振动和波

振动和波
（一）专项训练
【例题精选】
例1一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：
A．若t时刻和()
t t
+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则∆t一定等于T 的整数倍
B．若t时刻和()
+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则∆t一定等于T/2
t t
的整数倍
C．若∆∆
=+
，则时刻和()时刻振子运动的加速度一定相等
t T t t t
D．若∆∆
/()
2，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等
=+
t T t t t
分析：弹簧振子作简谐振动图象如图所示，图线上A点与B、E、F、I等点所对应的时刻振子位移大小相等，方向相同，由横轴看可知，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T 的整数倍，而A点与B、F等点对应的时刻差不是T或T的整数倍，因此A选项不正确。

A点与C、D、G、H等点所对应时刻振子位移大小相等，方向相反，由横轴看可知，A 点与C、G等点所对应时刻差为T/2或T/2的奇数倍，A点与D、H等点所对应时刻差不是T/2或T/2的奇数倍，选项B不正确。

如果t t t
+∆时刻差为一个周期，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一时刻与()
定相等，选项C是正确的。

如果t t t T
+∆2，这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，振子分时刻与相差
()/
别位于平衡位置两侧，弹簧的长度显然不相等，选项D是错误的。

答案：C。

例2作简谐振动的弹簧振子振动图象如图所示，下列说法中正确的是
A．t=0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零
B．t=1s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的动能和动量
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
E．5秒内振子通过的路程是25cm，而位移是5cm。

分析：弹簧振子以O为平衡位置在AB间作简谐振
动，定向右为正方向，振动图象即题目的图象
t=0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，回复力
为零，加速度为零，但速度为最大值，动能最大，势能
为零，选项A错误。

t=1s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，回复力最大，加速度最大，而速度为零，动能为零，势能最大。

选项B正确。

t1和t2时刻振子同位于正向D处（看实物图），弹簧有相同的伸长量，有相同的势能，简谐振动机械能守恒，这两时刻振子有相同的动能，但t1时刻振子在D点，t1时刻是向正方向运动，t2时刻回到D点是向负方向运动（看振动图象）两时刻速度大小相等，但方向相反，所以动量不相同。

选项C错误。

t3和t4时刻由图象和实物图看振子均在反方向E处，弹簧处于压缩状态，位移为负，回复力指向O，是正方向，因此有大小相等，方向相同的加速度。

选项D正确。

由图象看，振动周期T=4s，5秒为11
4
周期，t 时刻振子在平衡位置，经一个周期
振子通过的路程即振动轨迹的长度恰为四倍振幅，又振幅A=5cm，所以振子在5秒内通过
的路程是5cm×4×11
4
=25cm，而5s末振子恰在正向最大位移处。

位移为x=5cm，选项E
正确。

答案：B、D、E。

例3如果下表中给出的是作简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是：
A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v
B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v
C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v
式给出一个周期的四个特殊时刻的四种可能的位移和速度，信息量很大，要对四个选项表示的x和v的对应关系的正、误作出判断，必须概念清楚，善于抓住要点进行比较，才能得出正确结论。

首先审查表中每一栏，发现每一栏单独表示简谐振动的位移x或速度v都是符合振动规律的，因此要判断选项中给出的x和v的对应关系是否正确，只需注意t=0和t=T/4这两个时刻的对应关系即可。

如果甲表示位移，t=0时，x=0，t=T/4时，x=+A，可见t=0时质点应以正向最大速度通过平衡位置，才能经T/4到达正向最大位移。

比较丙、丁两栏可见丙栏正确表示了对应的速度变化情况，可以断定选项A正确，选项D与选项A不相容，断定选项D错误。

如果丁表示位移，即当t=0时，x=－A，t=T/4时，x=0，可见t=0时质点处于负向极端位置，以后向正方向运动，于T/4时从负到正通过平衡位置，速度为正向最大。

比较甲、乙两栏可见，甲正确表示了对应的速度变化规律，所以选项B正确，选项C与B不相容，选项C错误。

答案：A、B。

例4 水平放置的弹簧振子作简谐振动，周期为T ，t 1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t 2时刻振子速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反。

若t t t t 2132-=-,则： A ．t t t 123时刻，时刻与时刻，弹性势能都相等 B ．t t 13时刻与时刻弹簧的长度相等 C ．t t n T n 31212
0123-=+=(),,,，……
D ．t t n T n 31120123-=+
=(),,,，……
分析：据题意，t 1时刻振子不在平衡位置，速度不为零；t 2时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相反，且t 3－t 2=t 2－t 1，如何依据这三个条件，确定t 1时刻振子的位置是解题关键。

把振子振动情况与其振动图象联系起来，如图示，振子小球以O 为平衡位置，在A 、B 之间作简谐振动，以球在正向最大位移处A 点为t =0时刻，则其位移随时间变化规律的振动图象如其右图所示，当经时间t 1运动到C 处，速度向下为v ，此时振子位移为x =+x ,弹簧为伸长状态。

t 2时刻振子在D 处，速度向下，弹簧处于压缩状态，位移为x x t =-13(时刻振子经反向最大位移处又回到处，速度向上，位移D x x =-1)，
由于t t t 123、、时刻位移大小相等，据简谐振动，势能转换及机械能守恒。

振子动能相同，速度大小相同，t t 12，时刻速度方向相同，
t 3时刻速度方向与t 1时刻相反，符合题意
由题意中t t t t 3221-=-,从图象上可知，
t t T t t T t 2132114
14
-=
-=
；，符合所以时刻选择的是恰当的。

t C t t 123时刻振子在处，,时刻振子在D 处，由于距平衡位置O 等距，弹簧伸长和压
缩的形变量相同，因此这三个时刻弹性势能相同，振子动能相同。

选项A 是正确的。

但t t 13,时刻弹簧分别处于伸长和压缩状态，弹簧长度显然不同，选项B 是错误的。

考虑到振子每经一个周期又回到原位置，则t t n T t t n T 213214
14-=+
-=+
()()，
((),())
图象中t t T t t T 2132114114'-=+'-'
=+，
将
以上两式相加有
t t n T n T 31214
212
-=+
=+
()()，n =0123,,,……故选项C 是正确的，选项D 是错误的。

答案：A 、C 。

例5 一列竖直面内振动的横波，从O 点出发沿水平方向向右传播，振幅为A ，波长为λ。

某一时刻，O 处质元正通过平衡位置向上运动，在其右方水平距离为32λ/的质元P 正位于平衡位置。

经过1/4周期后，质元P A ．与O 的水平距离变为，74λ/位于平衡位置
B ．与O A 的水平距离变为，在平衡位置下方距离为处74λ/
C ．与O 的水平距离不变，在平衡位置下方距离为A 处
D ．与O 的水平距离不变，在平衡位置上方距离为A 处 分析：此横波是在竖直面内上下振动向右传播，故每个传波质元都被前方质元带动，在平衡位置附近作上、下振动，而不随波的传播方向向右移动。

所以质元P 与O 的距离是不会改变的，故选项A 、B 是错误的。

质元P 距O 处质元32λ/，恰与O 处质元是反相振动质元（相距半波长奇数倍的两个质元是反相振动质点），O 处质元通过平衡位置向上运动，P 质元恰通过平衡位置向下运动；经T/4，O 处质元到达正向最大位移处，P 质元恰到负向最大位移处，即在平衡位置下方距离为A 处，故选项C 是正确的。

答案：C 。

例6 实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距3m 的两点P 和Q 的振动图象，若P 点离波源比Q 近，则该波的波长值可能为： ；若Q 点比P 点离波源近，则该波的波长值可能为： 。

分析：（1）P 点比Q 点离波源近，则振动先传到P ，P 的振动带动Q 振动。

由振动图象看，P 在
正向最大位移处，则过34T nT Q +⎛⎝ ⎫
⎭
⎪时间点才能到
达
正
向最大位移处，
又
Q
距P 为3m ，则
v n T
v T n n n =
+
==+
=+=334
334
1243
0123()()
(,,,)，又·，所以……λλ。

（2）如果Q 点比P 点离波源近，则由振动图象看可知Q 点的振动超前P 点振动
(/)(),,,T nT n T n t Q 41401230+=+==，……。

时，点在平衡位置向下振动，P n T 点要再经过()+
14
才能从平衡位置向下振动。

则有：v n T
v T =
+
=314(),λ·，
所以……λ=
+=1241
012n n (,,)。

答案：若P 点距波源比Q 点近，则该波波长可能值为
1243
n Q +()米；若点距波源比P
点近，则该波波长可能值为1241
0123n n +=(),,,米……。

小结：质点的振动每经一个周期又回到原位置；经一个周期波向外传出一个波长，而波
的形状不变。

所以P 点超前Q 点的时间可能是
34
34
T n T Q P 或；点超前()+
点时间是
14
14
123T n T n 或……。

()(,,)+
=
例7 一列横波在x t t s 轴上传播，在和1200005==.两个时刻的波形如图所示（t t 12时刻实线示，时刻虚线示）
（1）由图所示读出波的振幅和波长
（2）设周期大于()t t 21-，如波是向右传播的，波速多大？如波是向左传播的，波速
多大？ （3）设周期小于()t t 21-，且波速为6000米/秒，这列波传播方向如何？ 解：（1）由图象可知：波的振幅A=0.2m ，波长λ=8m 。

（2）在t P 1时刻波形上选一参考点,当t t T 21-小于周期时，波传播距离小于一个波长。

若此波向右传，由图可知P 点的振动恰传到M 点，P M s m ==2,则波速
v s t t m s =
-=
=21
20005
400./。

若波向左传，由图可知P 点的振动恰传到N 点，PN=s '=6m ，则波速v s t t =
'-21
=
6
0005
1200./=m s 。

（3）周期小于()()t t t t 2121--，则说明时间内传出距离大于一个波长。

波速
v m s t t s =-=6000000521/.，则内传出距离为6000000530m s s m /.,⨯=又波长
λ=8m ,30米合3个波长零6米（
34
波长），因为每传出一个波长波形不变，所以只考虑6
米（
34
λ），由图象可知，波是向左传播的。

例8 如图所示，广场上A 、B 两点相距6米，A 、B 两处分别装有同样的声波波源。

它们发出的声波波长λ=1米。

以AB 的中点为圆心，4米长为半径做圆。

有一人站在圆周上C 处（C 在AB 连线的垂直平分线上）从C 点开始沿圆周走半圈的过程中（包括C 点），他用接收器接收声波信号时，有几次不到信号，有几次收到的信号最强。

分析：这是一道考查波的干涉知识的例题。

解：在A 、B 两处放有两个完全相同的声波波源，（同相振动）。

发出相同的声波是相干波，在圆周的不同位置有的是干涉的强区，有的是干涉的弱区。

对于完全相同的两波源A 、B （同相振动）满足振动加强区的点的条件是该点距两波源的路程差∆r r r K K =-==±±12012·……，λ(,,)即波长的整数倍；满足振动为弱区的点的条件是该点距两波源的路程差∆r r r K K =-=+=±±12212
012()(,,),λ
……即半波
长的奇数倍。

如图示上P A B 点距、的距离之差——路程差为 ∆r r r R a Ra R a Ra =-=
++-
+-122
2
22
22cos cos αα
∆r
R a R a R a 2
2
2
4
2
2
2
22222=+-+-cos α
其中圆半径R m a A B m C r ==
==︒=42
3900,,,,对于点α∆是一个加强点。

同理对
于D 点∆∆r E r m m =====00661，是一个加强点。

对于点，，αλλ()显然是一个加强点。

当α由900︒︒减小到的过程中，随减小α∆r 是单调增加的，因此在圆周上必然还对应有∆r =λλλλλ,,,2345和的点，对应下面的1/4圆弧又有5个点。

所以在整个半圆上共有13个接收到信号最强的点；同样在半圆周上共有12个减弱点（强弱相间）在这些点上收不到信号。

【专项训练】
一、选择题：
1、作简谐振动的物体，每次通过同一位置时，不一定相同的量是 A ．位移 B ．速度 C ．加速度 D ．动量
2、关于单摆的运动，下列说法中正确的是 A ．单摆摆动过程中，摆线的拉力和摆球重力的合力为回复力 B ．摆球通过平衡位置时，所受合力为零 C ．摆球通过平衡位置时，所受回复力为零 D ．摆球摆动过程中，经过最大位移处时所受合力为零
3、关于机械波的概念，下列说法中正确的是 A ．质点振动方向总是垂直于波传播的方向 B ．简谐波沿绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小总相等 C ．任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长 D ．相隔一个周期的两时刻，简谐波的图象相同
4、一个质点作简谐振动，其位移随时间变化的关系如图所示，由图可知，当t=3s 时，质点的 A ．速度为正向最大，所受回复力为零 B ．速度为负向最大，所受回复力为零 C ．速度为零，所受回复力为正向最大 D ．速度为零，所受回复力为负向最大
5、摆长为1米的单摆，在t=0时正通过平衡位置向右运动，当t=1.2秒时，摆球的运动是 A ．正向左作减速运动，加速度的大小在增加 B ．正向左作加速运动，加速度的大小在减小 C ．正向右作减速运动，加速度的大小在增加 D ．正向右作加速运动，加速度的大小在减小
6、如图所示，物块m 放在平板车M 上，平板车放在水平光滑平面上，在水平轻质弹簧的弹力作用下，车与物块一起作简谐振动。

在振动过程中 A ．当弹簧伸长时，物块所受静摩擦力方向水平向左 B ．当弹簧压缩量最大时，物块所受的静摩擦力为零 C ．平板车运动到平衡位置时，它受到的静摩擦力最大 D ．平板车运动到平衡位置时，它受到的静摩擦力为零
7、一列波从第一种介质传入第二种介质，它的波长由λλλλ12122变为，已知，= 则该波在两种媒质中频率之比和波速之比分别为：
A．2∶1，1∶1 B．1∶2，1∶4
C．1∶1，2∶1 D．1∶1，1∶2
8、水平上有A、B两个振动完全相同的振源，在A、B连线的中垂线
上有三个点a、b、c，已知某时刻a点是两波峰相遇点，c点是最相近
的波谷相遇点，b处于a、c之间，如图所示，下列说法中正确的是：
A．a点是振动相加强点，c点是振动相削弱点
B．a点与c点都是振动相加强点，b是振动相削弱点
C．a点与c点此时刻是振动加强点，经过一段时间后，变为振动
削弱点，而b点可能变为振动加强点
D．a、b、c都是振动加强点
9、一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2。

若这两个行星的质量之比M1∶M2=4∶1，半径之比R1∶R2=2∶1，则
A．T1∶T2=1∶1 B．T1∶T2=2∶1
C．T1∶T2=4∶1 D．T1∶T2=22∶1 Array 10、如图所示，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸缩的细线上，两线
互相平行，两球重心在同一水平线上且互相接触。

第一球摆长为L，第二
球摆长为4L。

现将第一球拉开一个很小的角度后释放，在第一球摆动周期
的两倍时间内两球碰撞次数为：
A．2次B．3次C．4次D．5次
11、如图所示，一个弹簧振子在AB间作简谐振动，O是平衡位置，以某
时刻作为计时零点（t=0），经过1/4周期，振子具有正方向的最大加速度，那么可正确反映
振子振动的图象是：
2个波峰的时间间隔为0.4s，则下列说法中正确的是：
A．这列波的波长是5m
B．这列波的波速是10m/s
C．质点Q要再经过0.7s才能第一次到达波峰处
D．质点Q到达波峰时，质点P也恰好达到波峰处
二、填空题：
13、一列横波沿x x
轴正方向传播，轴上相距1.2米的两个质点A B
、振动方向始终相反，已知该波的频率为5赫兹，则这列波的波速为米/秒。

14、绳上有一列简谐波向右传播，当绳上某点A向上运动到最大位移处时，其右方相距0.3米处的B点速度刚好为零，已知波长大于0.15米，则该波波长可能为。

15、甲、乙两个单摆在同一地点，在甲摆振动15次的时间内，乙摆振动了12次，若甲摆摆长为0.8m，则乙摆摆长为m。

16、频率为5赫兹，波速为2米/秒的横波沿水平直线PQ的方向传播，P、Q两点相距50厘米，波峰传到Q点时，质点P的速度方向是，对平衡位置的位移是。

17、图示中t
1
=时的波形如实线所示，已知波速是8m/s。

当t s
2
0875
=.时的波形如
虚线所示。

则A t
点在
1
时刻的运动方向是，波的传播方向，从
t t A
12
到的这段时间内点通过的路程是米。

18、在一根张紧的水平绳上挂几个单摆，如图所示，其中A、
E摆长相等。

当使A摆振动起来时，其余各摆也跟着振动起来，
则振动周期跟A相同的摆有；振幅最大的摆是。

19、一个作简谐振动的质点，先后以相同的动量通过a、b
两点历时0.1s，再经过0.1s质点第二次反向通过b点。

若质点在
这0.2s内经过的路程是8cm，则此简谐振动的周期为
s，振幅为cm。

20、图示为一简谐波的一段图象，已知d点到达波峰的时
间比c点早0.01s，ac间的水平距离是4.5m，则该波的传播方
向为，波速为m/s。

三、计算题：
21、A、B两点间相距6m，A点为振源，若AB间充满某介质时，经0.5秒，A的振动可传到B，且B的振动总与A反相；若A、B间充满另一种介质时，A的振动传到B需经0.6秒，且B的振动与A同相。

求A点振动的最小频率。

22、A 、B 两物块叠放在一起，在光滑水平面上做简谐振动（之间无相对滑动）如图示，质量m A =1kg ，m B =2kg 相互间的最大静摩擦力f=4N 。

轻质水平弹簧的倔强系数K=100N/m ，试求： （1）如振幅为0.1m ，在振动过程中静摩擦力的最大值是多大？ （2）为了使AB 不发生相对滑动，振动的振幅最大不超过多少？
23、弹簧支承的车厢振动的固有频率为2赫兹，列车行驶在每段铁轨长为12.5米的铁路线上，当行驶速度为多少时车厢振动的最激烈。

24、在同一介质中有两个波源分别位于A 、B 两点，在传播中两列波的振动方向相同，振幅相同，频率都等于100赫兹，两波源的振动步调始终相同。

如果A 、B 两点相距30米，波在介质中的传播速度是400米/秒。

求：AB 连线上因波的干涉而静止的各点位置。

25、图中所示实线和虚线分别表示t t s 12005==和.时的波形图象。

（1）如果波在甲介质中沿x 正方向传播，且3421T t t T <-<()，则波速为多大？
（2）如果波在乙介质中传播，传播方向沿x 轴负方向，且3421T t t T <-<()，则波速多大？ （3）如果波在丙介质中的波速是74m s /，则该波的传播方向如何？
【答案】
一、选择题： 1、BD 2、C 3、BD 4、B 5、A 6、AD 7、C 8、D 9、A 10、B 11、D 12、BCD
二、填空题：
13、
1221
0123n n +=(,,,)……
14、0.2米，0.3米，0.6米 15、1.25 16、向下，0 17、向y 轴正方向，向左，0.7 18、B 、C 、D 、E ，E 19、0.4，4 20、向左，150
三、计算题： 21、5HZ 。

提示：频率不变
一介质：在0.5s 内振动（n +
12
）次，f n n Z
=
+
=+1
205
21.(/)H 次秒
二介质：在0.6s 内振动K 次，f K K z =
=
06
53
.(H )
n , K 均为0，1，2…正整数（K ≠0），据频率不变，且最小2153n K +=,
则K =3,n f f ==25有最小代入Hz 。

22、（1）f N =33. （2）A m =012.
提示：（1）A 、B 振动过程中的最大加速度a KA m m m s A B =+=/()./332， 对A 来说，静摩擦力是A 做简谐振动的回复力，其静摩擦力的最大 值为f m a N A ==33.. （2）为了使AB 不发生相对滑动，它们之间的最大静摩擦力为A 的回复力，
则f m a m A =，此时振动的最大加速度a f m m s m m A ==//42，振动
的振幅最大值为KA m m a A B m =+()则A m m a K
m A B m
=
+=()..012
23、25m/s 提示：使火车撞击铁轨接缝处振动的策动力频率等于弹簧的固有频率2Hz ，激 起共振，车厢振幅最大。

设车速v v
v ,..m /s 振动一次
12515
125225=∴=⨯=。

24、距A 为2，4，6，……28米 提示：f v v f ====1004004Hz,m/s,/m 则λ，波源是同相振动，在AB 连线的30m 上，波程差满足半波长奇数倍的点均为振动减弱点，即由于干涉而 静止的点，半波长为2m ，则距A 向B 排列2m ，4m ，6m ……28m 。

25、（1）v m s =54/ （2）v m s =58/ （3）该波向左传 提示：由图知波长λ=8m （1）t t s T T s v T m s 210533
8
42754-==∴===.,//λ （2）t t s T T s v T m s 2105358429
58-==∴=
==.,//λ
（3）s v t t m =-=⨯==().217405374
58
λ，所以该波向左传播。

（二）综合练习
【例题精选】： 例1：若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的12
，则单摆的
A ．频率不变，振幅不变
B ．频率不变，振幅改变
C ．频率改变，振幅改变
D ．频率改变，振幅不变
解析：本题考查单摆振动周期或频率与摆球质量和摆角无关，只由摆长和当地重力加速
度决定，即T L g
=2π。

因而频率不变。

振动过程中机械能守恒，在摆长不变情况下总机
械能可以由在平衡位置的动能或最大振幅时的势能表示，本题经过平衡位置时动能
E m v E m v m v K K 12
12
1
2
4212
12
2
2
=
=⎛⎝ ⎫
⎭⎪
=
,，单摆机械能未变化，最大位移处与平衡位置的
高差h v
g
=2
2，由于v 的减小而减小，在摆长不变条件下，振幅要减小，正确选项是B 。

例2：单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是 A ．位移 B ．速度 C ．加速度 D ．动量 E ．动能 F ．摆线张力
解析：通过同一位置，其位移不变，同时加速度、回复力、速率、动能也不变，摆线张
力m g m
v
L
cos α+2
也不变，由单摆振动的往复性可知相邻两次经过同一位置速度方向发生改变，从而动量也发生改变。

符合题意的选项是BD 。

有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？ 例3：若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球经过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？ 解析：单摆摆至最大位移处速度为零，此时摆线断了，摆球只受重力，因此摆球做自由落体运动。

在平衡位置线断了，此时摆球有最大水平速度，又只受重力，所以摆球做平抛运动。

本题除了考查单摆振动中速度特点外，还考查了物体运动轨迹是由受力和初速度决定的这一基本知识。

例4：在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为K ，振子质量为M ，振动最大速度为v 0，如图2所示。

当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放在其上，则 （1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩因数至少有多大？ （2）一起振动时，二者通过平衡位置时的速度是多大？振幅又是多大？ 解析：（1）对M 与m 整体以及m 隔离受力分析如图3所示，在最大位移处，竖直方向均为平衡态，水平方向加速度应相同即
()T K A M m a a K A
M m f m a f m g ==+=+==,,,μ, μmg ma ≥时一起振动。

∴ ()μ≥
=+a g KA
M m g 即为所求。

（2）振动过程机械能守恒，在最大位移处放上m 并没有改变弹簧的势能，因为弹性势
能只由K 和A 决定，与振子质量无关。

因此振回到平衡位置总动能应不变。

由于系统质量的增加，其速度要减小，即
()1
21
202
2
0m v M m v v M
M m
v =
+=
+,。

振幅不变仍为A 。

如果此题改为在平衡位置放上m ，而且能够共同振动，问其振幅和经过平衡位置的速度将如何变化？答案是振幅和经过平衡位置速度都要减小原因是m 放到M 上开始速度为零，到与M 有共同速度振动，与M 相对打滑，滑动摩擦力与相对位移乘积等于系统机械能的损失。

例5：如图4所示，甲为某一波动在t = 1.0秒时的图象，乙为参与该波动的P 点的振动图象，
（1）说出两图中AA '的意义？ （2）说出甲图中OA 'B 图象的意义？ （3）求该波速v = ? （4）在甲图中画出再经过3.5秒时的 波形图。

（5）求再经过3.5秒时P 点的路程S 和位移？ 解析：本题要考查用振动图象和波形图象解决问题的基本方法。

（1）如何区分两种图象，坐标轴意义不同是主要区分方法。

纵座标表示位移是相同点，振动图象的横轴表示时间，波形图的横轴表示介质中的位置。

（2）会从图象直接读出的参量，波形图中的振幅、波长；振动图中的振幅、周期。

还有图象中每个点的对应参量。

如果再给一个速度v ，即可解决两个图象间的联系
v f T
==
λλ。

（3）振动图中可以读出某时刻质点振动方向，波形图已知波形的传播方向，可以判断
介质中各点此时的振动方向。

（4）根据波源质点振动一个周期，波在介质中传播一个波长的特点，可以画出不同时刻的波形图。

根据上面总结的方法。

由甲图可以直接判断出各点振幅为0.2厘米，波长为4米；由乙图可直接判断出P 点振幅是0.2厘米，周期为1.0秒，且1.0秒时P 点振动方向为－y 方向。

再根据甲图P 点此时振动为－y 方向，可判断出波传播方向为－x 方向，v T
=
==λ41
4米/秒。

（1）甲图中AA '表示质点A 振幅为0.2厘米，或1.0秒时A 质点位移为－0.2厘米。

乙图中AA '表示P 点振幅为0.2厘米，也表示0.25秒时位移大小是0.2厘米，方向为负。

（2）甲图中OAB 段图线表示O 到B 之间介质中所有的点在1.0秒时位移方向均为负，OA '间各质点正向远离平衡位置方向振动，A 'B 间质点向靠近平衡位置方向振动。

（3）v T
=
=λ
4m /s
（4）甲图中再经过3.5秒时波形图，可用平移法，即
3.5秒 = 3.5 / 1.0 = 3.5T ，波左移3.5个波长，只需向左平移λ
2
即可；
也可以用描点法，例如B 点此时向+y 方向振动，3.5T 后还在平衡位置，振动向－y 方向，再选O 、A 、C 等位置和振动方向，运用描点法得出结果，答案如图5所示。

（5） 根据振子一个周期要经过4个振幅的路程，所以3.5个周期经过路程是 S = 3.5 × 4 × .02 = 2.8cm 。

由于经过3.5个周期P 点位置不变，因此位移得零。

例6：如图6所示，实线是某时刻的波形图线，虚线是0.2秒后的波形图。

（1）若波向左传播，求它传播的可能距离？ （2）若波向右传播，求它的最大周期？ （3）若波速是35m/S ，求波的传播方向？ 解析：由图象可以直接读出波长为4米，若波向左传
播由实线到虚线∆x m m n ==+⎛
⎝ ⎫⎭⎪=+⨯134434
4λ
，
()∆x n n =+=430123,,,,,
∆x m =3711,,, 。

还可以用另一种方法解决第一问的问题，即向左传播0.2 = n T +
⎛⎝
⎫⎭
⎪34, ()T n n =
+=0843
0123.,,, ，而()S v t v T
n S n =⨯=
=+=+,,λ
54343。

结果同上。

第一问答案：3m , 7m , 11m ……。

波向右传播()..,.,,,021408
41
012=+
⎛⎝
⎫⎭⎪=
+=n T T n n 最大周期为n = 0时，T = 0.8秒。

第二问答案0.8秒。

由v T
T v
===
λλ,4
35
，若向左传播435
0843
=+.n ，n = 1，若向右传播
435
0841
15=
+=.,.n n 不合题意。

第3问答案是向左传播。

或用另一种解法。

a 2秒内传播距
离∆S v t =⋅=⨯==35027134
.米λ，因而第三问答案向左传播。

例7：有一个单摆，当摆线与竖直方向成θ 角，（θ < 5︒）时，摆球的速度为零，摆球摆到最低点时速度为v ，求单摆的周期？ 解析：设摆长为L ，摆球由最大位移处向最低点运动过程机械能守恒，()()
m g L m v L v
g 112
212
2
-=
=
-cos ,cos θθ，单摆周期()
T L g
v g
=
=-22
2
221π
π
θcos 。

答案：
()
2121πθv g
-cos
例8：一单摆的摆长为L ，摆球质量为m ，原来静止，在一个水平冲量I 作用下开始摆动。

此后，每当摆球经过平衡位置时，使给它一个与其速度方向一致的冲量I 。

求摆球经过多长时间后，其摆线与竖直方向夹角可以达到α？（不计阻力，所施冲量时间极短，α < 5︒） 解析：设摆球经过平衡位置次数为n ，则摆球达最大偏角α时所需时间
()
t n T T n T T =-+=-
12424。

由动量定理和机械能守恒定律得nI = mv 。

()12
122
m v
m gL T L g =-=cos ,απ
，解上面4个式子得 ()t m L I
L g
=
--
παπ212
cos 。

例9：蝙蝠如果每秒发射50次超声波，每次发出100个频率为105H 2的波，那么在空气中形成一系列断续的波列。

已知空气中声速为340m/S ，求 （1）每个波列的长度及两列波间隔的长度 ？ （2）如果这声波进入水中传播，声波在水中的传播速度为1450m /S ，那么波列的长度及两波列间隔的长度又是多少？
解析：（1）波长λ111
5
3
34010
3410
=
==⨯-v f .m ，设波列长度L 1, L 1 = 100λ1 = 0.34m 。