第五章第四节 异方差的解决方法

（5）权数的选择（**）
• 一般地，Wi=1/2i。问题在于：2i一般是未知的 • 关键：找出ui随着Xi的变化而变化的规律，对异方差
Var(ui)= 2i = 2 f( Xi )（ i=1,2,…,n）的具体形式作出 合理假设。
• 怎样才能提出合理的假设呢？ （1）通过对具体经济问题的经验分析，或 （2）考察OLS的ei2与Xi的关系，或 （3）通过White等检验的结果提供的信息 • 粗略做法： Wi =1/|ei|或1/ ei2 ，ei是OLS估计的残差 • 所以，利用WLS的思路是：寻找合适的“权数”，
4.WLS法在eviews中的实现
1.创建文件：File/New/Workfile/输入数据频率/Ok 2.输入数据：在主菜单，点quick / empty group/输入变量
名称和数值/ 3.产生新序列：在eviews栏，点quick/generate series/输
入w=1/sqr(x)，点ok(假设w=1/sqr(x) 4.作回归：在eviews栏，点quick/ estimate equation/键入
变量和常数[如y c x]，同时点右下方的option，选择 Weighted LS/TLS，键入w，点ok
同质性 权数序列名
二、对原模型变换的方法
1、模型变换法的定义
模型变换法是对存在异方差的总体回归模型作适当的代数变换，使之成为满足同方 差假定的模型 , 进而运用OLS方法估计参数。
2、模型变换法的关键是： 通过对具体经济问题的经验分析，事先对异方差
往往有较小的差异。
利用EViews对模型进行对数变换
例 ln Yi 1 2 ln Xi ui 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LY=LOG（Y） 在eviews栏，点quick/generate series/输入 LX=LOG（X）
在eviews栏，点quick/ estimate equation/键入变量和常数 LY C LX
模型估计的加权最小二乘法，即求满足
min W e2 min W (Y (ˆ ˆ X ))2
ii
i
12Leabharlann i的ˆ1、ˆ 2ˆ2

Wi yi* xi* Wi xi*2
ˆ1 Y * ˆ2 X *
其中：X * Wi xi Wi
Y * Wi yi Wi
W1 W2 ...... Wn ，（权数相等）， WLS 是OLS法。
名称和数值/ 3.产生新序列：
在eviews栏，点quick/generate series/输入 Y1=Y/sqr（X）
在eviews栏，点quick/generate series/输入 X1=1/sqr（X）
在eviews栏，点quick/generate series/输入
X2=sqr（X）
它们的优点：可以近似地给出异方差的存在形式： 2 i

2
f (Xi)
。
以便用模型法消除异方差。
GEJSTER检验的步骤（**）
（1）用原始数据估计模型，计算残差直接读取resid （2）用残差绝对值与X进行回归：| e|=b0+b1xh+u u满足基本假定，幂次通常需要选择多种值试算， 如h=1,2,-1,1/2等 （3）经过R2、F、t检验找出最优的回归方程形式，或无异方差
EViews中实现GEJSTER检验（**）
（1）LS Y C X （2）GENR E1=resid （3）GENR E2=E1*E1 或取绝对值 （4）GENR XH=X^H （依次分别取H=1，2，-1，1/2，……）生成Xh序列 （5）LS E2 C XH （6）重复（4）直至找出适合的方程形式
通过加权使原模型变换成为不存在异方差性或异方差 性较弱的新模型，再对其运用OLS进行估计。
补救异方差的基本思路： 变异方差为同方差； 尽量缓解方差变异的程度
方法：
一、加权最小二乘法 二、对原模型变换的方法 三、模型的对数变换法 四、Box-Cox变换法（选学） 五、广义最小二乘法和加权最小二乘法（选学）
1、加权最小二乘法的思路
根据残差平方和最小建立起来的OLS法 同方差时：认为各 ei 提供信息的重要程度是一致的，即将各样 本点提供的残差一视同仁。 异方差时：离散程度大的ei 对应的回归直线的位置很不精确， 拟合直线时理应不太重视它们提供的信息，即 Xi 对应的 ei 偏离大 的所提供的信息贡献应打折扣；而偏离小的所提供的 信息贡献则 应予以重视。 因此采用权数对残差提供的信息的重要程度作一番校正，以提高估 计 精度。即：较大的残差给予较小的权数；较小的残差给予较大 的权数。

2 i
2
f (Xi)
的形式有一个合理的假设。
3、原模型变换法的过程
若异方差情形是 Var(ui ) 2 f (Xi ) ，
则对原模型进行变换，即用 1 f ( Xi )
去乘以模型的两边，变换后的模型具有同方差性。
Yi 1 2 Xi ui
（注：对原模型变换的方法与加权最小二乘法是等价的，最多相差一个常数因子）
Y X u i 1 X X X i
1 2
i

i
i
i

Var
ui X
i

1
X
Var ui
i
X 2
i
Xi
2
1.创建文件：File/New/Workfile/输入数据频率/Ok 2.输入数据：在主菜单，点quick / empty group/输入变量
PARK程序
load c:\eviews\lx4\lchf106.wf1 equation yeq.ls y c x genr e1=resid genr e2= e1*e1 genr lne2=log(e2) genr lnx=log(x) equation lne2eq.ls lne2 c lnx show yeq.resid(g) show lne2eq.resid(g)
对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采 用OLS估计其参数。
2、加权最小二乘法的机理
以递增型为例。设权数与异方差的变异趋势相反，如
Wi 1/ X或Wi 1/ X
ei2
X
（Wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差）。
3、加权最小二乘法的定义
例
Yi 1 2 X i ui
Y i

1

X i

u i
f (X ) f (X ) 2 f (X ) f (X )
i
i
i
i
其中：Var( ui ) 2
f (Xi)
4、实际处理异方差， f ( X i )的常用形式
(1)
f
X
i
X2 i
(2) f X i X i
(3) f X i a0 a1 X i
1.创建文件：File/New/Workfile/输入数据频率/Ok
2.输入数据：在主菜单，点quick / empty group/输入变量 名称和数值/
3.产生新序列：
在eviews栏，点quick/generate series/输入 LY=LOG（Y）
在eviews栏，点quick/generate series/输入 LX=LOG（X）
5、常用变换举例
例1
Yi 1 2 X i ui
其中：Var(ui
)


2
f
(
X
i
)


2
X
2 i
Yi Xi

1
Xi

2

ui Xi
Var
ui Xi


1
X
2 i
Varui



2
例2 Y X u
i
1
2
i
i
Var(ui)


2 i


2
X
i
Yi Xi
ui a0 a1 X i
Var
a0
ui a1
xi


a0

1
a1
X
i
Varui


2 a0
a0
a1 X a1 X i
i


2
6、利用EViews作模型变换
如例 2 Yi 1 2 X i ui
u X Var( ) 2 2
i
i
i
Park检验的步骤（**）
（1）拟合回归方程，计算残差 （2）计算残差平方和 （3）取残差平方和、解释变量X的对数 （4）用对数变换后的数据拟合回归方程 （5）作统计检验，判断异方差是否存在
EViews中进行Park检验的步骤
（1） LS Y C X （2）GENR E1=resid （3）GENR E2=E1*E1 （4）GENR LNE2=LOG（E2） （5）GENR LNX=LOG（X） （6）LS LNE2 C LNX
4.作回归：在eviews栏，点quick/ estimate equation/ 键入变量和常数（LY C LX）
GEJSTER检验的思路（**）
格里奇和帕克检验是用残差的绝对值或者残差的平方值序列，分别对X
进行回归
由回归的拟合优度、显著性判断异方差是否存在。若显著，则存在异方差，
并得到异方差的函数形式。反之则不存在。
4.作回归：在eviews栏，点quick/ estimate equation/ 键入变量和常数Y1 X1 X2
三、模型的对数变换
在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一 开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与 分析。
这是因为: 对数形式可以减少异方差。 对数变换的效果——减少差异
1
Xi
2
Xi
ui Xi
Var
ui Xi


1
X
i
Varui



2X Xi
i
2
例3 Y X u
i
1
2i
i
Var(ui)


2 i


2
a0

a1
X
i

Yi

1
2 X i
a0 a1 X i a0 a1 X i a0 a1 X i
Lg 10=1 Lg 100=2 Lg 1000=3
例
Y X u
i
1
2
i
i
Var(ui ) 2 f ( X i )
将Yi用ln Yi代替、Xi用ln Xi代替,则有：
ln Yi 1 2 ln X i ui
对其回归，可以降低异方差的影响。 原因：
（1）对数变换能使测定变量值的尺度缩小； （2）对数变换后，残差为相对误差，相对误差