振动和波
第三章-振动和波
第三章振动和波当飞机以超过音速的速度飞行，飞机所发出的音波无法跑在飞机前方，全部叠在机身后方，形成了音爆(sonic boom)，这种波传到时，我们会听到一声轰然巨响。
在飞机正好要加速穿过音障(sound barrier)时，在飞机的周围有时会有一团云雾形成。
这是一架F/A-18大黄蜂战机穿过音障的瞬间。
振动是物体一种普遍的运动形式。
物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，将机械振动范围这一概念加以推广，对描述物体运动状态的物理量在某一数值附近来回往复的变化时，均可称该物理量在振动。
如电路中电压、电流、电路中的电场强度和磁场强度等也都可能随时间作周期性的变化，这种变化也称为振动—电磁振动。
各种振动本质不同，基本规律相同。
振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动又包括阻尼自由振动和无阻尼自由振动（简谐运动）。
波动是振动状态在空间的传播，它是物质的一种特殊的运动形式。
常见的波有两大类:机械波和电磁波。
近代物理研究发现，微观粒子具有二相性-波动性和粒子性，因此研究微观粒子的运动规律时，波动概念也是很重要的基础。
各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。
本章主要讨论机械振动和机械波的概念和规律，其规律可推广到一般振动和波动。
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。
描述简谐运动的三个特征量是振幅、周期和相位。
简谐运动物体的速度、加速度也是随时间变化的周期性函数，除解析方法外，简谐运动也可以用曲线法和旋转矢量法表示。
简谐运动过程中存在着势能与运动动能的相互转化，总机械能守恒。
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。
当描述物体的变量如位移x(t)满足运动方程时，其解可以表示为x = A cos (w t+j)，这种用时间t的正弦或余弦函数来描述的运动，叫做简谐振动或简谐运动（simple harmonic motion），上述两式分别叫做简谐运动的微分方程和积分方程。
第五章 振动与波 基本知识点
o受迫振动振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
受迫振动的频率等于驱动力的频率cos()d A t ψωϕ=+tF F d ωcos 0=当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。
这种现象称为共振。
共振2)若两分振动反相(位相 相反或相差的奇数倍)x即 φ2φ1=(2k+1) (k=0,1,2,…)ox2x1T 2T合成振动3T 22T则A=|A1-A2|, 两分振动相 互减弱, 合振幅最小; 如果 A1=A2，则 A=0t11同方向不同频率简谐振动的合成1、分振动为简单起见，令A1 A2 Ay1 A cos(1t ),y2 A0 cos(2t )2、 合振动y y1 y2 1 2 1 2 y 2 A cos t t cos 2 2 合振动不是简谐振动12当1 、2很大且接近时, 2 1 2 1 令：y A(t )cos t2 1 )t 式中 A(t ) 2 A0 cos( 2 2 1 cos t cos( )t 2随t 缓慢变化 随t 快速变化合振动可看作振幅缓慢变化的简谐振动 当频率 1 和 2 相近时，两个简谐振动的叠加，使得 合振幅时而加强、时而减弱，形成所谓拍现象。
13ψ1 t ψ2 t ψ t拍 拍： 合振动忽强忽弱的现象。
拍频 ：单位时间内强弱变化的次数。
1 拍 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 14波的产生与传播1、波的产生 波：振动在媒质中的传播，形成波。
产生条件：1) 波源—振动物体; 2) 媒质—传播振动的弹性物质.2、机械波的传播机理(1) 波的传播不是媒质中质点的运输, 而是“上游” 的质点依次带动“下游”的质点振动 (2) 某时刻某质点的振动状态将在较晚时刻于“下游” 某处出现——波是振动状态的传播153、机械波的传播特征 波传播的只是振动状态，媒质中各质点并未 “随波逐流”。
高中物理振动和波公式总结
高中物理振动和波公式总结高中物理振动和波公式1.简谐振动F=-kx {F：回复力，k：比例系数，x：位移，负号表示F的方向与x始终反向}2.单摆周期T=2π(l/g)1/2 {l：摆长(m)，g：当地重力加速度值，成立条件：摆角θ<100;l>>r｝3.受迫振动频率特点：f=f驱动力4.发生共振条件：f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用5.机械波、横波、纵波：波就是振动的传播，通过介质传播。
在同种均匀介质中，振动的传播是匀速直线运动，这种运动，用波速V表征。
对于匀速直线运动，波速V不变(大小不变，方向不变)，所以波速V是一个不变的量。
介质分子并没有随着波的传播而迁移，介质分子的永不停息的无规则的运动，是热运动，其平均速度为零。
6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}7.声波的波速(在空气中)0℃332m/s;20℃：344m/s;30℃：349m/s;(声波是纵波)8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)10.多普勒效应：由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同{相互接近，接收频率增大，反之，减小｝高中物理振动和波知识点1.简谐运动(1)定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动.(2)简谐运动的特征：回复力F=-kx，加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零;在最大位移处，速度为零，加速度最大.(3)描述简谐运动的物理量①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量，其最大值等于振幅.②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱.③周期T和频率f：表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系，即T=1/f.(4)简谐运动的图像①意义：表示振动物体位移随时间变化的规律，注意振动图像不是质点的运动轨迹.②特点：简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线.③应用：可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x，判定回复力、加速度方向，判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况.2.弹簧振子：周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放置的环境和放置的方式无任何关系.如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中;是水平放置、倾斜放置还是竖直放置;振幅是大还是小，它的周期就都是T.3.单摆：摆线的质量不计且不可伸长，摆球的直径比摆线的长度小得多，摆球可视为质点.单摆是一种理想化模型.(1)单摆的振动可看作简谐运动的条件是：最大摆角α<5°.(2)单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力.(3)作简谐运动的单摆的周期公式为：①在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关.②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长L和当地的重力加速度g有关.③摆长L是指悬点到摆球重心间的距离，在某些变形单摆中，摆长L应理解为等效摆长，重力加速度应理解为等效重力加速度(一般情况下，等效重力加速度g'等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值).4.受迫振动(1)受迫振动：振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动.(2)受迫振动的特点：受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关.(3)共振：当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，振动物体的振幅最大，这种现象叫做共振.共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率. .5.机械波：机械振动在介质中的传播形成机械波.(1)机械波产生的条件：①波源;②介质(2)机械波的分类①横波：质点振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波.横波有凸部(波峰)和凹部(波谷).②纵波：质点振动方向与波的传播方向在同一直线上的波叫纵波.纵波有密部和疏部.[注意]气体、液体、固体都能传播纵波，但气体、液体不能传播横波.(3)机械波的特点①机械波传播的是振动形式和能量.质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移.②介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同.③离波源近的质点带动离波源远的质点依次振动.6.波长、波速和频率及其关系(1)波长：两个相邻的且在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.振动在一个周期里在介质中传播的距离等于一个波长.(2)波速：波的传播速率.机械波的传播速率由介质决定，与波源无关.(3)频率：波的频率始终等于波源的振动频率，与介质无关.(4)三者关系：v=λf7. ★波动图像：表示波的传播方向上，介质中的各个质点在同一时刻相对平衡位置的位移.当波源作简谐运动时，它在介质中形成简谐波，其波动图像为正弦或余弦曲线.由波的图像可获取的信息①从图像可以直接读出振幅(注意单位)②从图像可以直接读出波长(注意单位).③可求任一点在该时刻相对平衡位置的位移(包括大小和方向)④在波速方向已知(或已知波源方位)时可确定各质点在该时刻的振动方向.⑤可以确定各质点振动的加速度方向(加速度总是指向平衡位置)高中物理学习方法听得懂高中生要积极主动地去听讲，把老师所说的每一句话都用心来听，熟记高中物理概念定义，这是“知其然”，老师讲解的过程就是“知其所以然”，听懂，才会运用。
振动和波详述
第二节 波动学基础
惠更斯原理：在波的传播过程中，波阵面上的每一 点都可以看作发射次级子波的波源，在其后的任一 时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面.
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
第二节 波动学基础
二、 波动方程（平面简谐波的波函数）
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
G 切变模量
E 弹性模量
K体积模量
横波 纵波
343 m s 空气，常温
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土
第二节 波动学基础
例1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
第二节 波动学基础
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(πs-1)t - π]
y
y/m
3
1.0
3*
Tλ
y(x,t) Acos(t - kx )
➢ 质点的振动速度，加速度
角波数 k 2π
v y -Asin[(t - x) ]
t
u
a
2 y t 2
-
2
A cos[ (t
-
x) u
]
第二节 波动学基础
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
振动和波
T —周期
—波长
—频率
机械波在介质中的传播速度由介质的性质所决定，与 波源无关，在不同的介质中波速不同。一般说，在弹性大、 密度大的介质中，波速大；在弹性小、密度小的介质中波 速小。
5 波的图像
在xOy坐标平面上，画出某一时刻各个质点的平衡位 置x与该质点偏离平衡位置的位移y，并把这些点连成曲线， 就得到该时刻波的图像（波形曲线）. 横坐标x: 表示介质中各质点振动的平衡位置， 纵坐标y : 表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。
y
x v
Δx vΔt
例5-2 图为简谐波在某时刻的波形图，O点是波源，波速为 320 m/s。传播方向沿X轴正向（向右），此时P点的位移为 4 cm ，求：（1） 波的振幅A、波长λ、周期T和频率ν； ， （ 2）P、B点的加速度和速度方向；（3）再经过(1/800) s时， P点的位移，以及这段时间内P点通过的路程。 解 （1）由图可知，A = 5 cm ，λ = 0.8 m
介质中有机械波传播时，介质中的物质并不随波一起 传播，传播的只是振动这种运动形式。
波在传播振动这种运动形式的同时，也将波源的能量传 递出去。波是传递能量的一种方式。
4 波长、周期、频率和波速
波长（λ）
在波的传播方向上，对平衡位置的位移总是相等的两个相 邻质点间的距离，叫做波长。
A O A
1
4
13
16
在横波中，凸起的最高处叫做波峰，凹下的最低处 叫做波谷。
波形特征：
存在波峰和波谷。
纵波：质点的振动方向与波动的传播方向平行
波形特征：存在相间的稀疏和稠密区域。
传播方向
4-30
密部 疏部
声波是一种纵波
第六章 振动和波
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。
(20 10 )
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
21
4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
Acos[ (t
x u
)
0
]
y( x, t)
A cos [(t
0 )
2
x ]
2 /T u /T
也即p点的相位落后于O点相位：2x
O
y
u
x
p
这就是右行波的波方程。
x
定义 k 为角波数
k 2 T
u T
2
2 2 ； T u u 因此下述几式等价
T
27
左行波的波函数：
0 20超前10
20 10 0 20落后10
=（2n1） 反相 =2n 同相
4
1-3 简谐振动的动力学方程
• 简谐振动的动力学方程 弹性力
mx kx
U ( x) 1 kx2 2
令k
m
2 0
x
2 0
x
0
其解：x(t)
结论
A
cos( 0 t
0
)
质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比
且反向，或质点的势能与位移（角位移）的
以横波为例说明平面简谐波的波函数。
已知O点振动表达式： y Acos(t 0 )
y表示各质点在y方向上的
位移，A是振幅，是角频
率或叫圆频率， 0为O点在
医用物理学振动和波
称为阻力系数
d x dx m 2 kx dt dt 2 d x dx k x0 2 dt m dt m 令： 2 k 0 m 2m
2
o
fmF
X
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
……(1)
(阻尼振动的 微分方程)
2
称为阻尼因子
v人
v人 F F强 强 v v
共振---最强烈的强迫振动现象 1）位移共振--共振时振幅最大。
A
F0
2
m ( ) 4
2 0 2
2
d 2 2 2 2 2 A要最大： [( 0 ) 4 ] 0 dt
解得：
2
2
1
A1
x
2）矢量法
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) x A cos(t ) 2 证明： 所代表的谐 A
振动就是合振动
Y
A2
A1
A
x . x A 矢量代表的谐振动的圆频率与振动 1 2 相同； A1 A2 1 2 不变。
习题：6，8，9，10，11，13，14，15，16，18
§3--1简谐振动（Simple harmonic motion）
一）简谐振动方程
二）谐振动的振幅、周期、（频率）和周相 （位相或相位）
三）谐振动的表示（谐振动的矢量图表示）
§3--2阻尼振动（Damped Oscillation） 强迫振荡（Forced Oscillation）共振
呀！受不 了啦！
§3--3振动的合成与分解 （Superposition of Harmonic Oscillation) 引：
第9章-振动和波
恢复力与弹性力
图中的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位 置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力， 物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到P点， 然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的 作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡 位置移动的力叫作恢复力。
恢复力和惯性这一对矛盾 不断斗争，它们的作用交替消 长，力学系统就在平衡位置左 右一定范围内来回振动。
(2) 2 1 (2k 1) , k 0, 1, 2,
则 A | A1 A2 |
(3) 2 1 为一般值
则 | A1 A2 | A A1 A2
2. 方向相同，频率不同的两个简 谐振动的合成
设
x1 x2
A1 cos(1 t 1) A2 cos(2 t 2
)
为简单起见，设
A1 A2 A
2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体 偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也 越大。
恢复力与弹性力
重力也可以成为恢复力。如 图所示的单摆，如将小球从 平衡位置拉到P点再松手，小 球将在平衡位置O点附近往 复摆动。它的结构虽与上述 弹簧振子完全不同，但它们 的运动性质是十分相似的。
的质量为 m，弹簧的倔强系
数为 k，选取 x 轴，以平衡
位置 O 为原点，则振子的运
动方程为：
mx kx
令：
2 k
m
解为： x A cos( t 0 )
其中 A, 0 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为简谐振动。
简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
x A cos( t 0 )
描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频 率和相位。
振动与波知识要点
振动与波知识要点一、机械振动1、一种振动：简谐振动掌握：简谐振动的特征；一维简谐振动方程；描述简谐振动的基本物理量（振幅、周期、频率、圆频率、相位）；简谐振动的能量要点：①一维简谐振动方程)cos(ϕω+=t A x →速度方程)sin(ϕωω+-==t A dtdx v (平衡位置处A v m ω=) →加速度方程x t A dt dv a 22)cos(ωϕωω-=+-== (正负最大位移处 A a m 2ω=) ②基本物理量：﹡振幅)0(>A 常量→由振动初始条件决定﹡圆频率)0(>ω常量→由振动系统本身性质决定 （弹簧振子mk =ω ；单摆l g =ω；摆杆l g 23=ω） ﹡周期、频率、圆频率关系：ωπν21==T ； ﹡相位ϕω+=Φt （反映振动状态）： 初相ϕ（0=t ）→常量，由振动初始条件决定；相位差=Φ-Φ=∆Φ12)(12t t -ω（用于单个物体不同时刻间状态变化分析）或相位差=Φ-Φ=∆Φ1212ϕϕ-（用于两个同频率振动相关问题分析） ③振动能量：振动总能量2222121kA A m E E E p k −−−→−=+=弹簧振子ω 动能Φ=2sin E E k ；势能Φ=2cos E E p （相位ϕω+=Φt ）振动过程中，动能和势能随时间变化，变化周期是振动周期的一半，它们相互转化，总能量保持不变2、一种分析方法：旋转矢量法 （※利用旋转矢量法判断时一定要画出旋转矢量图） 掌握：应用旋转矢量法分析初相问题、相位差问题、振动合成问题 要点：①任一时刻旋转矢量相对于x 轴正向的夹角θ表征简谐运动物体此时的振动相位ϕω+=Φt ；在t ＝0时刻，与x 轴正向夹角0θ即表征振动初相ϕ；②任一时刻，旋转矢量端点在x 轴上投影点的位置、运动方向表征简谐运动物体此时的振动位置x 及振动方向；③旋转矢量逆时针方向匀速旋转一周，转过角度πθ2=∆，所用时间ωπ/2=∆t ，表征简谐振动物体作一次完全振动，相位变化π2=∆Φ，振动周期为ωπ/2=T ；某段时间t ∆内旋转矢量旋转过的角度θ∆即表征简谐振动物体在这段时间内的相位变化t ∆=∆=∆Φωθ.3、一种合成：两个同方向同频率简谐振动合成掌握：合振动的分析；振动相长、相消条件要点：同相{),2,1,0(2 =±=∆Φk k π}振动相长，合振幅最大21max A A A +=反相{),2,1,0()12( =+±=∆Φk k π}振动相消，合振幅最小21min A A A -=二、机械波1、平面简谐波的波动方程掌握：①波动方程的几种基本形式； ②波动方程中的物理量分析及相互联系；③波形图的分析； ④由质点振动方程推出波动方程或由波动方程推出某处质点方程的方法；⑤波线上任意两点相位差的分析要点： ①波动方程的基本形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴正向传播 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴负向传播 ②基本物理量：﹡波的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）与参与波动的各质点振动的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）相同，都仅与波源的振动及性质有关﹡波速u →由传播介质的性质决定﹡波长λ＝两相邻波峰（或波谷）间距【横波】或两相邻密部（或疏部）间距【纵波】与波速u 、周期T （频率ν）间关系为 νλ/u uT == ，而ωπν21==T ﹡同一波线上坐标为x 1和x 2的两质点的振动相位差)(2)(212112x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω→沿x 轴正向传播)(2)(121212x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω →沿x 轴负向传播 ﹡初相ϕ根据x =0处质点在t =0时刻的振动状态确定③波动方程的物理意义：),(t x y﹡代入坐标x →)(t y 坐标为x 处质点的振动方程（注：初相不可化简）﹡代入时刻t →)(x y t 时刻波形（x y -曲线为波形图，判断质点振动速度方向时要注意在振动曲线图和波形图上判断方法的区别）2、波的干涉掌握：①波的干涉现象分析：a. 波的相干条件 ；b. 从相位差角度，从波程差角度分析空间任意点干涉相长和相消问题 ②驻波分析：a. 形成驻波条件； b. 驻波方程的推导；c. 波腹和波节或任意振幅位置的分析d. 半波损失现象分析，由入射波（或反射波）方程推出反射波（或入射波）方程的方法 要点：①波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定②波的干涉 ﹡两列相干波在叠加点所引起两分振动相位差﹡相长干涉、相消干涉问题（从相位差角度分析；从波程差角度分析）注：从波程差角度分析相长干涉、相消干涉的规律只适用于两相干波源初相相等即21ϕϕ=的情况 λϕϕϕ1212π2r r ---=∆③驻波问题﹡形成条件：相干条件，振幅相同，传播速度相同，沿同一直线相反方向传播﹡驻波方程 21y y y += （要用到2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+）各质点振动频率相同，振幅不同（波腹振幅最大为2A ，波节振幅最小为0，其余质点振幅介于0～2A 之间），相位分布遵循段内同相、邻段反相规律。
高中物理公式：振动和波(机械振动与机械振动的传播)
高中物理公式：振动和波(机械振动与机械振动的传播)发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用机械波、横波、纵波注:(1)布朗粒子不是分子，布朗颗粒越小，布朗运动越明显，温度越高越剧烈;温度是分子平均动能的标志;分子间的引力和斥力同时存在，随分子间距离的增大而减小，但斥力减小得比引力快;分子力做正功，分子势能减小，在r0处F引=F斥且分子势能最小;气体膨胀，外界对气体做负功W＜0;温度升高，内能增大ΔU ＞0;吸收热量，Q＞0物体的内能是指物体所有的分子动能和分子势能的总和，对于理想气体分子间作用力为零，分子势能为零;r0为分子处于平衡状态时，分子间的距离;其它相关内容:能的转化和定恒定律能源的开发与利用.环保物体的内能.分子的动能.分子势能。
质点的运动(1)——直线运动理解口诀：1.物体模型用质点，忽略形状和大小；地球公转当质点，地球自转要大小。
物体位置的变化，准确描述用位移，运动快慢S比t，a用Δv与t比。
2.运用一般公式法，平均速度是简法，中间时刻速度法，初速为零比例法，再加几何图像法，求解运动好方法。
自由落体是实例，初速为零a等g.竖直上抛知初速，上升最高心有数，飞行时间上下回，整个过程匀减速。
匀变速直线运动平均速度V平＝s/t(定义式)2.有用推论Vt2-V02＝2as3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+V0)/2(分析纸带常用)末速度Vt＝V0+at；5.中间位置速度Vs/2＝[(V02+Vt2)/2]1/26.位移s＝V平t＝V0t+at2/2加速度a＝(Vt-V0)/t｛以V0为正方向，a与V0同向(加速)a＞0；反向则a＜0｝实验用推论Δs＝aT2｛Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝(分析纸带常用逐差法求加速度)主要物理量及单位:初速度(V0):m/s；加速度(a):m/s2；末速度(Vt):m/s；时间(t)秒(s)；位移(s):米(m)；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h。
振动和波
振动和波1．参考圆可以证明，做匀速圆周运动的质点在其直径上的投影的运动，是以圆心为平衡位置的简谐运动。
通常称这样的圆为参考圆。
2. 简谐运动的运动方程及速度、加速度的瞬时表达式振动方程：x =A cos(ωt +φ).速度表达式： v =-ωA sin(ωt +φ).加速度表达式：a =-ω2A cos(ωt +φ). 3. 简谐运动的周期和能量振动的周期：T =2πkm . 振动的能量：E =21mv 2+21kx 2=21kA 2. 机械波机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。
自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。
在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。
由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长λ、频率f 与传播速度v 之间满足T f v λλ== （1）注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。
波动方程如图5-5-1所示，一列横波以速度v 沿x 轴正方向传播，设波源O 点的振动方程为：)cos(0ϕω+=t A y在x 轴上任意点P 的振动比O 点滞后时间v xt p =，即当O 点相位为)(0ϕω+t 时，P 点的相位为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-0)(ϕωv x t ，由f πω2=，f v λ=，T l f =，P 点振动方程为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0)(cos ϕωv x t A y)22cos(0λπϕπxft A --= )22cos(0λπϕπxt T A -+=这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。
振动和波知识点总结
振动和波知识点总结振动和波是物理学中重要的基础概念，它们在自然界中随处可见，从小至分子的振动到大至地球上的地震波都是振动和波的表现。
振动和波的研究不仅在理论物理和工程技术中有着重要的应用，也对我们理解自然界的规律有着重要的意义。
在以下内容中，我将对振动和波的基本知识进行总结，包括定义、特征、分类、数学描述等方面的内容。
1. 振动振动是物体围绕平衡位置做有规律的来回运动的现象。
振动的基本特征包括振幅、周期、频率和相位。
振动可以分为机械振动、电磁振动和声学振动等不同类型。
（1）机械振动机械振动是指物体由于外力的作用，导致物体围绕平衡位置做周期性的来回运动。
典型的机械振动包括弹簧振子、简谐振动、阻尼振动等。
弹簧振子是挂在弹簧上的质点由于弹簧的弹性力而做的振动。
简谐振动是一种特殊的机械振动，它的加速度和位移成正比。
阻尼振动则是在振动过程中受到阻力的影响，振动逐渐减弱并最终停止。
（2）电磁振动电磁振动是指在电场或磁场作用下的振动现象。
最典型的电磁振动包括交流电路中的电磁振荡以及电磁波的传播。
在交流电路中，电容器和电感器的交替充放电导致了电荷和电流的振动。
电磁波是由变化的电场和磁场相互作用而产生的波动，具有能量传递和传播的作用。
（3）声学振动声学振动是指在介质中传播的机械波的形式，它包括了横波和纵波两种类型。
声波在空气、水、固体等介质中的传播都是声学振动的表现。
声学振动的特点是由固体、液体或气体的粒子围绕平衡位置做有规律的运动，从而传播声音。
声波的传播速度与介质的类型有关，例如在空气中的声速比在水中的声速要慢。
振动的数学描述可以借助于正弦函数或复数的方法来进行。
通过正弦函数可以对振动的位移、速度和加速度进行描述，而借助复数则可以对振动的相位和振幅进行描述。
2. 波波是指物质、能量或信息传递的方式，它在空间中按照一定规律传播的现象。
波的特征包括波长、频率、波速和振幅等。
（1）机械波机械波是需要介质来传播的波动，包括了横波和纵波两种类型。
高中物理公式总结--振动和波
高中物理公式总结：振动和波
振动和波（机械振动与机械振动的传播）
1.简谐振动F＝-kx {F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向}
2.单摆周期T＝2π(l/g)1/2 ｛l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θ<100;l>>r｝
3.受迫振动频率特点：f＝f驱动力
4.发生共振条件:f驱动力＝f固，A＝max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕
5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕
6.波速v＝s/t＝λf＝λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长；波速大小由介质本身所决定}
7.声波的波速(在空气中）0℃：332m/s；20℃:344m/s；30℃:349m/s；(声波是纵波)
8.波发生明显衍射（波绕过障碍物或孔继续传播）条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大
9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)
10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同｛相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册P21〕｝
注：
(1)物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身；
(2)加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相遇处；
(3)波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,是传递能量的一种方式；
(4)干涉与衍射是波特有的；
(5)振动图象与波动图象；
(6)其它相关内容：超声波及其应用〔见第二册P22〕/振动中的能量转化〔见第一册P 173〕。
振动和波的基础知识
1.机械振动：（1）：机械振动即物体或物体的一部分在某一中心位置两侧所做的往返的运动（2）：回复力F 回：指向“平衡”位置的合力叫回复力（3）：振动位移x ：都以“平衡”位置为位移的起点（4）：振幅A ：振动物体离开“平衡”位置的最大距离,振幅越大,振动的能量就越大（5）：振动的周期T ：指完成一次全振动的时间；周期表示振动的快慢,周期小表示振动的快（6）：振动的频率f ：指单位时间内完成振动的次数；频率大,表示振动的快;单位为：赫兹Hz（7）：T=f 1；振动的周期T 的大小与振幅的大小无关：对于同一个振动系统,当振动的振幅变大时,其周期将保持不变,所以物体振动的周期又叫固有周期（8）:平衡位置：振动的中心位置,是假冒的“平衡”,F 合不一定为0,如：单摆的“平衡”位置的加速度为：022≠==⇒==m F R v R v a m F F 指向圆心的合力向心向心指向圆心的合力2：简谐振动： 1：回复力F 回和位移x 成正比,但它们的方向相反；F 回＝-kxx 为物体离开“平衡”位置的位移负号表示回复力F 回和位移x 的方向相反回复力就是一个指向“平衡”位置的合力（2）：对于同一个振动系统,当振动的振幅变大时,其周期仍保持不变（3）：简谐振动的x-t 图像：是一条正弦或余弦曲线（4）：振动的周期T 的大小与振幅的大小无关所以把它叫国有周期;弹簧振子的T 与小球的质量、弹簧的劲度序数有关；单摆的T 与摆长、重力加速度g 有关3.单摆（1）：当单摆的摆角小于80时,单摆的振动可以看做简谐振动（2）：单摆振动时,也可以把它看做圆周运动R m R m m F F T R v 2222）（向心指向圆心的合力πω====多多从不同的角度分析问题（3）：单摆的回复力由重力在切线方向的分力提供;当摆角小于80时,L x≈θsin ,mg F L x -=回复力如右图（3）：当单摆的摆角小于80时,g LT π2=L 为物体摆动时的圆心悬点到物体重心的距离g 为当地的重力加速度g ＝2R GM；g ´=222)()(H R gR H R GM ++= g ´为离天体表面H 高处的重力加速度；g为天体表面的重力加速度；R 为天体的半经；M 为中心天体的质量；H 为离天体表面的高公式说明T 与振幅A 无关（4）：单摆振动时,由于拉力始终与速度垂直,所以拉力不做功,如无阻力,则物体的机械能守恒（5）：单摆振动时,如有阻力,则在短时间内,仍可把它看做简谐振动4、任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A,在半个周期内经过的路程都是2A,但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A 了多多用位移时间图像帮助分析问题5、受迫振动：（1）：物体在周期性外力的作用下的振动叫受迫振动（2）：物体做受迫振动时,它的频率等于驱动力的频率,而跟物体的固有频率无关,如图：假如L=g,则单摆的固有周期g L T π2==2π秒,如果每隔八秒推一下小球,则单摆的周期就为8秒,而不是2π秒（3）：波在传播时,各质点都在做受迫振动各质点都在模仿波源的振动,所以波由一种介质传到另一介质时,波的频率不变等于波源的振动频率（4）：物体在做受迫振动时,驱动力的频率跟物体的固有频率相等的时侯,物体的振幅最大,这种现象叫共振;驱动力的频率跟物体的固有频率越接近,物体的振幅也越大,如图为共振曲线（5）：当f 驱动力=f 固时物体会发生共振,共振时的振幅比不共振时的振幅大（6）：利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……6：简谐振动的图像如右图为水平振动的弹簧振子的振动图像：由图像可知：（1）：振动图像表示的是某一质点在各个时刻的位移（2）：振幅A 为15cm（3）: 周期T 为8s（4）:a 点对应的时刻,速度在增大,速度的方向向负方向；加速度在减小,加速度的方向负方向和位移的方向相反,此时位移为正10cm回复力在减小,回复力的方向向负方向和位移的方向相反动能在增大,弹性势能在减小机械能守恒b 点对应的时刻,速度在减小,速度的方向向负方向；加速度在增大,加速度的方向向正方向和位移的方向相反,此时位移为-5cm回复力在增大,回复力的方向向正方向和位移的方向相反动能在减小,弹性势能在增大机械能守恒d 点对应的时刻,速度在减小,速度的方向向正方向；加速度在增大,加速度的方向向负方向和位移的方向相反,此时位移为正5cm回复力在增大,回复力的方向向负方向和位移的方向相反动能在减小,弹性势能在增大机械能守恒（5）:V a < V b = V d7：解振动问题的方法：（1）：振动问题都是变力问题,一般选用动能定理、能量守恒定律解题;注意应用弹簧的弹性势能不变、了解：弹性势能221kx E P ,k 弹簧的劲度系数,x 为弹簧的形变量、弹力做的功= - 弹性势能的变化量等条件 （2）：充分利用振动的对称性,如在两个对称点的加速度a 、速度v 、位移、动能E k 、弹性势能相等等条件（3）：充分利用振动的图像解题画出振动的图像帮助解决问题（4）：注意应用临界点的条件：如弹力为0、加速度a 、速度v 、位移相等等等（5）：两物体的加速度a １、a 2相等时,两物体可能将要分开物体分开的瞬间,物体间的弹力为零（6）：弹簧的形变量或两次的形变量之差可能等于物体的位移：S=X 2-X 18:机械波：机械振动在介质中的传播过程所形成的波叫做机械波（1）：有振源和传播介质时就会产生机械波（2）：波是传播能量的一种方式,即传递某种信息（3）：波信息向前传播时,各介质只在自己的平衡位置附近振动,并不会随波信息向前传播（4）：波信息向前传播时,波形波形代表信息的内容不会发生变化；如下图,波信息向右传播过后,A 、B 、C 、D 各质点仍然回到各自原来的位置；当波信息传递到E 点时,它就开始振动,并按后面的波形振动即开始模仿振源的所有动作,所以质点起到了传递信息的作用；要判断E 如何振动,就看和它相邻的前一质点的运动情况即可解波动问题,就是逻辑推理的过程,由A 质点的情况推及到D 质点的情况,由9秒的情况推及到8秒的情况……（5）：每经过一个周期,波就向前传播一个波长的距离；每经过41个周期,波就向前传播41个波长的距离 （6）：波的频率就等于波源的振动频率,介质的振动频率也等于波源的振动频率受迫振动9：波速V ：（1）：T V λ=；t SV f V ==；λ（2）：波速V 只与介质有关,与波长、频率无关；当介质相同时,波速就相同（3）：当波由一种介质传播到另一介质时,频率不变各质点都在做受迫振动,波速、波长会发生改变 10：波长：（1）：两个相邻的,在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离,叫波长9秒末（2）：在一个周期里,波向前传播的距离,叫波长（3）：两个相邻的波峰之间的距离,叫波长；两个相邻的波谷之间的距离,叫波长11：波的周期、频率：波的频率就等于波源的振动频率,它们与速度、介质无关12：波的图像：由图像可知（1）：波的图像表示的是某一时刻各个质点的位移的图像（2）：振幅A 为15cm（3）：波长为8cn（4）：在9秒末,a 质点向下运动它模仿的前一质点在它的右下方（5）：在9秒末,a 质点的速度在变大,加速度在变小,加速度的方向向下各质点的运动规律仍然遵循振动的规律13：波的衍射:(1): 波在传播中遇到障碍物时能绕过障碍物的现象,叫波的衍射(2)：一切波均能发生衍射,即任何条件下波均能发生衍射,只是有的衍射我们觉擦不到,但是仍然存在(3)：发生明显的衍射的条件是：障碍物或孔的直径比波长小或相差不多(4)：楼上房间的人能听到楼底下人的声音,单缝衍射、眯眼看灯、隔并齐笔缝看灯、隔羽毛纱布缝看灯等呈彩色看到彩色的光,这些都是衍射14：波的干涉：（1）：频率相同的两列波叠加,使某些区域的振动加强,某些区域的振动减弱,并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔,这种现象叫波的干涉（2）：两个波源的振动方向相同,频率相同的同类波干涉时,就能得到稳定的干涉图样（3）：围绕正在发声的音叉走一圈,听到声音忽强忽弱,双缝干涉、肥皂泡膜、蝉翼、雨天公路上汽油等呈彩色,这些都是干涉（4）：波的干涉加强区是波峰和波峰相遇处或波谷和波谷相遇处,加强区仍在振动,其位移有可能小于减弱区的,但它的振幅一定大于减弱区的;波的干涉减弱区则是波峰和波谷相遇处（5）：当两个波源的振动方向相同,频率相同的同类波干涉时,某点到这两个波源的距离差为半个波长的偶数倍时,该点为振动的加强点；某点到这两个波源的距离差为半个波长的奇数倍时,该点为振动的减弱点;当两个波源的振动方向相反,频率相同的同类波干涉时,某点到这两个波源的距离差为半个波长的偶数倍时,该点为振动的减弱点；某点到这两个波源的距离差为半个波长的奇数倍时,该点为振动的加强点; 15：多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动,导致波源发射频率与接收频率不同波源与观测者相互接近时,接收频率变大；反之,变小16：波的分类：波分为横波和纵波；声波为纵波17：波的反射：遵循反射定律如：反射角等于入射角等等18：解波动问题的方法：（1）：一定要画出波动图像（2）：注意应用波形不变把整个波形拿来平移,一般不要把波形延长,各质点都在模仿波源的振动,通过逻辑推理导出答案由“现在”推导出“将来”,由“现在”推导出“过去”（3）：还应考虑到波的周期性、重复性,质点振动的周期性、重复性。
大学物理(工科) 振 动 和 波
0
mg
即：
d2
dt2
3g
2l
0
2 3g
2l
故：T 2 2 2l
3g
[例3] 半径为R 的圆环静止于刀口O 点上，令其在自身平面内作 微小摆动，证明其摆动为简谐振动，并计算其振动周期。
证明: 设圆环偏离角度为θ。圆环可看作刚体，分析所受力矩：
取逆时针为正方向。 M Rmgsin
o
由转动定律：
1、旋转矢量：
作坐标轴 O x , 自O 点作一矢量
OM ， 用 A 表示 。 A A － 振幅A
A
M t 0 t A
o px
A 在t = 0 时与x 轴的夹角－ 初相 φ
A 以恒定角速度ω 绕O 点作逆时针转动 － 角频率ω
t 时刻 A与x 轴的夹角－ 相位 ω t +φ
矢量 A 的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为：
由图可知，A = 2 cm ，当t = 0 时
x(cm)
2
1
0 1
x0 2 cos 1
v0 0
由矢量图可得： 2 / 3
2
1s
t = 1s 时位移达到正的最大值，即： A
画出矢量图：知：
t 1s、 4 、 4
3
t 3
x 2 cos 4 t 2
3
3
A
t(s)
Ax Ax
44
[例2] 一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，
作成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？
解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：
O
取逆时针为正方向。
M mg sin l
2
由转动定律：
l
第六章振动和波-简振模；复摆；阻尼振动；受迫振动和共振
P.1/33振动与波wzy 简谐振动特征量运动判据)cos(0ϕω+=t A x 判据1判据2判据3kxF −=0d d 222=++C x txωA , ω, ϕ22222020ωωv v +=+=x x A )(arctg 00x ωϕv −=振动曲线、旋转矢量法描述简谐振动)2πcos(d d 0++==ϕωωt A t x v )πcos(d d 02±+==ϕωωt A ta v P.2/33振动与波wzy 振动状态：(1) 给定振动系统,m、ω(T )、k 一定(2) 给定初始条件,A 、ϕ0一定(3) 给定系统后总能量与A 成正比P.3/33振动与波wzy lmO 1. 摆动的理想模型—单摆和复摆1) 单摆(simple pendulum)：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动βττml ma F ==切向运动方程222d d sin t mlmgl θθ=−0sin d d 22=+θθlgt 二、简振模建立自然坐标, 受力分析如图τnθN mgP.4/33振动与波wzy 0sin d d 22=+θθl gt 0sin d d 222=+θωθt⋅⋅⋅−+−=!5!3sin 53θθθθ单摆运动的微分方程非线性微分方程无解析解令lg =2ω得：Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt角谐振动P.5/33振动与波wzy 0d d 222=+θωθtgl T π2π2==ω周期)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程lg =2ω结论:单摆的振动是简谐振动.注意:(1) θ为振动角位移,不是相位.(2) ω、T 与m 无关,由l 、g 决定.P.6/33振动与波wzy 2) 复摆(compound pendulum ): 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律βI M =22d d sin t Imgh θθ=−0sin d d 22=+θθImght 令Imgh =2ω0sin d d 222=+θωθt——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程mgJCohθP.7/33振动与波wzy Q 很小时当θθθ≈sin 0d d 222=+θωθt 角谐振动mghI T π2π2==ω)cos(0m ϕωθθ+=t 由初始条件决定运动方程周期由于小角度摆动都是谐振动,可推广到:一切微振动均可用谐振动模型处理.例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动.大角度摆动规律?P.8/33振动与波wzy 1582年伽利略注意到比萨教堂的吊灯(~20m)摆动：周期似与摆幅无关1602年:周期似与摆锤重量无关周期正比与摆长平方根5.420≅研究学习:如何得知任意形状物体的摆动周期？P.9/33振动与波wzy 简摆simple pendulum实体摆physical pendulum, compound pendulum 圆锥摆conic pendulum 球面摆spherical pendulum 双摆double pendulum 钟摆clock pendulum 扭摆torsional pendulum 弹簧摆spring pendulum 沙摆sand pendulum倒置摆inverted pendulum您知道几种摆？以人命名的摆？P.10/33振动与波wzy 伽利略摆钟1642双摆的轨迹小角度摆动时有两种正则频率P.11/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=证：设物体位移x ,弹簧分别伸长x 1和x 221x x x +=x k k k x 2112+=22212122d d tx m x k k k k x k =+−=−()0d d 212122=++x mk k k k t x 2. 简振模的计算系统的振动为简谐运动例1:证明图示系统的振动为简谐运动,其频率为()mk k k k 2121π21+=νOxxP.12/33振动与波wzy 2211x k x k F −=−=Q 21k F k F k F +=∴21111k k k +=串mk k k k )(2121+=ω()mk k k k 2121π21+=ν21k k k +=并Oxx21x x x +=P.13/33振动与波wzy 下列各运动是否为简谐振动? 振动周期怎样计算?P.14/33振动与波wzy m例2:质量为M 的平板两端用劲度系数均为k 的相同弹簧连到侧壁上,下面垫一个质量为m 的圆柱.求此系统的圆频率.解：2p 212kx E ×=222k 212121c m I x M E v ++=ω&c xv 2=&Rc ω=v 22222212212121⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+=x m R xmR x M &&&P.15/33振动与波wzy 2228116121x m x m xM &&&++=216321x m M &⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=22k p 16321x m M kx E E E &⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=+=机械能守恒0d d =tE01632122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++xx m M x kx &&&&016321=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&mM k3816+=ωP.16/33振动与波wzy 例3: 已知一水平放置的振动系统,其弹簧质量为m 、长度为L 、劲度系数为k ,振子质量为M ,求系统的振动周期.解: 设振子位移为x速度：xLl &弹簧l 处的d l 位移：动能：2k d 21d v l E ρ=′20232k61d )2(x m l l x L x m E xL &&=+=′∫+x Ll ld lk x O2d 21⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=x L l l x L m &P.17/33振动与波wzy 系统的能量222216121kx x m x M E ++=&&机械能守恒0d d =tE 061212=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x kx x x m M &&&&031=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+kx x m M &&3/m M k+=ω周期:km M T 3/π2+=P.18/33振动与波wzy 哈密顿(Hamiltonian)原理另一种描述----哈密顿函数H (q i , p i , t )守恒系统, H =E k +E p描述物理系统----拉格朗日函数L (q i , , t )i q&广义坐标广义速度广义动量一个守恒系统, L =E k -E p作用量, 取决于运动过程∫=21d t t t L A 哈密顿原理:当系统从q i 演化到q f ,其真实的轨道总是满足作用量A 取极值的条件,即δA =0.P.19/33振动与波wzy δA =0@扰动δq i , 保持不变⎟⎠⎞⎜⎝⎛t q i d d δab哈密顿原理→稳定性原理(总是选择一条最稳定的轨道)→对称性原理哈密顿正则方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂−=∂∂=i i i i q H tp p H t q d d d d 定义动量牛顿方程P.20/33振动与波wzy 例: 简单弹簧连接体2122221)(2122l x xk m p m p H −−++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=−−−=∂∂−==∂∂=−−=∂∂−=mp p H t x l x x k x H tp m p p H t x l x x k x H t p 22212221111211d d ),(d d d d ,)(d d 脱耦模型:系统由二个无相互作用(脱耦)的准粒子(非真实的粒子)组成,一个是质量为2m 的质心,是一个自由粒子; 另一个是劲度系数为k 质量为m /2的简谐振子.P.21/33振动与波wzy 简单弹簧连接体P.22/33振动与波wzy 定义:振动系统在回复力和阻尼力共同作用下发生的减幅振动.三、阻尼振动vr r γ−=r F 为阻尼系数γ物体速度较小时，rF v x k F v v −=O x x 22tx m kx d d =−−v γmm kγβω==2:20令(β:阻尼因子)0d d 2d d 2022=++x tx t x ωβ动力学方程：02202=++ωβr r 22222442ωββωββ−±−=−±−=r 微分方程的特征方程为：P.23/33振动与波wzy 220202βωβωββ−±−=−±−=i r 1. 小阻尼情况：阻力很小()()ϕωϕβωββ+=+−=−−t A t A x t t cos e cos e 220方程解：220π2βω−=T 周期:220βωω−=0ωβ<P.24/33振动与波wzy 讨论：阻尼较小(β<ω0)时,振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.t A β−e P.25/33振动与波wzy 2. 过阻尼(over damping)情况：阻力很大22ωββ−±−=r ttA A x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+=202202ee21ωββωββ0ωβ>结论：阻尼较大(β< ω0)时, 振动从最大位移缓慢回到平衡位置, 不作往复运动.P.26/33振动与波wzy 3. 临界阻尼(critical damping)情况0ωβ=βωββ−=−±−=202r tt A A x β−+=e )(21方程解：结论：此时为“临界阻尼”的情况.是质点不作往复运动的一个极限.P.27/33振动与波wzy tx 阻尼较小时过阻尼振动: 阻尼较大时,振动从最大位移缓慢回到平衡位置,不作往复运动.过阻尼临界阻尼振动: 质点不作往复运动的极限状态.临界阻尼阻尼振动曲线：欠阻尼振动:振动为减幅振动,振幅随时间按指数规律迅速减少.阻尼越大,减幅越迅速.振动周期大于自由振动周期.P.28/33振动与波wzy 四、受迫振动共振受迫振动(forced vibration)：系统在周期性的外力(称为策动力)持续作用下所发生的振动.策动力(driving force)：周期性的外力tH F ωcos s =物体在弹性力、回复力、阻力的作用下的运动s F vrF v xk F v v −=OxxP.29/33振动与波wzy t H txkx t x mωγcos d d d d 22+−−=令：h mH mmk ===βγω220t h x t x tx ωωβcos d d 2d d 2022=++()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解,为P.30/33振动与波wzy()2222204ωβωω+−=hA 22012tanωωωβϕ−−=−()()ϕωϕβωβ+++−=−t A t A x t cos cos e 02200暂态项,经过一端时间以后趋向于零稳定项,代入原方程求得受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成.经一段相当的时间后,阻尼振动衰减到可以忽略不计,这样就成为一余弦振动,其周期为强迫力的周期,振幅、初相位不仅与初条件有关,而且与强迫力的频率和力幅有关.P.31/33振动与波wzy 共振(resonance): 当策动力的频率接近于固有频率时,受迫振动的振幅达到最大值(位移共振)的现象.共振频率：2202βωωτ−=共振振幅：2202βωβτ−=hA 结论: 阻尼系数β越小,共振角频率越接近于系统的固有频率,同时共振振幅也越大.PωAo共振频率ω大阻尼小阻尼阻尼0→P.32/33振动与波wzy TACOMA 大桥情景再现1940年7月1日,桥龄仅4个月的美国Tocama 大桥在一场不算太强的大风中坍塌.风产生的周期性效果导致大桥共振,大桥在风中坚强的摇曳了近一天,最终轰然坠下…P.33/33振动与波wzy 共振小人作业: 6-17，6-19，6-20。
高考物理公式解析：振动和波公式
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物理公式是高考物理备考的学习资料，为大家整理了《高考物理公式解析》，供大家参考。
振动和波公式总结
1.简谐振动F=-kx{F:回复力，k:比例系数，x:位移，负号表示F的方向与x始终反向}
2.单摆周期T=2π(l/g)1/2{l:摆长(m)，g:当地重力加速度值，成立条件:摆角θlr｝
3.受迫振动频率特点：f=f驱动力
4.发生共振条件:f驱动力=f固，A=max，共振的防止和应用〔见第一册P175〕
5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕
6.波速v=s/t=λf=λ/T{波传播过程中，一个周期向前传播一个波长;波速大小由介质本身所决定}
7.声波的波速(在空气中)0℃：
332m/s;20℃:344m/s;30℃:349m/s;(声波是纵波)
8.波发生明显衍射(波绕过障碍物或孔继续传播)条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者相差不大
9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同)
10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动，导致波源发
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振动和波（一）专项训练【例题精选】例1一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：A．若t时刻和()t t+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则∆t一定等于T 的整数倍B．若t时刻和()+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则∆t一定等于T/2t t的整数倍C．若∆∆=+，则时刻和()时刻振子运动的加速度一定相等t T t t tD．若∆∆/()2，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等=+t T t t t分析：弹簧振子作简谐振动图象如图所示，图线上A点与B、E、F、I等点所对应的时刻振子位移大小相等，方向相同，由横轴看可知，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T 的整数倍，而A点与B、F等点对应的时刻差不是T或T的整数倍，因此A选项不正确。
A点与C、D、G、H等点所对应时刻振子位移大小相等，方向相反，由横轴看可知，A 点与C、G等点所对应时刻差为T/2或T/2的奇数倍，A点与D、H等点所对应时刻差不是T/2或T/2的奇数倍，选项B不正确。
如果t t t+∆时刻差为一个周期，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一时刻与()定相等，选项C是正确的。
如果t t t T+∆2，这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，振子分时刻与相差()/别位于平衡位置两侧，弹簧的长度显然不相等，选项D是错误的。
答案：C。
例2作简谐振动的弹簧振子振动图象如图所示，下列说法中正确的是A．t=0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零B．t=1s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大C．t1和t2时刻振子具有相同的动能和动量D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度E．5秒内振子通过的路程是25cm，而位移是5cm。
分析：弹簧振子以O为平衡位置在AB间作简谐振动，定向右为正方向，振动图象即题目的图象t=0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，回复力为零，加速度为零，但速度为最大值，动能最大，势能为零，选项A错误。
t=1s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，回复力最大，加速度最大，而速度为零，动能为零，势能最大。
选项B正确。
t1和t2时刻振子同位于正向D处（看实物图），弹簧有相同的伸长量，有相同的势能，简谐振动机械能守恒，这两时刻振子有相同的动能，但t1时刻振子在D点，t1时刻是向正方向运动，t2时刻回到D点是向负方向运动（看振动图象）两时刻速度大小相等，但方向相反，所以动量不相同。
选项C错误。
t3和t4时刻由图象和实物图看振子均在反方向E处，弹簧处于压缩状态，位移为负，回复力指向O，是正方向，因此有大小相等，方向相同的加速度。
选项D正确。
由图象看，振动周期T=4s，5秒为114周期，t 时刻振子在平衡位置，经一个周期振子通过的路程即振动轨迹的长度恰为四倍振幅，又振幅A=5cm，所以振子在5秒内通过的路程是5cm×4×114=25cm，而5s末振子恰在正向最大位移处。
位移为x=5cm，选项E正确。
答案：B、D、E。
例3如果下表中给出的是作简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是：A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度vB．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度vC．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v式给出一个周期的四个特殊时刻的四种可能的位移和速度，信息量很大，要对四个选项表示的x和v的对应关系的正、误作出判断，必须概念清楚，善于抓住要点进行比较，才能得出正确结论。
首先审查表中每一栏，发现每一栏单独表示简谐振动的位移x或速度v都是符合振动规律的，因此要判断选项中给出的x和v的对应关系是否正确，只需注意t=0和t=T/4这两个时刻的对应关系即可。
如果甲表示位移，t=0时，x=0，t=T/4时，x=+A，可见t=0时质点应以正向最大速度通过平衡位置，才能经T/4到达正向最大位移。
比较丙、丁两栏可见丙栏正确表示了对应的速度变化情况，可以断定选项A正确，选项D与选项A不相容，断定选项D错误。
如果丁表示位移，即当t=0时，x=－A，t=T/4时，x=0，可见t=0时质点处于负向极端位置，以后向正方向运动，于T/4时从负到正通过平衡位置，速度为正向最大。
比较甲、乙两栏可见，甲正确表示了对应的速度变化规律，所以选项B正确，选项C与B不相容，选项C错误。
答案：A、B。
例4 水平放置的弹簧振子作简谐振动，周期为T ，t 1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t 2时刻振子速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反。
若t t t t 2132-=-,则： A ．t t t 123时刻，时刻与时刻，弹性势能都相等 B ．t t 13时刻与时刻弹簧的长度相等 C ．t t n T n 312120123-=+=(),,,，……D ．t t n T n 31120123-=+=(),,,，……分析：据题意，t 1时刻振子不在平衡位置，速度不为零；t 2时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相反，且t 3－t 2=t 2－t 1，如何依据这三个条件，确定t 1时刻振子的位置是解题关键。
把振子振动情况与其振动图象联系起来，如图示，振子小球以O 为平衡位置，在A 、B 之间作简谐振动，以球在正向最大位移处A 点为t =0时刻，则其位移随时间变化规律的振动图象如其右图所示，当经时间t 1运动到C 处，速度向下为v ，此时振子位移为x =+x ,弹簧为伸长状态。
t 2时刻振子在D 处，速度向下，弹簧处于压缩状态，位移为x x t =-13(时刻振子经反向最大位移处又回到处，速度向上，位移D x x =-1)，由于t t t 123、、时刻位移大小相等，据简谐振动，势能转换及机械能守恒。
振子动能相同，速度大小相同，t t 12，时刻速度方向相同，t 3时刻速度方向与t 1时刻相反，符合题意由题意中t t t t 3221-=-,从图象上可知，t t T t t T t 213211414-=-=；，符合所以时刻选择的是恰当的。
t C t t 123时刻振子在处，,时刻振子在D 处，由于距平衡位置O 等距，弹簧伸长和压缩的形变量相同，因此这三个时刻弹性势能相同，振子动能相同。
选项A 是正确的。
但t t 13,时刻弹簧分别处于伸长和压缩状态，弹簧长度显然不同，选项B 是错误的。
考虑到振子每经一个周期又回到原位置，则t t n T t t n T 21321414-=+-=+()()，((),())图象中t t T t t T 2132114114'-=+'-'=+，将以上两式相加有t t n T n T 31214212-=+=+()()，n =0123,,,……故选项C 是正确的，选项D 是错误的。
答案：A 、C 。
例5 一列竖直面内振动的横波，从O 点出发沿水平方向向右传播，振幅为A ，波长为λ。
某一时刻，O 处质元正通过平衡位置向上运动，在其右方水平距离为32λ/的质元P 正位于平衡位置。
经过1/4周期后，质元P A ．与O 的水平距离变为，74λ/位于平衡位置B ．与O A 的水平距离变为，在平衡位置下方距离为处74λ/C ．与O 的水平距离不变，在平衡位置下方距离为A 处D ．与O 的水平距离不变，在平衡位置上方距离为A 处 分析：此横波是在竖直面内上下振动向右传播，故每个传波质元都被前方质元带动，在平衡位置附近作上、下振动，而不随波的传播方向向右移动。
所以质元P 与O 的距离是不会改变的，故选项A 、B 是错误的。
质元P 距O 处质元32λ/，恰与O 处质元是反相振动质元（相距半波长奇数倍的两个质元是反相振动质点），O 处质元通过平衡位置向上运动，P 质元恰通过平衡位置向下运动；经T/4，O 处质元到达正向最大位移处，P 质元恰到负向最大位移处，即在平衡位置下方距离为A 处，故选项C 是正确的。
答案：C 。
例6 实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距3m 的两点P 和Q 的振动图象，若P 点离波源比Q 近，则该波的波长值可能为： ；若Q 点比P 点离波源近，则该波的波长值可能为： 。
分析：（1）P 点比Q 点离波源近，则振动先传到P ，P 的振动带动Q 振动。
由振动图象看，P 在正向最大位移处，则过34T nT Q +⎛⎝ ⎫⎭⎪时间点才能到达正向最大位移处，又Q距P 为3m ，则v n Tv T n n n =+==+=+=33433412430123()()(,,,)，又·，所以……λλ。
（2）如果Q 点比P 点离波源近，则由振动图象看可知Q 点的振动超前P 点振动(/)(),,,T nT n T n t Q 41401230+=+==，……。
时，点在平衡位置向下振动，P n T 点要再经过()+14才能从平衡位置向下振动。
则有：v n Tv T =+=314(),λ·，所以……λ=+=1241012n n (,,)。
答案：若P 点距波源比Q 点近，则该波波长可能值为1243n Q +()米；若点距波源比P点近，则该波波长可能值为12410123n n +=(),,,米……。
小结：质点的振动每经一个周期又回到原位置；经一个周期波向外传出一个波长，而波的形状不变。
所以P 点超前Q 点的时间可能是3434T n T Q P 或；点超前()+点时间是1414123T n T n 或……。
()(,,)+=例7 一列横波在x t t s 轴上传播，在和1200005==.两个时刻的波形如图所示（t t 12时刻实线示，时刻虚线示）（1）由图所示读出波的振幅和波长（2）设周期大于()t t 21-，如波是向右传播的，波速多大？如波是向左传播的，波速多大？ （3）设周期小于()t t 21-，且波速为6000米/秒，这列波传播方向如何？ 解：（1）由图象可知：波的振幅A=0.2m ，波长λ=8m 。
（2）在t P 1时刻波形上选一参考点,当t t T 21-小于周期时，波传播距离小于一个波长。
若此波向右传，由图可知P 点的振动恰传到M 点，P M s m ==2,则波速v s t t m s =-==2120005400./。
若波向左传，由图可知P 点的振动恰传到N 点，PN=s '=6m ，则波速v s t t ='-21=600051200./=m s 。
（3）周期小于()()t t t t 2121--，则说明时间内传出距离大于一个波长。
波速v m s t t s =-=6000000521/.，则内传出距离为6000000530m s s m /.,⨯=又波长λ=8m ,30米合3个波长零6米（34波长），因为每传出一个波长波形不变，所以只考虑6米（34λ），由图象可知，波是向左传播的。