初等数论基础By张文泰
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初等数论初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和特殊的数学关系。
它是数学发展的基础，对于数学中的许多其他分支，如代数、几何和数值分析都具有重要的影响。
初等数论可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们对整数之间的关系进行了研究，并推导出了许多重要的结论。
在初等数论中，最基础的概念是整数和素数。
整数是自然数、负自然数和零的总称，它们可以用来表示数量。
素数是只能被1和自身整除的正整数，它们没有其他的因子。
素数在初等数论中具有重要的地位，因为他们是其他整数的构成单元。
在初等数论中，我们可以探讨整数的因子分解。
因子分解是将一个整数表示为素数的乘积的过程。
例如，将数字20分解成素数的乘积可以得到2×2×5=20。
因子分解在数论中起着重要的作用，它有助于我们理解整数之间的数学关系。
初等数论中的另一个重要概念是最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是两个整数中能够同时被整除的最大的正整数。
最小公倍数是能够同时整除两个整数的最小的正整数。
最大公约数和最小公倍数可以帮助我们解决一些实际问题，比如找到最简分数、解线性方程等。
初等数论中还有一个重要的概念是同余。
同余是指两个整数除以一个正整数得到的余数相同。
例如，当两个整数被3除得到的余数相同时，我们可以说这两个整数互为3的同余数。
同余关系在数论中起着重要的作用，它可以帮助我们研究整数之间的性质和特殊的数学规律。
初等数论还涉及到数论函数的研究。
数论函数是定义在整数上的函数，它们可以帮助我们描述整数的性质和特征。
常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
这些函数在数论中有广泛的应用，可以帮助我们研究素数分布、整数方程的解等问题。
除了以上几个基本概念，初等数论还包括一些其他的内容，如二次剩余、费马小定理、威尔逊定理等。
这些概念和定理都有着重要的理论意义和实际应用。
初等数论在数学中具有广泛的应用。
它不仅是其他数学分支的基础，还有着许多实际应用。
例如，在计算机科学中，初等数论可以帮助我们设计和分析算法、构建密码系统等。
《初等数论》教学大纲
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论第一章5
第五节 辗转相除法
因此对于任意的自然数k，有 1 m(x kn) = n(km y)， 这样，当k充分大时，总可找出正整数x0，y0 ，使 得 1 mx0 = ny0 。 上式说明，如果放y0次（每次放n个），那么在使 m个盒子中各放x0个后，还多出一个硬币。把这 个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做 到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬 币数量之差减少1。因此经过若干次放硬币后， 必可使所有盒子中的硬币数目相同。
求出整数x，y，使得
ax by = (a, b) 。
(4)
为此所需要的除法次数是O(log10b)。但是如果只
需要计算(a, b)而不需要求出使式(4)成立的整
数x与y，则所需要的除法次数还可更少一些。
第五节 辗转相除法
例1 设a和b是正整数，那么只使用被2除的除法
运算和减法运算就可以计算出(a, b)。
P0 =1，P1 =q1，Pk =qkPk 1 Pk 2，k 2，
Q0 =0，Q1 =1，Qk =qkQk 1 Qk 2，k 2，
则
aQk bPk = (1)k 1rk，k = 1, 2, , n . 证明 当k = 1时，式(3)成立。 当k = 2时，有 Q2 = q2Q1 Q0 = q2，P2 = q2P1 P0 = q2q1 1， (3)
Fk > k 2，k n，
则
第五节 辗转相除法
Fn + 1 = Fn Fn 1 > n 2 n 3 = n 3( 1) =
n 3 2 = n 1，
即当k = n 1时式(2)也成立。由归纳法知式(2)
对一切n 3成立。 证毕。
初等数论第一章1
第一节 数的整除性
例8 设a1, a2, , an是整数，且 a1 a2 an = 0，a1a2
则4n。
an = n，
解 如果2 n|，则n, a1, a2, , an都是奇数。于是a1 a2 an是奇数个奇数之和，不可能等于 零，这与题设矛盾，
所以2n，即在a1, a2, , an中至少有一个偶数。
n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在k和k 1中有一个是偶数，所以8n2 1。 例9的结论虽然简单，却是很有用的。例如，使
用例3中的记号，我们可以提出下面的问题： 问题 d(1)2 d(2)2 d(1997)2被4除的余数是
多少？
第一节 数的整除性
例10 证明：方程
第一节 数的整除性
定理1 下面的结论成立： (ⅰ) ab ab； (ⅱ) ab，bc ac； (ⅲ) bai，i = 1, 2, , k ba1x1 a2x2 akxk，此处xi(i = 1, 2, , k)是任意的整数； (ⅳ) ba bcac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) ba, a0 |b| |a|; ba且|a| < |b| a = 0。
是否为偶数？
解对于n的每个约数d，都有n = d 正约数d与 是n 成对地出现的。
d
n，因此，n的
d
第一节 数的整除性
只有当d = ,dn即n = d2时，d 和
才n 是同一个数。
d
故当且仅当n是完全平方数时，d(n)是奇数。
因为442 < 1997 < 452，所以在d(1), d(2), , d(1997)中恰有44个奇数，故d(1) d(2) d(1997)是偶数。
(ⅰ) A和B的元素个数相同；
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件
唯一性:设q1 , r1是满足(2)的另两个整数, 则
因而
a bq1 r1,0 r1 b, bq1 r1 bq r,
于是
bq q1 r1 r,
7
三、带余数除法
定理4 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r, 0 r b
(1)
定义2：（1）式通常写成
5解 : (1)无,(2)x 1, 2,2.
6证 : (1)3 n n 3m,所以7 3m ,又7 7m ,
7 7m 2 3m m,从而21 n.
(2)21 7n, 21 3n 21 7n 1 3n 2 n.
14
q为偶数，且b 0时，令s q , t a bs a q b
10
练习： 1.设a 2t 1,若a 2n,则a n. 2.设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x, y使 ax by 1,证明 : 若a n,且b n,则ab n.
3.设n 1,证明 : n 12 nk 1 n 1 k .
4.若x2 ax b 0有整数根x0 0,则x0 b . 一般地,若xn an1 xn1 a0 0有整数根x0 0, 则x0 a0 .
思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
9
eg5 已知： 782 + 8161能被57整除， 求证：783 +8163也能被57整除。
证明：783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )－7 × 8161 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 × 57 ∵782 + 8161和57都能被57整除 ∴原式得证。
(1) a 14,b 3
初等数论
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数.
扩展的Euclid算法
例9：求10关于模17的乘法逆元 17 = 10 + 7 10 = 7 + 3 7=32+1 1=7-32 = 7 - (10 – 7) 2 = 7 3 - 10 2 = (17 – 10) 3 - 10 2 = 17 3 - 10 5 = 17 3 - 17 10 + 17 10 - 10 5 = 10 12 - 17 7 所以10关于模17的乘法逆元为12
3 同余
例7： 3455的个位数是多少? 解：设3455的个位数为x，则3455≡x(mod10). 由34≡1(mod 10), 有 3455=34113+3≡33≡7(mod 10), 故3455的个位数是7.
3 同余
• 模m逆元 定义5 如果ab≡1(mod m), 则称b是a的模m逆元, 记作a1(mod m)或a1. a1(mod m)是方程ax≡1(mod m)的解. 性质： • 当a与m互素时, 方程 x a-1(mod m) 有唯一解 即：ax – km = 1 • 当a与m不互素时, 此方程无解。 • 一个数关于某一个模m的乘法逆元不一定存在。 如 2关于模14的乘法逆元不存在，因为2与14不 互素
2 最大公约数和最小公倍数
定理4： (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≤r<M. 由a | m, a | M, 及r=mqM, 可推出a | r. 同理, 有b | r. 即, r是a 和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M | m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结
初等数论第一章6
留作习题。
第六节 算术基本定理
推论1 使用式(2)中的记号，有
(ⅰ) n的正因数d必有形式
d
p 1 1
p 2 2
pk k，
iZ，0 i i，1 i k；
(ⅱ) n的正倍数m必有形式
m
p1 1
p2 2
pkk M,
MN，iN，i i，1 i k。
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
ab = cn ，(a, b) = 1，
(5)
则存在正整数u，v，使得
a = un，b = vn，c = uv，(u, v) = 1。
证明
设
c
p 1 1
p 2 2
p k k
，其中
p1, p2,
, pk
是互不相同的素数，i（1 i k）是正整数。
第六节 算术基本定理
又设
a
p1 1
p2 2
pk k
有一个能被另一个整除。
5.
证明：
1
1 2
n1（n
2）不是整数。
6. 设a, b是正整数, 证明：存在a1, a2, b1, b2，
使得 a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1，
并且[a, b] = a2b2。
证明 为了叙述方便，不妨假定a，b，c是正
整数。
(ⅰ) 设
a
p1 1
p2 2
pkk，b
p1 1
p1 2
p k k
第六节 算术基本定理
其中p1, p2, , pk是互不相同的素数, i，i(1 i
k)都是非负整数。由定理1推论2 ，有
(a,b)
p1 1
初等数论(第三版)
谢谢观看
2.1同余类与剩余系的基本性质 2.2剩余系的整体性质及其结构 习题二
3 Euler函数φ（m）
3.1 φ（m）的性质 3.2公开钥密码系统 习题三
4 Wilson定理
习题四
01
1同余方程 的基本概念
02
2一元一次 同余方程
03
3一元一次 同余方程 组——孙子 定理
04
4一元同余 方程的一般 解法
7 n！的素因数分解 式
1自然数与整数
1.1基本性质我们先来回顾自然数与整数的基本知识. 1.2最小自然数原理与数学归纳原理 习题一
2整除的基本知识
2.1整除的定义与基本性质 2.2素数与合数 2.3最大公约数与最小公倍数 习题二
3带余数除法
3.1带余数除法及其基本应用 3.2辗转相除法 习题三
习题九
1指数 2原根
3指标、指标组与既 约剩余系的构造
4二项同余方程
1指数
习题一
2原根
习题二
3指标、指标组与既约剩余系的构造
习题三
4二项同余方程
习题四
1 x21+x22+x23+x24=
n
2 x2+y2=n
3 ax2+by2+cz2=0 4 x3+y3=z3
1 x21+x22+x23+x24=n
2 π（x）的上、下界估计
2.1 Чебышев不等式 2.2 Betrand假设 2.3 Чебышев函数θ（x）与ψ（x） 习题二
3 Euler恒等式
习题三
1积性函数
2 Möbius变换及其 反转公式
3数论函数的均值 4 Dirichlet特征
初等数论第七章原根
第七章原根原根是数论的理论和应用中一个很重要的概念。
本章要介绍原根以及与它有关的基本知识。
第一节指数及其基本性质定义1 设m > 1，(a, m) = 1，则使a r 1 (mod m) (1)成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数，记为m(a)，在不致误会的情况下，简记为(a)。
由Euler定理，当r = (m)时式(1)成立，因此，恒有m(a) (m)。
若a b (mod m)，(a, m) = 1，则显然有m(a) = m(b)。
定义2 若m(a) = (m)，则称a是模m的原根。
例如，当m = 7时，因为21 2，22 4，23 1 (mod 7)，所以7(2) = 3。
又因为31 3，32 2，33 6，34 4，35 5，36 1 (mod 7)，所以7(3) = 6 = (7)，3是模7的原根。
以后，在谈到a对模m的指数时，总假定m > 1，(a, m) = 1。
定理1 记 = m(a)，则a0, a1, , a 1对模m两两不同余。
证明用反证法。
若有0 i < j 1，使得a i a j (mod m)，则由(a, m) = 1得到a j i 1 (mod m)，这与 = m(a)的定义矛盾，所以定理成立。
证毕。
定理1说明，若g是模m的原根，则g0, g1, , g(m) 1构成模m的简化剩余系。
定理2 设 = m(a)，r与r是正整数，则a r a r (mod m) (2) 的充要条件是r r (mod )。
(3)特别地，a r 1 (mod m)的充要条件是r。
证明不妨设r > r。
因为(a, m) = 1，所以式(2)等价于a r r 1 (mod m)。
(4)若式(4)成立，记r r = q t，qN，0 t < ，则由定义1，有a t a q t = a r r 1 (mod m)。
由m(a)的定义可知t = 0，即r r ，也即式(3)成立。
初等数论第一章整除14
= pd.由于2 ≤ d ≤ k，由归纳假定知存在素数q1 , q2 , , ql，使得d = q1q2ql，从而k 1 = pq1q2ql . 从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数a成立。
证毕。
2024/7/14
08:10
推论
任何大于1的合数a必有一个不超过a1/2的素 因数。 证明 由于 a是合数，故存在整数 b和 c使 a＝bc, 其中: 1<b<a, 1<c<a. 若b和c均大于 a1/2 , 则a＝bc＞a1/2·a1/2＝a, 这是不可能的. 因此b和c中必有一个小于或等于a1/2.
最大公因数与最小公倍数
2024/7/14
08:10
定义3 最大公因数
设al ,a2 ,…, ak和d都是整数, k≥2. 若d|ai， 1≤i≤k, 则称d是al , a2 ,…, ak的公因数. 所有公因数中最大的那一个数，称为 al , a2 ,…, ak的最大公因数, 记为 (al , a2 ,…, ak). 由于每个非零整数的约数的个数是有限的， 所以最大公约数是存在的，并且是正整数。 显然，(a , 1) = 1，(a , 0) = |a|，(a , a) = |a|；
2024/7/14
08:10
定理 11
(ⅰ) [a1 , a2]=[a2 , a1]=[-a1 , a2] . 一般地有, [a1 , a2 , , ai , , ak]= [ai , a2 , , a1 , , ak] = [-a1 , a2 , , ai ,, ak] (ⅱ) 若a2|a1 , 则[a1 , a2]=|a1|； (ⅲ) 对任意的d|a1 [a1 , a2]=[a1 , a2 , d] [a1 , a2 , , ak]= [a1 , a2 , , ak , d]
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论1
初等数论1
数论是数学的一个分支，它研究的是数学中整数的性质及其相关的函数及应用。
而初等数论则是数论的一个特殊分支，它研究的是数论与其他数学领域以及实际应用的交叉。
本文将介绍初等数论的基本概念，包括质数定理，欧拉函数以及不变量的重要性等。
首先，质数定理是初等数论的基础。
质数定理可以定义为：任何数字都可以表示为由一个或多个质数乘积组成的形式，这样的乘积称为合数。
这个定理非常重要，因为它使得我们可以用质数来分解任何数字，从而更有效地理解它们。
欧拉函数是另一个重要的初等数论概念，它可以定义为：欧拉函数是一个以质数为参数的函数，它的值表示在质数小于某个数的范围内的不同质数的数量。
它的实际应用在于可以有效地判断某个数字是否为质数，以及求出某个范围内的质数数量。
不变量也是初等数论中的一个重要概念。
不变量可以定义为：在一个给定的数论环境中，一个不变量是指被定义的某些数学关系不会改变的量。
比如，如果给定一个质数，那么在这个质数的周围的所有合数的乘积，都与初始质数的乘积是相等的，就是一个不变量。
由此可见，初等数论是一门极其重要的数学分支，它的基本概念是：质数定理，欧拉函数以及不变量。
它们都具有重要的实用价值，可以应用在许多数学领域，如解方程，分析数字，编写程序等。
而且，还有很多有趣的实验机会可以进一步研究初等数论，比如欧拉函数的重要性，质数定理的算法以及不变量的推广等。
因此，初等数论所提
供的启发和机会都是值得我们去尝试的。
初等数论第一章引言
4、 a 0 a, a Z .
5、任意的a , b Z，必有x Z , 使得 a b x .
5就是法的定： a b x.
0引言 自然数与整数
二、在整数集中可以作乘法运算（*)，但不
一定可作其逆运算除法运算，乘法运算满足
1、 合律： (a b) c a (b c ), a , b, c Z . 2、 交律： a b b a , a , b Z . 3、相消律： 若a 0, a b a c b c , a , b, c Z .
0引言 自然数与整数
以上列举了一些熟知的有关整数的知识.对 自然数来说它的最重要、最本质的性质是 归纳原理：设S是N的一个了集，满足条件:
i) 1 s. ii)如果n S n 1 S .
那么, S N .
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 际上两者是一回事. 定理1(数学归纳法) 设P(a)是关于自然数n的一
种性质或命题.如果
i) n 1, p(1)成立. ii)由p( n)成立 p( n 1)成立.
那么, p(n)所有的自然n成立.
0引言 自然数与整数
这原理是我们常用的数学归纳的基础，实 际上两者是一回事. 定理1(数学归纳法) 设P(n)是关于自然数n的一
种性质或命题.如果
i) n 1, p(1)成立. ii)由p( n)成立 p( n 1)成立.
入这”个盒子中，一定有一个盒子中被放了
两个或两个以上的物体.
那么, p(n)所有的自然n成立.
S：p( n )成立的所有的自然n的集合 .
0引言 自然数与整数
由归纳原理还可推出两个在数学中，特别是 初等数论中常用的自然数的重要性质.
初等数论 第一讲
初等数论第一讲 整数的可除性（1）一. 数论的简单介绍在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点之一。
初等数论可以说是最古老的数学分支之一，主要研究整数的性质及其相互关系。
数论的发展有很长的历史，古希腊人对数论的发展做出了重要贡献。
初等数论的知识比较简单，但处理问题方面技巧性比较强。
它所涉及的范围有：整数的可除性，同余理论，不定方程，反证法等。
反证法是解决数论问题常用的方法.二. 本讲内容1.整数的基本性质（1）偶数2n ，奇数21n +或21n -.（n 是整数）（2）奇数与偶数的性质奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；奇数⨯奇数=奇数；偶数 ⨯偶数=偶数；奇数 ⨯偶数=偶数.（3）任何一个正整数n 都可以写成2k n m =⋅的形式， 其中k 为非负整数，m 为奇数.2.整除的性质定义：设,a b 是任意两个整数，其中0b ≠，如果存在一个整数q 使得等式a bq =成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b a .整除的性质：(1).|,|,|;(2).,,(1,2,,),|,|;1(3).,,,|,|.(4).|,||||.|,|,;a b b c a c n a b x Z i n a b a b x i i i i i i a b m Z a b am bm a b a b a b b a a b ∈=∑=∈≤=±若则若且则若且则反之，亦成立；若则因此，若则 (5).,|,|,|;|,|(6).|,12|(1).|,|.(7).a b a c b c ab c a bc a c p p a a a a n i n p a i n p p a p a in ⋅≤≤互质，若则若则；为质数，若则至少有一个，使得特别地，若是质数，且则个连续整数的成积一定能被n ！整除.算术基本定理（正整数的唯一分解定理） 若不计因数的次数，每一个大于1的整数a 都可以唯一分解成质因数乘积的形式.即12121212,,.n n nn a p p p p p p αααααα=⋅<<<其中均为质数，，，为自然数定理：质数的个数是无穷的.三.例题精讲1.证明：2.3. 设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证： 三数中至少有一个能被10整除.3|(1)(21),.n n n n ++！其中是任何正整数21n+若是质数(n>1),证明：n 是2的方幂.333333,,a b ab b c bc c a ca ---4. 4.设n 为自然数，求证： 能被1985整除.5. 5.设p 是大于5的质数，求证：6.设正整数 d 不等于2，5，13.证明：在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素a,b ，使得ab-1不是完全平方数.7.设 是一组数，它们中的每一个都去1或-1，而且 证明： n 必须是4的倍数.3237632855235n n n n A =--+4240|(1)p -12,,,n a a a 123423451230n a a a a a a a a a a a a +++=。
初等数论第一、二章
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
到 20016年为止已找到的最大梅森素数（第四十九个） 是274207281 – 1, 这个数有 超过两千两百万位．
（ f n,k)=2n
3k
4n 10
k
都不能分解成若干个连续的自然数之积。
例14 设r是正奇数，证明：对任意的 正整数n，有 n 2 1r 2r 3r nr
第二节 带余除法
第二节 带余除法
定理 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 a bq r， 0r b () q及r，使得
成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
可以看出：b整除a的充要条件是 r=0。
• 设a，b是两个整数，其中b>0.则存在唯 一的整数q，r使得a=bq+r，0≤r<b. 证明（存在性）考虑一个整数序列 …，-3b，-2b，-b，0，b，2b，3b，… 它们将实数轴分成长度为b的区间，而a必 定落在其中的一个区间中，因此存在一 个整数q使得 qb≤a<(q+1)b 我们令r=a-bq，则有a=bq+r，0≤r<b
(唯一性) 如果分别有整数q，r和q1，r1满足（2）， 则 a= bq+r， 0≤r<b， a= bq1+r1，0≤r1<b 两式相减，我们有 b(q-q1) =-(r-r1) 当q≠q1 左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值 小于b，这是不可能的.故q=q1，r=r1.
初等数论基础
初等数论基础初等数论是数学中的一个分支，主要研究整数及其性质。
在初等数论中，我们探讨了许多有趣的问题和定理，其中包括质数、整除性、同余等概念。
本文将介绍初等数论的基础知识，包括质数、最大公约数、同余定理等内容。
我们来介绍质数的概念。
质数是只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7等都是质数，而4、6、8等则不是质数。
质数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与质数有关。
下面是一些质数的性质。
首先，质数的个数是无穷多的，这是由欧几里得在公元前300年左右证明的。
其次，任意一个大于1的整数都可以唯一地表示为几个质数的乘积，这就是所谓的质因数分解定理。
例如，36可以表示为2的平方乘以3的平方，即36=2^2 * 3^2。
这个定理在数论中应用广泛。
最大公约数是初等数论中一个重要的概念。
两个整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是能够同时整除a 和b的最大正整数。
例如，12和18的最大公约数是6。
最大公约数在数论中有着广泛的应用，例如求解线性方程、化简分数等。
初等数论中的一个重要定理是欧几里得算法。
欧几里得算法是求解两个正整数的最大公约数的一种有效方法。
它基于一个简单的观察：两个整数a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
利用这个观察，我们可以逐步缩小问题规模，直到得到最终的结果。
欧几里得算法的时间复杂度是O(log(min(a,b)))，非常高效。
同余定理是初等数论中的另一个重要概念。
如果两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，我们就说a和b关于模m同余。
用数学符号表示为a≡b(mod m)。
同余定理指出，如果a≡b(mod m)，那么对于任意的整数c，都有a+c≡b+c(mod m)，以及a-c≡b-c(mod m)，a*c≡b*c(mod m)等等。
同余定理在数论和密码学中有着重要的应用。
我们来介绍一个有趣的数论问题——费马大定理。
《初等数论-第一章》课件
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r
可以被3整除。
例 3：当m 1,则有下面的： 2m 1不整除2n 1。
证明：不妨设 n mq r,0 r m. 于是
b的因数，反之， b的因数也就是0与b的公因数。 (ii)(0,b)=|b|
推论2.1 若b是任一非零整数，则(0,b) b
4、定理3 设a,b,c是三个不全为零的整数，且 a=bq+c
其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数， 因而(a,b)=(b,c)
定理 下面的等式成立：
(ⅰ) （a1 , a2)=(a2 , a1)=(-a1 , a2) ；一般地 (a1 , a2 , , ai , , ak) = (ai , a2 , , a1 , , ak) = (-a1 , a2 , , ak)=(|a1| , |a2| , , |ak|)； (ⅱ) 若a1|aj , j = 2, , k,则（a1 , a2)=(a1 , a2, , ak)
《初等数论》
数论的基本内容
按照研究的对象以及研究方法的不 同，数论一般可分为：
初等数论；解析数论； 代 数数论；几何数论；组合 数论；代数数数论；超越 数数论等
参考书目
1、冯克勤、余红兵主编《初等数论》，中 国科学技术大学出版社. 2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教 育出版社. 3、潘承洞、潘承彪著《初等数论》，北京 大学出版社. 4、陈景润主编《初等数论》，科学出版社。
2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论
定理1 若a1, a2, , an是任意n个不全为零的整数， 则（i) a1, a2, , an 与 a1 , a2 , , an 的公因数相同； (ii)(a1, a2, , an ) ( a1 , a2 , , an ).
大学数学---初等数论
.
同理可得：[14976,524]=1961856, 于是：[128,234,524]=1961856.
习题
1、求[21，35]. 2、求[123，321]. 3、求[125，725，1125，2015].
§1.4整数可除性的检验
例2：求（2605，-5125）.
解：因为5125=2605×1+2520， 2605=2520×1+85 2520=85×29+55 85=55×1+30 55=30×1+25 30=25×1+5 25=5×5 所以（2605，-5125）=5.
例3：求（2605，3245，7250）.
解：先求2065和3245的最大公因数。 因为3245=2605×1+1180， 2605=1180×1+885 1180=885×1+295 885=295×3 所以（2605，3245）=295. 再求295与7250的最大公因数。 7250=295×24+170， 295=170×1+125 170=125×1+45 125=45×2+35 45=35×1+10 35=10×3+5 10=5×2 所以（2605，3245，7250）= （295，7250）=5.
第二章 不定方程
中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的题目： “鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡．问鸡翁、母、雏 各几何？” 设用 x，y，z 分别代表鸡翁、鸡母，鸡雏的数目，就得到下面的方程：
1 5 x 3 y z 100 3 x y z 100
初等数论第一章4
第四节 最小公倍数
( ab ,
abc [a , b ]
)
( ab [ a , b ], abc ) [a , b ]
ab ([ a , b ], c ) [a , b ]
(10)
联合式(9)与式(10)得到所需结论。
第四节 最小公倍数
例2 对于任意的整数a1, a2, …, an及整数k，1 k n，证明：
an1mn1mn，
mn2= [mn3, an2] mn3mn2mn，anmn，
an1mn，an2mn，
…… m2 = [a1, a2] anmn，…，a2mn，a1mn， 即mn是a1, a2, …, an的一个公倍数。
第四节 最小公倍数
另一方面，对于a1, a2, …, an的任何公倍数m，由
第四节 最小公倍数
以及
[a, b][b, c][c, a] = [[a, b]b, [a, b]c][c, a]
= [ab, b2, ac, bc][c, a]
= [ab[c, a], b2[c, a], ac[c, a], bc[c, a]]
= [abc, a2b, b2c, b2a, ac2, a2c, bc2, bca] = [abc, a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b]， 由此得证。
第四节 最小公倍数
证明 必要性 因为(a1, a2) = 1，由定理2得到
[a1, a2] == a1a2 。
由(a1, a3) = (a2, a3) = 1及第三节定理4推论3得到
(a1a2, a3) = 1，
由此及定理3得到 [a1, a2, a3] = [[a1, a2], a3] = [a1a2, a3] = a1a2a3 。 如此继续下去，就得到式(3)。
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一般情况下，0不参与数论问题的讨论，所以在以后的讨论中，把正整数和自然数看成等价的概念。
2
第一章 整除
3
定理 1.1.2. 设m ∈ N ， m ̸= e，那么，必有唯一的n ∈ N 使得n+ = m， 即N 中每个不等于e的元素必是某个元素的后继，e是唯一一个没有后继的 元素。 定理 1.1.3 (归纳证明原理). 设P (n)是关于自然数n的一种性质或者命题。 如果当n = e时， P (e)成立，以及有P (n)成立必可推出P (n+ )成立，那么， P (n)对所有的n ∈ N 都成立。 归纳证明原理作为一种相当基础的证明算法，在解决一些关于集合的 命题的时候往往会被使用。在验证某些恒等式的时候，由于等式的变量取 值为正整数，也可以巧妙地使用归纳证明原理来证明。
第四章 不定方程 4.1 4.2 4.3 一次不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagoras 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagrange 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
初等数论1
张文泰2 20100102-rev20
1
本文介绍了非常多的基础理论的知识，是为了形成一个完整的初等数论体系，有助
于一个良好的数学基础的形成。 2 e-mail: rchardx@
目录
第一章 整除 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Peano 公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 整除 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 带余除法与辗转相除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 最大公约数和最小公倍数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 算术基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 阶乘的分解式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第三章 同余方程 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 同余方程基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一次同余方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一次同余方程组，孙子定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 模为素数的二次同余方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legendre 符号，Gauss 二次互反律 . . . . . . . . . . . . . . .
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第一章
整除
整除理论是数论的基础，它主要是对整数除法运算的内容作抽象的、 系统的总结。本章的主要内容是算术基本定理，同时有对其他基础理论的 讨论。
1.1 Peano 公理
本节将会介绍自然数1 最重要的两个性质，自然数的归纳原理和最小自 然数原理。 自然数的本质属性是由归纳属性刻画的，它是自然数公理化定义的核 心。自然数集合严格的抽象的定义是由 Peano 公理给出的，它刻画了自然 数的本质属性，并导出有关的运算和性质。
顺序
对给定的a, b ∈ N ，如果存在x ∈ N ，使得b = a + x，那么，我们就
说b在a之后（或a在b之前） ，也说b大于a（或者a小于b） ，记作 b>a 由此推出 定理 1.1.4. 对任意的a, b ∈ N ，a = b, a > b, a < b有且仅有一个成立。 or a<b
定理 1.1.5 (最小自然数原理). 自然数集合N 的任一子集T 中都存在一个最小 的元素。 定理 1.1.6 (最大自然数原理). 对于自然数集合N 的一个子集M ，如果M 存 在上界，那么M 中必定存在一个最大的元素。 最小自然数原理是常用的第二种数学归纳法的基础。 定理 1.1.7 (第二种数学归纳法). 设P (n)是关于自然数n的一种性质或者命 题。如果 (i) 当n = 1时，P (1)成立； (ii) 设n > 1，若对所有的自然数m < n，P (m)成立，则必有P (n)成立。 那么，P (n)对所有自然数n成立。 这一章完全是各种基础的概念，作为一个背景简单说明一下。下面开 始介绍比较重要而又很基础的一些内容。
1.3 带余除法与辗转相除法
带余除法作为数论中最常使用的基本方法，具有很高的实用性。它是 数论证明中最重要、最基本、最直接的工具。 IMO 中的大部分数论题目
第一章 整除
6
都可以用带余除法解决，虽然过程可能不太直观，但是并不能影响它的地 位。 定理 1.3.1 (带余数除法). 设a，b是两个给定的整数，a ̸= 0。那么一定存在 唯一的一对整数q 与r，满足 b = qa + r, 此外，a|b的充要条件是r = 0。 在具体应用的时候，往往并不要求r满足最小性，第二种形式如下： 定理 1.3.2. 设a，b是两个给定的整数，a ̸= 0，再设d是一给定的整数。那么 一定存在唯一的一对整数q1 与r1 ，满足 b = q1 a + r1 , 此外，a|b的充要条件是a|r1 。 上面的定理可以由定理1.3.1推出。我们一般把式1.1中的r称为b被a除后 的最小非负余数。式1.2中的r1 称为绝对最小余数。 下面是一个关于整数分类的推论： 推 论 1.3.3. 设a > 0。 任 一 整 数 被a除 后 所 得 的 最 小 非 负 余 数 是 且 仅 是0, 1, . . . , a − 1这a个数中的一个。 例题 1.3.1. 设a > 2是奇数。证明： (i) 一定存在正整数d ≤ a − 1，使得a|2d − 1。 (ii) 设d0 是满足 (i) 的最小正整数d。那么， a|2h − 1(h ∈ N )的充要条件 是d0 |h。 证. 先证 (i)。考虑以下a个数： 20 , 21 , 22 , . . . , 2a−1 显然，a 2j (0 ≤ j < a)。由定理1.3.1知，对于每一个j ，0 ≤ j < a， 2j = qj a + rj , 0 < rj < a d ≤ r < |a| + d (1.2) 0 ≤ r < |a| (1.1)
(ii) a|b且b|c ⇒ a|c； (iii) a|b且a|c ⇐⇒ 对任意的x, y ∈ Z 有a|bx + cy 。该定理还有其一般形式； (iv) 设m ̸= 0。那么，a|b ⇐⇒ ma|mb； (v) a|b且b|a ⇒ b = ±a； (vi) 设b ̸= 0。那么，a|b ⇒ |a| ≤ |b|。 例题 1.2.1. 设a, b是两个给定的非零整数，且有整数x, y ，使得ax + by = 1。 证明：若a|n且b|n，则ab|n。 证. 由n = n(ax + by ) = (na)x + (nb)y ，及ab|na，ab|nb即得所要的结论2 。 2 定义 1.2.2. 设整数p ̸= 0, ±1。如果它除了显然约数±1, ±p外没有其他的约 束，那么p被称为是 不可约数，也叫做 素数3 。若a ̸= 0, ±1且a不是不可约 数，则a称为合数。 下面几个定理是容易得到的 定理 1.2.2. 若a是合数，则必有一个素数p满足p|a。 定理 1.2.3. 若整数a ≥ 2，则a必可以表示为若干个素数的乘积，即 a = p1 p2 p3 · · · ps 由定理1.2.3可以得到下面的推论 推论 1.2.4. 设整数a ≥ 2。
2 3
事实上，满足题中的所给条件的a, b是互素的。 以后我们提到素数的时候，若无特殊情况，都假定它是正的。
第一章 整除 1. 若a是合数，则必有素数p，p ≤ a1/2 ； 2. 若a有定理1.2.3中的表达式，则必有不可约数p，p ≤ a1/s 。
5
推论1.2.4给出了一种在某一范围内寻找素数的有效方法。我们一般称 之为 Eratosthenes 筛法。由于比较容易推出，所以不再赘述。 定理 1.2.5. 素数有无穷多个。 证. 假设只有有限个素数，令它们为p1 , p2 , . . . , pk 。考虑Ek = p1 p2 · · · pk +1， 可 以 发 现， Ek > 2且 必 有 某 个pi |Ek ，所 以pi |Ek − p1 p2 · · · pk ，而 Ek − p1 p2 · · · pk = 1，但pi ≥ 2，显然不可能，矛盾，所以假设错误。 上面提到了Ek ，我们称之为欧拉数。下面是前几项的结果： E1 = 3, E2 = 7, E3 = 31, E4 = 211, E5 = 2311, E6 = 30031, E7 = 510511, . . . 对于欧拉数，还没有关于其中是否存在无限多素数或合数的结论。一 个关于它们的显然性质是对于正整数m ̸= n， (Em , En ) = 1。另外，对 于En (n > 1)，我们可以写出表达式
Peano 公理 设N 是一个非空集合，满足以下条件： (i) 对每一个元素n ∈ N ，一定有唯一的一个N 中的元素与之对应，这个 元素记作n+ ，称为n的后继元素。 (ii) 有元素e ∈ N ，它不是任一元素的后继。 (iii) N 中的元素至多是一个元素的后继。 (iv) （归纳公（原）理）设S 是N 的一个子集合，e ∈ S 。如果n ∈ S ，则必 有n+ ∈ S ，那么，S = N 。 由此立刻可以得出几个定理： 定理 1.1.1. 对任意的n ∈ N 有n ̸= n+ 。