第6章 控制系统的误差分析和计算

s→0
KP的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。KP越大， 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， ess越小。所以说 P 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 无差系统 有差系统 在单位阶跃作用下, 的系统为有差系统, 在单位阶跃作用下,υ=0 的系统为有差系统, 系统为无差系统 为无差系统。 υ>=1 的系统为无差系统。
2 1+ KP Kv Ka
控制系统的误差分析和计算
例 已知系统的结构如图所示，输入为 R(s) = + 2 。 已知系统的结构如图所示， s s 求系统的稳态误差。 求系统的稳态误差。 100
R(s)
1
1
C(s)
解：开环传递函数为
-
s(s +10)
0.5
100⋅ 0.5 5 Gk (s) = = ⇒ I型，K=5 型 s(s +10) s(0.1⋅ s +1)
满足由0<K<6，显然调整 值也无法使稳态误差小于 。 调整K值也无法使稳态误差小于 调整 值也无法使稳态误差小于0.1。
式中：K − 开环放大系数； ν − 积分环节个数； 控制系统的误差分析和计算 G0 (s) −开环传递函数去掉积分和比例环节； 输入及干扰引起的稳态误差分析
G 0 (0) = 1 ,
ε (s)
R(s)
B(s)
ε (s)
H (s )
C(s)
G2 (s)
G1 ( s)
sR(s) εss−r = limer (t ) = limsε (s) = lim t →∞ s→0 s→0 1+ G (s)G (s)H(s) 1 2
干扰作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
C(s)
G2(s)H(s) ΦNε (s) = =− N(s) 1+ G1(s)G2(s)H(s)
1 2
∏(T s +1)∏(T s
1 2
j =1
j
l =1
l
+ 2ζ lTl s +1)
控制系统的误差分析和计算
(1)当输入为 R(s)=1/s 时（单位阶跃函数） 当输入为 单位阶跃函数）
sR(s) sR(s) 1 1 ess−r = lim = lim = = s→0 1+ G (s) s→0 K 1+ limGk (s) 1+ Kp k 1+ v G0 (s) s→0 s K Kp = limGk (s) = lim ν 称为位置误差系数； 式中： 称为位置误差系数 位置误差系数； 式中 s→0 s→0 s 1 ν = 0 → Kp = limGk (s) = K → ess−r = s→0 1+ K ν ≥ 1 → Kp = limGk (s) = ∞ → ess−r = 0
控制系统的误差分析和计算
(2)当输入为 R(s)=1/s2 时（单位斜坡函数） 当输入为 单位斜坡函数）
sR(s) sR(s) 1 1 ess−r = lim = lim = = s→0 1+ G (s) s→0 K limsGk (s) Kv k 1+ v G0 (s) s→0 s K 式中： 称为速度误差系数 速度误差系数； 式中 Kv = limsGk (s) = lim ν −1 称为速度误差系数； s→0 s→0 s
ε (s)
N(s)
+
G2 (s)
H (s )
−1
ε (s)
G1 ( s)
εss−n = limen (t ) = limsε (s) = lim
t →∞ s→0
−sG2(s)H(s)N(s) s→0 1+ G (s)G (s)H(s) 1 2
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰共同作用下的偏差及稳态误差计算
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
ε (s)
H(s)
对于单位反馈系统，偏差等于误差。 除非特别说明， 对于单位反馈系统，偏差等于误差。 除非特别说明， 以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。 以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。 只有稳定的系统，才存在稳态误差。 只有稳定的系统，才存在稳态误差。
稳态误差与系统输入和结构型号的关系 控制系统的误差分析和计算
R(s) A/s B/s2 (3)当输入为 R(s)=1/s3 C/s3 单位加速度函数） 时（单位加速度函数） υ 当输入为 A 0型 型 sR(s) ∞ sR(s) 1 1 ess−r = lim1+K = lim ∞ = = s→0 1+ G (s) s→0 K lims2Gk (s) Ka k + 0 B/K 1∞ sv G0 (s) s→0 I型 型 K II型 型 式中： 0 s 0 G 称为加速度误差系数 加速度误差系数； 式中 Ka = lims20 k (s) =C/K ν −2 称为加速度误差系数； lim s→0 s → 输入的阶次越高，稳态误差越大。 输入的阶次越高，稳态误差越大。 ess−r = ∞ ν = 0,1 → Ka = lims2 ⋅ Gk (s) = 0 →
即 e(t ) = c0 (t ) − c(t )
即 稳态误差e 静态误差 误差信号的稳态分量。 静态误差)： 稳态误差 ss(静态误差 ：误差信号的稳态分量。 ess = lime(t ) t →∞
N(s) R(s)
ε (s)
_ G1(s)
+
H(s)
G2(s)
C(s)
B(s)
可得希望输出为C 当ε(s)=0 可得希望输出为 0(s) = R(s)/H(s) 所以 误差 E(s) = R(s) − C(S) = R(s) − C(s)H(s) = ε (s)
ess−r = lim ε = lim K 1 = lim sv + (s) RK s→0 1+ G (s)(s)s→0 ΦRε (s) k = = 1+ G (s) s→0 C(s) R(s) 1+ G1v(s)0 2 (s)H(s) s G B(s) 可见输入作用下的稳态偏差与输入有关；与系统开环增 H (s ) G2 (s) 1 = 益有关；与系统开环积分环节的个数有关。 1+ Gk (s)
e(s) = ΦRε (s)R(s) +ΦNε (s)N(s)
= R(s) −G2(s)H(s)N(s) + 1+ G1(s)G2 (s)H(s) 1+ G1(s)G2(s)H(s)
R(s) ε (s) _ G1(s) B(s)
N(s) + G2(s) H(s)
C(s)
sR(s) −sG2 (s)H(s)N(s) ess = limε (t ) = limsε (s) = lim + lim t →∞ s→0 s→0 1+ G (s)G (s)H(s) s→0 1+ G (s)G (s)H(s) 1 2 1 2
控制系统的误差分析和计算
例：系统结构如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在 系统结构如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时， 输入信号作用下的稳态误差；调整 值能使稳态误差小于 值能使稳态误差小于0.1吗 输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于 吗？
R (s )
解：误差传递函数
ΦRE (s) = E(s) = R(s)
给定输入作用下系统的误差分析 sR(s) sR(s) sv+1R(s)
m1 + 2 m 2 = m ,
ν + n1 + 2 n 2 = n
ε (s)
G1 ( s)
1 1 e(s) = ⋅ R(s) → ess−r = limεr (t ) = limsε (s) = lims ⋅ ⋅ R(s) t →∞ s→0 s→0 1+ Gk (s) 系统的无差度阶数（开环传递函数的型s) 1+ Gk ( ） 系统的无差度阶数（开环传递函数的型）
通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无 显然，ess-r与输入和开环传递函数Gk(s)有关。 差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。 差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。 假设开环传递函数Gk(s) 的形式如下： 无积分环节， 无积分环节 称为0型系统 m 当υ=0，无积分环节，称为 型系统 m +1)∏(τk s2 + 2ζ kτk s +1) ∏(τi s υ=1，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 有一个积分环节， 有一个积分环节 称为Ⅰ K i=1 当 K k=1 Gk (s) = ν ⋅ n = ν ⋅ G0 (s) n s s 当υ=2，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统 有二个积分环节， 有二个积分环节 称为Ⅱ 2
s→0
系统的型号越高，稳态误差越小。 系统的型号越高，稳态误差越小。 2
s→0 2
ν = 2 → Ka = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
ν 小结：输入作用下的稳态误差 ∞ → ess−r = 0 小结： ≥ 3 → Ka = lims ⋅ Gk (s) = s→0 与输入有关; 对同一系统加入不同的输入.稳态误差不同。 1、与输入有关; 对同一系统加入不同的输入.稳态误差不同。 Ka的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。Ka越大， 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。 越大， 抛物线输入下的稳态精度 与开环增益有关; 对有差系统，K↑，稳态误差↓ 2、与开环增益有关; 对有差系统，K↑，稳态误差↓， ess越小。所以说 a反映了系统跟踪抛物线输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。 抛物线输入的能力 与积分环节个数有关; 积分环节个数↑ 稳态误差↓ 3、与积分环节个数有关; 积分环节个数↑,稳态误差↓, 当系统的输入信号由位置、速度和加速度分量组成时， 当系统的输入信号由位置、速度和加速度分量组成时 K↑与积分环节个数 虽然使系统的稳态误差 ，但稳定性 ，即 与积分环节个数↑虽然使系统的稳态误差 与积分环节个数 虽然使系统的稳态误差↓， 1 A B C 和动态特性变差。由此可见稳定性与准确性的矛盾。 和动态特性变差。由此可见稳定性与准确性的矛盾。 r(t ) = A+ Bt + Ct2 → ess = + +
ν = 0 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = 0 → ess−r = ∞
s→0
ν = 1 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
s→0
ν ≥ 2 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = ∞ → ess−r = 0
s→0
Kυ的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。K υ越大， 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 斜坡输入下的稳态精度 ess越小。所以说 Kυ 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 越小。 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 斜坡输入的能力
H(s) H(s)
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
H(s)
ε (s)
H(s)
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰引起的稳态误差计算 输入作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
1 ΦRε (s) = = R(s) 1+ G1(s)G2 (s)H(s)
控制系统的误差分析和计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
稳态误差的基本概念 输入及干扰引起的稳态误差计算 输入及干扰引起的稳态误差分析 动态误差系数
控制系统的误差分析和计算
稳态误差的基本概念 误差e(t)定义 控制系统希望输出 与实际输出c(t)之差 误差 定义：控制系统希望输出 0(t)与实际输出 之差。 定义 控制系统希望输出c 与实际输出 之差。
K (0.5s + 1) C (s) - s( s + 1)(2s + 1)
1 s(s +1)(2s +1) = K(0.5s +1) s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) 1+ s(s +1)(2s +1)
1 s(s +1)(2s +1) 1 R(s) = 2 → E(s) = ⋅ s s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s2 ess = limsE(s) = lims
s→0 s→0
s(s +1)(2s +1) 1 1 ⋅ 2= s(s +1)(2s +1) + K(0.5s +1) s K
显然要使稳态误差小于0.1必须满足 显然要使稳态误差小于 必须满足由劳斯判据知稳定，这时必须考 虑系统稳定时的K值范围 值范围。 虑系统稳定时的 值范围。由Routh稳定判据可知系统稳定必须