Ax 坐标平面内的点),,(00y x P 则二元一次不等式
0>++C By Ax 或+Ax 0<+C By 表示在直线0=++C By Ax 的某一侧的平面区域.
①若,000>++C By Ax 则点),(00y x P 在直线=++C By Ax 0的上方； ②若,000<++C By Ax 则点),(00y x P 在直线=++C By Ax 0的下方： ③通常情况下，点),(00y x P 取原点较方便.
另外，对于直线方程0=++C By Ax 中的系数==/B B B ,0(),0将方程留草化，不外乎有两种情形：
0>B 或.0<B 对于任意的二元一次不等式0>++C By Ax （或< 0），无论B 为正值还是负值，我们都
可以把y 项的系数变为正数．
a ．当B>0时，0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方区域；0<++C By Ax 表示直线
0=++C By Ax 的下方区域．
b ．当B<O 时，,00<---⇔>++C By Ax C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方区域；
,00>---⇔<++C By Ax C By Ax 表示直线=++C By Ax 0的上方区域．
(2)线性规划．
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．实际生产中的许多问题都可以归结为线性规划问题．
(3)画二元一次不等式0>++C By Ax 表示的平面区域时，把直线0=++C By Ax 画成虚线表示区域不包括直线；当我们画不等式0≥+⋅+C By Ax 所表示的平面区域时，把边界直线画成实线，表示包括边界直线．
(4)确定区域时只需在某区域内取一个特殊点),,(00y x 看此点是否能使不等式或不等式组都成立．若
成立，则此点在区域内：若不成立则此区域非可行域，特殊地，当0=/C 时，常把原点作为此特殊点． (5)可行域一般用阴影部分表示．
(6)求目标函数by ax +在线性约束条件下的最大值或最小值时，一般先画出直线,0=+by ax 作一组平行于直线0=+by ax 的直线，当直线经过可行域上的点且距原点最远或最近时，+ax by 的值即为最大值或最小值．
(7)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，理解上述问题是本课时的重点，而难点在于将实际问题转化为数学问题（即线性规划问题），关键在于确定约束条件和目标函数．
①生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．
②解题时应注意先把众多的数据列成一个表格，再写约束条件、目标函数、作可行域． ③作可行域时图形应尽量正确规范，一般要求把可行域用阴影涂出来， ④实际问题的最优解一般都为正整数，最后要有回答． 三、重要专题选讲
专题1 基本不等式的应用 专题详解：运用基本不等式及其变形形式可以比较两实数大小，证明不等式，求函数的最值（或值域），求某些参变量的取值范围等．在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”是否同时具备，否则易出现错误．
[例1] 已知,,02,0222a bc c ab a a >=+->试比较a ，b ，c 的大小．
[解析] 条件中合有等式与不等式两种结构，可考虑从等式出发，求得某些量，代入不等式运算．
[答案] 解法一：由,0222=+-c ab a
得.2,222
22ab c a a
c a b =++=
.0,0.0,02>∴>>>∴>c a Rbc b a ,0)(2≥-c a 即,0222≥-+ac c a
.022≥-∴ac ab
即.0.0)(2.
≥-∴≥-c b c b a
若,0=-c b 即.c b =
则由,0222
=+-c ab a 得,c b a ==
.2a bc =∴
这与2
a bc >矛盾，,0>-∴c
b 即.
c b >
由a
c a b 222+=及,2
a bc >得
..2222a c a c a >+ .0)2)((22<++-∴c ac a c a
,0,0,0,0<-∴>>>c a c b a 即.c a < .b c a <<∴
解法二：由,0,0222>>=+a ab c a 得.0>b 由2,0a bc b >>得.0>c
又,2222ac c a ab ≥+=当且仅当c a =时，取等号.
.c b ≥∴
若,c b =则,,2a bc c b a =∴==这与2
a bc >矛盾．
.c b >∴由,,2a bc c b >>
得.,22a b a bc b >∴>> 又,22222a ab c a >=+
.,22a c a c >∴>∴
综上可知：.a c b >>
[启示] 本例两种解法均综合应用了不等式的性质，可见不等式的性质在比较大小和判断不等关系中的应用．
[例2] 设,1,0,0=+>>b a b a 求证：++
2)1(a a ⋅≥+2
25)1(2b b [证明] ,
21,1,0,0ab b a b a b a ≥+=∴=+>> .41,21≥∴≤
ab ab ,2
2
b
a b
a +≤+ .)2
(22
2
2b a b a +≥+∴2)1()1(22≥+++∴b b a a =+++
2]2
11[b b a a 2)12
1(2)1
11(22ab b a +≥
++ ≥+++∴≥
22)1()1(225b b a a 225（当且仅当2
1
==b a 时同时取等号）． [启示] 本题用了常见结论,2
2
2
b a b a +≤
+记住这一结论可帮我们找到解题思路，
但此不等式要给予证明.
强化练习1
1．比较)(22b a b a +++与的大小⋅>>)0,0(b a
[答案] 因为,112b a b a +++=++由于,21a a ≥+,21b b ≥+所以=+≥++b a b a 222
)(2b a +所以+2⋅+≥+)(2b a b a
2．已知,,,+∈R c b a 且,1=++c b a 求证：
.91
11≥++c
b a [答案] 证明：=++++++++=
++c c b a b c b a a c b a c b a 111+++)(3b a a b ≥+++)()(c
b
b c c a a c .92223=+++当且仅当31
===c b a 时，取等号．
3．设,0,1,0>=/>t a a 比较t a log 21与2
1log +t a 的大小，并证明你的结论． [解析] 比较两数大小关系，有作差和作商两种方*法，本题可以通过作差来比较。

[答案] t
t t t t t a
a a a a
21
log log 21log log 2121log +=-+=-+ t t t 21,0≥+> （当且仅当t=l 时等号成立）
， .121≥+∴
t
t
当1=t 时，;log 2121log t t a a
=+当1=/t 时，.122
>+t
t 若a>l ．则;log 21
21log ,021log t t t
t a a
a
≥+≥+ 若O<a<l ．则.log 2
1
21log ,021log t t t
t a a
a
≤+≤+ 4．(1)已知a>b>0，求)
(16
2
b a b a -+
的最小值；
(2)求函数1
3
32
24+++=x x x y 的最小值． [答案] =-+≤-∴>>2]2)([)(,0)1(b a b b a b b a ≥-+∴)
(16
422b a b a a ，.166422≥+a a 当且仅
当,,82
b b a a =-=即2,22=
=b a 时，)
(16
2b a b a -+
有最小值16.
(2)令),1(12
≥+=t x t 则.12
-=t x
+=++=+-+-=+++=∴t t t t t t t x x x y 1
3)1(3)1(1
33222
24.11+t .21
.21,1=≥+∴≥t
t t t t
当且仅当,1t
t =即1=t 时，等号成立．
∴ 当0=x 时，函数取最小值3．
[启示] (1)本题运用了两次基本不等式，注意两次等号是否能成立，必须要验证． (2)换元法的运用，可以减少运算过程，使问题变得清晰，易求解， 专题2 不等式与函数、方程
专题详解：方程、不等式、函数有着密不可分的联系：只有从函数的观点出发来看待这三者，才能理解它们之间深刻的内在联系，正是由于这种联系才使不等式在解决有关函数的定义域、值域、单调性、最值、方程根的分布以及参数的取值范围、曲线的位置关系等各个分支的综合题中具有广泛应用．
因为许多不等式的一边就是函数的解析式，这就使得我们考虑利用函数的性质（特别是函数的单调性），去对不等式进行求解和证明，不等式、方程、函数的关系十分密切，解决不等式问题常常利用函数与方程的知识；而解决函数问题则常常用到方程与不等式知识；解决方程问题常常用到函数与不等式知识．
[例3] 求下列函数的定义域：
;1
||1
4)1(-+
-=x x y
12
7)1lg(2)2(2
+-+--=
x x x
x x y [答案] (1)由无理函数和分式函数的要求，需满足⎩⎨⎧=
/-≥-,01||,042x x 即⎩⎨⎧±=/≤≤-.1,
22x x
也就是12-<≤-x 或11<<-x 或.21≤<x ∴ 函数定义域为].2,1()1,1()
1,2[ ---∈x
(2)根据对数函数、无理函数、分式函数的要求，需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/-=/+->-≥-,0)1lg(,0127,01,022x x x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=
/=/=/>≥.2,
4,3,1,
2x x x x x
∴ 所求函数定义域是).,4()4,3()
3,2(+∞∈ x
[启示] 求函数定义域一定要认真观察函数的解析式，根据函数的结构和特点，将对自变量有限制作
用的式子全部列出来，得到不等式或不等式组，然后解之．
[例4] 若关于x 的方程0124=++⋅+a a x
x
有实数解，求实数a 的取值范围．
[解析] 令),0(2>=t t x
将方程可转化为一元二次方程012
=+++a at t 在),0(+∞上有实数解，求a
的取值范围问题．
[答案] 令),0(2>=t t x
则原方程化为
,012=+++a at t 变形得
=++--=++--=++-=]1
2
)1[(12)1(1122t t t t t t a ≤-++
+-]212)1[(t t .222)222(-=-- ∴ a 的取值范围为.222-≤a
[启示] 本题解法是：换元后把参数a 作为t 的函数，求函数值域达到求参数取值范围的目的，此法
称作参数分离法.
[例5] 设,R a ∈关于x 的一元二次方程+-a x (7202)132=--+a a x 有两实根,21x x 、且
,21021<<<<x x 求a 的取值范围．
[解析] 若把方程左边看成二次函数),(x f y =它的图象是开口向上的抛物线，它在区间(0，1)和(1，2)内与x 轴相交的充要条件是,0)2(,0)1(,0)0(><>f f f 所以只需解不等式组即可得到a 的取值范围．
[答案]设.2)13(7)(22--++-=a a x a x x f
21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，且,21021<<<<x x
⎪⎩
⎪
⎨⎧>⇒<>∴0)2(,0)1(,0)0(f f f ⎪⎩⎪⎨⎧>--++-⇒<--++->--02)13(228,02)13(7,0222
2a a a a a a a a ⎪⎩
⎪⎨⎧>-⇒<-->--03,082,
02222a a a a a a ⎪⎩⎪
⎨⎧><<<->-<3
0,42,
21a a a a a 或或 12-<<-⇒a 或<<a 3a ∴4的取值范围是12|{-<<-a a 或}.43<<a
[启示] 解一元二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，以及根所在的区间
范围，列出有关的不等式及不等式组进而求解． 强化练习2
1．求下列函数的定义域．
;)
1lg(1
23)1(2-+
-+=x x x y
⋅-=)]1
([log log )2(x
x y n a
[答案] (1)由题意有⎪⎩
⎪
⎨⎧=/->-≥-+,11,01,0232x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧=/>≤≤-,2,1,
31x x x
即21<<x 或.32≤<x
故所求的定义域为].3,2()
2,1(
(2)由题意有,0)1(log >-x
x a
①当a>l 时，则有,11>-x x 即
,01
2>--x
x x 解得<=2510<x 或⋅+>251x
②当10<<a 时，则有,110<-<x x 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-->-,
01,01
2
2x x x x
x
解得2511-<
<-x 或⋅+<
<2
511x 故当a>1时，所求的定义域为 )0,251(-);,25
1(+∞+ 当0<a<1时，所求的定义域为 )251,1(--⋅+)2
5
1,1( 2．求下列函数的值域．
);2(131
5)1(≥--=
x x x y x
x x
x e e e e y --+-=23)2(
[答案],131.
3235)1(-+=x y 又,513,2≥-∴≥x x ,511310≤-<∴x ⋅≤<∴5
9
35y 故所求的值域为⋅]5
9,35(
(2)由原式变形可得,2
322+-=x
x e e y 即,13
22-+-=y y x 而,02>x e ,032>-+∴即,123<<-y 故所求值域为⋅-
)1,2
3
( 专题3 恒成立不等式中参数范围的确定
专题详解：确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活地应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题应该是学习的重点；但怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围呢？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又应该是学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换，综合地运用所学知识，方可取得较好’的解题效果，因此此类问题的求解也应该是学习的难点，本专题对此类问题的求解策略与方法作一个提炼总结．
1．不等式解集法，
不等式在集合A 中恒成立等价于集合A 是不等式解集B 的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．
[例1] 已知a x <-|25
|时，不等式4|5|2<-x 恒成立，求正数a 的取值范围． [答案] 由a x <-|25|得;2
525a x a +<<-由-2|x 4|5<得13,912
-<<-<<x x 或.31<<x
记=A ),25,25(a a +-),3,1()1,3( --=B 则≤-∴⊆3.B A 12525-≤+<-a a （无解）或2
5
251<-≤a
≤<∴≤+a a 0,3,21故正数a 的取值范围⋅)2
1
,0(
2．函数最值洗
已知函数)(x f 的值域为[m ，n]，则a x f ≥)(恒成立≥⇔n u n x f )(,a 即a x j a m ≤≥)(：恒成立。