2020年高考数学押题卷及答案

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2020届江苏省高考数学押题试卷含解析

2020届江苏省高考数学押题卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U ．2．设复数z 满足(1i)i z ⋅-=（其中i 为虚数单位），则z 的模为．3．一组数据3，x ，5，6，7的均值为5，则方差为．4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点．若112BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为．8．若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f =______． 9．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 5)f -的值为______．10．已知函数2()e (1)x f x x ax =++的单调减区间为()ln ln e e b a ，，则a b 的值为______． 11．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⊥CD ，则点A 的横坐标为．12．设H 为三角形ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则cos BHC ∠= ．13．已知函数f (x )满足1()+()x f x f x e'=，且f (0)=1，则函数[]21()3()()2g x f x f x =-的零点个数是．14．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<L L ，则称数列{}n a 为“差半递增”数列．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项的和为n S ，且满足221()n n S a t n N *=+-∈，则实数t 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱锥S —ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ‖平面ABC ．（2）求证：BC ⊥SA ．16．（本小题满分14分）已知△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ．（1）若π3B =，b =，△ABC 的面积S ，求a+c 值；（2）若()22cos C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求角C ．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为13，左焦点F 到直线l ：x ＝9的距离为10，圆G ：(x －1)2+y 2＝1．（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EH 为圆G ：(x －1)2+y 2＝1的任一直径，求PE PH ⋅u u u r u u u r 的取值范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足NF NT =M 的方程；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在某商业区周边有两条公路1l 和2l ，在点O 处交汇；该商业区为圆心角π3，半径3km 的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12l l 、分别交于A B 、，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12l l 、上．（1）设km,km,OA a OB b == 试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设α=∠AOT ，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A B 、的位置，使得新建公路AB 的长度最短．已知函数f (x )＝x 3－x +2x ．（1）求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）令g (x )2ln x +，若函数y ＝g (x )在(e ，+∞)内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1，+∞)，s ∈(0，1)，求证：1()()e 2eg t g s ->+- ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足，2S n ＝(a n +2)b n ，其中n S 是数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{b n }的通项公式；（2）若b n ＝n ，a 2＝3，求证：数列{a n }满足a n +a n +2＝2a n +1，并写出数列{a n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设 n n na cb =．试问，数列{c n }中的任意一项是否总可以表示成该数列其他两项之积？若可以，请证明之；若不可以，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）满分40分考试时间30分钟21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，每小题10分．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．（选修4－2：矩阵与变换）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：2,3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N．（1）写出矩阵M、N；（2）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y＝x的直线，求直线l的方程．C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为,2sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α∈R，α为参数），曲线C2的极坐标方程为cos sin50ρθθ-=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求线段PQ的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30︒，AE垂直BD于点E、F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．23．（本小题满分10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3，且a3－a2≤2，A⊆S．（1）若n = 6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．。

2020年江苏省高考数学押题试卷(6月份) (解析版)

2020年高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝（n＝5，7，9，11，…）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝{1}．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，1}，∴M∩N＝{1}．故答案为：{1}．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为60．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，因为在[50，100）中的频数为24，所以n＝＝60，故答案为：60．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为8．【分析】按照程序框图一步一步代入求值，直到跳出循环，输出结果．解：a＝1，b＝1；b＝2，a＝2；b＝4，a＝3，b＝8，a＝4；跳出循环，输出b＝8，故答案为：8．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．【分析】利用排列组合数公式易求三人值班有A种，A排在C后一天值班的情况有C A 种，相比即可．解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A＝6种，其中A排在C后一天值班的情况有C A＝2种，所以A排在C后一天值班的概率P＝＝，故答案是．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，S0＝2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE＝AB＝1，则侧高SE＝＝，故棱锥的表面积S＝2×2+4×（×2×）＝4+4．故答案为：4+4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为﹣x2＝1．【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为x2﹣＝t，（t≠0），将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2﹣＝t，（t ≠0），又由双曲线经过点（﹣，6），则有（﹣）2﹣＝3﹣4＝t＝﹣1，则要求双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式可求cos4α的值，即可得解．解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方，可得1+sin2α＝，sin2α＝﹣，∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（﹣）2＝，∴sin2α+cos4α＝﹣+＝．故答案为：．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为400．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列方程组，解得a1＝1，d＝2，由此能求出S20．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，2a3﹣a5＝1，S10＝100，∴，解得a1＝1，d＝2，∴S20＝20×1+＝400．故答案为：400．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝+（n＝5，7，9，11，…）．【分析】由已知中＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出＝+．解：假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．【分析】设P（x0，y0），求出以AB为直径的圆的方程，与圆C联立，可得AB所在直线方程，代入（1，1），得P点轨迹，再由点到直线的距离公式求得线段PO长的最小值．解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），又|PC|＝，∴以PC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．故答案为：．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为2．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．解：已知正实数x，y满足，整理得：，所以＝，所以（当且仅当y＝2x等号成立）故的最小值为2．故答案为：213．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．【分析】用表示出，根据条件列方程计算cos∠DAB．解：＝+，设＝λ＝+λ＝+2λ，∵B，O，E三点共线，∴+2λ＝1，即λ＝．∴＝＝+，＝+，∴＝＝﹣，∴5•＝（+）•（4﹣2）＝﹣2+．若，则﹣2＝，又AB＝2AD，＝AB•AD•cos∠DAB，∴6（4AD2﹣AD2）＝51（2AD•AD•cos∠DAB），解得cos∠DAB＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．【分析】由已知化切为弦可得3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A ﹣cos A），得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．解：由＝1，得，∴4cos A sin B+3cos B sin A＝sin A sin B，∴3sin（A+B）+cos A sin B＝sin A sin B，即3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A﹣cos A），∴．∵0＜A＜π，∴＜＜，则当A﹣时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0法一：根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B法二：根据余弦定理可得，b×＝0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c＝2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cos A，利用同角平方关系可求sin A，代入三角形的面积公式S＝可求解：（1）法一：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B＝0∴（sin B cos A﹣sin A cos B）﹣2（sin B cos C+sin C cos B）＝0∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0∵A+B+C＝π∴sin C﹣2sin A＝0∴（法二）：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据余弦定理可得，b×＝0整理可得，c﹣2a＝0∴＝2（2）∵由（1）可知c＝2a＝4∴b＝3∴cos A＝＝，sin A＝＝∴△ABC的面积S＝＝＝16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．【分析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，而AD⊂平面AA1C1C∴BC⊥AD…①又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，由已知AA1＝AC＝A1D，则∠A1DA＝，同理∠C1DC＝，则∠ADC＝，即CD⊥AD，由①BC⊥AD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE＝EB，CO＝BO∴OE平行等于AC，而A1D平行等于AC，∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，∴A1E∥OD，而A1E⊄平面BCD，OD⊂平面BCD，∴A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理计算PB；（2）设行进时间为t，得出两人距离关于t的函数，解不等式得出t的范围即可得出结论．解：（1）AC＝＝5，cos C＝＝，在△PBC中，由余弦定理可得：PB2＝PC2+BC2﹣2PC•BC•cos C＝4+16﹣2•2•4•＝，∴PB＝千米．（2）设两保安出发t小时后，甲保安到达M处，乙保安到达N处（0≤t≤1）．则AM＝5（1﹣t），AN＝3t，又cos A＝，则MN2＝25（1﹣t）2+9t2﹣2•5（1﹣t）•3t•＝52t2﹣68t+25，令MN＞3可得52t2﹣68t+25＞9，即13t2﹣17t+4＞0，又0≤t≤1，解得：0≤t＜．∴两保安有小时不能通话．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾；可设直线AB的方程为y ＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得所求值；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，结合三角形的面积公式，计算可得所求值．解：（1）因为e＝＝，所以a2＝2b2，设椭圆方程为+＝1，将点（1，）代入可得+＝1，解得b＝，则a＝2，则椭圆的方程为+＝1；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾．所以直线AB的斜率存在．可设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，于是y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•+km（﹣）+m2＝，而k OA•k OB＝＝，即x1x2＝2y1y2，则＝2•，解得k2＝，即有k＝±，所以直线AB的斜率为±；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，因为原点O到直线AB的距离d＝，所以|CD|＝2＝2，由（2）当k＝时，x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣2，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，于是＝＝，解得m2＝3，因此△COD的面积S△OCD＝CD•d＝•2•＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【分析】（1）令n＝1，结合S1＝a1及题设条件可得2a1＝a1+λ，进而得解；（2）利用S n+1﹣S n＝a n及题设条件可得2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，进而得到2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，化简整理即可得证；（3）由（2）问题等价于，令，题目条件进一步转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，然后再分类讨论得出结论．解：（1）当n＝1时，，∴2a1＝a1+λ，解得λ＝a1＝1；（2）证明：由题意知，，∴2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，∴，∴2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，∴（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1＝2（n﹣1）a n，又n≥2，n∈N•，∴n﹣1＞0，∴a n+1+a n﹣1＝2a n对任意n≥2，n∈N•都成立，∴数列{a n}是等差数列；（3）由（2）可知，|S m﹣2m|＜m+1，即，即，∴，令，题目条件转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，若m＝1符合，则2t＜2，即t＜1；若m＝2符合，则2t＜3，即；若m＝3符合，则t为任意实数，即m＝3以外只能有1个m符合要求；当m≥4，m∈N•时，tm（m﹣3）＜m+1，解得，令x＝m+1≥5，则，令，则，当x≥5时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴，∴，∴当时，至少存在m＝2，3，4满足不等式，不符合要求；当时，对于任意m≥4，m∈N•都不满足不等式，m＝1也不满足，此时只有m＝2，3满足；当时，只有m＝3符合；故，即，解得或，∴λ的取值范围为．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．【分析】（1）根据导数的几何意义知f′（e）＝，由此构造方程求得结果．（2）将问题转化为ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，恒成立的问题，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，分别在a＝0，a＞0和﹣≤a＜0，或a≤﹣1时，结合函数单调性确定最小值，令φ（x）min≥0，从而求得a的取值范围．（3）根据（2）的结论可知f（x）在（1，2）上单调递增，分类讨论可确定≤2ln（2x﹣3），将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果．解：（1）由题意得：f′（x）＝＝，因为y＝f（x）的函数图象在x＝e处的切线的斜率为，所以f′（e）＝，所以，解得（ae+1）2＝（1﹣e）2，所以ae+1＝±（1﹣e），所以a＝﹣1或．（2）因为函数f（x）在（1，2）上单调递增，所以对于任意的x∈（1，2），都有f′（x）≥0恒成立，即ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，当a＝0，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，由x≠﹣得：﹣，即a＞0，或﹣或a≤﹣1，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，则φ′（x）＝﹣alnx，①当a＞0且x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（2）≥0，即2a+1﹣2aln2≥0，解得a≥，所以a＞0满足题意，②当﹣≤a＜0或a≤﹣1，且x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（1，2）上单调递增，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（1）≥0，即a+1﹣aln1≥0，解得a≥﹣1，所以﹣≤a＜0或a＝﹣1，综上所述：a的取值范围是{﹣1}∪[﹣，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＝﹣1时，函数f（x）在（1，2）上单调递增，此时f（x）＝＝，当1＜x≤时，f（x）≤f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≤0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，当≤x＜2时，f（x）≥f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≥0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，综上，对于任意x∈（1，2），都有，所以≤2ln（2x﹣3）+2ln（2y﹣3）＝2ln（2x+2y﹣6）＝0，结论得证．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【分析】（1）推导出＝，从而，由点P'（x'，y'）在曲线＝1，得＝1．再由x2+y2＝1，能求出矩阵A．（2）由|λI﹣A|＝＝0，求出λ1＝3，λ2＝1，由此能求出矩阵A的特征向量．解：（1）P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则＝，即，又∵点P'（x'，y'）在曲线＝1，∴＝1．由已知条件可知，x2+y2＝1，∴a2＝9，b2＝1．∵a＞0，b＞0，∴a＝3，b＝1．∴A＝．（2）∵A＝．∴|λI﹣A|＝＝0，解得λ1＝3，λ2＝1，把λ1＝3代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x2＝0，∴λ1＝3的特征向量为，把λ1＝1代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x1＝0，∴λ2＝1的特征向量为．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．【分析】化曲线的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，进一步化为参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解．解：由（α为参数），消去参数α，得；由ρ（sinθ+cosθ）＝2，得ρsinθ+ρcosθ﹣2＝0，即x+y﹣2＝0．设直线l的参数方程为，代入，得．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【分析】根据条件，可得＝，然后利用柯西不等式求出其最小值即可．解：∵a，b，c为正实数且满足a+b+c＝3，∴，即，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为12．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．【分析】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，结合排列组合的思想逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝，所以2和4不相邻的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，P（X＝0）＝（先确定3的位置）或（P（X＝0）＝1﹣P （X＝1）﹣P（X＝2）＝）．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．解：（1）若a1＝3，则1+3≤2+a2，故a2＝2，则a3＝1．若a2＝3，则2+a2≤3+a3，则a3≥2．故a2＝2，则a1＝1．若a3＝3，则a1＝1，a2＝2，或a1＝2，a2＝3．所以当n＝3时，满足条件的数列T为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T为4．（2）设满足条件的数列T的个数为b n，显然b1＝1，b2＝2，b3＝3．不等式i+a i≤j+a j中取j＝i+1，则有i+a i≤i+1+a i+1，即a i≤1+a i+1．①当a1＝n，则a2＝n﹣1，同理a3＝n﹣2，…，a n＝1．②当a i＝n，（2≤i≤n），则a i+1＝n﹣1，同理a i+2＝n﹣2，…，a n＝i．即a i＝n以后的各项是唯一确定的．a i＝n之前的满足条件的数列的个数为b i﹣1．所以：当n≥2时，b n＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1+1．（*）．当n≥3时，b n﹣1＝b n﹣2+b n﹣3+…+b1+1．代入（*）式得到b n＝b n﹣1+b n﹣1＝2b n﹣1，且满足b2＝2b1．所以对任意n≥2的，都有b n＝2b n﹣1，又b1＝1，所以．综上所述，满足条件的数列T的个数为2n﹣1．。

2020高考押题卷及答案(数学)

2020届高三数学高考押题试卷数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{13,}A x x x Z =≤≤∈，B={2，m ，4}，若A ∩B={2,3}，则实数m= .2.若复数2(1a a +∈+iiR )的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于 . 3.两根相距6m 的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为 .4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为 .5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .6. 已知数列是}{n a 等比数列，若456,1,a a a +成等差数列，且71a =，则10a = .则获利最大值为百万元.(cm) 第4题图FEGHDCBAS 4S 2S 3S 113题图8.在△ABC 中，已知BC ＝4，AC ＝3，且cos(A －B)=1718，则cosC ＝ . 9.设向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a 与b 夹角的最大值为 . 10.若函数(0)y ax a =>的最小值为4，则a 的值为_______．11. 底面半径为2cm 的圆柱形容器里放有四个半径为1cm 的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.12. 已知点12,F F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 为该双曲线左支上的任意一点．若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是 .13.如图，线段EF 和GH 把矩形ABCD 分割成四个小矩形，记四个小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)i S i .已知AB=1，11S ≥，21S ≥，31S ≥，42S ≥，则BC 的最小值是 .14.若方程log x a a x =(1)a >有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）．（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式a c a c +<-．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．（1）求证：1BD 面EAC ；（2）求四面体1EACB 的体积．17．如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E F 、分别在BC CD 、上），根据规划要求ECF ∆的周长为2km ．（1）试求EAF ∠的大小；（2）欲使EAF ∆的面积最小，试确定点E F 、的位置．18．如图，线段AB 两端点分别在x 轴，y 轴上滑动，且AB a b =+（a b >）．M 为线1D A1B D E1A 1CB C FE DCB A段AB 上一点，且MB a =，MA b =．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）已知圆O ：221x y +=，设P 为轨迹C 上任一点，若存在以点P 为顶点，与圆O 外切且内接于轨迹C 的平行四边形，求证：22111a+=．19．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，81a =-．①求满足0n S <的n 的最小值；②是否存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．（2）设数列{}n a 的前6项均为正整数，公比为q ，且(1,2)q ∈，求6a 的最小值．20．已知函数2)(x x ae e x f -+=，2)(xx e e x g --=，(,)x a ∈∈R R .⑴当1=a 时，试用)(),(),(),(y g x g y f x f 表示)(y x f +；⑵研究函数)(x f y =的图象发现：取不同的a 值，)(x f y =的图象既可以是中心对称图形，也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x 轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；⑶设函数)(x h 的定义域为R ，若对于任意的实数y x ,，函数)(x h 满足)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++，且1)()(≤-x f x h ．证明：)()(x f x h =数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分） 21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，1O 和2O 外切于点P ，延长1PO 交1O 于点A ，延长2PO 交2O 于点D ，若AC 与2O 相切于点C ，且交1O 于点B. （1）PC 平分BPD ∠；（2）2PC PB PD =⋅.B ．选修4-2:矩阵与变换已知矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦将直线:10l x y +-=变换成直线l '. （1）求直线l '的方程；（2）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵1A -；若不可逆，请说明理由．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.D ．选修4-5：不等式选讲设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．22. 必做题（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．.①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．必做题已知抛物线x y =2的焦点为F ，点),(00y x M （与原点不重合）在抛物线上．（1）作一条斜率为021y -的直线交抛物线于H G ,两点，连接MH MG ,分别交x 轴于B A ,两点，（直线MH MG ,与x 轴不垂直），求证MB MA =；（2）设D C ,为抛物线上两点，过D C ,作抛物线的两条切线相交于点P ，（D C ,与M 不重合，与M 的连线也不垂直于x 轴），求证:PFC PFD ∠=∠．命题人员：鲍立华王正军陆明明图一图二数学试题参考答案一、填空题1．3 2．0 3． 4． 75% 5．11 6．18 7．14．75 8．169．120 10．1 11．83π+12．(1,3] 13．3+．11e a e << 二、解答题15．（1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π，所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分 16．（1）连接BD 交AC 于O 点，连接OE ．由题知，O 为BD 中点．∴在1BDD 中，OE 为中位线，∴OE ∥1BD ………………………………4分又OE ⊆面EAC ，1BD ⊄面EAC∴1BD ∥面EAC ．………………………………6分（2）连接1OB ．∵O 为AC 中点，EA=EC ，11B A B C = ∴EO AC ⊥，1B O AC ⊥∴1B OE ∠为二面角1E AC B --的平面角由正方体的棱长为2，得EO =1OB 13EB = ∴22211EO OB EB +=，即12B OE π∠=∴EO ⊥面1AB C ，即EO 为四面体1E AB C -的高………………………………12分∴1113E AB C AB C V EO S -=⋅11232=⨯=………………………………14分17．解：（1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤，则tan 1,tan 1x y αβ=-=-，由已知得：2x y +=，即2()2x y xy +-=…………………………………4分tan tan 112()2()tan()11tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,24ππαβαβ<+<∴+=，即.4EAF π∠=…………………………8分（2）由（1）知，1111sin 244cos cos 4cos cos AEF S AE AF EAF AE AF αβαβ∆=⋅∠=⋅=⋅==2111142cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21cos cos()4πααααααααα⋅===++++-=1)14πα++．…………………………………………………12分04πα<<，242ππα∴+=，即8πα=时AEF ∆1．22tan8tan,tan 1481tan 8ππππ=∴=-，故此时1BE DF ==所以，当1BE DF ==时，AEF ∆的面积最小．………………………………14分 18．（1）点M 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=………………………………6分（2）显然圆O 外切的平行四边形为菱形，连接PO 并延长交椭圆C 于点Q ，过O 作PQ 垂线交椭圆于C ，D ，连接PC 与圆O 切于点H.当PO 斜率不存在时，可得22111a b+=………………………………8分当PO 斜率存在时设为k ，PO 方程y kx =与22221x y a b +=联立解得222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k =+………………………………10分所以2222222222211b a k OP x y a b a b k +==++同理可求得2222222221a b k OC a b a b k+=+ 所以22221111OP OC a b +=+………………………………14分又Rt POC ∆的斜边与圆O 切于点H ，故222111OP OC OH+= 所以22111a b +=………………………………16分 19.（1）①设数列{}n a 的前6项等比数列的公比为q ，从第5项起等差数列的公差为d ．由544a a q q ==，22644a a q q ==，则244d q q =-；又285343(44)1a a d q q q =+=+-=-，解得12q =或16q =（舍，因为n a 为整数），所以12q =，1d =-．故61()(6,*)27(7,*)n n n n N a n n n N -⎧≤∈⎪=⎨⎪-≥∈⎩．……2分所以164[1()](6,*)2(7)(6)63(7,*)2n n n n N S n n n n N ⎧-≤∈⎪⎪=⎨--⎪-≥∈⎪⎩…………4分∵0n S < ∴7n ≥ 由(7)(6)6302n n ---<得17n >所以，满足0n S >的n 的最小值为18．……………………………6分②假设存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立，即2(1)(1)0m m a a +-+= 由1m a =或21m a +=-得6m =所以，存在正整数6m =，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立．…………………10分（Ⅱ）设11n n a a q -=，由1a ，…，6a 都是正整数，则q 必为有理数．设sq r =，其中s ，r 都是正整数，且(,)1s r =，22r s r ≤<<，则5615s a a r =．由(,)1s r =，得55(,)1s r =，所以1a 是5r 的整数倍．因此，5556153243s a a s r=≥≥=．……………14分当2r =，3s =时，即32q =，512a =时，6a 取到最小值243．……16分 20．⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)(2)(x x xx ee x g e e xf 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-)()()()(xg x f e x g x f e x x )()()()(2)(y g x g y f x f e e e e y x f yx y x +=+=+--……………………………4分（2）设)(x f 关于点),(n m 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+n ae e ae e m x x m x x 422=+++---0)(4)(22222=++-+m m x m m x e a e e ne a e e 对R x ∈恒成立⎪⎩⎪⎨⎧==+04022m m ne a e 故当0<a 时存在对称点（)0),ln(21(a - …………………………7分同理当0>a 时存在对称轴a x ln 21=……………………………9分当0=a 时函数不存在对称点或对称轴 ……………………………10分（3）设)()()(x f x h x G -=,假设存在实数a 使得0)(≠a G因为)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++所以)()()(x yG y xG xy G +=)()()(x aG a xG xa G += ……………………………12分 )()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥ 1a a G x -≥)()(1a G ax +≤ ……………………………14分即只有当)(1a G ax +≤时，)()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥不等式才能恒成立与R x ∈矛盾所以不存在实数a 使得G （a ）0≠,故)()(x f x h = ……………………………16分附加题部分21．A ．选修4-1：几何证明选讲（1）连结2O C ，AC 切2O 于点C ，2AC OC ∴⊥，又AP 是1O 的直径，90ABP AB PB ∴∠=∴⊥，2//PB O C ∴， (2)分2BPC O PC ∴∠=∠，又22O P O C =，22O PC O CP ∴∠=∠， (4)分PC∴平分BPD ∠.………………………………………………………………………5分（2）连结CD ，可得BCP D ∠=∠，…………………………………………………6分又BPC CPD ∠=∠，BPC CPD ∴∆∆，………………………………………………………………… 8分PB PC PC PD∴=， 2PC PB PD ∴=⋅. ……………………………………………………………… 10分B ．选修4-2:矩阵与变换（1）在直线l 上任取一点00(,)P x y ，设它在矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下变为(,)Q x y ．∵002113x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………………2分∴000023x x y y x y =+⎧⎨=-+⎩，即003727x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，……………………………………………………4分又∵点00(,)P x y 在直线:10l x y +-=， ∴321077x y x y -++-=，即直线l '的方程为470x y +-=.…………………………………………………………5分（2）21013≠-，∴矩阵A 可逆． ………………………………………………7分设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………8分∴21203031a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解之得37171727a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，∴131771277A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……………………10分 C ．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………… 2分直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=， (4)分设点,1)P αα-，则点到直线70x y +-=的距离d == (8)分∴min d ==max d ==……………………………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲2()13f x x x =-+， 22()()-=--+f x f a x x a a ……………………………………………………2分 1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………………4分 1<+-x a ，………………………………………………………………………… 5分又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………………… 7分 21≤-+-x a a ………………………………………………………………………9分 1212(1)<++=+a a ．………………………………………………………………10分22. （1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．…………2分（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………4分它们是等可能的。

2020高考理科数学押题卷含答案

形镜子的最大面积为（）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；

2020年全国高考数学临考押题试卷(文科)-含答案与解析

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

2020年高考数学(理)终极押题卷(全解全析)

2020年高考数学（理）终极押题卷（全解全析）1．【答案】C 【解析】因为312iz i-=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．2．【答案】C【解析】由题得221,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩∴1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,1,x y =⎧⎨=⎩则A ∩B ={(1,0),(0,1)}.故选C.3．【答案】B【解析】因为222131331()44244x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,,22-<-<∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，故选B.4．【答案】D【解析】由图表可知：2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A 错误；2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B 错误； 2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C 错误，D 正确.本题正确选项：D . 5．【答案】A【解析】Q 设等差数列{}n a 的公差为d ，()0d ≠，11a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列，2326a a a ∴=⋅，()()()211125a d a d a d ∴+=++，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616562S a d ⨯=+()65612242⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A. 6．【答案】B【解析】由a r ∥b r得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+⋅=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 7．【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrr r T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C. 8．【答案】C【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为2251213+=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =. 所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．9．【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项． 10．【答案】B【解析】()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k πϕπ=+∈Z ．因为0ϕπ<<，故2ϕπ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==．因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a a π==，所以12a =．综上，()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．11．【答案】A【解析】设BC 的中点是E ，连接DE ，A ′E ，因为AB ＝AD ＝1，BD，由勾股定理得：BA ⊥AD ，又因为BD ⊥CD ，即三角形BCD 为直角三角形，所以DE为球体的半径，2DE =，2432S ππ==，故选A . 12．【答案】A【解析】由题可知2(31),0()2ln 1,0x m x f x mx x x -+≤++'⎧=⎨>⎩，当0x >时，令()0f x '=，可化为ln 12x m x +-=，令()ln 1x g x x +=，则()2ln xg x x-='，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()g x 的图象如图所示，所以当021m <-<，即12m -<<时，()0f x '=有两个不同的解；当0x ≤，令()0f x '=，3102m x +=<，解得13m <-，综上，11,23m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13．【答案】22【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22. 14．【答案】乙【解析】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙>丙>学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长．故答案为乙． 15．【答案】985987【解析】由题1n a +＝n a +n +2，∴12n n a a n +-=+，所以213a a -=，324a a -=，435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上式1n -个式子左右两边分别相加得()()1412n n n a a +--=，即()()122nn n a ++=，当n =1时，满足题意，所以111212n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而12985111111111985 (22334986987987)a a a L +++=-+-++-=. 故答案为985987. 16．【答案】y x =±【解析】设12,PF m PF n == ,可得2m n a -= ,可得22224m mn n a -+=（1）, 在12PF F △中，由余弦定理可得2222242cos3c m n mn m n mn π=+-=+-（2），因为2PO b =，所以在1PFO △，2POF V 中分别利用余弦定理可得， ()2222221144cos ,44cos m c b b POF n c b b POF π=+-∠=+--∠,两式相加可得222228m n c b +=+ ,分别与（1）、（2）联立得22222222222284102,28462mn c b a b a mn c b c b a =+-=-=+-=-，消去mn 可得22a b =，a b = 所以双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y x =±，故答案为y x =±.17．（12分）【解析】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=.（6分）（2）因为3B π=，所以()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆+==.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点，所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ，又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP .（5分）（2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=.由432AFa=，得23AF a=.又由20,,23a a F⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，知32,,223a a aBF⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v，20,,23a aOF⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u v.设平面BDF的法向量为(),,n x y z=v，由n BF⊥u u u vv，n OFu u u vv⊥，得3223223a a ax y za ay z⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z=，得()0,4,3n=v.又0,,2aP a⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以3,,2a aPD a⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设PD与平面BDF所成角为θ，则222232sin1031544n PD a an PDa a aθ⋅-===++u u u vvu u u vv.所以PD与平面BDF所成角的正弦值为210.（12分）19．（12分）【解析】（1）依题意得33,2cc aa==⇒=，又2231a b b-=⇒=∴椭圆C的方程为2214xy+=.（4分）（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++. 由题设知()()12212121212kx m kx m y y k k k x x x x ++=== ()212212km x x m k x x ++=+， ∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k-+=+， ∵0m ≠，∴214k =. 此时()()()222221212224184,211414m km x x m x x m k k --⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭则2222222222121122121144x x OM ON x y x y x x +=+++=+-++-()()2221212123322244x x x x x x ⎡⎤=⨯++=+-+⎣⎦()223441254m m ⎡⎤=--+=⎣⎦ 故直线l 的斜率为221,52k OM ON =±+=.（12分）20．（12分）【解析】（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在(]4,8上的概率为：()20.140.0620.45p =+⨯==，设“任选3台电脑，至少有两台使用时间在(]4,8”为事件A ，则 ()23233323244·555125P A C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（4分）（2）（ⅰ）由a bxy e +=得ln y a bx =+，即t a bx =+，10110221110ˆ0i i i ii x t xtbx x =-=-=-∑∑279.7510 5.5 1.90.338510 5.5-⨯⨯==--⨯()1.90.3 5.53ˆ.55a=--⨯=，即0.3 3.55t x =-+，所以0.3 3.55ˆx y e -+=.（8分）（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间(]0,2上折旧电脑价格的预测值为 3.550.31 3.2526e e -⨯=≈，在区间(]2,4上折旧电脑价格的预测值为 3.550.33 2.6514e e -⨯=≈，在区间(]4,6上折旧电脑价格的预测值为 3.550.35 2.057.8e e -⨯=≈，在区间(]6,8上折旧电脑价格的预测值为 3.550.37 1.45 4.3e e -⨯=≈，在区间(]8,10上折旧电脑价格的预测值为 3.550.390.85 2.3e e -⨯=≈，于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2260.36140.287.80.12 4.30.04 2.313.032⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的的费用为： 100013.0321303200⨯=（元）（12分） 21．（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=，由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是()0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是()0,+?，没有单调减区间；（5分）（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增.从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--. 对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-Q ，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证.（12分） 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d αP 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分）（2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=； ()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。

2020高考数学押题卷含答案

2020⾼考数学押题卷含答案⼀、选择题：本⼤题共11⼩题，每⼩题5分，共55分. 在每⼩题给出的4个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1、集合A ＝1| 01x x x -??，B ＝{}|||x x b a -<，若“1a =”是“B A ≠?I ”的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A 、20b -≤<B 、02b <≤C 、31b -<<-D 、12b -≤<2、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平⾯，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ??；④若m 、n 是异⾯直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??. 其中真命题是（） A ．①和② B ．①和③C ．③和④D ．①和④3、函数ln(y x =的反函数是（）A ．2xx e e y -+= B ．2x x e e y -+-=C ．2xx e e y --=D ．2xx e e y ---=4、若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（）A ．),21(+∞B ．),1(+∞1(D ．)21,0(5、在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成⽴，则（）A ．11<<-aB ．20<C ．2321<<-aD ．2123<<-a6、若钝⾓三⾓形三内⾓的度数成等差数列，且最⼤边长与最⼩边长的⽐值为m ，则m 的范围是（）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）7、若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值（）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－88、已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ9、已知双曲线的中⼼在原点，离⼼率为3.若它的⼀条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（）B ．21C ．21218+D ．2110、⼀给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满⾜)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）A B CD11、设定义域为R 的函数|lg |1||,1()0,1x x f x x -≠?=?=?，则关于x 的⽅程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，共28分.把答案填在题中横线上. 12、11622(2)x x --的展开式中常数项是 .13、如图，正⽅体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截⾯ABCD 的距离是 .14、设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()f x -，f(4)＝0，则1(4)f -＝ .15、某班有50名学⽣，其中 15⼈选修A 课程，另外35⼈选修B课程．从班级中任选两名学⽣,他们是选修不同课程的学⽣的慨率是．(结果⽤分数表⽰) 16、直⾓坐标平⾯xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x ，y)满⾜=4。

2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷参考答案

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时，得 T2 C15x4 5x4 ，当 r 4 时，得 T5 C54x 5x ，故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1）四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ，在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2）的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1）抛物线：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ，设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点，另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分（2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。

2020高考文科数学全真押题卷含解答

数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+p(B)。

如果事件A、B相互独立，那么P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P(k)=C k p k(1-p)n-kn n一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。

每小题给γ β n n出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合 U={0，1，2，3，4，5}，集合 M={0，3，5}，N={1，4，5}，则 M I ( N )u（A ）{5} （B ）{0，3} （C ）{0，2，3，5} （D ） {0，1，3，4，5}2．函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + 3x - 9 ，已知 f ( x ) 在 x = -3 时取得极值，则a =（A ）4（B ）3 （C ）5 （D ）23．已知θ 是锐角，那么下列各值中，sin θ + cos θ 能取到的值是（A ） 43（B ） 34（C ） 53（D ） 124．若命题甲的逆命题是乙，命题甲的否命题是丙，则命题乙是命题丙的（A ）逆命题（B ）逆否命题（C ）否命题（D ）否定5．函数 f ( x ) =1的定义域为log (- x 2 + 4 x - 3)2（A ） (1,2) U (2,3)（B ） (-∞,1) U (3, +∞)（C ）（1，3）（D ）[1，3]6．已知直线 m 、n ，平面α 、β 、，则α ⊥ β 的一个充分不必要条件为（A ） α ⊥ γ ， ⊥ γ （B ）α I β = m ， ⊥ m ， ⊂ β（C ） m // α ，m ⊥ β（D ） m // α ，m // β2x+π⎪⎝12,0⎫⎪成中心对称（D）关于直线x=π成轴对称1247．设a>0，不等式|ax+b|<c的解集是{x|-2<x<1}，则a:b:c等于（A）1:2:3（B）2:1:3（C）3:1:2（D）3:2:18．等差数列{a}中，若an4+a+a+a+a=120，则S68101215的值为：（A）180（B）240（C）360（D）7209．y=2sin⎛⎫的图象是：⎝3⎭（A）关于原点成中心对称（B）关于y轴成轴对称（C）关于点⎛π⎭1210．在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1－y).若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则（A）－1<a<1（B）0<a<2（C）-1<a<322（D）-3<a<12211．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）C12A4A414128（B）C12C4C414128（C）C14C12C84A33（D）C12C4C4A314128312.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α,β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（A）f(sinα)>f(cosβ)（C）f(cosα)>f(cosβ)（B）f(cosα)<f(cosβ)（D）f(sinα)<f(cosβ)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2020年高考全国高考数学押题卷(全国I卷)

绝密 ★ 启用前2020年高考全国高考数学押题卷（全国I 卷）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在区间上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中： ①“”是“”的充分不必要条件 ②定义在上的偶函数最小值为5；此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号③命题“，都有”的否定是“，使得”④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．正确命题的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，746．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（）．A ．B ．C ．D ．22222正视图侧视图俯视图8．若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．9．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．10．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（） A ．5 B ．6 C ．7D ．812．若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．()0ω>第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．的展开式中的系数为__________．14．若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为__________．15．在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16．已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则； ②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值； ③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积．其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：共70分。

2020年高考数学押题密卷(含解析)

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =，若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ．其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33．【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立．必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立．综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件．【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值，设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立，即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π，则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-，【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是．【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离，可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值．【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >，因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =，又ABC ∆的面积为42，且10a =，从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角，所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者合计男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人，女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人，再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者超越者合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关，即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =，又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有，得设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

2020年江苏省高考押题卷数学试题(详解版)

12. 已知正实数 x，y 满足 x (x 1 )2 1, 则 x 1 的最小值为 ▲ ．
yy
y
13．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD，E, F 分别
D
为 AD，DC 的中点，AF 与 BE 交于点 O．若
E
O
12AD AB 5OF OB ，则∠DAB 的余弦值为 ▲ ．A
F
条渐近线方程是 y 3x ，则该双曲线标准方程为 ▲ ． 8．已知 sin cos 2 5 ，则 sin 2 cos 4 的值为 ▲ ．
5
(第 4 题)
数学试题第 1 页共 6 页
9. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 2a3 a5 1， S10 100 ，则 S20 的值为 ▲ ． 10. 埃及数学中有一个独特现象：除 2 用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干
，2 7
1 4
1 28
，2 9
1 5
1 45
，
按此规律，
2 n
▲ (n 5，7，9，11，„) ．
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 2)2 y2 4 ，点 P 是圆 C 外的一个动点，
直线 PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点．若直线 AB 过定点(1，1)，则线段 PO 长的最小值为 ▲ ．
1. 已知集合 M {1，0，1，2 }，集合 N { x | x2 x 2 0 }，
则集合 M∩N ▲ ．
2.
已知复数
z
2
i
1
2
i
(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z
▲．
3. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外

2020年高考数学临考押题卷01(天津专版)(含解析)

2020年高考临考押题卷（一）数学（天津卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．4．已知ABC ∆中4,43,30a b A ===o ，则B 等于（） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13-B ．13C ．-3D ．36．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32py x =-与C 交于A ，B 两点，若43||AH =||AF =（） A ．3B ．83C ．2D ．47．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y>D ．33x y >8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 11．6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,23AC PA ==．当四棱锥P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；（Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若E 是BM 的中点，//CD AB ，2CD AB =，求二面角E CD M --的余弦值.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）求||MN 的最小值.20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++ D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，故p ⌝：0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x ++„. 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 4．已知ABC ∆中4,30a b A ===o ，则B 等于（） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得4sin sin 30B ==o 60,120B =o o5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13- B ．13C ．-3D ．3【答案】A【解析】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H，直线2py =-与C 交于A ，B两点，若||3AH =，则||AF =（） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直线2p y =-过点H，tan 3AHM AHM π∠=∠=，则||||2AM AH =又||3AH =，所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.7．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >【答案】D【解析】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它的最小正周期为22π=π，故排除A ；令x=4π，求得f （x ）=2，故函数f （x ）的图象不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；故排除B ；把函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度，可以得到函数y=sin2（x ﹣8π）+4π]=sin2x 的图象，故C 满足条件；在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，24x π+∈（2π，32π），函数f （x ）单调递减，故排除D ， 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-，则()0f m ≤．当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-；当0m >时，1ln ()ln 1m f m m m +=+-，2ln ()m mf m m -'=．令()lng m m m =-，11()1m g m m m-'=-=，当01m <<时，()0g m '<，()g m 单调递减；当1m >时，()0g m '>，()g m 单调递增，则()g m 的最小值为(1)1g =．故2ln ()0,()m mf m f m m-'=>单调递增，又(1)0f =，故当01m <≤时，()0f m ≤．综上可知，当(,1](0,1]m ∈-∞-⋃时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=，二、填空题10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】1|||1|2z i ===+. 11．6x⎛⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）【答案】20-【解析】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)r C r =L 中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,AC PA ==P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______．【答案】28π．【解析】设,AB x AD y ==，则22162,8x y xy xy +=厔，故8ABCD S xy =矩形…（当且仅当x y ==，矩形ABCD 的面积最大为8．当侧棱PA ⊥面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为底面ABCD 为正方形，对角线4AC =，长方体的外接球半径R ==故外接球的表面积224428===球S R πππ．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．【答案】【解析】由2PBA PAB π=∠+，则1PA PB k k ⋅=．设()00,P x y ，则20020001224y y y x x x ⋅==+--． ∵点P 在双曲线C 上，2200214x y b ∴-=，220244y b x =-， 214b ∴=，即2b =，则焦距为=14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981．【解析】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-取等号），所以23x yxy+的最小值为1．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.三、解答题16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）；（Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯=＋＋＋＋，得0.035a =，平均年龄为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋（岁）．设中位数为x 岁，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯⨯-⨯=＋＋，解得42.1x ≈，故这200人年龄的中位数为42.1岁（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3，设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A ，则()12233535C C P A C == （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为45. 由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，()30341015125P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212341482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为 X123P1125121254812564125因为4 3, 5X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()412355E X=⨯=17．如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，2AB AM AD===，22MB MD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CD AB，2CD AB=，求二面角E CD M--的余弦值.【解析】（1）因为2228AB AM BM+==,所以AB AM⊥,同理可得AD AM⊥.因为AD AB A⋂=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为AB AD⊥,所以AD、AM、AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2AB AM AD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CD AB,2CD AB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0)CE=-u u u r,(0,0,1)DC=u u u r.设平面CED的一个法向量为()111,,m x y z=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y zm CE x y z⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u vru u u vr,得11120zx y=⎧⎨-+=⎩,取11x=,得(1,2,0)m=r.取DM 的中点H ,连接AH ,易证AH ⊥平面CDM ,则平面CDM 的一个法向量为(1,1,0)n AH ==u u u rr .设二面角E CD M --的平面角为θ,由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅r r r r , 所以二面角E CD M --. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）求||MN 的最小值.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y .抛物线C 的方程可化为2,2x xy y p p'==. 抛物线C 在,A B 两点处的切线的斜率分别为212121212122,,1,x x x xk k k k x x p p p p==∴==-=-. 由题可知直线l 的斜率存在，故可设直线1的方程为1y kx =+，联立212y kx x py=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2220x pkx p --=，122x x p ∴=-.2122x x p p ∴=-=-，解得2p =.∴抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）（i ）由（1）可得12124,4x x k x x +==-由4AQ QB =u u u r u u u r，可得124x x =-，又点A 在第一象限，解得1234,1,4x x k ==-=. ∴直线AB 的斜率为34；（ii ）由（i ）易知1(4,4),1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()()()00,,,,,M M N N P x y M x y N x y ，则2004x y =. 由题可知0,0AP BP k k ≠≠，故04x ≠-且01x ≠.∴直线AP 的斜率200044444APx x k x -+==-，同理可得014BP x k -=. ∴直线04:4(4)4x AP y x +-=-，当1y =-时，00444M x x x -=+. 直线011:(1)44x BP y x --=+，当1y =-时，00045111N x x x x +=-+=--. 0000444||41M N x x MN x x x x -+∴=-=++-.令00444,||||41||x m MN m m x m m +=∴=+=+=-…，当且仅当||2m =，即00421x x +=-，也即06x =或023x =-时，||MN 取得最小值4. 20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】（I ）()()21ln '1xxf x x e x-=++，易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（）因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点，由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点，则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令()ln 1x xe x g x x--=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减，在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x et =，下面分析0000ln 0xx x e x +=，设00x x e t =，则00ln xt x =-，可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k …求所求．。

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